高中数学 换元法(附答案)

高中数学解题基本方法--换元法高中数学解题基本方法--换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x＋y＝r（r 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t 0和α∈[0,]。

Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设 f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则 f x 的值域是_______________。

高中换元法专题(有答案)通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.一、整体换元例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.练习1. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx ·cosx －2a 2的最大值和最小值。

练习2. 设对所于有实数x ，不等式x 2log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +1422>0恒成立，求a 的取值范围。

例2.已知01x <<,,a b 为正常数,求221a b y x x=+-的最小值.练习1. 已知a b c >>,求证:114a b b c a c+≥---.练习2. 求函数28(1)1x y x x +=≠-的值域.二、三角换元例3：求函数25x x y -+=的值域.三、平均数换元法例4：已知正数1125,1,:()().4x•y x y x y x y +=++≥满足求证练习3． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cos A C -2的值。

四、比值换元例5：已知sin θx ＝cos θy ，且cos 22θx ＋sin 22θy ＝10322()x y + (②式)，求x y 的值。

练习4.已知x ，y ，z 满足x -1=3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？五、根式换元例6：求函数y =2x +x 21-的值域.六、巩固性题组：1. 已知f(x 3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。

知识点练习一、填空题1. 求函数的解析式：（1）已知，则．（2）已知，则．2. 设实数，，，满足，则的取值范围是．3. 已知函数，则的解析式为．4. 若函数，则的解析式为．5. 函数满足，则．6. 函数的值域是．7. 已知，则．8. 若，则的解析式为．9. 方程的解是．10. 对于问题："已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式 "，给出如下一种解法：参解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为．参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．11. 设，则函数的值域是．12. 为正实数，且，则的最大值为．13. 函数，其中，则其值域为．14. 已知的三边长，，满足，，则的取值范围为．15. 如图，矩形中，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为．16. 正方形的四个顶点分别是、、、，点在正方形内，且点到各边的距离的平方和为，并与直线的距离最短，则点坐标是．17. 在三角形中，，，，点，分别在边，上，且，则的最大值为．18. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为．19. 已知，，满足则的最大值为．20. 已知正数满足：，，则的取值范围是．二、解答题21. 已知，则．已知，则．22. 求下列函数的值域(1) ；(2)23. 求函数的最小值．24. 函数，求在上的最小值．25. 若有最大值和最小值，求实数，的值．26. 学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为元，用电炉烧开水每吨开水费为元，，．其中为毎吨煤的价格，为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉使用煤炭烧水，否则就用电炉烧水．(1)如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；(2)如果每百度电价不低于元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？27. 已知点是圆上任意一点．(1)求点到直线的距离的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值．28. 已知函数有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点．29. 已知，求．30. 若函数且在上的最大值为，求的值．31. 已知实数满足，求的最小值．32. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线过点且与椭圆相交于、两点，当面积取得最大值时，求直线的方程．33. 一动圆与圆：外切，与圆：内切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设过圆心的直线：与轨迹相交于，两点，请问（为圆的圆心）的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．34. 函数，．(1)若，求的最大值；(2)设时，若对任意，都有恒成立，且的最大值为，求的表达式．35. 已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于，两点，且，(1)求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆交于不同的两点，，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．36. 知函数，实数，满足，设，．(1)当函数的定义域为时，求的值域；(2)求函数关系式，并求函数的定义域；(3)求的取值范围．37. 已知，，且，求证：．38. 已知函数的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式；(2)根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．39. 已知函数在处取得极值．(1)求的值；(2)当时，求证：．40. 已知椭圆，过作互相垂直的两直线，，分别与椭圆交于，两点．(1)若直线经过点，求线段的长；(2)求面积的最大值．答案第一部分1 （1）；（2）234567891011121314151617181920第二部分21 ；22 (1) 设，则，且．于是．由，得的值域为．(2) 令，则，．所以．因为，所以．所以原函数的值域为．23 设，所以因为当时，函数递增，所以，函数的最小值为24 令，则．，，，即在上的最小值为．25 ．令，，则，的对称轴为．①当时，函数在为减函数，，，解得：，．②当时，函数在为增函数，，，，．③当时，．（i）当时，．解得：，与矛盾；（ii）当时，．解得：，与矛盾．综合上述：，或，．26 (1) 依题意，得，即．(2) 由，得．不妨令，则，则．因为，所以，即．所以当时，，此时．答：每吨煤的最高价为元．27 (1) 圆心到直线的距离为．所以点到直线的距离的最大值为，最小值为．(2) 设，则直线与圆有公共点．所以．所以．所以，．即的最大值为．最小值为．(3) 设，则直线与圆有公共点，所以．所以．所以，．即的最大值为，最小值为．28 因为有且仅有一个零点，所以方程仅有一个实根．设，则方程仅有一个正根．当时，即，当时，；时，（不合题意，舍去），所以，解得，符合题意．当时，即或时，方程有两正或两负根，即有两个零点或没有零点，此时不适合题意．综上，时，有唯一零点，且该零点为．29 设，则，所以所以30 令，则，该二次函数在上是增函数．①若，，故当时，，解得（舍去）．②若，，故当时，．所以或（舍去）．综上可得或．31 可将改写为，令，可得，，，则．因为，所以，当时，，所以的最小值为．32 (1) 设椭圆的方程为（）．由题意，得所以所求椭圆的方程为．(2) 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．由消去，得．由直线与椭圆相交于两点，得，解得．设，，则，．原点 到直线 的距离为 ．所以．令 ，则． 当且仅当，即 时，． 此时从而直线 的方程为．33 (1) 设动圆圆心为 ，半径为 ．由题意，得 ， ， 所以 ．由椭圆定义知 在以 ， 为焦点的椭圆上，且 ， ， 所以 ． 于是动圆圆心 的轨迹 的方程为．(2)如图，设 内切圆 的半径为 ，与直线 的切点为 ，则三角形 的面积当 最大时， 也最大， 内切圆的面积也最大． 设 ， ，则．由得 ， 解得，．所以．令 ，则，且 ，从而．令，则．当时，，在上单调递增，则有，从而，即当，时，有最大值，即得，这时所求内切圆的面积为，所以存在直线：，的内切圆的面积最大值为．34 (1) 令，，则，所以等价于求，的最大值．因为，的图象的对称轴为，结合函数图象可知故的最大值为．(2) 令，则，由恒成立可得，，．因为，所以，而，所以，即，所以．又时，，所以，结合可知二次函数的图象的顶点坐标为，所以，，所以．35 (1) 设椭圆方程为，由焦点坐标可得．由，可得，解得故椭圆方程为．(2) 设，，设的内切圆的径，则的周长为，．因此最大，就最大．由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，得则令，则，则当且仅当，时，，所以，这时所求内切圆面积的最大值为．36 (1) 若，令，在上为增函数，，，所以的值域为．(2) 实数，满足，则则，而，，所以，．由题意，，则，所以．又，即，所以，当且仅当时取等号．综上所述，的定义域为．(3)令，，在上恒成立，所以在上单调递增．又，，所以，所以．37 ，可设，则，，又，且，而指数函数是减函数，所以，即注：式“ ”当，时成立．同理，并结合式，得（当且仅当或时取“ ”）38 (1) 的最小正周期为，由，得．又由解得由，即，解得，所以．(2) 由的周期为及，得．令，由，得．如图所示，若在上有两个不同的解，则，所以方程当时恰好有两个不同的解，则，因此，实数的取值范围是．39 (1) 由已知，得．由在处取得极值，得，即，解得．经验证，得适合题意．(2) 由（1）知，．令，则．令，则．令，则．当时，，则函数在上为增函数；当时，，则函数在上为减函数，所以，即对任意，恒成立，即．由，得当时，由得．当时，以代换式中的，得．当时，，由得，，所以，从而函数在上为增函数，于是，当时，，即当时，．再由，得，则函数在上为增函数，所以当时，，即当时，，因此．40 (1) 不妨设的方程为，则的方程为．由得，从而．同理可得．直线的斜率为．由点斜式，得的方程为，即，从而直线过定点．又因为直线过，所以直线的方程为．由得．由弦长公式，得(2) 由（1），得，．由弦长公式，得于是令，则当且仅当时，面积的最大值为．。

换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,π2]。

一、再现性题组：1.y＝sinx²cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。

Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x 2＋1)＝log a (4－x 4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

⾼中数学解题基本⽅法换元法⾼中数学解题基本⽅法换元法解数学题时，把某个式⼦看成⼀个整体，⽤⼀个变量去代替它，从⽽使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，⽬的是变换研究对象，将问题移⾄新对象的知识背景中去研究，从⽽使⾮标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法⼜称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化⾼次为低次、化分式为整式、化⽆理式为有理式、化超越式为代数式，在研究⽅程、不等式、函数、数列、三⾓等问题中有⼴泛的应⽤。

换元的⽅法有：局部换元、三⾓换元、均值换元等。

局部换元⼜称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式⼏次出现，⽽⽤⼀个字母来代替它从⽽简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），⽽变为熟悉的⼀元⼆次不等式求解和指数⽅程的问题。

三⾓换元，应⽤于去根号，或者变换为三⾓形式易求时，主要利⽤已知代数式中与三⾓知识中有某点联系进⾏换元。

如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三⾓函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，⼜有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三⾓代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三⾓问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。

我们使⽤换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，⼀定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩⼩也不能扩⼤。

如上⼏例中的t>0和α∈[0,π2]。

Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最⼤值是_________。

二、换元法（课时10）一、知识提要解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等. 二、例题讲解例1．（1）已知：x xf lg )12(=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22(log )12(log 122=+⋅++x x的解集是______________.解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ；（2）设k y x =+，则1044,01222≥⇒≥-=∆=+-k k kx x 或1-≤k ； （3）令)12(log 2+x=t ，可得原方程的解集为}0{.例2．（1）函数223)1(x x x y +-=的值域是_____________.(2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式.解：（1）令θta n =x ，)2,2(ππθ-∈，则θθθθθθsi n )ta n 1(cos )ta n 1(ta n ta n 23223-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22=⋅=-=， ∴]41,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ，∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n∵11=a ，52=a ，∴31=b ，123-⨯=n n b ，即n n n a a 22311+⨯=-+.两边除以12+n 得：432211=-++n n n n a a ，令nn n a c 2=，则有431=-+n n c c ， ∴)13(41-=n c n ，代入nn n a c 2=得： 22)13(-⋅-=n n n a .例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求m a x1s ＋m in1s 的值.（93年全国高中数学联赛题）方法1：设⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝α2sin 5810- ；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ 1013≤1085-sin α≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法2：由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝2s ＋t ，y 2＝2s－t ，t ∈[－S 2，S 2]，则224t s xy －±=代入①式得：4S ±5224t s －=5， 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 . ∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法3：（和差换元法）设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103]，再求m ax1s ＋m in1s 的值.三、同步练习1．x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值是__12＋2___.2．已知数列}{n a 中，n n n n a a a a a -=⋅-=++111,1a 1＝－1，则数列通项n a ＝_____n1____. 3．已知x 2＋4y 2＝4x ，则x ＋y 的范围是_____]25,25[---______.4．设等差数列}{n a 的公差21=d ，且145100=s ，则99531a a a a ++++ 的值为（C ）A. 85B. 72.5C. 60D. 52.5 5．已知0,0≥≥b a ，1=+b a ，则a +12＋b +12的范围是__]2,226[+__. 6．函数12++=x x y 的值域是_____),2[+∞-_____.7．已知正四棱锥ABCD S -的侧面与底面所成的角为β，相邻两侧面所成的角为α 求βα2cos cos +的值.解答：08．如图，已知椭圆1925:22=+y x C ，圆∈=+P y x O ,4:22椭圆C 而PA 、PB 是圆O 任意切线，A 、B 为切点. （1）求AB 中点M 的轨迹方程；（2）设AB 所在直线交x 轴于C ，交y 轴与D ，求COD S ∆的最小值.解：（1）)(225)169(162222y x y x +=+；（2）1516)(min =∆COD S .情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在x6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。

高中数学换元法例解解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0）时，则可作三角代换x ＝rcosθ、y ＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S2－t 等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,π2]。

Ⅰ、再现性题组：1.y ＝sinx·cosx＋sinx+cosx 的最大值是_________。

换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。

Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

高中数学解题基本方法——换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,π2]。

Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx²cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。