流体的特征和连续性假设

流体的连续性方程
流体的连续性方程是描述流体运动的基本方程之一，它揭示了流体
在运动过程中质量守恒的原理。

下面将从理论基础、连续性方程的推
导以及应用等方面进行讨论。

一、理论基础
连续性方程是基于流体的连续性假设而推导得出的。

连续性假设认为，在流体运动过程中，流体的体积虽然不断变化，但质量保持不变。

流体在某个截面上的质量密度乘以截面积等于流体通过该截面的质量
流量。

二、连续性方程的推导
设流体通过某个平面截面的质量流量为Q，截面的面积为A，流体
的密度为ρ，流体在通过截面进入和流出的速度分别为v1和v2。

根据
质量守恒的原理，流入流出的质量应该相等，则有：
ρA * v1 = ρA * v2
接着，我们可以对上式进行化简，得到：
v1 = v2
这就是连续性方程，它表明了流体在运动过程中速度的连续性。

三、连续性方程的应用
连续性方程在流体力学中具有广泛的应用。

例如，在管道流动中，
通过管道的流体密度是保持不变的，因此可以利用连续性方程来描述
流体在管道中的速度变化。

在自然界中，例如河流流动、空气运动等，也可以应用连续性方程来研究非定常流体运动的规律。

此外，连续性方程还与其他流体方程相互配合，如欧拉方程、伯努
利方程等，共同构成了解决流体力学问题的重要工具。

综上所述，流体的连续性方程是一种描述流体运动的基本方程，它
是基于流体的连续性假设进行推导的。

连续性方程揭示了流体在运动
过程中质量守恒的原理，具有重要的理论和应用价值。

1.1 流体的主要物理性质一．连续介质假设处于流体状态的物质，无论是液体还是气体，都是由大量不断运动着的分子所组成。

从微观角度来看，流体是离散的。

但流体力学是研究物体的宏观运动的，它是大量分子的平均统计特性。

1753年，欧拉采取了一个基本假设认为：流体质点（或流体微团）连续地毫无间隙地充满着流体所在的整个空间，这就是连续介质假设。

在大多数情况下，利用该基本假设得到的计算结果和实验结果符合得很好。

必须指出，连续介质模型也有一定的是适用范围。

以气体作用于物体表面上的力为例。

在标准情况下，的空气包含有个分子，分子间平均自由程，与所研究的在气体中的物体特征尺度L相比及其微小。

按气体分子运动观点，由于作热运动的大量气体分子不断撞击物体表面的结果，产生了作用于物体表面上的力。

它是大量气体分子共同作用的统计平均结果，而不是个别分子的具体运动决定，因而不必详细地研究个别分子的运动，而将气体看成连续介质以宏观的物理量来表征大量分子的共性。

但当气体体分子平均自由程与物体特征尺寸可以比拟时，这时就不能再应用连续介质的概念而必须考虑气体分子的结构了。

用连续介质假设简化时，只要研究描述流体宏观状态的物理量，如密度、速度、压强等。

二．流体的易流动性流体不能承受拉力，流体在静止时也不能承受切向剪应力。

即使是很小的切向力。

只要持续施加，都能使流体发生任意大的变形。

流体的这种宏观性质称易流动性，也正因此流体没有固定的形状。

三．流体的压缩性与膨胀性可压缩性—流体在外力作用下，其体积或密度可以改变的性质。

流体的压缩性常用压缩系数表示它表示在一定温度下，增大一个压力时，流体体积的相对缩小量，即或其中——单位质量流体的体积，即比容；——单位体积的质量，即密度。

压缩系数的倒数即流体的体积弹性模量E，它是单位体积的相对变化所需要的压力增量。

工程中常用体积弹性模量来衡量压缩性的大小。

E值越大流体就越不易被压缩。

E的单位与压强相同为Pa。

热膨胀性——流体在温度改变时，其体积或密度可以改变的性质。

流体力学课程自学辅导资料二○○八年十月教材：工程流体力学教材编者：孔珑出版社：中国电力出版社出版时间：2007年注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末面授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。

总成绩中，作业占15分。

第一章绪论一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体力学的研究内容和研究方法（二）本章重点流体力学的研究内容和研究方法（三）本章前后联系为本书的其它章节内容做一介绍二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念研究内容：是力学的一个独立分支，是一门研究流体的平衡和运动规律及其实际应用的技术科学。

研究速度分布、压强分布、能量损失及作用力。

研究方法：理论分析、实验研究、数值计算（二）本章难点及学习方法指导流体力学研究内容三、典型例题分析（略）四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题（略）（二）习题解答（只解答难题）（略）第二章流体及其物理性质一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心1、流体的几个性质2、流体的几个物理模型3、作用在流体上的力（二）本章重点1、流体的压缩性、粘性2、连续介质模型、不可压缩流体模型、理想流体模型3、作用在流体上的力：表面力和质量力（三）本章前后联系为本书的其它章节建立物理模型二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体力学定义：受任何微小剪切力都能连续变形的物质特征：流动性2、连续介质模型：（1）宏观上无限小（2）微观上足够大（3）有确定物理量连续介质假设(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：f =f(t,x,y,z)。

特例：分子的自由行程和所涉及的最小有效尺寸可以相比拟时，如火箭在高空非常稀薄的空气中以及高真空技术3、压缩性：一定温度下、压强增加体积缩小的性质4、膨胀性：一定压强下、温度升高体积增大的性质5、不可压缩流体模型：通常情况下液体流速不高、压强变化小气体6、粘性：在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质影响粘性的主要因素：流体种类、温度和压强7、牛顿流体：牛顿内摩擦定律和牛顿流体8、理想流体模型：粘度为09、作用在流体上的力：表面力和质量力（二）本章难点及学习方法指导1、流体的力学定义2、不可压缩流体模型3、理想流体模型三、典型例题分析1、P8. 例2-12、P14例2-4四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题2-1、2-3、2-14（二）习题解答（只解答难题）（略）第三章流体静力学一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体静压强分布及作用在平面和曲面上的力（二）本章重点1、流体静压强特性2、流体静力学基本方程及其物理和几何意义3、液体相对平衡时压强分布及工程应用4、静止液体作用在平板上总压力大小和位置5、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（三）本章前后联系流体静力学是力学的基础知识，最基本内容二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体静压强特性：方向沿作用面内法线方向，大小和作用面方位无关2、等压面：压强相等的点组成的面3、流体静力学基本方程及其物理和几何意义：水头、测压管水头、压强势能、重力势能4、帕斯卡原理、液柱式测压计5、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理6、静止液体作用在平板上总压力大小和位置7、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（二）本章难点及学习方法指导1、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理2、静止液体作用在平板上总压力大小和位置3、静止液体作用在曲面上总压力，压力体三、典型例题分析1、P30. 例3-22、P37. 例3-63、P40. 例3-7四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题1.相对平衡的流体的等压面是否为水平面？为什么？什么条件下的等压面是水平面？2.压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强 ？3、圆筒,H0=0.7m,R=0.4m, V=0.25m3, ω=10rad/s,中心开孔,顶盖m=5kg 。

第一章流体流动§1.1.1、概述1、流体—液体和气体的总称。

流体具有三个特点①流动性，即抗剪抗张能力都很小。

②无固定形状，随容器的形状而变化。

③在外力作用下流体内部发生相对运动。

2、流体质点：含有大量分子的流体微团。

流体分子自由程<流体质点尺寸<设备大小，流体质点成为研究流体宏观运动规律的考察对象。

3、流体连续性假设：假设流体是由大量质点组成的彼此间没有空隙，完全充满所占空间的连续介质。

连续性假设的目的是为了摆脱复杂的分子运动，而从宏观的角度来研究流体的流动规律，这时，流体的物理性质及运动参数在空间作连续分布，从而可用连续函数的数学工具加以描述。

流体流动规律是本门课程的重要基础，这是因为:①流体的输送研究流体的流动规律以便进行管路的设计、输送机械的选择及所需功率的计算。

②压强、流速及流量的测量为了了解和控制生产过程，需要对管路或设备内的压强、流量及流速等一系列的参数进行测量，这些测量仪表的操作原理又多以流体的静止或流动规律为依据的。

③为强化设备提供适宜的流动条件化工生产中的传热、传质过程都是在流体流动的情况下进行的。

设备的操作效率与流体流动状况有密切的联系。

因此，研究流体流动对寻找设备的强化途径具有重要意义。

本章将着重讨论流体流动过程的基本原理及流体在管内的流动规律，并运用这些原理及规律来分析和计算流体的输送问题。

第二节流体静力学方程流体静力学是研究流体在外力作用下处于平衡的规律。

本节只讨论流体在重力和压力作用下的平衡规律。

§1.2.1流体的密度和比容1、流体的密度：单位体积的流体所具有的质量。

/m V ρ=∆∆当V ∆趋近于零时，/m V ∆∆的极限值为流体内部某点的密度，可以写成：0limV mVρ∆→∆=∆各种流体的密度可以从物理化学手册和有关资料中查得。

气体具有可压缩性及膨胀性，故其密度随温度及压强而变化，因此对气体密度必须标出其所处的状态。

从手册中查出的气体密度是某指定状态下的数值 ，应用时一定要换算到操作条件下的数值。

流体的连续性方程流体力学是关于流体力学与流动的规律和性质的科学。

在流体的运动过程中，流体的密度和速度都会发生变化。

为了描述这种变化，我们引入了连续性方程，它是流体力学中的重要基本方程之一。

连续性方程是描述流体质量守恒的方程。

它基于以下几个假设：假设流体是连续均匀的，假设流体是非可压缩的，假设流体在稳态流动过程中质量不会减少或增加。

基于这些假设，我们可以得到流体的连续性方程。

在流体力学中，流体的连续性方程可以表示为以下形式：∇·ρv+A=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∇·是散度运算符，A 是质量流量。

连续性方程的物理意义是流体的质量在单位时间内的净流入或流出量等于单位时间内质量积累的速率。

在实际应用中，根据具体问题的不同，连续性方程可以具体表达为不同的形式。

下面将介绍几个常见的连续性方程的应用。

1. 理想流体的连续性方程理想流体是指当流体受到外力作用时不发生黏性耗散的流体。

在理想流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在理想流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。

2. 不可压缩流体的连续性方程不可压缩流体是指密度在流动过程中可以忽略变化的流体。

在不可压缩流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在不可压缩流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。

不过需要注意的是，不可压缩流体的连续性方程只能描述速度场的分布，而不能描述流体密度的变化。

3. 积分形式的连续性方程连续性方程还可以表示为积分形式。

在空间中的一个任意闭合曲面S上，流体质量的净流出量等于质量积累的速率，即可以表示为以下积分形式：∮S ρv·n dS = -d/dt ∭V ρ dV其中，S是曲面的边界，n是法向量，V是曲面所包围的体积，∮和∭分别表示曲面和体积的积分。

流体力学知识重点流体连续介质模型：可以认为流体内的每一点都被确定的流体质点所占据，其中并无间隙，于是流体的任一物理参数（）都可以表示为空间坐标跟时间的连续函数（），而且是连续可微函数，这就是流体连续介质假说，即流体连续介质模型。

流体的力学特性1，流动性：流体没有固定的形状，其形状取决于限制它的固体边界，流体在受到很小的切应力时，就要发生连续的变形，直到切应力消失为止。

2，可压缩性：流体不仅形状容易发生变化，而且在压力作用下体积也会发生变化。

3，粘滞性：流体在受到外部剪切力作用发生连续变形，即流动的过程中，其内部相应要发生对变形的抵抗，并以内摩擦的形式表现出来，运动一单停止，内摩擦即消失。

牛顿剪切定律：流体层之间单位面积的内摩擦力与流体变形速率（速度梯度）成正比（）无滑移条件：流体与固体壁面之间不存在相对滑动，即固体壁面上的流体速度与固体壁面速度相同，在静止的固体壁面上，流体速度为零。

理想流体：及粘度（）的流体，或称为无黏流体表面张力：对于与气体接触的液体表面，由于表面两侧分子引力作用的不平衡，会是液体表面处于张紧状态，即液体表面承受有拉伸力，液体表面承受的这种拉伸力称为表面张力。

表面张力系数：液体表面单位长度流体线上的拉伸力称为表面张力系数，通常用希腊字母（）表示，单位（）毛细现象：如果将直径很小的两只玻璃管分别插入水和水银中，管内外的液位将有明显的高度差，这种现象称为毛细现象，毛细现象是由液体对固体表面的润湿效应和液体表面张力所决定的一种现象。

毛细现象液面上升高度（）牛顿流体：有一大类流体，他们在平行层状流动条件下，其切应力（）与速度梯度（）表现出线性关系，这类流体被称为牛顿型流体，简称牛顿流体。

描述流体运动的两种方法1，拉格朗日法：通过研究流体场中单个质点的运动规律，进而研究流体的整体运动规律，这一种方法称为拉格朗日法2，欧拉法：通过研究流体场中某一空间点的流体运动规律，进而研究流体的整体运动规律，这一种方法称为欧拉法迹线：流体质点的运动轨迹线曲线称为迹线流线：流线是任意时刻流场中存在的一条曲线，该曲线上流体质点的速度方向与其所在点处曲线的切线方向一致。

基于连续性假设流体的物理参数特效
1、流体质点
流体是由大量分子组成的，所谓流体质点就是指微观充分大（其中包含大量分子），宏观充分小的分子团。

并且分子图的尺寸远远小于被研究流体所占据的空间，即认为此分子团内的物理量是均匀不变的，因而可近似地把这个分子团看作是几何上的一个点，即流体质点。

2、流体的连续性假设
连续假设由瑞士学者欧拉提出。

任何种类的流体，从微观角度看，并不是连续分布的物质，而均是由无数分子组成的。

由于分子之间总是存在间隙，故流体的物理量在空间是非连续分布。

但是，由于分子与分子之间的距离比工程中被研究流体所占空间的尺寸远小的多。

因此我们在研究宏观的流体流动时不考虑流体分子之间的间隙，而将流体看作是由无数流体质点连接地，无空隙地充满的介质，这称为连续介质假设（由于实际上流体分子之间是有间隙的，并非连续分布的介质，所以叫做假设）。

连续假设是流体力学中第一个带有根本性假设，正是有了连续假设，才可以将一个微观问题化作宏观问题来处理，从而可利用数字分析中连续函数这个工具来研究流体的运动和平衡规律。

也正是由于有了连续假设，流体的各个物理量才可以看作是空间和时间的连续函数。

无滑移理论的假设及特点无滑移理论（即理想流体理论）是流体力学中的一种假设，用于分析流体在运动过程中无内部滑移的特性。

它假设流体是无黏性的，即没有内部摩擦力，不会产生能量损耗，整个流体可看作是连续的、不可分割的流体粒子。

本文将详细介绍无滑移理论的假设和特点，使读者对其有更深入的理解。

1.无黏性：无滑移理论假设流体无内部摩擦力，即无黏性。

在实际流体中，粘性是流体内部分子之间相互作用的结果，它会导致流体粒子间发生相对运动，产生摩擦力。

但在无滑移理论中，假设流体是无黏性的，这样可以简化流体力学方程的求解过程。

2.连续性：无滑移理论假设流体是连续的，即整个流体无论在宏观还是微观上都可看作是连续的流体粒子。

这意味着在无滑移理论中，流体的物理量是空间上连续变化的，没有间断或离散的点。

3.恒定密度：无滑移理论假设流体的密度是恒定的，即不随流体运动而变化。

在实际流体中，流体密度可能会因为流体的压缩或膨胀而发生变化，但在无滑移理论中，为了简化计算过程，假设流体的密度是恒定的。

4.理想流体：无滑移理论假设流体是理想流体，即假定流体不存在温度、表面张力等因素的影响，流体粒子间的相互作用仅受流体压力的影响。

1.数学简化：无滑移理论假设流体是无黏性、连续性、恒定密度且为理想流体，这些假设简化了流体力学方程的求解过程。

通过这些假设，可以将流体的运动描述为一个简单的数学模型，使得计算和分析流体流动的问题更加方便和快捷。

2.适用范围：无滑移理论适用于流体流动速度较大，流动过程中黏性效应相对较小的情况。

在这些条件下，黏性可以被忽略，流体可以被假设为无黏性流体。

无滑移理论在航空航天、液体输送等领域得到广泛应用，在这些应用中，流体流动速度较大，而黏性效应较小，因此无滑移理论可以提供较为准确的结果。

3.流体流动特性：根据无滑移理论，流体流动过程中，每个流体粒子都具有相同的流动速度和流体压力。

这意味着在其中一点上的流体粒子之间不存在相对滑动，它们始终保持紧密相连的状态。

流体连续介质假设
流体连续介质假设是洪水理论中的一项基本假设，它将河流和海洋看作是连续、透明、无限的介质。

它指出，在河面上和海面上，流体的运动都遵循一定的定律，如流体在流动的时候会向容积最大的方向流动，并且以同样的速度流动，又指出流体会在流动的过程中互相平衡。

根据这一假设，海洋和河流是不断发生变化的介质，它们的深度、形状以及流量都可能发生变化。

因此，采用科学的测量和统计方法，可以根据这一假设来预测海洋和河流的变化趋势。

此外，这一假设也定义了流场，即流体运动所受到的各种外力，如热传导、湍流等。

根据这一假设，流体是一个具有复杂结构的系统，其流体运动现象是由多方面因素共同影响的，而不是单一影响的。

总之，流体连续介质假设是河流和海洋运动的基本假设，它为流体运动的研究提供了良好的分析框架。

通过对它的分析，我们可以提出有效的控制海洋和河流变化的策略，从而获得良好的人类生活和可持续发展环境。

2.2 流动流体的基本规律2.2.1 流动的基本概念流体和连续性假设流体是气体和液体的统称。

气体和液体的共同点是不能保持一定形状，具有流动性；而其不同点表现在液体具有一定的体积，几乎不可压缩；而气体可以压缩。

当所研究的问题并不涉及到压缩性时，所建立的流动规律，既适合于液体也适合于气体，通常称为流体力学规律；此时通常不明确区分气体和液体而泛称为流体。

当计及压缩性时，气体和液体就必须分别处理。

空气是由分子构成，在标准状态下（即在气体温度15℃、一个大气压的海平面上），每一立方毫米的空间里含有2.7×1016个分子。

空气分子的自由行程很小，大约为6×10-6cm。

当飞行器在这种空气介质中运动时，由于飞行器的外形尺寸远远大于空气分子的自由行程，故在研究飞行器和大气之间的相对运动时，空气分子之间的距离完全可以忽略不计，即把空气看成是连续的介质。

这就是空气动力学研究中常说的连续性假设。

随着海拔高度的增加，空气的密度越来越小，空气分子的自由行程越来越大。

当飞行器在40km以下高度飞行时，可以认为是在稠密大气层内飞行，这时空气可看成连续的。

在120~150km高度上，空气分子的自由行程大约与飞行器的外形尺寸在同一个量级范围之内；在200km高度以上，气体分子的自由行程有好几千米。

在这种情况下，大气就不能看成是连续介质了。

运动的转换在空气动力学中，为了简化理论和试验研究，广泛采用运动的转换原理运动的转换原理，是根据加利略所确定的运动的相对原理而建立的。

相对原理，即如果在一个运动的物体系上附加上一个任意的等速直线运动，则此附加的等速直线运动并不破坏原来运动的物体系中各物体之间的相对运动，也不改变各物体所受的力。

利用运动的转换原理，使问题的研究大为简化。

设飞机以速度v∞在静止空气中运动(图2.2.1)，根据相对原理，可以给该物体系(飞机与周围空气)加上一个与速度v∞大小相等方向相反的速度。

这样得到的运动是，飞机静止不动，无穷远处气流以速度v∞流向飞机。

流体力学连续性假设的尺度效应是指流体力学连续性假设在不同尺度下的表现。

流体力学连续性假设是指流体的运动是连续的，也就是说，流体的任何一点都可以由它的周围点推导出来。

这一假设是流体力学研究的基础，也是流体力学模型的前提条件。

它的尺度效应是指，在不同的尺度下，流体力学连续性假设的表现也不尽相同。

尺度效应主要受到流体力学参数的影响，这些参数包括流体密度、粘度、压强等，它们在不同尺度下的变化情况也不尽相同。

例如，在微尺度下，流体力学参数可能会受到空气动力学和热力学的影响，而在宏观尺度下，可能会受到流体动力学和热力学的影响。

此外，流体力学连续性假设的尺度效应还受到流体的湍流程度的影响，在湍流流动中，流体的参数可能会有很大的变化，因此，湍流流动中流体力学连续性假设的表现也可能会有所不同。

另外，由于流体力学连续性假设是流体力学研究的基础，因此，它的尺度效应也会影响流体力学模型的准确性。

例如，在微尺度下，流体力学参数可能会受到空气动力学和热力学的影响，这将导致流体力学模型的精度降低。

此外，由于湍流流动中流体力学参数的变化，流体力学模型的准确性也会受到影响。

因此，流体力学连续性假设的尺度效应不容忽视，在流体力学研究和模型建立过程中，需要考虑尺度效应，以便得到更准确的结果。