第7章稳恒磁场我们已经知道,在静止电荷的周围存在着电场.当电荷运动时,在其周围不仅有电场,而且还存在磁场.本章将讨论运动电荷(电流)产生磁场的基本规律以及磁场对运动电荷(电流)的作用.§7.1 磁场磁感应强度一、磁场人们对磁现象的认识与研究有着悠久的历史,早在春秋时期(公元前6世纪),我们的祖先就已有“磁石召铁”的记载；宋朝发明了指南针,且将其用于航海.我国古代对磁学的建立和发展作出了很大的贡献.早期对磁现象的认识局限于磁铁磁极之间的相互作用,当时人们认为磁和电是两类截然分开的现象,直到1819—1820年奥斯特(H.C.Oersted,1777—1851)发现电流的磁效应后,人们才认识到磁与电是不可分割地联系在一起的.1820年安培(A.M.Ampere,1775—1836)相继发现了磁体对电流的作用和电流与电流之间的作用,进一步提出了分子电流假设,即：一切磁现象都起源于电流(运动电荷),一切物质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流.这种环形电流称为分子电流.安培的分子电流假设与近代关于原子和分子结构的认识相吻合.关于物质磁性的量子理论表明,核外电子的运动对物质磁性有一定的贡献,但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩.与电荷之间的相互作用是靠电场来传递的类似,磁相互作用力是通过磁场来进行的.一切运动电荷(电流)都会在周围空间产生磁场,而这磁场又会对处于其中的运动电荷(电流)产生磁力作用,其关系可表示为电流运动电荷⇔⇔磁场运动电荷()(电流)磁场和电场一样,也是客观存在的,它是一种特殊的物质,磁场的物质性表现在：进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用；载流导线在磁场中运动时,磁场对载流导线要作功,即磁场具有能量.二、磁感应强度1 磁感应强度为了定量的描述磁场的分布状况,引入磁感应强度.它可根据进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用来定义,下面就从运动电荷在磁场中的受力入手来讨论. 实验发现,磁场对运动电荷的作用有如下规律：(1) 磁场中任一点都有一确定的方向,它与磁场中转动的小磁针静止时N极的指向一致.我们将这一方向规定为磁感应强度的方向.(2) 运动试探电荷在磁场中任一点的受力方向均垂直于该点的磁场与速度方向所确定的平面,如图7.1所示.受力的大小,不仅与试探电荷的电量0q 、经该点时的速率υ以及该点磁场的强弱有关,还与电荷运动的速度相对于磁场的取向有关,当电荷沿磁感应强度的方向运动时,其受力为零；当沿与磁感应强度垂直的方向运动时,其受力最大,用max F 表示.(3) 不管0q 、υ和电荷运动方向与磁场方向的夹角θ如何不同,对于给定的点,比值υq F max 不变,其值仅由磁场的性质决定.我们将这一比值定义为该点的磁感应强度,以B 表示,即 υ=q F B m ax (7.1)在国际单位制中,磁感应强度的单位为特斯拉（T ）.有时也采用高斯单位制的单位——高斯（G ）1G =1.0×10 -4 T2 磁感应线为了形象的描述磁场中磁感应强度的分布,类比电场中引入电场线的方法引入磁感应线(或叫B 线).磁感应线的画法规定与电场线画法一样.为能用磁感应线描述磁场的强弱分布,规定垂直通过某点附近单位面积的磁感应线数(即磁感应线密度)等于该点B 的大小.实验上可用铁粉来显示磁感应线图形.磁感应线具有如下性质：(1) 磁感应线互不相交,是既无起点又无终点的闭合曲线；(2) 闭合的磁感应线和闭合的电流回路总是互相链环,它们之间的方向关系符合右手螺旋法则.§7.2 毕奥—萨伐尔定律及其应用一、 毕奥—萨伐尔定律在静电学部分,大家已经掌握了求解带电体的电场强度的方法,即把带电体看成是由许多电荷元组成,写出电荷元的场强表达式,然后利用叠加原理求整个带电体的场强.与此类似,载流导线可以看成是由许多电流元组成,如果已知电流元产生的磁感应强度,利用叠加原理便可求出整个电流的磁感应强度.电流元的磁感应强度由毕奥—萨伐尔定律给出,这条定律是拉普拉斯(Laplace)把毕奥(Biot)、萨伐尔(Savart)等人在19世纪20年代的实验资料加以分析和总结后得出的,故称为毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律,简称毕奥—萨伐尔定律,其内容如下：电流元Idl 在真空中某一点P 处产生的磁感应强度dB 的大小与电流元的大小及电流元与它到P 点的位矢 r 之间的夹角θ的正弦乘积成正比,与位矢大小的平方成反比；方向与Id l ×r 的方向相同.（这里用到矢量Id l 与矢量r 的叉乘.叉乘Id l ×r 的大小为Idlr sin θ；其方向满足右手螺旋关系,即伸直的右手,四指从Id l 转向r 的方向,那么拇指所指的方向即为Id l ×r 的方向,如图7.2所示）其数学表达式为2rIdl kdB θ=sin (7.2)式中k 为比例系数,在国际单位制中取为 )(在真空中270104--⋅=πμ=AN k (7.3)0μ为真空的磁导率,其值为270104--⋅⨯π=μAN ,所以毕奥—萨伐尔定律在真空中可表示为204rI d l dB θπμ=sin (7.4)其矢量形式为304rrl Id B d⨯πμ= (7.5) 利用叠加原理,则整个载流导线在P 点产生的磁感应强度B 是(7.5)式沿载流导线的积分,即⎰⎰⨯πμ==LLrr l Id B d B 34(7.6)毕奥—萨伐尔定律和磁场叠加原理,是我们计算任意电流分布磁场的基础,(7.6)式是这二者的具体结合.但该式是一个矢量积分公式,在具体计算时,一般用它的分量式.二、 毕奥—萨伐尔定律应用举例1 直线电流的磁场设在真空中有一长为 L 的载流导线MN ,导线中的电流强度为I ,现计算该直电流附近一点P 处的磁感应强度B .如图7.3 所示,设a 为场点P 到导线的距离,θ为电流元Id l 与其到场点P 的矢径的夹角,θ1、θ2分别为M 、N 处的电流元与M 、N 到场点P 的矢径的夹角.按毕奥—萨伐尔定律,电流元Id l 在场点P 产生的磁感应强度d B 的大小为204rIdl dB θπμ=sind B 的方向垂直纸面向里（即Z 轴负向）.导线MN 上的所有电流元在点P 所产生的磁感应强度都具有相同的方向,所以总磁感应强度的大小应为各电流元产生的磁感应强度的代数和,即dl rI dB B LL⎰⎰θπμ==204sin,θ-=β=actg atg l 由图可知，θ=β=θθ=sin /cos /,)/(sin a a r ad dl 2则上积分为 )c o s (c o s s i n 21004421θ-θπμ=θθπμ=⎰θθaI d aI B (7.7)B 的方向垂直于纸面向里.对于无限长载流直导线(π=θ=θ210, ),距离导线为a 处的磁感应强度大小为aI B πμ=20 (7.8)2 圆电流轴线上的磁场在半径为R 的圆形载流线圈中通过的电流为I ,现确定其轴线上任一点P 的磁场.在圆形载流导线上任取一电流元Id l ,点P 相对于电流元Id l 的位置矢量为r ,点P 到圆心O 的距离OP =x ,如图7.4所示.由此可见,对于圆形导线上任一电流元,总有Id l ⊥r ,所以Id l 在点P 产生的磁感应强度的大小为 204rI d l dB πμ=d B 的方向垂直于Id l 和r 所决定的平面.显然圆形载流导线上的各电流元在点P 产生的磁感应强度的方向是不同的,它们分布在以点P 为顶点、以OP 的延长线为轴的圆锥面上.将d B 分解为平行于轴线的分量||dB 和垂直于轴线的分量⊥dB .由轴对称性可知,磁感应强d B 的垂直分量相互抵消.所以磁感应强度B 的大小就等于各电流元在点P 所产生的磁感应强度的轴向分量||dB 的代数和.由图7.4可知 rR rI d l dB dB 204πμ=θ=sin ||所以总磁感应强度的大小为 232220203024/||)(x R IRdl rIR dB B R+μ=πμ==⎰⎰π (7.9)B 的方向沿着轴线,与分量||dB 的方向一致.在圆形电流中心(即x = 0)处,其磁感应强度为 RI B 20μ=(7.10)B 的方向可由右手螺旋定则确定.而且圆形电流的任一电流元在其中心处所产生的磁感应强度的方向都沿轴线且满足右手定则.所以,圆形电流在其中心的磁感应强度是由组成圆形电流的所有电流元在中心产生的磁感应强度的标量和,对圆心角为θ的一段圆弧电流,在其圆心的磁感应强度为 36020θμ=R IB (7.11)可以看出,一个圆形电流产生的磁场的磁感应线是以其轴线为轴对称分布的,这与条形磁铁或磁针的情形颇相似,并且其行为也与条形磁铁或磁针相似.于是我们引入磁矩这一概念来描述圆形电流或载流平面线圈的磁行为,圆电流的磁矩m 定义为nIS m ˆ=(7.12) 式中S 是圆形电流所包围的平面面积,n 是该平面的法向单位矢,其指向与电流的方向满足右手螺旋关系.对于多匝平面线圈,式中的电流 I 应以线圈的总匝数与每匝线圈的电流的乘积代替.利用圆电流在轴线上的磁场公式通过叠加原理可以计算直载流螺线管轴线上的磁感应强度.对于长直密绕载流螺线管,其轴线上的磁感应强度为nI B 0μ=,n 是单位长度的匝数,I 是每匝导线的电流强度.例7.1电流为I 的无限长载流导线 abcde 被弯曲成如图7.5所示的形状.圆弧半径为R ,θ1=450,θ2= 135o .求该电流在O 点处产生的磁感应强度.解：将载流导线分为ab,bc,cd 及de 四段,它们在O 点产生的磁感应强度的矢量和即为整个导线在O 点产生的磁感应强度.由于O 在ab及de 的延长线及反向延长线上,由（7.7）式知 0==de ab B B由图7.5知, bc 弧段对O 的张角为90 o ,由（7.11）式得 RI R I B bc 836090200μ=μ=其方向垂直纸面向里.由（7.7）式得电流cd 段所产生的磁感应强度为)cos (cos 2104θ-θπμ=aI B cdRI R I oo oπμ=-πμ=21354545400)cos (cos sin其方向亦垂直纸面向里.故O 点处的磁感应强度的大小为)(π+μ=4180RI B方向垂直纸面向里. 作业(P172)：7.14，7.18§7.3 运动电荷的磁场由于电流是运动电荷形成的,所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的磁场公式.根据毕奥—萨伐尔定律,电流元Id l 在空间的一点P 产生的磁感应强度为304rr l Id dB π⨯μ=如图7.6所示,设S 是电流元Id l 的横截面的面积,并设在导体单位体积内有n 个载流子,每个载流子带电量为q,以速度υ沿Id l 的方向匀速运动,形成导体中的电流.那么单位时间内通过横截面S 的电量为S qn υ,亦即电流强度为S qn I υ=,则Sdl qn Idl υ=,如果将q 视为代数量,Id l的方向就是υq 的方向,因此可以把d l 中的矢量符号加在速度υ 上,即υ= qnSdl l Id .将Id l这一表达式代入毕奥——萨伐尔定律中就可得dN rr q r r qnSdl B d 303044⨯υπμ=π⨯υμ= 其中dN = nSdl 代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由dN = nSdl 个载流子产生的,那么每一个电量为q ,以速度为υ运动的点电荷所产生的磁感应强度B 为304rrq B ⨯υπμ= (7.13) B 的方向垂直于υ和r 所组成的平面,其指向亦符合右手螺旋法则.值得注意,对于高速运动电荷,上结果不再适用.需要考虑相对论效应,其结果见§14.5节.§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理稳恒磁场与库仑电场有着不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场的高斯定理和环路定理来描述；稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理来描述.本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 一、磁场的高斯定理1 磁通量在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念.通过某一面积S 的磁通量的定义是 ⎰⎰⋅=ΦSe Sd B (7.14)即等于通过该面积的磁感应线的总条数.在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(Wb).1Wb=1T ·m 2 .据此,磁感应强度的单位T 也常写作Wb/m 2 .2 磁场的高斯定理对于闭合曲面,若规定曲面各处的外法向为该处面元矢量的正方向,则对闭面上一面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通量为负表示磁感应线穿入闭面.对任一闭合曲面S,由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线,不难想象,凡是从S 某处穿入的磁感应线,必定从S 的另一处穿出,即穿入和穿出闭合曲面S 的净条数必定等于零.所以通过任意闭合曲面S 的磁通量为零,即0=⋅⎰⎰SS d B(7.15)这是恒定磁场的一个普遍性质,称为磁场的高斯定理.二、安培环路定理由毕奥——萨伐尔定律表示的电流和它的磁场的关系,可以导出稳恒磁场的一条基本规律——安培环路定理.其内容为：在稳恒电流的磁场中,磁感应强度B 沿任何闭合路径 L 的线积分(即B 对闭合路径 L 的环量)等于路径L 所包围的电流强度的代数和的0μ倍,它的数学表达式为I I l d B L00μ=μ=⋅∑⎰i n t(7.16)下面以长直稳恒电流的磁场为例简单说明安培环路定理.根据(7.8)式知,距电流强度为I 的无限长电流的距离为r 处的磁感应强度为 rI B πμ=20B 线为在垂直于直导线的平面内围绕该导线的同心圆,其绕向与电流方向成右手螺旋关系.1）在上述平面内围绕导线作一任意形状的闭合路径L(如图7.7所示),沿L 计算B 的环量.在路径L 上任一点P 处,d l 与B 的夹角为θ,它对电流通过点所张之角为αd .由于B 垂直于矢径r ,因而dl cos θ就是d l 在垂直于r 方向上的投影,它就等于αd 所对的以 r 为半径的圆弧长,由于此弧长等于r αd ,所以I rd r IBrd l d B Brd l d B LLLL 002μ=απμ=α=⋅−−−→−α=⋅⎰⎰⎰ 上的环量(7.17)此式说明,当闭合路径L 包围电流I 时,这个电流对该环路上B 的环路积分为I 0μ.2）如果电流的方向相反,仍按图7.7所示的路径L 的方向进行积分时,由于B 的方向与图示方向相反,所以应该得I l d B L0μ-=⋅⎰可见积分的结果与电流的方向有关.如果对电流的正负作如下规定,即电流的方向与L 的绕行方向符合右手螺旋关系时,此电流为正,否则为负,则B 的环路积分的值可以统一用式(7.17)表示.3）如果闭合路径不包围电流,如图7.8所示,L 为在垂直于载流导线平面内的任一不围绕电流的闭合路径.过电流通过点作L 的两条切线,将L 分为21L L 和两部分,沿图示方向计算B 的环量为⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅21L L Ll d B l d B l d B)(⎰⎰α+απμ=2120L L d d I020=α-+απμ=)]([I可见,闭合路径L 不包围电流时,该电流对沿这一闭合路径的B 的环路积分无贡献.上面的讨论只涉及在垂直于长直电流的平面内的闭合路径.易证在长直电流的情况下,对非平面闭合路径,上述讨论也适用.还可进一步证明,对于任意的闭合稳恒电流,上述B 的环路积分和电流的关系仍然成立.这样,再根据磁场的叠加原理可得到,当有若干个闭合稳恒电流存在时,沿任一闭合路径L,合磁场的环路积分为∑⎰μ=⋅int I l d B L式中∑int I 是环路L 所包围的电流的代数和.上式就是我们要证明的安培环路定理式.值得指出,闭合路径L 包围的电流的含义是指与L 所链环的电流,对闭合稳恒电流的一部分（即一段稳恒电流）安培环路定理不成立；另外,在安培环路定理表达式中的电流∑int I 是闭合路径L 所包围的电流的代数和,但定理式左边的磁感应强度B ,却代表空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和.三、安培环路定理的应用1 载流长直螺线管内的磁场设有一长直螺线管,长为L ,共有N 匝线圈,通有电流I ,由于螺线管很长,则管内中央部分的磁场是均匀的,并可证明,方向与螺线管的轴线平行.管的外侧,磁场很弱,可以忽略不计.为了计算螺线管中央部分某点P 的磁感应强度.可通过P 点作一矩形闭合线 abcda 如图7.9所示.在如图的绕行方向下,B 矢量的线积分为⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅=⋅add ccbbaLl d B l d B l d B l d B l d B由于磁场方向与螺线管的轴线平行,故bc ,da 段上B 与d l 处处垂直,所以=⋅=⋅⎰⎰adcb l d B l d B ,又 cd 在螺线管外侧附近,其上磁感应强度为零,所以ab B l d B l d B badc=⋅=⋅⎰⎰而0,于是有nI B I ab n ab B ab B l d B L00μ=→μ=−−−→−=⋅⎰环路定理 (7.18)由于P 点是长直螺线管内的中央部分任一点,所以上式就是螺线管中央部分的磁场分布,它是一匀强磁场.2 环形螺线管内的磁场如图7.10是环形空心螺线管的示意图.设线圈匝数为N ,电流为I ,方向如图所示.如果导线绕的很密,则全部磁场都集中在管内,磁感应线是一系列圆环,圆心都在螺线管的对称轴上.由对称性可知,在同一磁感应线上的各点,磁感应强度B 的大小相等,B 的方向为沿磁感应线的切线方向,为计算管内某一点P 的磁感应强度B ,选通过该点的一条磁感应线为闭合路径（如图是半径为 r 的圆周）,应用安培环路定理得r NI B NI r B l d B Lπμ=→μ=π=⋅⎰2200 (7.19a) 可见,环形螺线管内的磁感应强度B 的大小与r 成正比.若环形螺线管的内外半径之差比r 小得多,则可认为环内各点的B 值近似相等,其大小为 nI RNI B 002μ=πμ=(7.19b)其中,R 是环形螺线管的平均半径, n=N/2πR 为平均周长上单位长度的匝数.作业(P173)：7.20，7.22§7.5 磁场对载流导线的作用一、安培定律磁场的基本属性就是对处于其中的运动电荷有力的作用,前面我们根据这一属性定义了磁感应强度.而大量电荷作定向运动形成电流.载流导线处于磁场中,由于作定向运动的自由电子所受的磁力,传递给金属晶格,宏观上就表现为磁场对载流导线的作用.关于磁场对载流导线的作用力,安培从许多实验结果的分析中总结出关于载流导线上一段电流元受力的基本定律,即安培定律,其内容如下：磁场对电流元Id l 的作用力d F 与电流元的大小Idl 、电流元所在处的磁感应强度B 的大小,以及B 与Id l 之间的夹角θ的正弦成正比,其方向垂直于Id l 和B 决定的平面,指向遵守右手螺旋法则,即Id l ×B 的方向(如图7.11所示).其数学表达式为B l Id F d⨯=(7.20)任何形状的载流导线在外磁场中所受的磁场力(即安培力),应该等于各段电流元所受磁力的矢量和,即⎰⨯=LB l Id F(7.21)这是一个矢量积分,一般情况下应化为分量式求解.但若各电流元的受力都沿同一方向,矢量积分就自然化为标量积分.例题7.2半径为R,电流为I 的半圆形载流导线置于磁感应强度为B 的均匀磁场中,B 和I 的方向如图7.12所示.求半圆形载流导线受到的安培力.解：建立如图7.12所示的直角坐标系XOY .在半圆环上任取一电流元Id l ,它受到的安培力的大小为B I d l B I d l dF =π=2/sin方向沿电流元的位矢方向.由图可知,dF 沿X 轴的投影α=α=co s c o s B I d l dF dF x 在Y 轴上的投影α=α=si n s i n B I d l dF dF y dl = - Rd α,故000=αα-=α==⎰⎰⎰πd B I R B I d l dF F l x x cos cosBRId BIR BIdldFF lyy 20=αα-=α==⎰⎰⎰πsin sin即半圆形载流导线受到的安培力为F=2BIR ,方向沿Y 轴正向.二、两平行长直电流之间的相互作用电流能够产生磁场,磁场又会对处于其中的电流施加作用力.因此,一电流与另一电流的作用就是一电流的磁场对另一电流的作用,这作用力可利用毕奥—萨伐尔定律和安培定律通过矢量积分获得,在一般情况下计算比较困难.下面讨论一种简单情形,即两平行长直电流之间的相互作用.如图7.13所示,两条相互平行的长直载流导线,相距为 a ,分别载有同向电流21I I ,. 1I 在导线2中各点所产生的磁感应强度的大小为 aI B πμ=21012方向如图,它对导线2中的任一电流元22l d I的作用力可由安培定律得122212B l d I F d⨯=其方向如图在两平行导线所在平面内,垂直指向导线1.其大小为 adl I I B dl I dF πμ==22210122212那么载流导线2中每单位长度所受载流导线1的作用力大小为aI I dl F f πμ==221021212 (7.22)用同样的方法可以求得导线1中单位长度所受载流导线2的作用力大小为 aI I f πμ=221021 (7.23)21f 与12f 大小相等、方向相反,体现为引力；若两平行导线中的电流方向相反,则彼此间的相互作用为斥力.在国际单位制中,电流强度被作为基本物理量,它的单位安培(A)作为基本单位.这一基本单位就是利用两条相互平行的长直载流导线间的相互作用力来定义的：真空中两条载有等量电流,且相距为1米的长直导线,当每米长度上的相互作用力为2×10-7N 时,导线中的电流大小定义为1安培. 据此定义及式(7.22)可得2AN m1A A mN---⋅⨯π=μ→⋅πμ=⨯70071041121102可见真空的磁导率0μ是一个具有单位的导出量.三、磁场对载流线圈的作用利用安培定律可以分析匀强磁场对载流线圈的作用.图7.14表示了一个矩形平面线圈ABCD ,其中边长21l DA BC l CD AB ====,，线圈内通有电流I ,我们规定线圈平面法线n 的正方向与线圈中的电流方向满足右手螺旋关系.将这个线圈放在磁感应强度为B 的匀强磁场中,并设线圈的法线方向与磁场方向成α角.根据安培定律,AD 边和BC 边所受磁场力始终处于线圈平面内,并且大小相等,方向相反,作用在同一条直线上,因而相互抵消.而AB 边和CD 边,由于电流的方向始终与磁场垂直,它们所受磁力CD AB f f 和的大小相等为 1B I l f f CD AB ==它们的方向相反,但不在同一直线上,因而构成力偶,为线圈提供了力矩,如图7.14(b)所示.此力矩的大小为α=α=α+α=sin sin sin sin mB BIS l f l f M CDAB222121(7.24)nIS m ˆ=磁矩 B m M⨯=矢量式(7.26)可见,当2/π=α (即线圈平面与磁场方向平行)时,线圈所受力矩最大.在此力矩作用下,线圈将绕其中心并平行于AB 边的轴转动.随着线圈的转动,α角逐渐减小,当α= 0 (即线圈平面与磁场方向垂直)时,力矩等于零,线圈达到稳定平衡状态.当α=π时,力矩也等于零,也是线圈的平衡位置,但这个位置不是线圈的稳定平衡位置,稍受扰动就会立即转到α= 0的位置上去.以上结论是通过对均匀磁场中的矩形载流线圈的讨论得到的,但可证明对均匀磁场中的任意形状的载流平面线圈,上结果均适用.可见,对均匀磁场中的任意平面刚性线圈,线圈所受磁力为零而不发生平动,但在不为零的磁力矩作用下将发生转动.如果线圈处于非均匀磁场中,线圈除受力矩的作用外,还要受合力的作用,这样线圈除转动外,还要发生平动.例题7.3如图7.15所示,在通有电流1I 的长直导线旁有一平面圆形线圈,线圈半径为R ,线圈中心到导线的距离为l ,线圈通有电流2I ,线圈与直导线电流在同一平面内,求线圈所受到的磁场力.解：如图7.15所示,由式(7.9)可得1I 在线圈上任一电流元处的磁感应强度大小为)cos (θ+πμ=R l I B 12方向垂直于纸面向内.据安培定律,电流元l d I2受到的磁场力大小为 θ==Rd BI dl BI df 22 方向沿半径向外,垂直于l d I2.由对称性可知上半球所受的力与下半球所受的力在竖直方向上的分量互相抵消,即 020==⎰πy y df f所以整个线圈所受的力为⎰⎰⎰πππθθ+θπμ=θ===0210020222d R l R I I df df f f x x cos cos cos)(222101Rl l I I --μ=方向沿X 轴正向. 作业(P174)：7.24§6.6 洛仑兹力一、洛仑兹力实验表明,运动电荷在磁场中会受磁力作用,这种力称为洛仑兹力.本章第一节正是用这一力定义了磁感应强度.前已述及,磁场对电流元的作用是磁场对运动电荷作用的整体体现 ,即安培力起源于洛仑兹力.下面利用安培定律推出洛仑兹力公式.设电流元Id l 的横截面积为S ,如果载流子的电量为q,都以速度υ作定向运动而提供电流I .设导体单位体积内的载流子数为 n ,则 υ=q n S I电流元Id l 的方向就是正载流子作定向运动的方向,即υq 的方向,于是安培定律可化为 B Nq B nqSdl B l Id F d⨯υ=⨯υ=⨯=式中N 是电流元所包含的载流子总数.则单个载流子所受的力为B q dNF d f⨯υ== (7.27)这就是电量为q ,以速度为υ运动的带电粒子在磁感应强度为B 的磁场中运动时所受的洛仑兹力.电量q 是代数量,当 q >0 时,f的方向与B⨯υ的方向相同；当 q< 0 时, f的方向与B⨯υ的方向相反.由于洛仑兹力的方向垂直于粒子运动的方向,所以洛仑兹力不做功.例题7.4如图7.16是速度选择器的原理图.它是由均匀磁场(方向垂直纸面向外,设B=1.0×10-3T)中两块金属板21P P 、构成.其中1P 板带正电, 2P 板带负电,于是两板间产生一匀强电场(设E=300V ·m -1 ),电场的方向垂直于磁场.试求当速度υ不同的正离子沿图示方向进入速度选择器时,离子受到的电场力e f 的方向和洛仑兹力mf 的方向.速度为多大的正离子才能沿原来的方向直线前进,并穿过速度选择器？解：对于正离子q > 0 ,则离子受的电场力 ,E q f e=其方向与板面垂直向右.设离子运动的速度为υ,则离子所受的磁场力。
