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高二数学直线综合知识精讲 人教版一. 本周教学内容：直线综合二. 重点、难点： 1. 直线系（1）平行直线系b kx y +=（k 为常数，b 为参数）（2）过定点直线系)(00x x k y y -=-或0x x =（0x ，0y 为常数，k 为参数） （3）与l ：0=++C By Ax 平行直线系 0=++k By Ax （k 为参数） （4）与l ：0=++C By Ax 垂直的直线系：0=+-k Ay Bx （k 为参数） （5）过直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A交点的直线系：0)()(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）（不包含1l ） 2. 对称P （a ，b ）关于点0P （0x ，0y ）的对称点为：Q （a x -02，b y -02） P （a ，b ）关于x 轴的对称点为Q （a +，b -） P （a ，b ）关于y 轴的对称点为Q （a -，b ） P （a ，b ）关于m x =的对称点为Q （a m -2，b ） P （a ，b ）关于n y =的对称点为Q （a ，b n -2） P （a ，b ）关于x y =的对称点为Q （b ，a ）P （a ，b ）关于0=+y x 的对称点为Q （b -，a -）【典型例题】[例1] 求点A （1-，4）关于直线l ：02732=-+y x 的对称点。
解：设A 关于l 的对称点B （x ，y ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅+-=-+⋅++-⋅⇒⎩⎨⎧⊥1)32(14027243212x y y xl AB l AB 上中点在 ∴ B （3-，1+） [例2] 1l ：0223=+-y x ，l ：02=-y x ，求1l 关于l 对称的直线2l 的方程。
解：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+-42020223y x y x y x A （0，1）在1l 点，它关于l 的对称点，B （54，53） 由两点式 ∴ 2l ：010617=--y x[例3] 光线通过点P （2，3）在直线01=++y x 上反射，反射线过点Q （1，1），求入射光线、反射光线所在直线方程。
人教版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教案必修Ⅱ2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系（第一课时）教案一、教材分析：1.教材的地位和作用（1）本节课是人教版数学必修2的2.1.2第一课时的内容，主要研究空间中直线与直线之间的三种位置关系及公理4。
（2）教材在编写时注意从平面到空间的扩充，通过观察实物，直观感知，进而抽象概括出定义及定理，培养学生的观察能力和分析问题的能力。
2.教学重点与难点教学重点：异面直线的概念的理解及其判断，公理4的学习。
教学难点：异面直线的理解，空间中直线与直线之间的位置关系的分类。
3.教学目标知识与技能：（1）理解异面直线的概念；（2）了解空间中两条直线的位置关系；（3）理解并掌握公理4及其应用。
过程与方法：（1）教学过程中引导学生从生活中的实例出发，联系旧知识来提出所要探究的问题；（2）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合.情感态度与价值观：通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成善于观察、合作探索、科学研究的好习惯。
、二、教法设计：1、多媒体辅助教学：易于突破难点，增强形象性、直观性。
2、探究式教学：给学生提供从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程获取知识。
3、讲议结合教学：教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议。
4、分层教学：面向全体学生，充分调动不同层次学生的积极性。
三、学法设计：1.本节知识与生活的联系密切，可以引导学生从生活中去找模型，将所要学习的知识与周围的事物结合起来，同时还注重让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的学习过程。
2.学生能够在老师的引导下自己去发现问题，共同讨论，自主合作探究。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
四、教学过程：1.创设情境，引出问题思考：(1)同一个平面内的两条直线有几种位置关系？(2)空间中两条直线有哪些位置关系呢？找一找，说一说：同桌两位同学中一人在教室里任意找两条直线，另一同学说出这两条直线的位置关系。
高二数学空间两条直线人教版【本讲教育信息】一教学内容：空间两条直线目标：空间两条直线的位置关系；平行公理；等角定理，异面直线。
重点：平行公理、等角定理、异面直线。
难点：异面直线的判断及所成角。
知识点：1.空间两条直线的位置关系相交平行共面异面——不同在任何一个平面内的两条直线。
⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎩⎪2.//////平行公理：若，则，其中、、为空间三直线。
a bc ba c ab c⎧⎨⎩3 等角定理：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，且方向相同，则这两个角的大小相等。
4 异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
5 异面直线所成角：过空间任意一点O，分别作异面直线a与b的平行线a’、b’，则a’与b’所成的锐角或直角叫做a与b的（夹角）所成角。
6 异面直线所成角求法：（1）作角：平移a或b，使a与b相交，得到所求角。
（2）以该角为一可解三角形一内角，解三角形、求角的大小。
注意：若coα<0，则所求角为π-α。
【典型例题】例1 在空间四边形ABCD的对角线BD上取两点M、N，分别过点M、N在两个平面内各作一条异于对角线BD的直线ME、NF。
求证ME和NF是异面直线。
证法一：用判定定理证NF BCD M BCD ⊂∈平面，平面 且，平面M FN F BCD ∉∉ ∴ME FN 与是异面直线证法二：反证法：假设ME 与NF 不是异面直线，即N 、F 、M 、E 四点共面 则平面，且平面，E BCD E BCD E BD ∈∈⇒∈ 这与E 不在BD 上矛盾。
∴ME 与NF 是异面直线。
例2 在正方体AC 1中，M 、N 分别是A 1B 1、B 1B 的中点，求 （1）AM 和CN 所成角的大小； （2）AM 和BD 所成角的大小； （3）AM 和BD 1所成角的大小。
D 1 C 1A CA Q P B解：（）在上取点，使114AB P BP AB = 设AB=4，则∠CN 与CN 所成角在中，，，∆CNP PN CN CP ===5251752208525217205NC PN 2PC NC PN CNP cos 222==-+=⋅-+=∠∴·∴∠=CNP arccos25（2）将BD 平移至B 1D 1，再平移至MG （G 为A 1D 1中点） 则∠AMG 为AM 与BD 所成角。
⾼⼆数学知识点（⼈教版）—空间⼏何及直线位置关系1⾼⼆数学知识点总结⼤全(必修)第1章空间⼏何体11.3 空间⼏何体的表⾯积与体积（⼀）空间⼏何体的表⾯积1棱柱、棱锥的表⾯积：各个⾯⾯积之和2 圆柱的表⾯积3 圆锥的表⾯积2r rl S ππ+=4 圆台的表⾯积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表⾯积24R S π= （⼆）空间⼏何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底2锥体的体积 h S V ?=底313台体的体积 h S S S S V ?++=)31下下上上（4球体的体积 334R V π=第⼆章直线与平⾯的位置关系2.1空间点、直线、平⾯之间的位置关系2.1.11 平⾯含义：平⾯是⽆限延展的2 平⾯的画法及表⽰（1）平⾯的画法：⽔平放置的平⾯通常画成⼀个平⾏四边形，锐⾓画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平⾯通常⽤希腊字母α、β、γ等表⽰，如平⾯α、平⾯β等，也可以⽤表⽰平⾯的平⾏四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的⼤写字母来表⽰，如平⾯AC 、平⾯ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果⼀条直线上的两点在⼀个平⾯内，那么这条直线在此平⾯内符号表⽰为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作⽤：判断直线是否在平⾯内（2）公理2：过不在⼀条直线上的三点，有且只有⼀个平⾯。
符号表⽰为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有⼀个平⾯α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作⽤：确定⼀个平⾯的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平⾯有⼀个公共点，那么它们有且只有⼀条过该点的公共直线。
符号表⽰为：P ∈α∩β=>α∩β=L ，且P ∈L公理3作⽤：判定两个平⾯是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系222r rl S ππ+=D C B A α L A· α C ·B·A · α P · α Lβ1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同⼀平⾯内，有且只有⼀个公共点；平⾏直线：同⼀平⾯内，没有公共点；异⾯直线：不同在任何⼀个平⾯内，没有公共点。
高二数学空间直线人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 空间直线1. 空间两条直线的位置关系2. 平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那麽这两个角相等。
推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那麽这两组直线所成的锐角（或直角）相等 。
3. 异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
（2）画法：（3）异面直线判定： ①用定义：（多用反证法）②判定：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
4. 异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（成直角）叫两条异面直线所成的角。
]2,0(π∈θ求两条异面直线所成的角的一般步骤是：（1）构造：用平移法作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：利用三角形求角； （4）结论．若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。
异面垂直 空间两直线垂直相交垂直 4. 异面直线的公垂线及距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）（2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分 （3）异面直线间的距离 ：公垂线段的长Ⅰ若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。
Ⅱ若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。
【典型例题】例1. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足k PDCPQD AQ NB CN MB AM ====（1）求证：M 、N 、P 、Q 共面．（2）当对角线AC ＝a ，BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a 、b 表示)Q P N M NPMQ 、、、∴=//在同一平面内∴MN ∥AC 又NP ∥BD∴MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角． ∵MNPQ 是正方形∠MNP ＝90° ∴AC 与BD 所成的角为90°【说明】在空间证明两直线平行的基本依据就是公理4——平行直线具有传递性。
高二数学空间直线人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 空间直线1. 空间两条直线的位置关系2. 平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那麽这两个角相等。
推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那麽这两组直线所成的锐角（或直角）相等 。
3. 异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
（2）画法：（3）异面直线判定： ①用定义：（多用反证法）②判定：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
4. 异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（成直角）叫两条异面直线所成的角。
]2,0(π∈θ求两条异面直线所成的角的一般步骤是：（1）构造：用平移法作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：利用三角形求角； （4）结论．若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。
异面垂直 空间两直线垂直相交垂直 4. 异面直线的公垂线及距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）（2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分 （3）异面直线间的距离 ：公垂线段的长Ⅰ若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。
Ⅱ若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。
【典型例题】例1. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足k PDCPQD AQ NB CN MB AM ====（1）求证：M 、N 、P 、Q 共面．（2）当对角线AC ＝a ，BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a 、b 表示)Q P N M NPMQ 、、、∴=//在同一平面内∴MN ∥AC 又NP ∥BD∴MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角． ∵MNPQ 是正方形∠MNP ＝90° ∴AC 与BD 所成的角为90°【说明】在空间证明两直线平行的基本依据就是公理4——平行直线具有传递性。
在平面几何中有关平行的定理只能解决在一个平面内的直线平行问题，在两个平面内的两条直线平行的判定中仍借助于公理4，这是证明空间两直线平行的基本出发点。
求K 的值就要建立K 的方程，解方程的思想仍是求值的重要数学思想。
例2. 已知a ，b 是异面直线，求证：过b 上的点所做的与a 平行的直线都在同一平面内证明：如图在b 上任取一点P ，作与a 平行的直线ca∴b ，c 确定一个平面α假设存在与直线a 平行的直线l ，满足L 与b 交于Q 但l ⊄α ∴l ∩α＝ Q∴b 、l 确定一个平面，记作β ∴α∩β＝b ，且l ∥c∴l ∥α，这与L ∩α＝ Q 矛盾∴L ⊂α，即过b 上的点所作的与a 平行的直线都在同一平面内 注意：要掌握反证法的逻辑思维方法和表达方法。
例3. 正方体AC 1中（1）和棱AA 1异面棱是哪些？和AA 1异面的面对角线有哪些？ （2）面对角线B 1C 成异面垂直的棱有哪些？面对角线？ （3）求BD 和B 1C 所成的角（4）求BD 1和B 1C 所成的角（5）BD 1不和哪些面对角线垂直？ （6）BD 1与C C 1之间的距离。
A 1D 1 C 1 B 1BACD解：（1）和棱AA 1异面的棱是BC ，CD ，B 1 C 1，C 1 D 1 面对角线BD ，B C 1，B 1C ，C D 1，D C 1，B 1 D 1 （2）棱：C 1D 1，AB 面对角线：A D 1（3）∠D 1B 1C 为所求角 ∵B 1D 1＝B 1C ＝C 1D ＝2a∴BD 与B 1C 所成角为60° （4）①找 D 1 C 1⊥平面B 1 C D 1B 是面B 1 C 的斜线B 1C 是BD 1在平面 B 1 C 上的射影 ∵B 1 C ⊥ B C 1∴B D 1⊥ B 1 C （三垂直定理） ∴B D 1和B 1 C 所成角是90° ②割补法（5）凡异面则都垂直（6条）不垂直6条BD ，B 1D 1，AD 1，CD 1，A 1B ，BC 1（6）解一：连A 1C 交BD 1于E 取CC 1 中点F 连EF ，EF 为△CA 1C 1的中位线。
A 1D 1 C 1 B 1BAC D EF∴EF ∥A 1C 1又∵CC 1⊥ 面A 1C 1∴ CC 1⊥ A 1C 1 ∴EF ⊥CC 1又∵D 1F ＝BF ∴E 是BD 1中点∴EF 为异面直线BD 1与CC 1间的距离 EF ＝21A 1C 1＝22a 解二：（转化为线面距离）平面BB 1D 1D 过直线BD 1直线C 1C ∥平面BB 1D 1D∴CC 1到面BB 1D 1D 的距离就是异面直线BD 1与CC 1的距离 连AC 交BD 于O ，OC ⊥BO ，OC ⊥BB 1 ∴OC ⊥平面BB 1D 1D∴OC 就是CC 1与平面BB 1D 1D 的距离 ∴两异面直线见距离为OC ＝21AC ＝22a 例4. 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 与CD 的中点，若AC ＝BD ＝2，3=EF ，求异面直线AC 与BD 所成的角。
解：取AD 的中点G ，连结EG ，FG ，则EG ∥BD ，GF ∥AC ，∠EGF ＝120°是异面直线AC 与BD 所成角的补角，异面直线AC 与BD 所成的角是60°。
评析：异面直线所成角为锐角或直角，所以其余弦值不能为负数，若求出角的余弦值为负数说明它是异面直线所成角的补角．此题若答异面直线所成角是120°就是错误的． 例5. 间四边形ABCD ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝a 对角线AC ＝BD ＝b ，E 、F 、G 、H 分别为四边中点。
求：（1）四边形FEGH 的面积（2）BD 与AC 的距离解：（1）∵E ，H 分别为AB ，AD 中点∴EH //=21BD 同理FG //=21BD ∴EH //=FG∴四边形EFGH 为平行四边形，取BD 中点O 连AO ，CO ∵AB ＝AD ，BC ＝CD ∴AO ⊥BD ，CO ⊥BD ∴BD ⊥平面AOC ∴BD ⊥AC 又H ，G 为AD ，CD 中点 ∴HG //=21AC ∴EH ⊥HG ∵BD ＝AC ＝b ∴EH ＝HG ＝21b ∴四边形为正方形 ∴S EFGH ＝EH 2＝241b（2）在△AOC 中作OM ⊥AC 于M ∵AB ＝AD ＝BC ＝CD ∴△AOB ≌△CBO ∴OC ＝OA ∴M 为AC 中点 ∵BD ⊥平面AOC ∴BD ⊥OM∴OM 为AC 与BD 的公垂线段即异面直线BD 与AC 的距离在Rt △AOD 中AO 2＝AD 2—（21BD ）2＝a 2—41b 2 在Rt △AMO 中OM 2＝OA 2—AM 2＝ a 2—41b 2—41b 2∴OM ＝2221b a -＝222421b a - 即BD 与AC 间的距离为222421b a -。
两条直线的位置关系是最简单、最基本的位置关系，由于空间任意两条直线无论重合或相交或平行的时候，这两条直线在同一平面上，所以除了空间平行直线的传递性以外，以上几种情况都可归结为平面上的直线关系，剩下的是空间不共面的两条直线，即异面直线的相互关系了，异面直线是立体几何的重点和难点之一，几乎每年都被考查，考查内容涉及以下几个方面：l ）异面直线的定义； 2）异面直线所成的角；3）已给出异面直线的公垂线时，两异面直线间的距离； 4）用反证法证明有关异面直线的问题．例6. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是____（92年全国高考选择题）解析：如图将AM 平移到M 1B 1，CN 平移到N 1B 1，则M 1、N 1分别是AB ，CC 1的中点。
且∠M 1B 1N 1是AM 与CN 所成的角。
连CM 1，1111CM Rt N M ∆N 中，46CN C M N M 2121211=+=，211211N B M B =45=。
由余弦定理得52N B M cos 111=∠ 说明：求异面直线所成角首先要做必要的平行线，原则上做一条平行线可解决问题，就不做两条。
平行线的做法远不止一种，本题还可过N 点引B 1M 1的平行线，也可过MM 1做一个平面与侧面BC 1平行，在所在平面内过M 做B 1N 1的平行线。
例7. 下列命题中正确的一个是（ ）（A ）若a 与b 是异面直线,b 与c 也是异面直线，则a 与c 也是异面直线（B ）已知异面直线a ，b 两条直线c ，d 分别与a ，b 都相交于，则c ，d 也是异面直线 （C ）四个角都是直角的四边形一定是矩形 （D ）两条异面直线可能没有公垂线 分析：假设ABCD 是空间四边形，则ABCD 一定是异面直线∵BC ⊥AB ，BC ∩AB ＝B ，BC ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ∴BC 为异面直线AB ，CD 公垂线 同理AD 也是AB ，CD 公垂线矛盾。
（唯一性） 答案：C例8. 关于异面直线a ，b 下述命题中不正确的一个是（ ）A. 过直线a 有且只有一个平面平行于bB. 过直线a 有且只有一个平面垂直于bC. 存在分别经过直线a 与b 的两个互相平行的平面D. 存在分别经过直线a 与b 的两个互相垂直的平面分析：当异面直线a 与b 不垂直时，由线面垂直定义可知过a 的任何平面中都有直线a 与b 不垂直，故直线b 一定不过a 的平面垂直。
在处理有关异面直线的问题时，要把立体几何的各部分知识内容联系起来考虑，才能较全面的认识异面直线的性质答案：B【模拟试题】1. 已知a ，b 为异面直线，α，β为平面若 a ⊂α b ⊂β，且α⋂β＝c 则下列结论中一定正确的是（ ）（A ） a ∩c ＝∅ 且b ∩c ＝∅ （B ） a ∩c ＝∅ 且b ∩c ≠∅ （C ） a ∩c ＝∅或b ∩c ＝∅ （D ） a ∩c ≠∅或b ∩c ≠∅2. 在四面体A －BCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AC ＝BD ＝a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点。
（1）求证EF 是AB 和CD 的公垂线 （2）求AB 和CD 间的距离． 3. 如图， P 是△ABC 所在平面外一点， D 、E 分别是PAB 、PBC 的重心，求证：AC //DE 且AC 31DE =。
4. 已知：a 、b 为异面直线，a 上两点A 、B ，b 上两点C 、D ，线段AC 、AD 、BD 、BC 的中点分别为E 、F 、G 、H ，求证：（1）直线EG 与a 和b 均是异面直线；FH 与a 和b 均是异面直线。
