中考几何证明---线段的和差 根号

证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。

3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。

4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。

此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。

参考例4、例5、例6。

例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。

求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。

$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。

求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。

求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。

初中⼏何中线段和和差最值问题初中⼏何中线段和（差）的最值问题⼀、两条线段和的最⼩值。

基本图形解析：⼀）、已知两个定点：1、在⼀条直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最⼩。

（1）两个点都在直线外侧：mmBmABmnmn（2）⼀个点在内侧，⼀个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式⼀：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. nmnnnm变式⼆：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.⼆）、⼀个动点，⼀个定点：（⼀）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找⼀点P ，使PA+PB 最⼩（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nmnmnm（⼆）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找⼀点P ，使PA+PB 最⼩（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最⼩。

(原理⽤平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mmm作法：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：练习题1．如图1，∠AOB=45°，P是∠AOB内⼀点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最⼩值为．2、如图2，在锐⾓三⾓形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最⼩值为．mABEQPmAQmAQ3、如图3，在锐⾓三⾓形ABC 中，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最⼩值是。

八年级数学专题：证明线段的和差问题常用两种方法
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线段的和差问题
要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
一、可在长线段上截取与两条线段中一条
相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线
段相等（割）
二、把一个三角形移到另一位置，使两线
段补成一条线段，再证明它与长线段相等（补）
三、注意辅助线的作法及语言的表达，辅
助线只能实现一种功能。

初中数学线段和差最值问题（史上最全版）⼀、知识依据1．线段公理：两点之间，线段最短；2．对称的性质：①关于⼀条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三⾓形的三边关系：①三⾓形两边之和⼤于第三边；②三⾓形两边之差⼩于第三边。

4.垂直线段最短。

⼆、从“将军饮马”说起话说在古罗马时代，在亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧B地开会，应该怎样⾛才能使路程最近？从此，这个被称为“将军饮马”的问题⼴泛流传。

这个问题的解决并不难，据说海伦略作思考就解决了它。

为了解决“将军饮马”问题，我们先看下⾯的问题。

（⼀）点A、B在直线m的异侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩由两点之间线段最短知，由A到B⾛直线距离最短，所以连接AB与直线m交于点P，此时PA+PB最⼩。

我们选取除P之外的任意⼀点P’，由三⾓形的三边关系可以证明。

综上，我们可知点A、B在直线m异侧时，连接AB与直线m交于点P，即为所求。

搞清楚上⾯这个问题后，我们再来研究“将军饮马”问题就简单了。

（⼆）点A、B在直线m的同侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩作图步骤：①作点A关于直线m的对称点A,②连接BA,，与直线L相交于点P③此时PA+PB最⼩。

看到这个问题后，我们会怎么思考呢？结合上⾯的问题及解答思路，我们会想到将直线m同侧的两个点转化到直线m异侧，那么问题就迎刃⽽解了。

所以，我们作A关于直线m的对称点A’（做B的对称点也⼀样），则将同侧的两点A、B转化到了异侧两点A’、B。

此时，连接A’B与直线m交于点P，即为所求。

综上，我们可知“将军饮马”问题转化为对称点，则问题就轻松解决了。

三、“将军饮马”的拓展延伸总结“将军饮马”问题，我们发现是两个顶点及定直线上的⼀个动点问题，那么接下来我们将刚才的问题进⾏升级。

线段的和差倍分问题的证明证明技巧之三——证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。

3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。

4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。

此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。

参考例1如图，△ABC中，∠BAC=90°，AE是经过点A的一条直线，交BC于F，且B、C在AE在的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：DB=DE+CE。

二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。

即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上.求证：FG =AB -DE三、证线段或角的和差方法1、在长者上截一短者，证明余者等于另一短者。

方法2、延长一短者，使其等于二短者之和。

证明延长后与长者相等。

3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD .求证：AP =BP +DQ .4、如图所示，已知在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=BC ，AD 是BAC ∠的平分线， 求证：AB=AC+CD ．5、如图所示，在ABC ∆中，BC AB 21=，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ．MADBADBC四、证线段或角的和差倍分方法：1、先作出和差，再证明倍分。

方法：2、先证明倍分，再计算和差。

（此法多用于证线段）方法：3、用计算的方法——纯代数法——证明和差倍分。

“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．在无法进行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。

例1、如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别 平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ， 则AB 与AC+BD•相等吗？请说明理由．分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短 线段，这种方法叫“截长法”（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．34DCAB65(1)F E1234DCAB65(2)EF12证法一：如图（1）在AB 上截取AF=AC ，连结EF ． 在△ACE 和△AFE 中DCABE12AC AF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△AFE （SAS ）∵,∴,又,∴∠6=∠D在△EFB 和△BDE 中634D BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EFB ≌△EDB （AAS ） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE ，与AC 的延长线相交于点F∵ ∴4∠=∠F ,又∵43∠=∠ ∴∠F=∠3 在△AEF 和△AEB 中312F AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△AEB （AAS ）, ∴AB=AF ，BE=FE 在△BED 和△FEC 中564BE FE F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BED ≌△FEC （ASA ） ∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD ． 例2、如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，求证：AB +BD =AC ． 分析1： 因为∠B =2∠C ，所以AC ＞AB ， 可以在AC 上取一点E ，使得AB =AE ，构造△ABD ≌△AED ，把AB 边转移到AE 上， BD 转移到DE 上，要证AB +BD =AC ． 即可转化为证AE +BD =AE +EC ， 即证明BD =EC ．ABCD证明：在AC 上取一点E ，使AB =AE ，连结DE ．在△ABD 和△AED 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD DAE BAD AE AB ∴△ABD ≌△AED （SAS ）． ∴ BD =DE ，∠B =∠AED ．又∠AED =∠EDC +∠C =∠B =2∠C ，∴ ∠EDC =∠C ．∴ ED =EC ． ∴ AB +BD =AC ．分析2： 因为∠B =2∠C ，所以AB ＜AC ，可以在AB 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ， 构造△AED ≌△ACD ，把AC 边转移到AE 上， DC 转移到DE 上，要证AB +BD =AC． 即可转化为证AB +BD =AB +BE ， 即证明BD =BE ． 证明：在AB 的延长线上取一点E ， 使AC =AE ，连结DE ． 在△AED 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD DAC BAD AC AE ∴ △AED ≌△ACD （SAS ）．∴∠C =∠E ． 又∠ABC =∠E +∠BDE =2∠C =2∠BDE ， ∴ ∠E =∠BDE ．∴ BE =BD ． ∴ AB +BD =A E ＝AC ． 分析3：若延长DB 到点E ， 使得AB =BE ，有AB +BD =ED ， 只要证出ED =AC 即可． 证明：延长DB 到点E ， 使AB =BE ，连结AE ，则有∠EAB =∠E ，∠ABC =∠E +∠EAB =2∠E ．又∠ABC =2∠C ， ∴ ∠E ＝∠C ． ∴ AE =AC ．又∠EAD =∠EAB +∠BAD =∠E +∠DAC =∠C + ∠DAC =∠ADE ，AB CD EAB CD EA B CD E∴AE=DE．∴AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．学以致用：1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180°AB CD。

线 段 的 和 差 问 题薛志军(湖南长沙中南大学附属实验中学 410083)线段的和差问题是几何证明中常见的题型，它与证明线段相等紧密相联.一般来说，通过作辅助线可转化为线段相等问题.解决线段的和差问题，需要综合应用三角形全等，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含有30º角的直角三角形的性质，线段中垂线的性质，角平分线性质，三角形，梯形中位线性质等知识.因此，通过此问题的讨论，一方面，帮助学生对与之相关的知识、定理进行梳理，系统化，进而建构有效的知识系统；另一方面，使他们在学习具体的几何知识的同时，掌握“化归”的数学思想方法.一、 利用图形中已有的线段和差关系进行证明例1 已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 相邻外角∠ACG 的平分线相交于D ，DE∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .求证：EF=BE-CF . 分析 要证EF=BE-CF ，而图中有EF=ED-FD ，若能证出BE=ED ，CF=FD ，则此题可证出.说明 本题利用了等腰三角形的判定来证明线段的差的问题. (图1) 例2 已知：如图2，△ABC 中，∠BAC=90o ，AB=AC ，AE 是过点A 的一条直线且B ，C 在AE 的异侧，BD⊥AE 于D ，CE⊥AE 于E . 求证：BD=DE+CE .E 分析 本题主要利用△BAD≌△ACE，得BD=AE ，AD=CE ，从而得BD=AE=DE+AD=DE+CE .说明 本题主要利用三角形全等的方法直接证明线段的和的问题.二、截长法（在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证明余下的线段等于第二条线段）例3 已知：如图3，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE .分析 要证AE=AD+BE ，则可转化为证AE-BE=AD ，则需找到一条线段使它等于AE-BE ，再证其与AD 相等，在EA 上截取EF=BE ，连结CF ，问题转化为证AF=AD ，即要证出△AFC≌△ADC .证明 在EA 上截取EF=BE ，连结CF . ∵CE⊥AB 于E, ∴CF=CB . ∴∠1=∠B .∵∠1+∠2=180°，∠B+∠D=180°, (图3) ∴∠2=∠D .∵∠FAC =∠D AC ，AC=AC,∴△AFC≌△ADC .∴AF=AD.∵AE=AF+EF, ∴AE=AD+BE.三、补短法（延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段）例4 已知: 如图4，在△ABC 中,∠BAC =2∠B,CD 是∠ACB 的平分线.求征: BC=AC+AD .证明 延长CA 至E ，使AE=AD ，连结DE .∴∠E=∠EDA . (图4) ∴∠BAC=∠E+∠EDA=2∠E . ∵∠BAC=2∠B , ∴∠B =∠E .在△CDE 和△CDB 中 . ∠1=∠2，CD=CD ，∠E=∠B , ∴△CDE≌△CDB .E'∴CE=CB ,∴BC=CE=EA+AC=AD+AC .四、旋转法例5 已知:如图5，已知F 为正方形ABCD 的边BC 上一点，AE 平分∠DAF.求证：DE=AF-BF.分析 将△ADE 绕A 点顺时针旋转90º，则AE ⊥AE ´ 可证E ´，B ，F 共线，∠E ´= ∠E ´ (图5)则有AF= E ´F.∴DE=BE ´=E ´F-BF=AF-BF. 五、等积变换法例6 已知:如图6，已知在△ABC 中，AB=AC ，BD 为AC 边上的高，如果在BC 上取一点F ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥AC 于H.求证：FG+FH=BD. 分析 连接AF.S SSAFCABFABC∆∆∆+=AC FH GF AC AC FH GF AB BD AC ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅∴2121212121(图6)得BD=GF+FH . 例7 已知:如图7，在△ABC 中，∠A=90º，D 是AC 上一点，BD=CD ，P 是BC 上任一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F.求证：分析 连接PD .由S S SPDB PCD BCD∆∆∆+= , (图7)得得AB=PE+PF.六、归一法（将处于不同位置的线段转化到同一条线段中来） 例8 已知:如图8，已知平行四边形ABCD 的对角线交于O ，点P 是BD 上任一点（异于B ，O ，D 三点），过P 点作平行于AC 的直线交直线AD 于E ，交BA 的延长线于F.求证：AC=PE+PF.分析 ∵OD PD AO PE = ，OBPBAO PF =, 且OB=OD=BD 21, (图8) ∴OBPBOD PD AO PF AO PE +=+. 即22121==+=+BD BDBD PB PD AOPF PE . )(212121212121PE PF CD PE CD PF CD PE BD PF CD BA DC +=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅∴1=+ACPFPE ，即AC=PE+PF.七、特殊定理法证明线段的和差时，可适当添加辅助线，以便于运用某些特殊的定理.这些 特殊的定理包括：三角形，梯形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等.例9 已知:如图9，AB 是O Θ的直径，直线MN 与 O Θ相切于C ，AE ⊥MN 于E ，BF ⊥MN 于F.求证：分析 连接OC ，则有OC ⊥MN.∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN,∴AE ∥OC ∥BF . (图9) ∵OA=OB, ∴EC=CF.∴AE+BF=2OC=AB.。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：mmBmABmnmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、nmnnnmm 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：m nmn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：mnmmmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：QPQ练习题1．如图1，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值为．2、如图2，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图3，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。

线段的和差倍分问题的证明在初中几何中，证明线段的相等关系是一个重要的教学内容，而有关线段的和、差、倍、分问题，则是其中的教学难点。

如何搞好线段的和差倍分的教与学？本文通过一些例题，谈谈它的一般证明方法。

一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。

此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 21AB 分析：如图，因为21AB 等于△ABC 的 中位线NM 的长，所以原命题就转化为证明DM ＝NM 。

∵DN 为Rt △ADC 斜边上的中线，∴DN =NC ；∴∠2=∠C ，又∵2∠C =∠B =∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM =MN ，问题得证。

说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。

“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。

二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。

即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

例2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上. 求证：FG =AB -DE分析：本题的关键在于构造一条线段，使之等于（AB -DE ）,如图，在AB 上载取线段AH =DE ，则AB -DE =BH ，从而把原命题转化为证明FG =BH 的问题，进而通过证△BHD ≌FGC ，使原命题得证。