高中数学期末测试题及答案参考

安徽高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的内角的对边分别为，若，则边等于（）A．B．C．D．22.在中，内角的对边分别是，若，，则为（）A．B．C．D．3.各项均为正数的等比数列，其前项和为.若，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．4.已知数列的通项为，则数列的前项和（）A．B．C．D．5.设是公差不为零的等差数列的前n项和，且，若，则当最大时，n=（）A．6B．7C．10D．96.某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．B．C．D．7.设，若是和的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．8.大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是，则此数列第项为（）A．B．C．D．9.已知等差数列的前项和为，若三点共线，为坐标原点，且（直线不过点），则等于（）A．B．C．D．10.已知，一元二次不等式对于一切实数恒成立，由又，使，则的最小值为（）A．B．C．D．11.若实数，且满足，则的大小关系是（）A．B．C．D．12.若则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量满足，且，则向量与夹角余弦值为__________．2.在中，角的对边分别是且，若的面积，则的值为__________．3.半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____.4.设等比数列满足公比，，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为．三、解答题1.请推导等比数列的前项和公式.2.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，（1）若方程有两个相等的实根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求的取值范围．3.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若sinAsinC＝，求C．5.已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为.（1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积.6.设数列的前项和为，已知.（1）求的值，若，证明数列是等差数列；（2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意且，都有成立，求的最大值.安徽高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.的内角的对边分别为，若，则边等于（）A ．B ．C ．D ．2【答案】C【解析】根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知故答案为C.【考点】解三角形点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。

陕西高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角为（）A．；B．；C．；D．2.正方体中，直线与所成的角为（）A．30o B．45o C．60o D．90o3.在空间直角坐标系中，点A(1，－2，3)与点B(－1，－2，－3)关于( )对称A．x轴B．y轴C．z轴D．原点4.圆：与圆：的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．相离5.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为()A．4B．8C．8D．86.一个圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．7.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④8.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A．B．2C．D．29.入射光线沿直线射向直线：，被直线反射后的光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．10.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．B．C．D．二、填空题1.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．2.已知三点A（3，1），B（-2，m），C（8，11）在同一条直线上，则实数m等于______．3.为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为________．4.如果球的内接正方体的表面积为，那么球的体积等于________．5.当直线y＝k(x－2)＋4和曲线y＝有公共点时，实数k的取值范围是________．三、解答题1.已知直线和直线,分别求满足下列条件的的值.(1) 直线过点,并且直线和垂直；(2)直线和平行, 且直线在轴上的截距为 -3．2.如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD.△FBC中BC边上的高FH=2，EF=. 求该多面体的体积.3.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N 分别是棱AD、PC的中点．求证：（1）DN// 平面PMB；（2）平面PMB平面PAD．4.已知以点A（m，）（m∈R且m&gt;0）为圆心的圆与x轴相交于O，B两点，与y轴相交于O，C两点，其中O为坐标原点．（1）当m=2时，求圆A的标准方程；（2）当m变化时，△OBC的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设直线与圆A相交于P，Q两点，且 |OP|=|OQ|，求 |PQ| 的值．陕西高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线的倾斜角为（）A．；B．；C．；D．【答案】C【解析】由直线方程可知直线的斜率，选C.2.正方体中，直线与所成的角为（）A．30o B．45o C．60o D．90o【答案】C【解析】连结，由正方体的性质可得，所以直线与所成的角为,在中由正方体的性质可知，，选C.点睛：由异面直线所成角的定义可知求异面直线所成角的步骤：第一步，通过空间平行的直线将异面直线平移为相交直线；第二步，确定相交直线所成的角；第三步，通过解相交直线所成角所在的三角形，可求得角的大小.最后要注意异面直线所成角的范围是.3.在空间直角坐标系中，点A(1，－2，3)与点B(－1，－2，－3)关于( )对称A．x轴B．y轴C．z轴D．原点【答案】B【解析】由两点坐标可知线段的中点坐标为，该点在轴上，所以两点关于轴对称，选B.4.圆：与圆：的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．相离【答案】A【解析】圆方程变形为，圆心，圆方程变形为，圆心，，所以两圆内切，选A.点睛：判断两圆的位置关系需要通过判断圆心距与半径的大小关系来确定，如：圆的半径为，圆的半径为，两圆心的距离为，若有，则两圆相离；若有，则两圆外切；若有，则两圆相交；若有，则两圆内切；若有，则两圆内含.5.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为()A．4B．8C．8D．8【答案】D【解析】由斜二测画法可知原图形为平行四边形，平行四边形在轴上的边长为2，平行四边形的高为直观图中对角线长的2倍，所以原平面图形的面积为，选D.6.一个圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为底面圆的周长，所以面积为，选C.7.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【答案】D【解析】①对这两条直线缺少“相交”这一限制条件，故错误；③中缺少“平面内”这一前提条件，故错误．【考点】空间中线面的位置关系的判定．8.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A．B．2C．D．2【答案】D【解析】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2-4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，再由：d2+(l /2 )2=r2，得：l=2，故选D．9.入射光线沿直线射向直线：，被直线反射后的光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线上取一点，该点关于直线的对称点为，直线与直线交点坐标为，所以反射光线过点，由两点可知斜率为，∴所求的直线方程为,即.选B.点睛：本题通过光线的反射考察直线关于直线的对称问题，对称问题的中心点是点的对称，因此可求入射光线上的点关于直线的对称点，其对称点必在反射光线上，进而通过反射光线过的点求得直线方程，此外还可利用入射光线，反射光线与直线的夹角相同，通过直线的夹角公式求解反射光线所在直线的斜率.10.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．B．C．D．【答案】A【解析】设球的半径为，所以球心到截面圆的距离为，所以截面圆的半径为，所以截面圆的面积为，球的表面积为，因此面积比为，选A.二、填空题1.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．【答案】【解析】已知正三棱柱的主视图的底边长为，正三棱柱的主视图面积为，所以该正三棱柱的高为.因为正三棱柱的底面为边长为的正三角形，所以左视图的底边长为，所以左视图的面积为.2.已知三点A（3，1），B（-2，m），C（8，11）在同一条直线上，则实数m等于______．【答案】【解析】由三点共线可知直线的斜率相等，结合斜率公式可得.点睛：关于三点共线问题有以下求解方法：方法一：三点共线，则由三点确定的直线中，任意两直线的斜率相等，由此可建立关于的等式关系；方法二：三点共线，则由三点确定的向量共线，因此得到向量坐标间的关系式，可求得的值；方法三：由点的坐标可求得直线的方程，将点的坐标代入直线方程可求得的值.3.为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为________．【答案】【解析】由圆的方程可知圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，结合圆的对称性可求得圆上的动点到直线的最大距离为.点睛：本题中当直线与圆相离时求解圆上的动点到直线的距离是直线与圆的章节中常考的知识点，求解时可结合圆的对称性可先求圆心到直线的距离，进而得到所求距离的最大值为，距离的最小值为.4.如果球的内接正方体的表面积为，那么球的体积等于________．【答案】【解析】由正方体的表面积为24可知边长为2，所以正方体的体对角线为，即球的直径为，所以.点睛：球与正方体的结合考查，常见的结合形式有三种：形式一：球与正方体六个面都相切，即球为正方体的内切球，此时球的直径等于正方体的边长；形式二：球与正方体的12条棱都相切，此时球的直径为正方体的面对角线；形式三：球过正方体的8个顶点，即球为正方体的外接球，此时球的直径为正方体的体对角线.5.当直线y＝k(x－2)＋4和曲线y＝有公共点时，实数k的取值范围是________．【答案】【解析】曲线变形为，直线为过定点的直线，结合图形可知直线与圆相切（切点在第二象限）时，斜率取得最小值，此时的满足到的距离为圆的半径，所以，所以实数的取值范围是.三、解答题1.已知直线和直线,分别求满足下列条件的的值.(1) 直线过点,并且直线和垂直；(2)直线和平行, 且直线在轴上的截距为 -3．【答案】(1);(2)【解析】(1)由直线过点，可将点的坐标代入直线方程得到的关系式，由垂直可得到两直线方程系数的关系，即的关系式，解方程组可求得的值； (2)由平行可得到系数满足，由的截距可得到，解方程组可求得的值.(1)由已知得,解得；(2)由已知得，解得．2.如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD.△FBC中BC边上的高FH=2，EF=. 求该多面体的体积.【答案】【解析】由已知多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF与面AC的距离为2，将几何体补成三棱柱,我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可.将几何体补成三棱柱,如图所示：多面体中，平面FBC⊥平面ABCD，且AB⊥BC，故AB⊥平面FBC.∵EF∥AB，∴EF⊥平面FBC，即GF⊥平面FBC.∵△FBC中BC边上的高FH=2，平面ABCD是边长为3的正方形，EF=，∴三棱锥E-ADG的体积为，∴原几何体的体积为.3.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N 分别是棱AD、PC的中点．求证：（1）DN// 平面PMB；（2）平面PMB平面PAD．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【解析】（1）要证明DN//平面PMB，只要证明DN// MQ；（2）要证明平面PMB平面PAD，只要证明MB平面PAD.（1）证明：取中点，连结、，因为分别是棱中点，所以////，且，所以四边形是平行四边形，于是//．.（2），又因为底面是,边长为的菱形，且为中点，所以.又，所以.4.已知以点A（m，）（m∈R且m&gt;0）为圆心的圆与x轴相交于O，B两点，与y轴相交于O，C两点，其中O为坐标原点．（1）当m=2时，求圆A的标准方程；（2）当m变化时，△OBC的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设直线与圆A相交于P，Q两点，且 |OP|=|OQ|，求 |PQ| 的值．【答案】（1）；（2）的面积为定值;(3)【解析】（1）由可求得圆心坐标，由的值可求得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）由圆的方程可求得两点坐标，将面积转化为用两点坐标表示，可得其为定值；（3）由|OP|=|OQ|可得点O在线段PQ的垂直平分线上，结合圆心也在线段PQ的垂直平分线上，从而可得，由此可求得的值，即求得圆心坐标，结合直线与圆相交的弦长问题可求得的值.（1）当时，圆心的坐标为，∵圆过原点，∴，则圆的方程是；（2）∵圆过原点，∴=，则圆的方程是，令，得，∴；令，得，∴，∴, 即：的面积为定值；（3）∵，∴垂直平分线段，∵，∴，∴，解得 .∵已知，∴，∴圆的方程为．，此圆与直线相交于两点，.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = √(x - 1)B. g(x) = |x|C. h(x) = 1/xD. k(x) = √(x^2 - 4)2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 1B. -1C. 3D. -33. 下列各对点中，与点P(2,3)关于直线y=x对称的是（）A. A(3,2)B. B(2,4)C. C(4,2)D. D(3,3)4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则sinB 的值为（）A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/55. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在6. 下列各对数函数中，单调递减的是（）A. y = 2^xB. y = log2(x)C. y = 3^xD. y = log3(x)7. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，则数列{an}的前n项和S_n 为（）A. n(n-1)(n-2)/3B. n(n+1)(n-2)/3C. n(n-1)(n+2)/3D. n(n+1)(n+2)/38. 已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若S_5 = 50，公差d=2，则数列{an}的第六项a_6为（）A. 16B. 18C. 20D. 229. 下列各不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + 1 < 0B. |x| > 1C. x^2 - 1 > 0D. x^2 + 1 > 010. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得极小值，则a、b、c应满足的关系式是（）A. a > 0, b = 0, c > 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c ≠ 0D. a < 0, b ≠ 0, c ≠ 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为______。

安徽高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.一中学有90个班，每班60人，若每班选派3人参加“学代会”，则在这个问题中，样本容量是( )A．90B．60C．270D．1802.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ( )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为 ( )A．8,8B．5,8C．5,5D．2,54.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为 ( )A．18B．36C．54D．725.在区间上随机取一个数，的值介于到1之间的概率为 ( )A．B．C．D．6.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7.按如下程序框图，若输出结果为，则判断框内应补充的条件为( )A．B．C．D．8.已知圆的半径为2，圆的一条弦的长是3，是圆上的任意一点，则的最大值为 ( ) A．9B．10C．D．9.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为 ( )A．B．C．D．10.如图所示为函数的部分图象，其中两点之间的距离为5，那么( )A．B．C．1D．11.已知直线与圆交于两点，且，其中为原点，则实数的值为( )A．2B．C．2或D．或12.已知函数的图象与直线有三个交点的横坐标分别为，那么的值是 ( )A．B．C．D．二、填空题1.若向量，则__________．2.从集合的所有子集中任取一个集合，它含有2个元素的概率为__________．3.的夹角为，，则__________．4.设当时，函数取得最小值，则__________．三、解答题1.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（1）求频率分布图中的值，并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（2）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．．2.一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如表所示：（1）作出散点图；（2）如果与线性相关，求出回归直线方程.（3）若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个,那么,机器的运转速度应控制在什么范围内?附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，3.设函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值.4.在边长为3的正中，设.（1）用向量表示向量，并求的模；（2）求的值；（3）求与的夹角的大小.5.已知均为锐角，满足，求.6.已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.安徽高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.一中学有90个班，每班60人，若每班选派3人参加“学代会”，则在这个问题中，样本容量是( )A．90B．60C．270D．180【答案】C【解析】由题意，是一个分层抽样，每个班中抽三人，总共是40个班，故共抽取120人组成样本,所以，样本容量是120人故选C．2.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ( )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【答案】C【解析】甲＝（4＋5＋6＋7＋8）＝6，乙＝（5×3＋6＋9）＝6，甲的成绩的方差为（22×2＋12×2）＝2，乙的成绩的方差为（12×3＋32×1）＝2.4.故选C.【考点】统计中的平均数、中位数、方差、极差及条形图3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为 ( )A．8,8B．5,8C．5,5D．2,5【答案】B【解析】乙组数据平均数=(9+15+18+24+10+y)÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27.所以中位数为：10+x=15，∴x=5.故选：C.4.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为 ( )A．18B．36C．54D．72【答案】B【解析】每一组的频率等于本组矩形的面积，所以的面积是，所以这组的频数就是，故选A.【考点】频率分布直方图5.在区间上随机取一个数，的值介于到1之间的概率为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】在区间[−1,1]上随机取一个数x，即x∈[−1,1]时,要使的值介于到1之间，需使∴,区间长度为，由几何概型知的值介于到1之间的概率 .故选A.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由题意得，，则的图象向左平移个单位长度即可得到函数，故选A.7.按如下程序框图，若输出结果为，则判断框内应补充的条件为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】经过第一次循环得到S=2，i=3经过第二次循环得到S=2+23=10，i=5经过第三次循环得到S=10+25=42，i=7经过第四次循环得到S=42+27=170，i=9此时，需要输出结果，此时的i满足判断框中的条件故判断框内应补充的条件为：故选：D.8.已知圆的半径为2，圆的一条弦的长是3，是圆上的任意一点，则的最大值为 ( ) A．9B．10C．D．【答案】C【解析】如图所示,连接OA，OB.过点O作OC⊥AB，垂足为C.则.∴cos∠OAB=当且仅当且同向时取等号。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. √-1D. 0.1010010001…2. 若 a > b > 0，则下列不等式成立的是：A. a² > b²B. a - b > 0C. a/b > 1D. ab > 03. 已知函数 f(x) = 2x - 3，若 f(x) + f(2 - x) = 0，则 x 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点 A(2,3)，B(4,5)，则线段 AB 的中点坐标为：A. (3,4)B. (4,3)C. (3,5)D. (4,4)5. 已知等差数列 {an} 的前n项和为 Sn，若 a1 = 3，d = 2，则 S10 的值为：A. 100B. 105C. 110D. 1156. 若复数 z 满足 |z - 1| = |z + 1|，则 z 在复平面上的位置是：A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限7. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x²B. f(x) = |x|C. f(x) = x³D. f(x) = 1/x8. 在△ABC中，若 a = 3，b = 4，c = 5，则△ABC是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形9. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，其图像的对称轴是：A. x = 1B. x = 2C. y = 1D. y = 410. 若等比数列 {an} 的前三项分别是 2, 6, 18，则其公比为：A. 2B. 3C. 6D. 9二、填空题（每题5分，共50分）1. 若 a + b = 5，a - b = 1，则a² - b² 的值为________。

2. 已知等差数列 {an} 的前n项和为 Sn，若 a1 = 3，d = 2，则 S10 的值为________。

单元综合测试五(期末综合测试)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C.2 D ．2 【答案】B【解析】 本题考查复数的运算和复数的模． ∵z ＝1i －1＝－12－12i ，∴|z |＝(－12)2＋(－12)2＝22.故选B. 2．已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3 D. 3 【答案】A【解析】 ∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z ·z ＝(2＋i)(2－i)＝4－(－1)＝5.3．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R )”，其反设正确的是( ) A ．a 、b 至少有一个不为0 B ．a 、b 至少有一个为0 C ．a 、b 全不为0 D ．a 、b 中只有一个为0 【答案】A【解析】 对“全为0”的否定是“不全为0”，故选A.4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca ＝1 D ．ax ＋by ＋zc ＝1 【答案】A【解析】 由类比推理可知，方程为x a ＋y b ＋zc＝1.5．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S <8B ．S <9C ．S <10D ．S <11 【答案】B【解析】 本题考查了程序框图的循环结构．依据循环要求有i ＝1，S ＝0；i ＝2，S ＝2×2＋1＝5；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时结束循环，故应为S <9.6．对a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提 所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误 【答案】B【解析】 小前提错误，应满足x >0.7．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．7 【答案】C【解析】 本题考查程序框图中的循环结构．i ＝1，s ＝1→s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝2→s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝3→s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝4→输出s .8．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，则其中恰有1人击中目标的概率是( )A ．0.49B ．0.42C ．0.7D ．0.91 【答案】B【解析】 两人都击中概率P 1＝0.49，都击不中的概率P 2＝0.09，∴恰有一人击中的概率P ＝1－0.49－0.09＝0.42.9．将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )1 3 5 7 17 15 13 11 9 19 21 23 25 27 29 31A ．1 915B ．1 917C ．1 919D ．1 921 【答案】B【解析】 如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，归纳可得第31行有61个奇数，且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．又因为前31行共有1＋3＋…＋61＝961个奇数，则第31行第1个数是第961个奇数即是1 921，则第3个数为1 917.10．已知x >0，y >0，2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2－2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 【答案】C【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时取等号．∴m 2－2m <8，即m 2－2m －8<0，解得－2<m <4. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________(用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R )．【答案】4－4i【解析】 i ＋2i 2＋3i 3＋4i 4＋5i 5＋6i 6＋7i 7＋8i 8＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝______.【答案】4【解析】 本题考查程序框图的循环结构． i ＝1，A ＝2，B ＝1； i ＝2，A ＝4，B ＝2； i ＝3，A ＝8，B ＝6； i ＝4，A ＝16，B ＝18； 此时A <B ，则输出i ＝4.13．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，若f (1)＝2＋3，则f (2 009)＝________.【答案】2＋ 3【解析】 ∵f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，∴f (x －2)＝1＋f (x －4)1－f (x －4).代入得f (x )＝1＋1＋f (x －4)1－f (x －4)1－1＋f (x －4)1－f (x －4)＝2－2f (x －4)＝－1f (x －4).∴f (x )＝f (x －8)，即f (x )的周期为8. ∴f (2 009)＝f (251×8＋1)＝f (1)＝2＋ 3.14．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…，叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为________．【答案】59【解析】 设数1,3,6,10,15,21，…各项为a 1，a 2，a 3，…， 则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，即数列{a n ＋1－a n }构成首项为2，公差为1的等差数列． 利用累加法得a 28＝a 1＋(2＋3＋…＋28)， a 30＝a 1＋(2＋3＋…＋28＋29＋30)， ∴a 30－a 28＝29＋30＝59.15．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中，如图，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．实数m 为何值时，复数z ＝m 2(1m ＋5＋i)＋(8m ＋15)i ＋m －6m ＋5.(1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； (4)对应点在第二象限？【解析】 z ＝m 2＋m －6m ＋5＋(m 2＋8m ＋15)i ，(1)z 为实数⇔m 2＋8m ＋15＝0且m ＋5≠0， 解得m ＝－3.(2)z 为虚数⇔m 2＋8m ＋15≠0且m ＋5≠0， 解得m ≠－3且m ≠－5. (3)z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5＝0m 2＋8m ＋15≠0，解得m ＝2.(4)z 对应的点在第二象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5<0m 2＋8m ＋15>0，解得m <－5或－3<m <2.17．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论．【解析】 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33， 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝3 3.18．已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；(2)求证满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．【证明】(1)∵f′(x)＝－3x2－1＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，∴y＝f(x)是定义域上的减函数．(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1，x2∈R，f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R上单调递减，∴当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，故假设不成立，所以f(x)＝0至多只有一个实数根．19．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：根据此流程图可回答下列问题：(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？(3)该流程图的终点是什么？【解析】 (1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．20．已知数学、英语的成绩分别有1,2,3,4,5五个档次，某班共有60人，在每个档次的人数如下表：(1)求m ＝4，n ＝3(2)求在m ≥3的条件下，n ＝3的概率；(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，求a ，b 的值． 【解析】 本题为条件概率和相互独立事件的概率． (1)m ＝4，n ＝3时，共7人，故概率为P ＝760.(2)m ≥3时，总人数为35.当m ≥3，n ＝3时，总人数为8，故概率为P ＝835.(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的， 则P (m ＝2)·P (n ＝4)＝P (m ＝2，n ＝4)． ∴1＋b ＋6＋0＋a 60×3＋0＋1＋b ＋060＝b 60.故总人数为60，知a ＋b ＝13. ∴13×(4＋b )＝b .∴a ＝11，b ＝2.21．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))【解析】 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结构共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)2 60×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。

黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若全集U=，集合A=，集合B=，则等于（ )B. C. D.2.已知，则的表达式为（）B. C. D.3.函数的定义域为（）B. C. D.4.集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q B.P Q C. D.5.已知函数，且，那么等于（）A 10 B.-10 C.-18 D.-266.下列函数中在其定义域内即是增函数又是奇函数的是（）A．B．C．D．7.若向量=(x,3)(x R)则“x=4"是“=5”的（）充分不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知则方程的实数根的个数是（）A．0B．1C．2D．39.已知命题P:,命题Q:若“P且Q"为真命题，则实数的取值范围是（）或 B.或 C. D.10.定义在R上的偶函数在上是增函数，且具有性质：，则该函数（）A．在上是增函数B．在上是增函数在上是减函数C．在上是减函数D．在上是减函数在上是增函数11.设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，其中不正确的是（）12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集（）A．B．C．D．二、填空题1.函数的单调增区间是___________2.偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是__________3.曲线的切线的倾斜角的取值范围是________4.已知函数在R上可导，函数给出以下四个命题：（1） (2) (3) (4)的图象关于原点对称，其中正确的命题序号有__________三、解答题1.命题P:，命题Q:，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围2.已知集合A=B=(1)若,求实数m的值(2)若A,求实数m取值范围3.已知关于x的二次方程（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围（2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围4.已知是函数的一个极值点，其中(1)求m与n的关系表达式。

重庆高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知、是两单位向量，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．2.下列能使成立的一个条件是（）A．B．C．D．3.下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．4.若，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．5.若点（）A．B．C．D．6.海上两小岛A、B到海洋观察站C的距离都是a km，小岛A在观察站C北偏东20°，小岛B在观察站C南偏东40°，则A与B的距离是（）A．a km B． C． D．7.函数的图像不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8.下列不等式中，解集是R的是 ( )A．B．C．D．9.已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则（）A．⊥(－)B．⊥(－)C．⊥D．(＋)⊥(－)10.定义max{a,b,c}为a、b、c中的最大者，令M=max，则对任意实数a，b，M的最小值是（）A．1B．C．D．2二、填空题1.已知，且，则的最小值是．2.已知，则实数m= ．3.函数按向量平移后得到函数，则．4.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为．5.过作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设（O为坐标原点），当的周长的最小时，= ．三、解答题1.在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，，（I）求边AC的长度；（II）若BC=4，求角B的大小.2.已知，（），（I）若，求的值；（II）若，求的取值范围.3.已知,，函数；（I）求函数的最小正周期；（II）当时，求的取值范围.4.已知函数（I）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（II）解关于x的不等式．5.已知二次函数，为实数，且当时，恒有；（I）证明：；（II）证明：；（III）若,求证：当时，．6.设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：①且；②且．（其中为坐标原点）（I）求向量及向量的坐标；（II）设，求的通项公式并求的最小值；（III）对于（Ⅱ）中的，设数列，为的前n项和，证明：对所有都有．重庆高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知、是两单位向量，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略2.下列能使成立的一个条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略3.下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略4.若，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略5.若点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略6.海上两小岛A、B到海洋观察站C的距离都是a km，小岛A在观察站C北偏东20°，小岛B在观察站C南偏东40°，则A与B的距离是（）A．a km B． C． D．【答案】B【解析】略7.函数的图像不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】略8.下列不等式中，解集是R的是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】略9.已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则（）A．⊥(－)B．⊥(－)C．⊥D．(＋)⊥(－)【答案】A【解析】略10.定义max{a,b,c}为a、b、c中的最大者，令M=max，则对任意实数a，b，M的最小值是（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】略二、填空题1.已知，且，则的最小值是．【答案】【解析】略2.已知，则实数m= ．【答案】【解析】略3.函数按向量平移后得到函数，则．【答案】【解析】略4.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为．【答案】【解析】略5.过作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设（O为坐标原点），当的周长的最小时，= ．【答案】3【解析】略三、解答题1.在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，，（I）求边AC的长度；（II）若BC=4，求角B的大小.【答案】（I）（II）【解析】（I），又代入得（II）将BC=4，代入即得2.已知，（），（I）若，求的值；（II）若，求的取值范围.【答案】（I）2（II）【解析】（1）（2）3.已知,，函数；（I）求函数的最小正周期；（II）当时，求的取值范围.【答案】（I）（II）【解析】（I）=（II）4.已知函数（I）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（II）解关于x的不等式．【答案】（I）（II）【解析】（I）对任意恒成立；，，（II）5.已知二次函数，为实数，且当时，恒有；（I）证明：；（II）证明：；（III）若,求证：当时，．【答案】（I）证明见解析（II）证明见解析（III）证明见解析【解析】（I）当时，恒有；（II）又（III）由6.设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：①且；②且．（其中为坐标原点）（I）求向量及向量的坐标；（II）设，求的通项公式并求的最小值；（III）对于（Ⅱ）中的，设数列，为的前n项和，证明：对所有都有．【答案】（I），（II），最小值为2（III）证明见解析【解析】（I）；（II）；即的最小值为（III）当n=1，2，3，···时，=1，0，1，0，····从而，又当时，。

2022-2023学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝4﹣2i ，则z =（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3﹣iD ．3+i3．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）已知a →=(−2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣45．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）A ．55π6cm 3B ．51π6cm 3 C ．47π6cm 3D ．43π6cm 36．（5分）若正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．1m+1n≥2C ．m 2+n 2≤2D ．√m +√n ≤√27．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AF⊥BF ，且|AF |＝3|BF |，则C 的离心率为（ ） A ．√104B ．√105 C ．25D ．138．（5分）已知点A 在直线x ＝2上运动，若过点A 恰有三条不同的直线与曲线y ＝x 3﹣x 相切，则点A 的轨迹长度为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下： 45 48 46 52 47 49 43 51 47 45 则下列结论正确的为（ ） A ．平均数为48 B ．极差为9C ．中位数为47D ．第75百分位数为51（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cos(2x +φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x =−π6对称，则（ ）A ．f(π6)=−12B ．f （x ）在区间(−π4，π6)单调递减C ．f （x ）在区间(−π2，π2)恰有一个极大值点D ．f （x ）在区间(0，π3)有两个零点（多选）11．（5分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ） A ．当|AM |＝|AF |时，AM ⊥lB ．当|AM |＝|AF |＝|MF |时，|AF |＝2|BF |C ．当MA ⊥MB 时，A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列D ．当MA ⊥MB 时，|AM |•|BM |≥2|AF |•|BF |（多选）12．（5分）在四面体ABCD 中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m ，则（ ） A ．当AB ＝AD ＝m 时，AC ⊥BDB ．当AB ＝CD ＝m 时，四面体ABCD 的外接球的表面积为(m 2+2)π2C ．m 的取值范围为(0，√2)D ．四面体ABCD 体积的最大值为√312三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）(x +1x 2)6的展开式中常数项是 ．（用数字作答） 14．（5分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 3﹣a 1＝3，a 4﹣a 2＝6，则S 5＝ ．15．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝2f （x +2），当x ∈（0，2]时，f （x ）＝4x （2﹣x ），若方程f （x ）＝a 在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a 的取值范围为 ． 16．（5分）已知线段AB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=2√3，设点O 为坐标原点，则|OA →+OB →|的最大值为 ；如果直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0相交于点M ，则MA →⋅MB →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a na n +1(n ∈N ∗)． （1）证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosA +12a =c ．（1）求B ；（2）若c ＝2a ，且b =3√3，求△ABC 的面积．19．（12分）如图，已知三棱锥P ﹣ABC 的三个顶点A ，B ，C 在圆O 上，AB 为圆O 的直径，△P AC 是边长为2的正三角形，且平面PBC ⊥平面P AC ． （1）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（2）若BC =2√3，点E 为PB 的中点，点F 为圆O 上一点，且F 与C 位于直径AB 的两侧，当EF ∥平面P AC 时，求平面EFB 与平面ABC 的夹角的余弦值．20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A ，B 两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A 盒内随机取出1个小球放入B 盒，再在B 盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．21．（12分）已知f（x）＝axe2x（a∈R）．（1）当a≠0时，讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）﹣2x﹣lnx≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为√2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．（1）求C的方程；（2）设点A为C的左顶点，若过点（3，0）的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}【解答】解：集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝{1，2}， 故选：D ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝4﹣2i ，则z =（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3﹣iD ．3+i【解答】解：因为（1+i ）z ＝4﹣2i ， 所以z =4−2i 1+i =(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i ， 故z =1+3i ． 故选：B ．3．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−35【解答】解：因tan α＝2，则cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=−35． 故选：D ．4．（5分）已知a →=(−2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣4【解答】解：由a →∥b →可得，﹣2×（﹣2）﹣x ＝0，解得x ＝4． 故选：C ．5．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）A ．55π6cm 3B ．51π6cm 3 C ．47π6cm 3D ．43π6cm 3【解答】解：由题意可得该组合体的体积V ＝π×（32）2•6−13π[（32）2+12+1×32]•（6﹣2）=43π6．故选：D ．6．（5分）若正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．1m+1n≥2C ．m 2+n 2≤2D ．√m +√n ≤√2【解答】解：由m +n ＝2及m ，n 均为正实数可得：0＜mn ≤(m+n 2)2=1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号， 选项A ，函数y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，所以lnm +lnn ＝ln （mn ）≤ln 1＝0，A 错误；选项B ，由均值不等式，1m+1n≥2√1mn≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等．B 正确；选项C ，m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ＝4﹣2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等，C 错误；选项D ，（√m +√n ）2＝m +n +2√mn =2+2√mn ≤4，当且仅当m ＝n ＝1时取等，所以√m +√n ≤2，D 错误． 故选：B ．7．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AF⊥BF ，且|AF |＝3|BF |，则C 的离心率为（ ） A ．√104B ．√105 C ．25D ．13【解答】解：设左焦点为F ′，由O 是FF ′，AB 的中点， ∴|AF ′|＝|BF |，AF ⊥AF ′，设|BF |＝m ，则|AF |＝3m ，又|AF ′|+|AF |＝2a ， ∴m =12a ，∴|AF |=32a ，|AF ′|=12a ，∴（12a ）2+（32a ）2＝（2c ）2，∴c2a2=1016∴e=ca=√104．故选：A．8．（5分）已知点A在直线x＝2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，则点A的轨迹长度为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：由题意设点A（2，a），过点A的直线l与曲线y＝x3﹣x相切于点B（x0，y0），∵y＝x3﹣x，∴y′＝3x2﹣1，∴l的方程为y=(3x02−1)(x−x0)+x03−x0，把A（2，a）代入，可得(3x02−1)(2−x0)=a−x03+x0，化简得a=−2x03+6x02−2，设g（x）＝﹣2x3+6x2﹣2，g′（x）＝﹣6x2+12x，∴g（x）在区间（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，在区间（0，2）上单调递增，∵若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，∴满足条件的x0恰有3个，∴g（0）＜a＜g（2），即﹣2＜a＜6，则点A的轨迹长度为8．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下：45 48 46 52 47 49 43 51 47 45则下列结论正确的为（）A．平均数为48B．极差为9C．中位数为47D．第75百分位数为51【解答】解：平均数是110×（45+48+46+52+47+49+43+51+47+45）＝47.3，选项A错误；极差为52﹣43＝9，选项B正确；按从小到大顺序排列为：43，45，45，46，47，47，48，49，51，52；所以中位数是12×（47+47）＝47，选项C正确；因为10×75%＝7.5，所以第75百分位数是第8个数，为49，选项D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x=−π6对称，则（）A．f(π6)=−12B．f（x）在区间(−π4，π6)单调递减C．f（x）在区间(−π2，π2)恰有一个极大值点D．f（x）在区间(0，π3)有两个零点【解答】解：∵f（x）的图像关于直线x=−π6对称，∴2×（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，得φ=π3+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴当k＝0时，φ=π3，则f（x）＝cos（2x+π3），则f（π6）＝cos（2×π6+π3）＝cos2π3=−12，故A正确，当−π4＜x＜π6时，−π2＜2x＜π3，−π6＜2x+π3＜2π3，则f（x）不单调，故B错误，当−π2＜x＜π2时，﹣π＜2x＜π，−2π3＜2x+π3＜4π3，则当2x+π3=0时，函数f（x）取得唯一一个极大值，故C正确．当0＜x＜π3，0＜2x＜2π3，π3＜2x+π3＜π，则只有当2x+π3=π2时，函数f（x）＝0，即f（x）在区间(0，π3)只有1个零点，故D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的一条直线与C交于A，B两点，若点M在l上运动，则（）A．当|AM|＝|AF|时，AM⊥lB．当|AM|＝|AF|＝|MF|时，|AF|＝2|BF|C．当MA⊥MB时，A，M，B三点的纵坐标成等差数列D．当MA⊥MB时，|AM|•|BM|≥2|AF|•|BF|【解答】解：对于选项A：由抛物线定义可知，若|AM|＝|AF|，则AM⊥l，故选项A正确；对于选项B ：当|AM |＝|AF |＝|MF |时，△AMF 为正三角形，∴直线AB 的倾斜角为π3 设直线AB 的方程为y =√3(x −p2)，A （x 1，y 1），B （x ，y 2），由{y =√3(x −p2)y 2=2px，可得y 23−p 2=0，∴y 1=√3p ，y 2=−√33p ， ∴|AF||BF|=|y 1||y 2|=3，故选项B 错误；对于选项C ：过点A ，B 作直线垂直于l ，垂足分别为A '，B '，由B 可知A ′（−p 2，y 1），B ′（−p2，y 2），作AB 的中点N ，∵MA ⊥MB ，∴|MN|=12|AB|，由定义可知|AB |＝|AF |+|BF |＝|AA ′|+|BB ′|，∴|MN |=12（|AA ′|+|BB ′|），∴M 为A 'B '的中点，∴A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D ：设M （−p2，y 0），直线MF 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1=y 0−p 2−p 2=−y 0p ，由B 可知k 2=y 1−y 2x 1−x 2=y 1−y 2y 122p −y 222p=2py 1+y 2， 由C 可知y 1+y 2＝2y 0，k 2=2p y 1+y 2=py 0，k 1k 2=−y 0p •p y 0=−1，∴MF ⊥AB ， 又∵MA ⊥MB ，|AM |﹣|BM |＝|MF |•|AB |，且|MF |2＝|AF ||BF |，由基本不等式可得|AM |•|BM |＝|MF ||AB |＝（|AF |+|BF |）•√|AF|⋅|BF|≥2|AF |•|BF |，故选项D 正确． 故选：ACD ．（多选）12．（5分）在四面体ABCD 中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m ，则（ ） A ．当AB ＝AD ＝m 时，AC ⊥BDB ．当AB ＝CD ＝m 时，四面体ABCD 的外接球的表面积为(m 2+2)π2C ．m 的取值范围为(0，√2)D ．四面体ABCD 体积的最大值为√312【解答】解：当AB ＝AD ＝m 时，可知△ABD 与△BCD 为等腰三角形，取BD 中点E ， ∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，∵AE ∩EC ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，可得AC ⊥BD ，故A 正确； 当AB ＝CD ＝m 时，可知四面体ABCD 的所有对棱相等， 将四面体ABCD 补为长方体，其中四面体ABCD 的各条棱为该长方体各面的对角线，∴四面体ABCD的外接球即为该长方体的外接球，设该长方体的三条棱的长度分别为x，y，z，则x2+y2＝1，y2+z2＝1，x2+z2＝m2，∴外接球的半径为R=12√x2+y2+z2=12√m2+22=14√2m2+4，∴四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)π2，故B正确；当AB＝AD＝m时，取BD的中点E，则AE=√m2−14，CE=√32，AC＝1，则在△ACE中，由三角形性质可得√m2−14+√32＞1，√m2−14−√32＜1，解得：√2−√3＜m＜√2+√3；当AB＝CD＝m时，取CD的中点F，则AF＝BF=√1−m2 4，则在△ABF中由三角形性质可知2√1−m24＞m，∴0＜m＜√2．综上可得，0＜m＜√2+√3，故C错误；当AB＝AD＝m时，若四面体ABCD的体积最大时，则底面BCD上的高为1，即AC⊥平面BCD，此时四面体ABCD体积的最大值为√3 12；当AB＝CD＝m时，由（3）可知此时AF=BF=√1−m2 4，则△ABF的面积为12m⋅√1−m22，∴四面体ABCD的体积为16m2⋅√1−m22=16√m4(2−m2)2，设f（x）＝x4（2﹣x2），f′（x）＝2x3（4﹣3x2），当x∈（0，2√33）时，f′（x）＞0，当x∈（2√33，√2）时，f′（x）＜0，∴当x=2√33时，f（x）的最大值为3227，∴四面体ABCD体积的最大值为2√327，又√312＞2√327，∴四面体ABCD体积的最大值为√312，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）(x+1x2)6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：(x+1x2)6展开式的通项T k+1=C6k x6−k(1x2)k=C6k x6−3k，令6﹣3k＝0，解得k＝2，所以常数项是C62=15．故答案为：15．14．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝6，则S5＝31．【解答】解：因为等比数列{a n}中，a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝（a3﹣a1）q＝6，所以q＝2，则a3﹣a1＝4a1﹣a1＝3，所以a1＝1，则S5=1−251−2=31．故答案为：31．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）＝2f（x+2），当x∈（0，2]时，f（x）＝4x（2﹣x），若方程f（x）＝a在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a的取值范围为[0，34)．【解答】解：因为f（x）＝2f（x+2），所以f （x ﹣2）＝2f （x ），f （x ）=12f （x ﹣2），又因为当x ∈（0，2]时，f （x ）＝4x （2﹣x ）， 所以当x ∈（2，4]时，x ﹣2∈（0，2]，所以f （x ）=12f （x ﹣2）=12×4（x ﹣2）（4﹣x ）＝2（x ﹣2）（4﹣x ），当x ∈（4，6]时，x ﹣2∈（2，4]，所以f （x ）=12f （x ﹣2）＝（x ﹣4）（6﹣x ），所以f （112）＝（112−4）•（6−112）=34， ……作出函数f （x ）的部分图象，如图所示：又因为方程f （x ）＝a 在区间(112，+∞)内有实数解， 即y ＝a 与y ＝f （x ）的图象在(112，+∞)内有交点， 结合图象可知a ∈[0，34）．故答案为：[0，34）．16．（5分）已知线段AB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=2√3，设点O 为坐标原点，则|OA →+OB →|的最大值为 2√2+2 ；如果直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0相交于点M ，则MA →⋅MB →的最小值为 6−4√2 ． 【解答】解：设D 为AB 中点，则|CD |＝1， ∴点D 的轨迹方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1，∴|OA →+OB →|=2|OD →|，则最大值为2√2+2； 又直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0， ∴l 1⊥l 2，且l 1过定点（﹣1，﹣3），l 2过定点（﹣3，﹣1）， ∴点M 的轨迹为（x +2）2+（y +2）2＝2，∴MA →⋅MB →=(MD →+DA →)(MD →+DB →)=(MD →+DA →)(MD →−DA →)=MD →2−DA →2， ∴MA →⋅MB →=|MD →|2−3，又∵|MD →|⩾√(1+2)2+(1+2)2−1−√2=2√2−1， ∴MA →⋅MB →=|MD →|2−3⩾(2√2−1)2−3=6−4√2， ∴MA →⋅MB →的最小值为6−4√2． 故答案为：2√2+2；6−4√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a na n +1(n ∈N ∗)． （1）证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】（1）证明：依题意，由a n+1=a na n +1两边取倒数， 可得1a n+1=a n +1a n=1a n+1，即1a n+1−1a n=1，∵1a 1=1，∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n=1+1•（n ﹣1）＝n ，∴a n =1n，n ∈N *．（2）解：由（1）可得，b n ＝a n a n +1=1n •1n+1=1n −1n+1，则T n ＝b 1+b 2+…+b n＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1＝1−1 n+1=nn+1．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+12a=c．（1）求B；（2）若c＝2a，且b=3√3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=csinC和bcosA+12a=c，可得sinBcosA+12sinA=sinC，又∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，∴sinBcosA+12sinA=sinC=sinAcosB+sinBcosA，∴12sinA=sinAcosB∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴cosB=1 2，∵0＜B＜π，∴B=π3．（2）记△ABC的面积为S，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，及B=π3，b＝3√3可得a2+c2﹣ac＝27，将c＝2a代入上式，得a2＝9，故a＝3，c＝6，∴S=12acsinB=9√32．19．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，△P AC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥平面P AC．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）若BC=2√3，点E为PB的中点，点F为圆O上一点，且F与C位于直径AB的两侧，当EF∥平面P AC时，求平面EFB与平面ABC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取PC的中点D，∵△P AC为等边三角形，∴AD⊥PC，∵平面PBC⊥平面P AC，平面PBC∩平面P AC＝PC，∴AD⊥平面PBC，∵BC⊂平面PBC，∴BC⊥AD，∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵AC∩AD＝A，∴BC⊥平面P AC，∵BC⊂平面ABC，∴平面P AC⊥平面ABC．（2）（法一）由三角形中位线的性质可知EO∥AP，又∵EO⊄平面P AC，AP⊂平面P AC，∴EO∥平面P AC，∵EF∥平面P AC，EO∩EF＝E，∴平面EOF∥平面P AC，∵平面EOF∩平面AFBC＝FO，平面P AC∩平面AFBC＝AC，∴FO∥AC，由题可知BC=2√3，AB=4，取AC中点M连接PM，则PM⊥AC，∵平面P AC∩平面AFBC＝AC，由（1）可知PM⊥平面ABC，如图1建立空间直角坐标系，∴P(0，0，√3)，A(1，0，0)，B(−1，2√3，0)，E(−12，√3，√32)，F(2，√3，0)，∴BF →=(3，−√3，0)，EF →=(52，0，−√32)，设平面BEF 的一个法向量m →=(x ，y ，z)，则{3x −√3y =0，5x −√3z =0，令x =√3，则y ＝3，z ＝5，∴m →=(√3，3，5)， 由（1）可知平面ABC 的一个法向量n →=(0，0，1)， ∴设平面BEF 与平面ABC 的夹角为θ， 则cosθ=m →⋅n →|m →⋅n →|=√37=5√3737，∴平面BEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为5√3737． （法二）如图2，由三角形中位线的性质可知EO ∥AP ，又∵EO ⊄平面P AC ，AP ⊂平面P AC ，∴EO ∥平面P AC ，∵EF ∥平面P AC ，EO ∩EF ＝E ， ∴平面EOF ∥平面P AC ， ∵平面EOF ∩平面AFBC ＝FO ，平面P AC ∩平面AFBC ＝AC ，∴FO ∥AC ，由题可知BC =2√3，AB =4，取AC 中点M 连接PM ， 则PM ⊥AC ，∵平面P AC ∩平面AFBC ＝AC ，由（1）可知PM ⊥平面ABC ，连接BM ，过点E 作EH ∥PM ， ∴H 为BM 的中点，且EH ⊥平面ABC ，∵BF ⊂平面ABC ，∴EH ⊥BF ，过点H 作HN ⊥BF ，垂足为N ，连接EN ，∵EH ∩HN ＝H ， ∴BF ⊥平面ENH ，∴EN ⊥BF ，则∠ENH 为平面EFB 与平面ABC 的夹角， 在△BHF 中，FH =52，∠BFH =π6，∴HN =FHsin π6=54，∵EH=12PM=√32，由勾股定理可得EN=√374，cos∠ENH=54√374=5√3737，∴平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为5√37 37．20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．【解答】解：（1）记“在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球”为事件C，根据条件概率可知P(C)=15×C22C62=175，故在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率为1 75．（2）（i）X的可能取值为1，3，5，对应概率分别为：P(X=5)=25×C32C62+25×C22C62+15×C22C62=325，P(X=3)=25×C31C31C62+25×C21C41C62+15×C21C41C62=1425，P(X=1)=25×C32C62+25×C42C62+15×C42C62=825，故X的分布列为：（ii）由（i）中分布列可知：E(X)=5×325+3×1425+1×825=135，甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y ，每轮游戏的结果相互独立，根据期望的性质公式可知E （Y ）＝5E （X ）＝13． 21．（12分）已知f （x ）＝axe 2x （a ∈R ）． （1）当a ≠0时，讨论f （x ）的单调性；（2）若关于x 的不等式f （x ）﹣2x ﹣lnx ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）f ′（x ）＝a （e 2x +xe 2x •2）＝a （2x +1）e 2x ，∵当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞−12，由f ′（x ）＜0，解得x ＜−12，当a ＜0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＜−12，由f ′（x ）＜0，解得x ＞−12，∴当a ＞0时，f （x ）的单调增区间为(−12，+∞)，单调减区间为(−∞，−12)，当a ＜0时，f （x ）的单调增区间为(−∞，−12)，单调减区间为(−12，+∞)．（2）由f （x ）﹣2x ﹣lnx ≥0，得axe 2x ﹣2x ﹣lnx ≥0，……① 令g （x ）＝axe 2x ﹣2x ﹣lnx ，则g ′(x)=a(1+2x)e 2x −2−1x =(1+2x)(axe 2x −1)x， ∵当a ⩽0时，g （1）＝ae 2﹣2＜0不满足条件，∴a ⩽0不成立， 当a ＞0时，令k （x ）＝axe 2x ﹣1，k ′（x ）＝a （1+2x ）e 2x ＞0，∵当x →0+时，k(x)→−1，k(1a)=e 2a −1＞0，∴∃x 0∈(0，1a)，使得k （x 0）＝0，即ax 0e 2x 0=1，∴当x ∈（0，x 0）时，k （x ）＜0，当x ∈（x 0，+∞）时，k （x ）＞0，∴g （x ）在区间（0，x 0）上单调递减，在区间（x 0，+∞）上单调递增，当x ＝x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0），由ax 0e 2x 0=1，取对数得lna +lnx 0+2x 0＝0，则g(x 0)=ax 0e 2x 0−2x 0−lnx 0=1+lna ， 要使不等式①恒成立，需1+lna ⩾0，解得a ⩾1e ，∴实数a 的取值范围是[1e，+∞）．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√2，且C 的一个焦点到其一条渐近线的距离为1． （1）求C 的方程；（2）设点A 为C 的左顶点，若过点（3，0）的直线l 与C 的右支交于P ，Q 两点，且直线AP ，AQ 与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．【解答】解：（1）考虑右焦点到一条渐近线的距离，由题可知C的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，右焦点为（c，0），∴右焦点到渐近线的距离d=|bc|√b+a2=b＝1，由离心率e=ca=√2，有√a2+b2a=√2，解得a＝1，∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1．（2）设直线l的方程：x＝ty+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），由{x2−y2=1x=ty+3⇒（t2﹣1）y2+6ty+8＝0，因为直线l与双曲线C的右支交于两点，Δ＝（6t）2﹣4（t2﹣1）×8＝4t2+32＞0恒成立，还需{y1y2=8t2−1＜0t2−1≠0，解得﹣1＜t＜1，∵A点坐标为（﹣1，0），∴k AP⋅k AQ=y1x1+1⋅y2x2+1=y1y2(ty1+4)(ty2+4)=y1y2t2y1y2+4t(y1+y2)+16，将y1+y2=−6tt2−1，y1y2=8t2−1代入，得k AP⋅k AQ=8t2−1t2⋅8t2−1+4t⋅−6tt2−1+16=88t2−24t2+16t2−16=−12，设AP：x＝m1y﹣1，AQ：x＝m2y﹣1，且|m1|＞1，|m2|＞1，∴1m1⋅1m2=−12，即m1•m2＝﹣2，故|m1|•|m2|＝2，∵|m2|=2|m1|＞1，∴1＜|m1|＜2，由{x2−y2=1x=m1y−1⇒(m12−1)y2−2m1y=0，∴y P=2m1m12−1，同理可得y Q=2m2m22−1，由{x2+y2=1x=m1y−1⇒(m12+1)y2−2m1y=0，∴y M=2m1m12+1，同理可得y N=2m2m22+1，∴S△APQS△AMN=12|AQ||AP|sin∠QAP12|AN||AM|sin∠QAP=|AQ||AP||AN||AM|=y Q⋅y Py N⋅y M=2m2m22−1⋅2m1m12−12m2m22+1⋅2m1m12+1=(m12+1)(m21+1)(m12−1)(m22−1)=m12m22+m12+m22+1m12m22−m12−m22+1=5+(m12+m22)5−(m12+m22)，令t=m12+m22，由|m1|•|m2|＝2，1＜|m1|＜2，得t=m12+4m12，t∈[4，5），∴S△APQS△AMN=5+t5−t=10−t+5−1，t∈[4，5），令f（t）=10−t+5−1，t∈[4，5），∵f（t）在区间[4，5）上为增函数，所以f（t）的取值范围为[9，+∞），∵S1S2=S MNPQS AMN=S△APQ−S△AMNS△AMN，∴S1S2的取值范围为[8，+∞）．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 一个开口向上的抛物线，顶点在(1, 0)B. 一个开口向下的抛物线，顶点在(1, 0)C. 一个开口向上的抛物线，顶点在(0, 1)D. 一个开口向下的抛物线，顶点在(0, 1)2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为：A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°4. 下列哪个方程的解集是空集：A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 05. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是：A. 以(0, 0)为圆心，1为半径的圆B. 以(0, 0)为圆心，2为半径的圆C. x = 0的直线D. y = 0的直线6. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^47. 若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an是：A. 24B. 27C. 81D. 2438. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点是：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列哪个数是等差数列1, 3, 5, ...的第10项：A. 19B. 20C. 21D. 2210. 若log2x + log2(4x) = 3，则x的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。

黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如果命题“且”是假命题，“非”是真命题，那么（）A．命题一定是真命题B．命题一定是真命题C．命题一定是假命题D．命题可以是真命题也可以是假命题2.下列数字特征的估计值来自于样本频率分布直方图中的最高矩形底边中点的横坐标的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．标准差3.从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么成为互斥且不对立的两个事件是（）A至少有一个黒球与都是黒球B至多有一个黒球与都是黒球C至少有一个黒球与至少有个红球D恰有个黒球与恰有个黒球4.如下图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )A．B．C．D．5.抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和不大于4的概率为（）A．B．C．D．6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：①若，∥，则；②若∥，，则∥③若，，，则；④若，，，则其中正确的命题的个数为（）A．1B．2C．3D．47.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（）A．B．C．D．无法确定8.已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程为必过点（）A．（2，2）B．（1.5，0）C．(1,2)D．（1.5，4）9.某校对高二年级的学生进行体检，现将高二男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成五组并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据一般标准，高二男生的体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则该校高二年级的男生总数和体重正常的频率分别为（）A．1000, 0.50B．800, 0.50C．800, 0.60D．1000, 0.6010.如果下边程序框图的输出结果18，那么在判断框中①表示的“条件”应该是（）A．B．C．D．11.若是两条异面直线外的任意一点，则下列命题正确的是（）A．过点有且仅有一条直线与都平行B．过点有且仅有一条直线与都垂直C．过点有且仅有一条直线与都相交D．过点有且仅有一条直线与都异面12.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°二、填空题1.已知某台纺纱机在一小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别为0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在一小时之内断头超过2次的概率为2.已知圆O1是半径为R的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的表面积的比值为，则线段OO1与R的比值为3.在区间上随机取两个数，则关于的一元二次方程的有实数根的概率为4.已知是的充分条件而不是必要条件，是的必要条件，是的充分条件，是的必要条件。

河南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下图（1）所示的圆锥的俯视图为（）2.直线的倾斜角为（）、；、；、；、。

3.边长为正四面体的表面积是（）、；、；、；、。

4.对于直线的截距，下列说法正确的是（）、在轴上的截距是6；、在轴上的截距是6；、在轴上的截距是3；、在轴上的截距是。

5.已知，则直线与直线的位置关系是（）A．平行；B．相交或异面；C．异面；D．平行或异面。

6.已知两条直线，且，则满足条件的值为（）、；、；、；、。

7.在空间四边形中，分别是的中点。

若，且与所成的角为，则四边形的面积为（）、；、；、；、。

8.已知圆，则圆心及半径分别为（）、圆心，半径；、圆心，半径；、圆心，半径；、圆心，半径。

9.下列叙述中错误的是（）、若且，则；、三点确定一个平面；、若直线，则直线与能够确定一个平面；D、若且，则。

10.两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）、两条平行直线；、一点和一条直线；、两条相交直线；、两个点。

11.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）、；、；、；、都不对。

12.四面体中，若，则点在平面内的射影点是的（）、外心；、内心；、垂心；、重心。

二、填空题1.圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为2.命题：一条直线与已知平面相交，则面内不过该交点的直线与已知直线为异面直线。

用符号表示为3.点直线的距离是4.已知为直线，为平面，有下列三个命题：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则；其中正确命题是三、解答题1.（本小题满分12分）如下图(2),建造一个容积为，深为，宽为的长方体无盖水池，如果池底的造价为，池壁的造价为，求水池的总造价。

2.（本小题满分12分）如下图(3)，在四棱锥中，四边形是平行四边形，分别是的中点，求证：。

3.（本小题满分12分）如下图（4），在正方体中，（1）画出二面角的平面角；（2）求证：面面4.（本小题满分12分）光线自点射到点后被轴反射，求该光线及反射光线所在的直线方程。

必修一数学期末测试卷(含答案)高一数学必修一期末测试题本试卷分为两部分，选择题和非选择题，满分120分，考试时间60分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1.已知集合M⊂{4,7,8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A) 3个 (B) 4个 (C) 5个 (D) 6个2.已知S={x|x=2n,n∈Z}，T={x|x=4k±1,k∈Z}，则（）A) S⊂T (B) T⊂S (C) S≠T (D) S=T3.已知集合P={y|y=−x^2+2,x∈R}，Q={y|y=−x+2,x∈R}，那么P∩Q等于（）A) （，2），（1，1） (B) {（，2），（1，1）} (C) {1，2} (D) {y|y≤2}4.不等式ax+ax−4<0的解集为R，则a的取值范围是（）A) −16≤a−16 (C) −16<a≤0 (D) a<−165.已知f(x)=⎧⎨⎩x−5(x≥6)f(x+4)(x<6)则f(3)的值为（）A) 2 (B) 5 (C) 4 (D) 36.函数y=x−4x+3,x∈[0,3]的值域为（）A) [0,3] (B) [−1,0] (C) [−1,3] (D) [0,2]7.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数，则（）A) k>1/2 (B) k−1/2 (D) k<1/28.若函数f(x)=x+2(a−1)x+2在区间(−∞,4]内递减，那么实数a的取值范围为（）A) a≤−3 (B) a≥−3 (C) a≤5 (D) a≥39.函数y=(2a−3a+2)a是指数函数，则a的取值范围是（）A) a>0,a≠1 (B) a=1 (C) a=−1 or a=1 (D) a=010.已知函数f(x)=4+ax−1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（）A) (1，5) (B) (1.4) (C) (−1,4) (D) (4，1)11.函数y=log2(3x−2)的定义域是（）A) [1,+∞) (B) (2/3,+∞) (C) (−∞,1] (D) (−∞,2/3]12.设a,b,c都是正数，且3a=4b=6c，则下列正确的是（）A) 1/c=1/a+1/b (B) 2/c=1/a+1/b (C) 1/c^2=1/a^2+1/b^2 (D)2/c^2=1/a^2+1/b^2第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题：（每小题5分，共10分，答案填在横线上）13．若$log_a2^3<1$，则$a$的取值范围是$\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\cup(1,+\infty)$。

2024届普通高等学校招生全国统一考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2A =−−，{}0B x x =<，则A B 的真子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．72．已知i 为虚数单位，复数z 满足i i 1z x −=+，则1z +=（ ）AB ．1C D ．23．已知单位向量a ，b 的夹角为π3，则56a b += （ ）A ．9B C ．10D ．4．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y 与其花朵凋零时间t （分钟）（在植物学上t 表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：102ty b =⋅（b 为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为110，则当该种玫瑰花新鲜程度为12时，其凋零时间约为（参考数据：lg 20.3≈）（ ） A ．3分钟 B ．30分钟 C ．33分钟 D ．35分钟5．已知某圆台的体积为21π，其上、下底面圆的面积之比为1:4且周长之和为6π，则该圆台的高为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96．已知抛物线()2:20C y px p =>，过点,02p且斜率为1−的直线l 交C 于M ，N 两点，且32MN =，则C 的准线方程为（ ）A ．1x =−B ．2x =−C ．3x =−D ．4x =−7．已知数列{}n a 是单调递增数列，()221n n a m n =−−，*n ∈N ，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()2,+∞B ．()1,2C ．3,2+∞D ．()2,38．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则()D X 的最大值为（ ）X 0 12Paa b + a b −A ．13 B ．23 C ．89D ．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（ ） A ．这五名同学成绩的平均数为78 B ．这五名同学成绩的中位数为74 C ．这五名同学成绩的上四分位数为80D ．这五名同学成绩的方差为3210．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则21b ab+的可能取值为（ ）A ．2B ．1C 1−D ．411．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,0A ，()1,0B −，12AM ≤≤，点M 的轨迹为Ω，则（ ）A ．Ω为中心对称图形B ．M 到直线()20x ay a −+=∈R 距离的最大值为5C ．若线段OM 上的所有点均在Ω中，则OM 最大为D ．使π4MBO ∠=成立的M 点有4个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．182(2)x −−的展开式中含21x 的项的系数为______．13．已知tan α=，则tan 3α=______． 14．三个相似的圆锥的体积分别为1V ，2V ，3V ，侧面积分别为1S ，2S ，3S ，且123V V V =+，123aS S S =+，则实数a 的最大值为______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()ln(1)sin f x a x x x =+−． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点ππ,22f处的切线方程； （2）若1a =，研究函数()f x 在(]1,0x ∈−上的单调性和零点个数． 16．（15分）2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了50名男同学和50名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下2×2列联表．（1）完善以上的2×2列联表，并判断根据小概率值0.01=的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；（2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PCD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，且112ABCD ==，PCD △为等边三角形，平面PAB 平面PCD =直线l ．（1）证明：l ∥平面ABCD ； （2）若l 与平面PAD 的夹角为π6，求四棱锥P ABCD −的体积．18．（17分）已知椭圆22220)1(:x y C a b b a +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且4AB =，点 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若E ，F 为椭圆C 上异于A ，B 的两个不同动点，且直线AE 与BF 的斜率满足3BFAEk k =−，证明：直线EF 恒过定点．19．（17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123231312321213132123123a a a abc a b c a b c a b c a b c a b c b b b c c c =++−−−． 若111222a b x z j i y x y z k×=，则称a b × 为空间向量a 与b 的叉乘，其中111a x i y j z k =++ （111,,x y z ∈R ），222b x i y j z k =++ （222,,x y z ∈R ），{},,i j k 为单位正交基底．以O 为坐标原点、分别以,,i j k 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A ，B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点．（1）①若()1,2,1A ，()0,1,1B −，求OA OB ×； ②证明：0OA OB OB OA ×+×=．（2）记AOB △的面积为AOB S △，证明：12AOBOA OB S ×= △． （3）证明：()2OA OB × 的几何意义表示以AOB △为底面、OA OB ×为高的三棱锥体积的6倍．数学参考答案1．B 【解析】由题意可得{}2,1A B =−− ，故A B 的真子集的个数为2213−=．故选B ．2．A 【解析】因为i i 1z z −=+，则()1i 1i z −−=+，所以2(1i)1i i (1i)(1i)1i z ++=−=−=−−+−，故11i z +=−==．故选A ．3．B 【解析】由题意得222π256036616011cos 91563a ab b a b =+⋅+=+×××=+．故56a b +=B ．4．C 【解析】由题意得1210b =，则120b =，令10112220t ⋅=，即10102t=，解得1033lg 2t =≈．故选C ． 5．D 【解析】设上、下底面圆的半径分别为r ，R ，圆台的高为h ，则由题意可得22π1,π42π()6π,r R r R =+=解得1,2,r R == ，则221π(1122)21π3V h =+×+=，解得9h =．故选D ． 6．D 【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:2p l y x=−−， 联立2,22,p y x y px =−−=得22304p x px −+=， 则0∆>，123x x p +=，又l 经过C 的焦点,02p， 则12332MN x x p p p =++=+=，解得8p =，故C 的准线方程为4x =−．故选D ． 7．C 【解析】由题意可得2(21)n na m n =−−，由于数列{}n a 为单调递增数列，即*n ∀∈N ，22112210(21)(1)(21)n n n n n n m n m n a m a ++ −=⋅−−>=−−+−−− ，整理得212nn m +>，令212n n n b +=，则1112321120222n n n n n n n n b b +++++−−=−=<，*n ∈N ，易得数列{}n b 单调递减，故132b =是数列{}n b 的最大项，则m 的取值范围为3,2+∞，故选C ．8．C 【解析】()()()01231P X P X P X a =+=+===，故13a =， 易得12033b ≤+≤，12033b ≤−≤，则1133b −≤≤， 故()221E X a b a b b =++−=−，()22221112(1)(1)3333D X b b b b b b b=−+++−+=−−，又因为11,33b ∈− ，所以28(),99D X∈．故选C ．9．CD 【解析】A 选项，这五名同学成绩的平均数为6872768084765++++=，A 错误；B 选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为76，B 错误；C 选项，575% 3.75×=，故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即80，C 正确；D 选项，五名同学成绩的方差为222221(6876)(7276)(7676)(8076)(8476)325−+−+−+−+−= ，D 正确．故选CD ．10．BD 【解析】由题意可得22222111111(22)2()2b b b b b b b b b b ab ++++==−= −−−， 令1b t +=，则12t <<，()()22211232113b t t b bt t t t t t +===−−+−−−−−+，且)2t t +∈，故)213b b b++∞∈+ −，所以)211b ab + ∈++∞ ．故选BD ． 11．ABC 【解析】由题可得[]1,2AM ∈，故点M 在以A 为圆心、半径分别为1，2的两圆之间（包含边界），Ω为内径为1，外径为2的圆环，A 正确；直线20x ay −+=过定点(2,0)−，故M 到直线20x ay −+=的距离最大时为M 与点(2,0)−的距离，则max 325d =+=，B 正确；当OM 恰与圆22(1)1x y −+=相切时，OM 最大，此时直线OM 与y轴重合，故maxOM=C 正确；π4MBO ∠=，则直线BM ：()1y x =−+或1y x =+，直线1y x =+与直线()1y x =−+有无数点在Ω上，故符合的M 点有无数个，故D 错误．故选ABC ． 12．1120【解析】182(2)x−−的展开式的通项为8218C 2(1)r rrrr T x −−+=−，故令4r =可得含21x项的系数为44480C 2(1)112××−=．13．【解析】由tan α=，可得22tan tan 21tan ααα==−故tan tan 2tan 3tan(2)1tan tan 2ααααααα+=+=−⋅ 14【解析】设三个圆锥的高分别为123,,h h h ．母线与轴线的夹角为θ， 则3221ππtan (tan )33V h h h θθ⋅==⋅，由123V V V =+，得333123h h h =+， 同理由21S aS =可得222123ah h h =+， 则2233632316332123()()h h a h a h h h +==+，则32323233211h h a h h+=+． 令()()()322311x f x x +=+，()0,x ∈+∞，得()()()2233611()1x x x f x x +⋅−=+′，令()0f x ′>，解得()0,1x ∈；令()0f x ′<，解得()1,x ∈+∞，故()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 12f x f ==，故32a ≤，故max a =15．解：（1）当0a =时，()sin f x x x =−，则()sin cos f x x x x =−−′，则ππ22f =− ，π12f =−′， 所以曲线()y f x =在点ππ,22f处的切线方程为y x =−． （2）当1a =时，()()ln 1sin f x x x x =+−，则1()sin cos 1f x x x x x ′=−−+， 当(]1,0x ∈−时，101x >+，sin 0x −≥，cos 0x x −≥，则()0f x ′>， 故()f x 在(]1,0x ∈−上单调递增．又因为()00f =，所以()f x 在(]1,0x ∈−上的零点个数为1． 16．解：（1）完善2×2列联表如下：则22100100(40201030) 4.762 6.6355050307021χ××−×==≈<×××，故根据小概率值0.01α=的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关． （2）由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为700.7100=， 设抽取的30名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为X ，所以随机变量()~30,0.7X B ， 故()300.721E X =×=，()()300.710.7 6.3D X =××−=．17．解：（1）证明：由题可知AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AB ∴∥平面PCD ．又AB ⊂平面PAB ，平面PAB 平面PCD l =，l AB ∴∥． 又l ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，l ∴∥平面ABCD ．（2）以D 为原点，平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰梯形ABCD 的高为()0a a >，则()0,0,0D ，1,,02A a，3,,02B a，()0,2,0C ，(P ，设(),,nx y z = 为平面PAD 的法向量，则0,0,n DA n DP ⋅= ⋅= 即10,20,ax y y +=+=令1y =−得1,2n a =−为平面PAD 的一个法向量．又l AB ∥，则可得直线l 的一个平行向量()0,1,0m =， 设θ为l 与平面PAD 的夹角，由11cos ,sin12n mn θ===×，解得a =．11(12)32P ABCD V −∴=+=18．解：（1）由题意可得42AB a ==，则2a =，又点在C 上，所以213144b +=，解得1b =， 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）证明：由（1）可得，()2,0A −，()2,0B ，易知直线AE 与直线BF 的斜率一定存在且不为0，设直线AE 的方程为())2(0y t x t =+≠，直线BF 的方程为()32y t x =−−． 由()222,1,4y t x x y =+ +=得()222241161640t x t x t +++−=，所以2216441A E t x x t −=+，故E x =，则2441E ty t =+，故222824,4141t t E t t −+ ++ ． 由()2232,1,4y t x x y =−− += 得()222236114414440t x t x t +−+−=，所以221444361B F t x x t −=+， 故22722361F t x t −=+，则212361F ty t =+，故22272212,361361t t F t t − ++． 若直线EF 过定点，则根据椭圆的对称性可知直线EF 所过定点必在x 轴上， 设定点为()0,0P x ．则22220022412413612872236141PE PF t tt t k k t t x x t t ++===−−−−++， 即()()2222004127223612841tt t x t t x t =+−−+−−，所以()()222200624341722361t x t t x t −−+=−−+，化简可得()()2041210x t −−=，故04x =，即直线EF 过定点()4,0． 19．解：（1）①因为()1,2,1A ，()0,1,1B −，则()()()12010133,1,112011jki OA OB i k j i i j k =++−−−−−=−−=−−×=−． ②证明：设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则121212212121122112211221(,,)OA OB y z i z x j x y k x y k x j y z i y y z z z x z x x x y z y ×=++−−−=−−−，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得211221122112,,()OB OA y z y z z x z x x y x y ×=−−−， 故()0,0,00OA OB OB OA ×+×==．（2）证明：因为sin AOB ∠，故1sin 2AOBS OA OB AOB =⋅∠= △，故要证12AOBS OA OB =×△，只需证OA OB ×= 即证2222()OA OB OB OA OB OA ⋅−×= ．由（1）111(,,)OA x y z = ，()222,,OB x y z =，()122112211221,,OA OB y z y z z x z x x y x y ×=−−− ，故()2222122112211221()()OA OB y z y z z x z x x y x y ×=−+−+− ，又2221121OA x y z =++，2222222OB x y z=++，()()22121212OA OBx x y y z z ⋅=++ ，则2222()OA OB OB OA OB OA ⋅−×= 成立，故12AOBS OA OB =×△． （3）证明：由（2）12AOBS OA OB =× △，得221()222AOB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB S ⋅××=×=×⋅×= △， 故261()3AOB OA OB OA OB S ×=×⋅× △， 故2()OA OB × 的几何意义表示以AOB △为底面、OA OB × 为高的三棱锥体积的6倍．。

禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.1. （5分）已知集合 M={1, 2, 3}, N={2, 3, 4},则下列式子正确的是（ A. M?NB. N?MC. MAN={2, 3} D. M U N={1 , 4}C.向左平移单位B.向右平移单位 ……冗、,D.向右平移亏单位7 .下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，若求出y关于x 的线性回归方程为 ? 0.7x 0.35 ,那么表中t 的值为B. 3.158 .已知 f (x) = (x — m) (x — n) +2,并且 m, n, a, 3的大小关系可能是（2.已知向量 a=(-b l)f 正⑵ -3),则 2%-b 等于（） A. (4, - 5) B. (—4, 5) C. (0, T) D. (0, 1) 3.在区间（1, 7）上任取一个数，这个数在区间 5, 8）上的概率为4.要得到函数B-i7Ty=sin （4x-F-）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象 5.已知两条直线m, n,两个平面鹏 8给出下面四个命题:①m H n, m± a? n± a ② a// & m? a, n?仅 m // n @ aJ & m " n, m± ? n± 3 其中正确命题的序号是 A.①③B.②④C.①④D.②③ 6.执行如图所以的程序框图，如果输入 a=5 ,那么输出 n=（A. 2B. 3C. 4D. 5A.向左平移 ，单位x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 3 a 、 D. 4.53是方程f （x ） =0的两根，则实数A. a< mvnv 3 B- m< a< 3< n C. m< a< n< 3 D. a< mv 3< n 9 .已知某锥体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该锥体的体积为（ ）10 .在等月ABC 中，/BAC=90°, AB=AC=2,同=2而I,菽=3凝，则前■刘的值为（）Dy11 .已知一个三角形的三边长分别是 5, 5, 6, 一只蚂蚁在其内部爬行， 若不考虑蚂蚁的大小,13.若直线 2X + (m+1) y+4=0 与直线 mX+3y+4=0 平行，则 m=y<l15 .若变量x 、y 满足约束条件 y+y>口 ,则z=x-2y 的最大值为bkx 3,x 016 .已知函数f X 1k，若方程f f X 2 0恰有三个实数根，则实数k 的-,x 02取值范围是三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC. (I) 求B 的大小；(n) 若 b=" A=T\求^ ABC 的面积.r . ..-18 .已知：a 、b 、c是同一平面上的三个向量，其中a=(l, 2).A. 2cm 3B. 4cm 3C. 6cm 3D . 8cm 3B.则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2的概率是（B. 1-C. 1 -12.已知函数f （x ）= ,X 1 , X 2 , X 3, X 4, X 5 是方程 f (x) =m 的五个不等的实数根，则 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5的取值范围是（A. (0,同 B .（一兀，兀） C. (lg ，兀 1) D. ( 为 10)二、填空题（每题 5分，，茜分20分）14.已知sinOL IcosCl①若|C 1=2 j5,且c // a,求C的坐标.… .. 5②右|b |=——,且a +2 b与2 a -b垂直，求a,与b的夹角219.设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知S3=6, a4=4.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2) 若bn=3 — 3 %,求证：—+---+ , , •+ ——<—.b L b2 L 420为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15〜65岁的人群抽样了n人，回答问题15 25 35 45 55 e5 学龄(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2, 3, 4组每组各抽取多少人？(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.21.在三柱ABC-A i B i C i中，△ ABC是边长为2的正三角形，侧面BB i C i C是矩形，D、E分别是线段BB i、AC i的中点.(i)求证：DE//平面A i B i C i；(2)若平面ABC，平面BB i C i C, BB i=4 ,求三棱锥A- DCE的体积.22.已知圆C: x2+y2+2x- 3=0.(i)求圆的圆心C的坐标和半径长；(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A (xi, yi)、B (X2, y2)两点, 求证：1 :工为定值;町K2(3)斜率为i的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使^ CDE的面积最大.禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷参考答案选择题（每小题分，共分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBCBCBABAACD、填空题（每小题 5分，共12分）,、M A TV - n 2n 兀 兀 n 解：A =——，，C =兀- =———4 q 3 3 2••,|b=V3, B =-^-JbsinC V5 ^/218.解：①设 c (x, y) • •• c // a 且|C |二2 J52x y 0•• 2 2 x 2 y 2 202 c =(2,4)或 c =(-2, -4).13.-3 14. — 15. 3 16.1,17 (I)解：:2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC,由正弦定理得, 2b 2= (2a+c) a+ (2c+a) c, 化简彳导,a 2+c 2B=2TT...sinC=sin (2L 』)=、3 「 JT由正弦定理得,SliTT-COS-^-COS-SLIT^ bI sinC sinBcsinBsin号X 炳乂配yXsin-TT 3^/3b 2+ac=0.・•.△ABC 的面积②「( a+2b ) ± (2a-b)，( a+2b) (2a-b) =0,-r -to- -► —*■• -2a 2+3a b-2 b 2=0• •.2|a |2+3| a | b||cos -2|b |2=02X 5+3X v -'5 X — cos -2X - =0, cos = -1 2 4打九 2k Tt, 长［0,兀］「. 0 =Tt.9 CL— 2520解：（1）由频率表中第 4组数据可知，第 4组总人数为 —再结合频率分布直方图可知n ----------- 1000.025 10a 100 0.01 10 0.5 519.解：（1）设公差为 d,则解得=1-a n =n. (2)证明：b n =3—3 、=3n+1— 3n=2?3n,0.36 (1分)•｝是等比数列.，q1b 100 0.03 10 0.9 2乙x 180.9, y — 0,220 15(2)因为第2, 3, 4组回答正确的人数共有 54人，所以利用分层抽样在 54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:(3)设第2组2人为：A 1, A 2；第3组3人为：B 1, B 2, B 3；第4组1人为：C 1 .则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A 2), (A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 1,B 3), (A 1C1),(A 2,B 1), (A 2, B 2), (A 2,B 3), (A2,C I ), (B I ,B2), (B I ,B3), (B 1,C 1), (B 2,B 3), (B2,C I ), (B 3,C I )共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件, ……，一，…— …31，所抽取的人中恰好没有第 3组人的概率是：P - -155贝U 由EF 是△ AA 1C 1的中位线得 EF // AA 1, 又 DB 1//AA 1, DB 1卷AA 1 所以 EF // DB 1, EF = DB 1所以DE //平面A 1B 1C 1(n)解：因为E 是 AC 1 的中点，所以 V A DCE =V D ACE =2过A 作AH ，BC 于H 因为平面平面 ABC ，平面BB 1C 1C,所以AHL 平面BB 1C 1C,所以 V A DCE =V D —ACE =「5二「7 (4)第2组:18 54 2人;第3组:27 54 3人;第4组:9 54…(8分)21. (1)证明：取棱A i C i 的中点F,连接EF 、B 1F…(10分)…(12分)故四边形DEFB 1是平行四边形，从而 DE// B1FEF122.解：（1）圆 C: x 2+y 2+2x-3=0,配方得（x+1） 2+y 2=4,则圆心C 的坐标为（-1,0）,圆的半径长为 2;（2）设直线l 的方程为y=kx,联立方程组工卜了 +2x3=。

高一数学必修1期末试卷及答案高中数学必修一期末试卷一、选择题。

（共12小题，每题5分）1、设集合A={x| x>-1}，则（）A、XXXB、2 ∉AC、2∈AD、2 ∈ { }改写：集合A由所有大于-1的实数x组成。

2．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A．f(x)=|x|，g(x)=x-1/x-1B．f(x)=log2(x+1)，g(x)=2log2(x-1)C．f(x)=x2-1/x2-1，g(x)=x-1D．f(x)=g(x)改写：哪一组函数表示同一个函数？3、设A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（）A、{1，2}B、{1，5}C、{2，5}D、{1，2，5}改写：如果A和B的交集是{2}，那么A和B的并集是什么？4、函数f(x)=(x-1)/(x-2)的定义域为（）A、[1，2)∪(2，+∞）B、(1，+∞）C、[1，2)D、[1，+∞)改写：函数f(x)=(x-1)/(x-2)的x的取值范围是什么？5、设集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（）删除：题目中的图形6、三个数7.3，0.3，㏑0.3，的大小顺序是（）A、7>0.3>㏑0.3B、7>0.3>㏑0.3C、0.3>7>㏑0.3D、㏑0.3>7>0.3>3改写：将三个数按照从大到小的顺序排列。

7、若函数f(x)=x+x-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2f(1.25)=-0.984f(1.438)=0.165f(1.5)=0.625f(1.375)=-0.260f(1.4065)=-0.052那么方程x+x-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5改写：使用二分法逐次计算函数f(x)=x+x-2x-2的一个正数零点附近的函数值，给出下表：x。

高一数学期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 函数y = 2x + 3的斜率是：A. 2B. 3C. 1/2D. 1/33. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，则圆心坐标是：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)5. 函数f(x) = |x|的图象是：A. 直线B. 抛物线C. V形D. U形6. 等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则a5的值是：A. 11B. 13C. 15D. 177. 向量a = (3, -4)与向量b = (-2, 5)的点积是：A. 13B. -13C. 3D. -38. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π9. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)10. 抛物线y = x^2 - 6x + 9的顶点坐标是：A. (3, 0)B. (-3, 0)C. (3, 9)D. (-3, 9)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则b3的值是________。

12. 函数y = 3x - 2与x轴的交点坐标是________。

13. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是________。

14. 向量a = (1, 2)与向量b = (-2, 4)的向量积是________。

15. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点是________。

高中期末数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是不等式2x + 3 > 5的解集？A. x > 1B. x < 1C. x ≤ 1D. x ≥ 12. 函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是？A. (1, -1)B. (2, -1)C. (1, 1)D. (2, 1)3. 圆的方程x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0的半径是多少？A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 抛物线y = -2x^2 + 4x + 1的对称轴方程是？A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = -26. 函数y = 3sin(x)的周期是？A. πB. 2πC. π/2D. 4π7. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B等于？A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}8. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，d = 3，则a5等于？A. 14B. 17C. 20D. 239. 函数y = ln(x)的定义域是？A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. (0, -∞)10. 已知复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部是？A. √3/2B. -√3/2C. √3/2 或 -√3/2D. 0二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算：(3x - 2)(2x + 3) = __________。

12. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, -1)，则向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = __________。

13. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是 __________。

海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.不等式的解集为（）A．B．C．D．2.已知等差数列中，，前9项和（）A．108B．72C．36D．183.在中，若角，，成等差数列，则角=（）A．90°B．60°C．45°D．30°4.若实数，满足，则的最小值为（）A．18B．12C．9D．65.已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为 ( )A．B．C．D．6.如图，是水平放置的直观图，则的面积为（）A．12B．6C．D．7.数列前项和为，若，则=（）A．B．C．D．8.在中，，，，则=（）A．B．C．D．9.设长方体的长，宽，高分别是，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．10.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则=（）A．B．C．D．11.不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．（2，3）B．（）C．D．（）12.已知不等式≥9对任意实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．8B．6C．4D．2二、填空题1.不等式≥0的解集 .2.在中，若，则=3.等比数列中，…，公比，则… .4.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为________．三、解答题1.已知等差数列中，①求数列的通项公式；②若数列前项和，求的值。

2.设的角A、B、C所对的边分别为，已知①求的面积S；②求AB边上的高h。

3.设等比数列的前项和为，已知，求和。

4.已知简单几何体的三视图如图所示求该几何体的体积和表面积。

附：分别为上、下底面积5.如图，海船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距2海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上。

①求渔船甲的速度； ②求的值。