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房屋贷款中的数学建模问题随着房屋价格的不断上涨，越来越多的人为了能够拥有一套自己的房子，选择了贷款这个方法。
在贷款的过程中，相信大家都会发现，有很多的数据需要我们去计算，比如贷款额度、还款期限、月供等等。
这些都涉及到数学建模，今天，我们就来聊一聊房屋贷款中的数学建模问题。
一、贷款额度计算在贷款的过程中，首先需要算出来的就是贷款额度。
贷款额度与房屋价格、首付比例、利率、还款期限等多个因素有关。
如果我们已经知道了房屋价格、首付比例和还款期限，那么我们就可以通过如下的公式来计算贷款额度：贷款额度 = 房屋价格 × (1 - 首付比例)举个例子，如果房屋价格是100万，首付比例是30%，还款期限是25年，利率是4.9%。
那么贷款额度就可以这样计算：贷款额度 = 100万 × (1 - 30%) = 70万二、等额本息还款计算在贷款的过程中，最常见的还款方式就是等额本息还款。
所谓等额本息还款，就是指每月还款金额相同，还款期限相同，并且每月还款分为两部分，一部分是本金，一部分是利息。
那么我们该如何计算每月需要还多少钱呢？首先，我们需要通过利率、还款期限和贷款额度来计算出每月需要还的利息。
而每月需要还的利息，可以通过如下的公式来计算：月利率 = 年利率 ÷ 12每月利息 = 贷款余额 ×月利率贷款余额 = 贷款额度 ÷还款期限 × (期限 - 已还月份)接着，我们就可以通过如下的公式来计算出每月需要还的本金：每月本金 = 贷款额度 ÷还款期限最后，我们就可以通过如下的公式来计算出每月需要还的总额：每月还款额 = 每月本金 + 每月利息如果你觉得这样计算太麻烦了，也可以通过相关的贷款计算器来计算出每月需要还多少钱。
三、提前还款计算在贷款过程中，如果有一天我们有一笔钱，想要提前还清贷款，那么我们该如何计算提前还款所需要的费用呢？这个问题其实也可以通过数学建模来解决。
【数学建模】还款中的数学“还款中的数学”选自北师大版《数学5（必修）》第一章第4节，是数列相关知识在日常生活中的应用.此前学生已掌握等差、等比数列的通项公式及前项和公式，并学习了有关储蓄的计算（复利计息问题），在基础知识和应用能力方面都有一定基础，后面会以课题形式研究“教育储蓄”因此这节课有承前启后的作用.本节课以探究“还款方案是否公平”为教学起点，采用“小步子”教学，层层递进，激发学生求知欲，提高学习兴趣，让学生在探究中发现数学模型，激活思维，提升知识应用意识与能力，从而在开拓视野、问题解决中发展学科核心素养.一、案例呈现情境：小王准备借小张6000元购买一台电脑，承诺6个月还清，每月还一次.然而两个人在还款方案上出现了分歧，以下是他们各自的还款方案，试判断两个方案是否公平？方案1：小王认为，自己借了小张6000元，分6次还清，为公平起见就取平均数，也就是说每次还给小张1000元.方案2：小张认为，自己借给小王6000元，若钱存在银行6个月后应增值为6000×（1+0.8%）（月利率为0.8%，每月利息按照复利计算），为了公平起见就取平均数，也就是说小王每次应还1048.97元.困惑：还款数不一致，不公平.（学生思考做选择）设计意图：充分利用“困惑”引发认知冲突，调动学生解惑（解决实际问题）的积极性，开展深度学习.二、模型分析思考1：以上还款方式如何评判才算“公平”？提示：符合科学依据.（寻找依据）思考2：还款方式有哪几种？提示：有等额本金还款和等额本息还款两种方式.探究1：（等额本金还款）每月小王等额归还小张本金为6000÷6=1000元，第一个月利息为6000×0.8%=48元，则第一个月还款额为1000+48=1048元：第二个月利息为（6000－1000×1）×0.8%=40元，则第二个月还款额为1000+40=1040元；第三个月利息为（6000（2）公积金贷款与商业贷款的差别有多大？（3）选择多少年还款比较合理？提前还款值不值？（4）如果没有及时还款，会怎样？（注：可以使用房贷款计算器）学生1：（以借款20年为例）从数据对比中，建议老师采用“等额本息还款”.理由：老师收入稳定，可以减少前期的还款压力.“等额本金还款”方式适合人群：目前收入较高，未来不太明确.学生2：建议老师采用“公积金贷款”.理由：老师有住房公积金，并且公积金贷款年利率要低于商业贷款.学生3：建议老师选用13年到19年之间还款.理由：一般情况下，房屋还贷比例控制在税前月总收入的25%－30%是比较合适的，这样对老师生活质量影响不大.学生4：至于是否提前还款，要考虑家庭实际情况，如果有多余的资金，并且没有其他用途时，建议提前还款，但如果有其他投资项目，获得的资金回报率高于公积金利率时，建议不要提前还款.学生5：当老师贷款时，首先会签订合同，若没有及时还款，除了赔付滞纳金外，还会影响诚信记录，今后在办理信用卡、房贷、车贷等各类贷款时也会有不良影响.另外，若长时间没有还款，银行会起诉你强制还款.教师：我们的生活中处处都有数学的影子，如彩票、基金、外汇、股票、期货等家庭理财都有数学模型，同学们应学会理性消费，科学理财.设计意图：使学生通过具体的等额本金、等额本息数据来分析、选择还款方式，解决实际问题，在培养数学建模思想的同时，拓展学生数学思维.四、模型反思（1）分期付款中的计算涉及的数学知识：等比数列前项和公式：数学思想：列方程解未知数.（2）从数学的角度看，本课题是数列前n项和公式在购物付款方式上的一个实际应用.（3）问题来源于现实，我们要善于发现问题并抓住问题本质.现实生活中要注意从多角（2024上·重庆·高三统考期末）A．30%B．40%C．60%D．70%（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考阶段练习）4．小张于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选择了10年期的等额本息的还贷方式（每月还款数额相等），2021年底贷款购置了一辆小汽车，且截至2022年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2022年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配图．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）A．小张一家2022年的家庭收入比2018年增加了1倍B．小张一家2022年用于娱乐的支出费用为2018年的5倍C．小张一家2022年用于饮食的支出费用小于2018年D．小张一家2022年用于车贷的支出费用小于2018年用于饮食的支出费用（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）5．王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)．(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还12000元，最后一个还贷月应还5000元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据119120121，，≈≈≈1.003 1.4281.003 1.4331.003 1.437参考答案：。
衡阳师范学院学生实验报告实验课程名称：数学建模实验内容：银行还贷方式建模系别：数学年级： 09级专业班：应用数学1班学生姓名黄小红屈丽平张霏霏学号 ******** ******** ******** 开课时间： 2012 年上学期银行还贷方式的数学模型摘要如今社会中的各大银行关于各种贷款的还款主要有两种：等额本息还款法和等额本金还款法。
两种方法各有优缺点，适合不同类型的人群，通过本次数学模型的建立，可以让广大人民群众直观地辨别出这两种方式的异同点及优缺点，从而根据自己的实际情况选择合适的还款方式。
在这两种还款方式的数学模型的建立过程中都涉及到了数列的有关知识，通过分析问题，采用递推的思想方法及等差等比数列求和的计算，分别建立了等额本息还款数学模型和等额本金还款数学模型。
建模过程中，计算解决一个实际问题和分析模型时，发现等额本金还款法的利息逐月减少，首月还款2008.33元，而末月还款只要838.23元。
等额本息还款法再在整个还款过程中平衡稳定，每月付款1556.61元。
但在最后的还款总额中明显要高于等额本金还款的总额（见下表）：还款总额（万元）支付利息（万元）等额本金还贷34.159 14.159等额本息还贷37.359 17.359差额-3.2 -3.2 除了这两种常见的还贷方式，我们还考虑了灵活性很强的等额本金递增（减）还贷方式。
关键字：等额本金等额本息递推数列等额本金递增一、问题重述与分析1.1问题的重述银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法．有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱．建模之后分析并比较两种贷款方式的利与弊。
同时，提出另外一种还贷方式。
1.2问题的分析随着社会的发展，人们的各种贷款也随着增多，特别是在青年群体中，有关房贷、车贷问题特别多。
然而他们对银行提供的两种还款方式——等额本息还款法和等额本金还款法，了解得并不是很多，由于前者还款时操作简单且平衡稳定，因而大多数人选择等额本息的还款方式。
关于房贷还款问题的建模与求解摘要为了解现行房贷还款方式利弊，本文针对我国银行现行两种购房贷款制度进行对比研究。
分别对等额本金还贷方式和等额本息还贷方式进行建模、制图、比较，并设计了新的还贷方式。
首先，建立等额本金和等额本息两种还贷方式的数学模型：等额本金：Z=A+n⨯A⨯i-A⨯(n-1)⨯i/2等额本息：Z= A⨯i⨯n(1+i)n/[(1+i)n-1]1根据模型分别做出两种贷款方式在不同还贷期限下，还款总额与还款时间的关系图；再根据两种还贷方式模型分别作出在相同本金及相同还贷期限下月供与还贷时间的关系图。
经过对比发现，两种还贷方式并无好坏之分，只是为了适合不同的人群。
等额本息适合有稳定收入的工薪阶层人群，而等额本金适合于有一定积蓄或者收入递减的人群。
关于提前还贷问题，本文就提前一次性结清和提前部分还贷两种情况，分别对等额本金和等额本息两种还贷方式作了严格的推理分析和论证。
最后得出结论，无论何种情况，何种还贷方式，提前还贷都可使还贷总额相比计划还款总额减小。
贷款人可根据自身情况选择提前一次性结清或提前部分还贷。
考虑到现在大部分年轻人由于事业家庭刚刚起步，支付购房首付后经济暂时拮据，但随着工作的稳定和上升，收入和积蓄也会增加，所以本文中尝试着设计了一种月供逐渐增加的还贷方式，并研究了这一种还贷方式的可行性，建立模型如下：设计模型：w=A+A(1+n)⨯i⨯n/2同样作出还款总额与还款时间的关系图，以及月供与还贷时间的关系图。
并与先行两种还贷方式进行对比。
对比可以发现，设计模型在还款总额和月供数额的递变方面都更适合工薪阶层及年轻人。
最后我们对模型存在的优缺点进行了分析。
本文中所建三个模型基本可以清楚准确的描述各还贷方式的特点及实施过程。
关键字：等额本金等额本息月供还贷总额利率每月贷款余额一问题的提出随着国家住房商品化政策的推行，于是银行提供了购房贷款项目，帮助很多人解决了购房款的问题。
人民群众住房条件改善的同时也带来了不小的问题，极少数居民有能力一次性付清房款我国银行现行两种购房贷款还款方式：等额本息和等额本金。
数学建模论文银行贷款问题模型姓名 1：学号：姓名 2：学号：姓名 3：学号：班级：指导教师：2014年 5 月 24 日目录摘要----------------------------------------- 2一、问题叙述------------------------------------- 2二、问题分析------------------------------------- 2三、基本假定--------------------------------------5四、模型的建立及求解1、等额本金还款法2、等额本息还款法五、模型的进一步分析六、模型的评价及推广七、参考文献附：等额本息还款法和等额本金还款法的比较--------------------------------------5摘要随着社会的不断发展，人们日益增长的物质需求也不断升高，可是对于大部分人来说，要想完成一些经济活动，需要向银行贷款，目前商业银行已经加大了个人贷款的力度，“门槛”也一降再降，申请个人贷款已经不是件难事。
对于贷款，大多数银行主要采用两种还贷方式：等额本息还款法和等额本金还款法。
若我们根据已知年利率，针对每月还款额和个月限满后的最后一月付款后本利和为零，推导出等额本金还款法和等额本息还款法的还款总额、利息负担总和、月供的公式。
合理假设的前提下，运用等差数列求和设计等额本金还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，运用迭代和等比数列求和两种不同方法从不同角度推导等额本息还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，通过计算讨论比较偿还贷款本息的多少。
关键词：贷款利率还款总额等额本金还款等额本息还款一、问题叙述某家庭贷款30万元购买一套房子，贷款(年)利率为7%，用15年的时间还清贷款。
不同的贷款方案将会产生不同的效益，根据问题的要求，建立相应的数学模型解答出不同情况下每月还款额以及利息、还款的时间。
对不同方法进行比较，并选出最优方案。
数学建模之贷款问题姓名1：张昌会学号：201105514 姓名2：郭娟丽学号：201105534 姓名3：武申金学号：201105547 专业：统计学班级：统计学1101班2013年11 月25 日数学建模题目：贷款问题组员1：姓名张昌会学号201105514班级统计1101班组员2：姓名郭娟丽学号201105534班级统计1101班组员3：姓名武申金学号201105547班级统计1101班摘要随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子、车子，自然成了人们渴求的目标。
俗话说：“安居才能乐业”，摆在人们面前的问题也就浮于水面。
同时，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，人类对居所的投资，直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。
特别是国家的宏观调控激活了房地产市场和汽车消费市场，扩大了内需。
社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房买车成为新的购房趋势,并日渐盛行。
本文根据银行住房贷款和我们的日常常识，首先对题目中的条件进行合理的分析，比较并分析等额本息和等额本金两种贷款方式，一是等额本息贷款, 计算原则是银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；二是等额本金贷款, 计算原则是每月归还的本金额始终不变，利息随剩余本金的减少而减少。
推导出月均还款及累计利息总额的公式，建立数学模型。
其次根据给出的银行利率，利用vc++软件和已求出的公式，计算出月均还款额和所花费的利息总额，制成图表并借以分析贷款的期限与月还款之间的关系。
最后对按揭贷款买房提出了一些我们的建议。
这些天来我们对贷款买房的研究，使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，相信这些实用知识对我们的使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，未来发展一定有很大的帮助。
关键词：贷款，利率，月均还款额，累计利息总额，等额本息，等额本金一、问题的提出随着国家住房商品化及家用轿车商业化政策的推行，于是银行提供了购房贷款项目及轿车贷款项目，帮助很多人解决了购房款和购车款的问题。
摘要等额本金还款方式：是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息，所以初期由于本金较多，将支付较多的利息，从而使还款额在初期较多，而在随后的时间每月递减；等额本息还款方式：是在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。
先将两种还贷方式的计算公式推导出来，用数据列表来表示两种还贷法的优劣，再可以变化条件，比如变化贷款期限、提前还贷等，说明各种情况下贷款者的有利与不利的地方。
对于问题一，根据新利率和公式计算出20年期的还款额和利息负担分别为541000.00元、241000.00元；对于问题二，容易计算出1年期贷款30万的一次性支付还款总额和利息负担总和分别313158.34元和13158.34元。
再根据推算公式可计算出20年期限下的月均还款额为 2509.32元；还款总额为602236.85元；利息负担总和为302236.85元。
关键词：贷款；利率；还款负担问题的提出贷款30万，银行利率8%（要求年利率），还款年限20年，求1.每月月供额；2.累计支付利息.比较等额本金与等额本息两种还款法.一假设1.还款时期内的年利率8%不变.2.消费者的每月的消费十分理智.二参数1.等额本金还款法设贷款额为a，月利率为i，年利率为l，还款月数为n2. 按等额本息还款法：设贷款额为a，月利率为i，年利率为l，还款月数为n，每月还款额为b，还款利息总和为Y三分析1.按等额本金还款法：第n个月贷款剩余本金a1=a,a2=a-a/n,a3=a-2*a/n...以次类推每月应还本金：a/n每月应还利息：an*i每期还款a/n +an*i支付利息Y=（n+1）*a*i/2还款总额=（n+1）*a*i/2+a2.按等额本息还款法：(1) I＝12×i(2) Y＝n×b－a(3) 第一月还款利息为：a×i第二月还款利息为：〔a－（b－a×i）〕×i＝（a×i－b）×（1＋i）^1＋b第三月还款利息为：｛a－（b－a×i）－〔b－（a×i－b）×（1＋i）^1－b〕｝×i＝（a×i －b）×（1＋i）^2＋b第四月还款利息为：＝（a×i－b）×（1＋i）^3＋b.....第n月还款利息为：＝（a×i－b）×（1＋i）^（n－1）＋b求以上和为：Y＝（a×i－b）×〔（1＋i）^n－1〕÷i＋n×b(4) 以上两项Y值相等求得月均还款:b＝a×i×（1＋i）^n÷〔（1＋i）^n－1〕支付利息:Y＝n×a×i×（1＋i）^n÷〔（1＋i）^n－1〕－a还款总额:n×a×i×（1＋i）^n÷〔（1＋i）^n－1〕注:a^b表示a的b次方。
试卷编号：河北联合大学轻工学院第三届数学文化节之数学实验竞赛答卷参赛队员1 参赛队员2 参赛队员3 姓名胡韶奕学号************专业机械设计制造Email *****************知行书院·基础教学部摘要房贷还款问题1)等额本息还款法和等额本金还款法银行利息的计算公式是：利息＝资金额×利率×占用时间。
因此，利息的多少，在利率不变的情况下，决定因素只能是资金的实际占用时间和占用金额的大小，而不是采用哪种还款方式。
这是铁定不变的道理！不同的还款方式，只是为满足不同收入、不同年龄、不同消费观念人们的不同需要或消费偏好而设定。
其实质，无非是贷款本金因“朝三暮四”或“朝四暮三”式的先还后还，造成贷款本金事实上的长用短用、多用少用，进而影响利息随资金实际占用数量及期限长短的变化而增减。
可见，不管采取哪种贷款还款方式，银行都没有做吃亏的买卖、客户也不存在节省利息支出的实惠。
2)合适的提前还贷所谓提前还贷是指借款人在保证按月按额偿还个人住房贷款本息的基础上，提前偿还部分或全部购房借款的一种经济行为。
提前还贷通过提前偿还全部或部分本金而使利息减少，但提前还贷不能盲目跟风，否则得不偿失。
（1）已享受优惠利率不必急于提前还贷（2）还款期过半不宜提前还贷3)浅谈其他还贷方式等额递减还款法等比递增还款法等比递减还款法等额递增还款法关键词：等额本金还款等额本息还款提前还贷+一 问题重述银行目前有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法．有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。
若考虑到当前的利率情况，如提前还贷，应如何做。
是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论。
二 问题分析购房贷款在还款的过程中，制定的是按月还款。
把连续性的问题离散化，所以我们根据差分方程对这一问题进行建模分析。
问题一 等额本息还款法每月的还款额 问题二 等额本金还款法每月的还款额问题三 当总贷款金额；利率；期数相同时，两种还款方式的利弊 问题四 关于提前还贷，违约金，剩余利息之间的关系问题五 享有优惠政策，还款半数以上者和有投资方向的提前还款的利弊 问题六 浅谈其他的还贷方法三 问题假设与记号假设：①假设外界因素的影响不改变还款期限；②假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值；③假设在一定时间内，银行贷款利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀、国家政策的影响；④银行利息按复利计算； 记号：A(元)为贷款额（本金），n(月)为贷款期限，r 为月利率（0<r<1），B （月）(1B ,2B )为月还款额，R(元)为总剩余利息(1R , 2R )，P 为还款总额，Ck 为第k 个月还款后的欠款，H 为违约金额。
等额本金与等额本息数学建模1.引言1.1 概述概述部分将对等额本金与等额本息两种还款方式进行简要介绍，以及介绍本文的结构和目的。
在房地产和贷款领域中，等额本金和等额本息是两种常见的还款方式。
等额本金指的是每个还款期内偿还的本金相等，而每个还款期的利息则是基于剩余未偿还本金计算得出的。
由于每个还款期偿还的本金逐渐减少，利息费用也会逐渐减少，因此总利息费用较低，贷款总成本较少。
等额本息则是每个还款期内偿还的本息总额相等，由于每个还款期的本金相同，因此每个还款期的利息也是相同的，但是由于还款期内未偿还本金不断减少，所以每个还款期偿还的本金部分逐渐增加。
本文将对这两种还款方式的原理和计算方法进行详细分析，并比较它们的特点和优缺点。
通过比较分析，我们将得出结论，并讨论这两种还款方式在实际应用中的具体情况。
在房地产和贷款领域中，选择适合自己的还款方式非常重要，本文旨在为读者提供有益的信息和建议。
文章的结构如下：引言部分将对本文的主题进行简要介绍；正文部分将分为等额本金和等额本息两个小节，针对每种还款方式进行详细介绍；结论部分将对两种还款方式进行对比分析，并探讨它们在实际应用中的应用情况。
通过本文的阅读，读者将对等额本金和等额本息的数学建模有更深入的理解，并能够根据自己的需求和情况选择适合的还款方式。
1.2文章结构1.2 文章结构本文分为三个主要部分，包括引言、正文和结论。
以下是各个部分的概述：引言部分主要介绍了本文的主题和背景，同时概括了等额本金和等额本息数学模型的基本特点和计算方法。
同时，引言部分也明确了本文的目的，即通过对比分析等额本金和等额本息两种还款模式，探讨其在实际应用中的优缺点。
正文部分包括了两个主要部分，分别是等额本金和等额本息还款模式的原理和计算方法以及它们的特点和优缺点。
2.1 等额本金2.1.1 原理和计算方法在这一部分，我们将详细介绍等额本金还款模式的原理和计算方法。
首先，我们将解释什么是等额本金还款模式，以及它是如何计算每期偿还的本金和利息的。
购房贷款还贷的数学模型班级：热能091 学号：姓名：一、数学模型建立：a=贷款本金；b=每月还款额；n=房贷年数；r=贷款月利率；x=总利息；w=总偿还贷款本息；a(i)=第i月归还本金；x(i)=第i月偿还的利息；y(i)=第i月欠银行的钱；模型描述：无论哪种还款方式，都有一个共同点，就是每月的还款额（也称月供）中包含两个部分：本金还款和利息还款：月还款额=当月本金还款+当月利息b(i)=a(i)+x(i)；当月剩余本金=上月剩余本金-当月本金还款y(i)=y(i-1)-a(i)；当月利息=上月剩余本金×月利率x(i)=y(i-1)*r ；月利率=年利率÷12；其中本金还款是真正偿还贷款的。
每月还款之后，贷款的剩余本金就相应减少，利息还款是用来偿还剩余本金在本月所产生的利息的。
由上面利息偿还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷款初期，剩余本金较多，所以可见，贷款初期每月的利息较多，月还款额中偿还利息的份额较重。
随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利息也相应减少，直到最后一个月，本金全部还清，利息付最后一次，下个月将既无本金又无利息，至此，全部贷款偿还完毕。
二、模型求解：1.等本息.等本息还款额的推导：每个月的还款额相等，其中月还款额=当月本金还款+当月利息第一个月的利息＝ar第一个月的本金还款额Y(1)＝b－第一个月的利息＝b－ar第一个月剩余本金＝总贷款额－第一个月本金还款额＝a－（b－ar）＝a×（１＋r）－b第二个月，当月利息还款额＝上月剩余本金×月利率第二个月的利息＝（a×（１＋r）－b）×r第二个月的本金还款额Y(i)＝b－第二个月的利息＝b －（a×（１＋r ）－b ）×r第二个月剩余本金＝第一个月剩余本金－第二个月本金还款额＝a×（１＋r ）－b －（b －（a×（１＋r ）－a ）×r ）＝a×（１＋r ）－b －b ＋（a×（１＋r ）－b ）×r＝a×（１＋r ）^2－［a ＋（１＋r ）×b ］(1+r)^2表示(1+r)的2次方第三个月的利息＝第二个月剩余本金×月利率第三个月的利息＝（a×（１＋r ）^2－［a ＋（１＋r ）×b ］）×r第三个月的本金还款额Y(3)＝b －第三个月的利息＝b －（a×（１＋r ）^2－［b ＋（１＋r ）×b ］）×r第三个月剩余本金＝第二个月剩余本金－第三个月的本金还款额＝a×（１＋r ）^2－［b ＋（１＋r ）×b ］－（a －（a×（１＋r ）^2－［b ＋（１＋r ）×b ］）×r ）＝a×（１＋r ）^2－［b ＋（１＋r ）×b ］－（b －（a×（１＋r ）^2×r ＋［b ＋（１＋r ）×b ］）×r ）＝a×（１＋r ）^2×（１＋r ）－（b ＋［b ＋（１＋r ）×b ］×（１＋r ））＝a×（１＋r ）^3 －［b ＋（１＋r ）×b ＋（１＋r ）^2×b ］上式可以分成两个部分第一部分：a×（１＋r ）^3第二部分：［b ＋（１＋r ）×b ＋（１＋r ）^2×b ］＝b×［１＋（１＋r ）＋（１＋r ）^2］通过对前三个月的剩余本金公式进行总结，我们可以看到其中的规律：剩余本金中的第一部分＝总贷款额×（１＋月利率）的ｎ次方，（其中ｎ＝还款月数）剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以（１＋月利率）为比例系数，月还款额为常数系数，项数为还款月数ｎ。
数学建模一周论文论文题目：还款周期与本息总额姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：机械工程班级：1322404********2015年7 月1 日一、摘要这是一个关于银行贷款偿还问题的数学模型。
随着国民经济的发展，人们普遍接受先银行贷款再通过分期付款的方式进行消费，因此，通过对这个问题的分析研究建立起正确的数学模型对人们如何选择贷款、还款方式有着重要的意义。
根据已知利率，以及贷款金额，分别针对等额本息还款法和等额本金还款法，我们建立线性方程数学模型，推导出还款总额，还款总利息，月均还款额的通用公式。
对于这个问题代入还款年限3年借贷10万元，根据通用公式容易计算出还款期限为3年的等额本息还贷和等额本金还贷这两种还款方式月均还款额别别为3272元，3003元以及本息还款总额别别为117820元，108138元。
从而通过对比较可知若3年还清则等本金额还贷更少。
还贷期限越长本金还款方式的有事越大，但在最开始的阶段本金还款方式的经济压力越大。
通过本模型还能够分析不同还款周期下的月均还款额以及本息还款额，即对于不同的还款周期本模型的建立也能够起到很好的参考作用。
关键词：等额本息还款法等额本金还款法本息总和还款周期二、问题的重述随着经济的发展，金融业务越来越多的走进人们的生活，个人住房贷款就是其中重要的一项。
若个人住房贷款以10万元为例子，期限为3年，试讨论随着还款的周期变化，本息总额如何变化。
三、问题的分析银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。
所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等额本金还款法（又等本不等息递减还款法称），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清试想一下，银行如果不把本金贷给客户的话，银行就可以从这笔本金中赚到利息. 因此，银行为了保障自己的利益，他不仅要求客户还贷款本金外，还要求客户还本金在贷款期内应该赚到的利息. 现在的银行大多是要求客户每月还相等的金额，即是每月按月均还款额偿还贷款，这样，贷款期过后，客户就会把本金和本金的利息都还清. 可以根据这些，从中推导出月均还款总额的公式.从而将相应的数据计算出来。
作为一笔10万元、3年的房贷，按照上述的两种还款方式所计算出来的数据一般都会存在差额，而本模型的建立就是要解决以下几个重要的问题：1．建立的数学模型能够讨论出这两种银行还款方式在3年还款期限下的好坏之分;2．建立的数学模型能够讨论出这两种银行还款方式在不同还款期限下的好坏之分;3，设计一些其它房贷还款方式，并作讨论。
假设在上述问题的解决过程中:(1)银行借贷年利率确定不变。
（2）在本月1号都还清了上月的贷款额。
四、符号的约定A : 客户向银行贷款的本金B : 客户平均每期应还的本金C : 客户应向银行还款的总额D : 客户的利息总和α: 客户向银行贷款的月利率β: 客户向银行贷款的年利率m : 贷款期n : 客户总的还款期数根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：（1）mA=-（3）nBC=A=（2）Dn12五、模型的建立与求解方案一：等额本息还款模型的求解等额本息还款即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清。
也就是每个月还贷数额不变，把总共要还的前平分给给个月。
对于这个模型，可以按贷款的期限分成两种情况：（1）1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此：1年期的还款总额为：AC)+=1(β而利息负担总和为：A-==ACDβ（2）贷款期在1年以上：先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的. 客户的合同里规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变.因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，即有关系式：αβ12=设月均还款总额是x （元）a（i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额ib (i=1…n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额.i根据上面的分析，有第1期还款前欠银行的金额：)1(1α+=A a第1期还款后欠银行的金额：x A x a b -+=-=)1(11α……第i 期还款前欠银行的金额：)1()1()1()1( )1)()1()1(()1(21211αααααααα+--+-+-+=+--+-+=+=-----x x x A x x A b a i i i i i i i第i 期还款后欠银行的金额：xx x A x a b i i i i -+--+-+=-=-)1()1()1( 1ααα …… 第n 期还款前欠银行的金额：)1()1()1()1( )1)()1()1()1(()1(213211ααααααααα+--+-+-+=+--+-+-+=+=------x x x A x x x A b a n n n n n n n n第n 期还款后欠银行的金额：x x x A x a b n n n n -+---+=-=-)1()1()1(1ααα ＋因为第n 期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：0=n b ，即：0)1()1()1(1=-+---+-x x x A n n ααα ＋解方程得：1)1()1(-++=n n A x ααα 这就是月均还款总额的公式.因此，客户总的还款总额就等于：1)1()1(-++==n n An nx C ααα 利息负担总和等于：A An A C D n n--++=-=1)1()1(ααα 利用上面推导出来的公式，可以计算出的3年期的本息总和。
方案二： 等额本金还款模型的求解银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法：等额本金还款法（递减法）：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减. 因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息.对于这个模型，也可以按贷款的期限分成两种情况：（1）1年期的贷款:银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：A C )1('β+=而利息负担总和为：A A C D β=-=''（2）贷款期在1年以上.设客户第i 期应付的金额为i x ( i = 1…. n ) (单位：元)因此，客户第一期应付的金额为 ：α)(1B A B x -+=第二期应付的金额为 ：α)2(2B A B x -+=计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第40期，应该还银行3343. 68元，这才与每月的盈余相当. 而在第109期（若年利率不变），应该还银行2832. 18元，这时才与本息还款法的月均还款总额差不多. 而且对于每月3350元的收入，等额本息还款法还款会更合适.……那么，客户第n 期应付的金额为 ：α)(nB A B x n -+=累计应付的还款总额为 ：2)2(21'αα-+=+++=n A x x x C n 利息负担总和为 ：)1(212)2(''-=--+=-=n A A n A A C D ααα 利用上面推导出来的公式，可以计算出的3年期的本息总和。
以向银行贷款10万元，3年还款期限为例. 比较两种还款方法（如下表）：（以新规定，五年以上年利率为5. 58% 来计算 （单位：元））通过模型的建立与求解得出：三年等额本息还清贷款，则还款总额为117820元，月均还款额为3272.8元；三年等金本息还清贷款，则还款总额为108178元，月均还款额为3003.83元。
由此可知选择预付费还款更划算。
虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的负担相对的会很重. 而等额本息还款法是每月还银行相等的金额，客户的负担没那么大。
六、其他还款方式银行推出不同的房贷方式，只是为了满足收入情况不同的各种借款人的需要。
虽然理论上总还款额比较少的比较核算，实际生活中要看是否适合自己的经济状况。
选择还款方式的关键是要与自己的收入趋势相匹配，尽量使收入曲线和供款相一致。
在有还贷能力情况下尽量选择总还款额比较少。
等额本金还款:适合目前收入较高的人群。
借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重。
随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。
这种还款方式相对同样期限的等额本息法，总的利息支出较低。
等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算。
还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。
等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，固定利率:进入加息周期较合算目前国内借款人与银行已签订的房贷合同都是浮动利率的，央行每一次加息，借款人的月供就要有相应地增加。
在贷款合同签订时，即设定好固定的利率，不论贷款期内利率如何变动，借款人都按照固定的利率支付利息，但风险较大。
按期付息还本:适合房产投资客，借款人通过和银行协商，为贷款本金和利息归还制订不同还款时间单位。
即自主决定按月、季度或年等时间间隔还款。
实际上，就是借款人按照不同财务状况，把每个月要还的钱凑成几个月一起还。
还可以有递增法，气球贷等等，核心都是根据贷款人经济实力制定不同时期的本金和利息的还款额，理论上占用时间越少越省钱。
借贷人要根据自身的经济情况及资金周转情况来选择合适的还贷方式。
七、模型的优缺点与改进方向1、模型的优点：（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。
（2）本文建立的模型计算简便可用范围很广，推广容易，同时扩展也较容易（3）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。
（4）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。
（5）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证。
（6）比较真实，从多方面对结果进行验证。
2、模型缺点：（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。
（2）利率的精确度不同可能造成一定误差（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来（4）利率的精确度不同以及计算结果里小数的取值，可能造成一定误差，计算过程中忽略了利率的变动。
（5）经济社会中随机因素较多，像房价的宏观调控，使模型不能将其准确反应出来。
（6）模型未得到准确的验证3、模型的改进（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响（3）对利率有更准确的计算方法（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平（5）考虑通货膨胀等市场经济中的因素，对利率有更准确的计算方法。
参考文献：（1）吴礼斌李柏年《数学实验与建模》国防工业出版社。
