人教版九年级数学上册垂直于弦的直径家庭作业2016_题型归纳

《垂直于弦的直径》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．82．（5分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）A．7B．17C．7或17D．343．（5分）如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，半径为25，则弦AB 的长为（）A．24B．14C．10D．74．（5分）如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB ＝（）A．6B．8C．10D．125．（5分）如图所示，⊙O的直径为20，弦AB的长度是16，ON⊥AB，垂足为N，则ON 的长度为（）A．4B．6C．8D．10二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是cm．7．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．8．（5分）在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为cm．9．（5分）过⊙O内点M的最长弦长为20cm，最短弦长为16cm，那么OM的长为cm．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y ＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．12．（10分）已知⊙O的半径r＝4，AB、CD为⊙O的两条弦，AB、CD的长分别是方程x2﹣（4+4）x+16＝0的两根，其中AB＞CD，且AB∥CD，求AB与CD间的距离．13．（10分）已知点A，B，C都在⊙O上，且AB＝AC，圆心O到BC的距离为6cm，圆的半径为14cm，求AB的长．14．（10分）如图在⊙O中，AB为直径，过OB的中点D作CD⊥AB交⊙O于C，M为CD 的中点，且CD＝，连接AM并延长交⊙O于N．（1）求∠ANC的大小；（2）求弦CN的长．15．（10分）如图，已知AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，AB被CD分成3厘米、14厘米两段（AE＜EB），求点O到CD的距离．《垂直于弦的直径》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，关键勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB＝2CA，代入求出即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则OC＝3，OA＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AB＝2AC＝8，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，关键是①正确作辅助线，②求出AC的长，题目比较典型，难度不大．2．（5分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）A．7B．17C．7或17D．34【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB、CD的弦心距OE、OF，再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论．【解答】解：如图，AE＝AB＝×24＝12，CF＝CD＝×10＝5，OE＝＝＝5，OF＝＝＝12，①当两弦在圆心同侧时，距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；②当两弦在圆心异侧时，距离＝OE+OF＝12+5＝17．所以距离为7或17．故选：C．【点评】先构造半径、弦心距、半弦长为边长的直角三角形，再利用勾股定理求弦心距，本题要注意分两种情况讨论．3．（5分）如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，半径为25，则弦AB 的长为（）A．24B．14C．10D．7【分析】连接OA，根据垂径定理得到AE＝EB，根据勾股定理求出AE，得到答案．【解答】解：连接OA，∵CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，∴AE＝EB，由题意得，OE＝OC﹣CE＝24，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AB＝2AE＝14，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4．（5分）如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB ＝（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接OA，根据垂径定理得到∠ODA＝90°，AD＝BD，根据勾股定理求出AD，计算即可．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴∠ODA＝90°，AD＝BD，由题意得，OD＝OC﹣CD＝3，在Rt△OAD中，AD＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．5．（5分）如图所示，⊙O的直径为20，弦AB的长度是16，ON⊥AB，垂足为N，则ON 的长度为（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．【解答】解：由题意可得，OA＝10，∠ONA＝90°，AB＝16，∴AN＝8，∴ON＝，故选：B．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是6cm．【分析】连接OA，作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC＝AB＝8，然后根据勾股定理计算OC的长即可．【解答】解：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝8，在Rt△AOC中，OC＝＝＝6，即点O到弦AB的距离为6cm．故答案为6．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为5．【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．【解答】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．8．（5分）在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为13 cm．【分析】先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC＝BC＝AB＝12，再利用勾股定理易求OA．【解答】解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝12，在Rt△AOC中，OA＝＝＝13．故答案是13．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是求出AC（知道垂直于弦的直径平分弦）．9．（5分）过⊙O内点M的最长弦长为20cm，最短弦长为16cm，那么OM的长为6cm．【分析】据垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB最短的是垂直平分直径的弦CD已知AB＝20cm，CD＝16cm则OD＝10cm，MD＝8cm由勾股定理得OM＝＝6cm．故答案为6．【点评】此题主要考查学生对垂径定理及勾股定理的运用．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y ＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为4．【分析】易知直线y＝kx﹣2k+3过定点D（2，3），运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【解答】解：对于直线y＝kx﹣2k+3＝k（x﹣2）+3，当x＝2时，y＝3，故直线y＝kx﹣2k+3恒经过点（2，3），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH＝2，DH＝3，OD＝＝．∵点A（5，0），∴OA＝5，∴OB＝OA＝5．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD＝2＝2×＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（3，4）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．【分析】作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，根据垂径定理得出PB＝DQ，PC＝QE，根据HL证得RT△OPB≌RT△OQD，RT△OP A≌RT△OQA，得出AP ＝AQ，进而即可证得结论．【解答】证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝BC，DQ＝DE，∵BC＝DE，∴PB＝DQ，PC＝QE，在RT△OPB和RT△OQD中，，∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），∴OP＝OQ，在RT△OP A和RT△OQA中，，∴RT△OP A≌RT△OQA（HL），∴AP＝AQ，∴AP+PC＝AQ+QE，即AC＝AE．【点评】本题考查了垂径定理和三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．12．（10分）已知⊙O的半径r＝4，AB、CD为⊙O的两条弦，AB、CD的长分别是方程x2﹣（4+4）x+16＝0的两根，其中AB＞CD，且AB∥CD，求AB与CD间的距离．【分析】先解方程，发现常数项16可拆分为4×4，故能用因式分解法解方程，得到两弦长．过圆心分别作两弦的垂线，根据垂径定理可得垂足为弦的中点，再利用勾股定理即能求弦心距．画图分析，若两弦分别在圆心两侧，则两弦之间的距离为两弦心距之和；若两弦在圆心同侧，则距离为两弦心距之差．【解答】解：解方程x2﹣（4+4）x+16＝0（x﹣4）（x﹣4）＝0∴x1＝4，x2＝4∵AB、CD的长分别是方程的两根且AB＞CD∴AB＝4，CD＝4过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA、OC∴∠AEO＝∠CFO＝90°，AE＝AB＝2，CF＝CD＝2∵OA＝OC＝r＝4∴OE＝OF＝若AB、CD在圆心O的两侧，如图1，则EF＝OE+OF＝2+2若AB、CD在圆心O的同侧，如图2，则EF＝OF﹣OE＝2﹣2∴AB与CD间的距离为2+2或2﹣2【点评】本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，考查了分类讨论思想．根据弦与圆心的位置作分类讨论是解题关键，也是垂径定理的常规题．13．（10分）已知点A，B，C都在⊙O上，且AB＝AC，圆心O到BC的距离为6cm，圆的半径为14cm，求AB的长．【分析】此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD 的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长．【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，∵AB＝AC，O为外心，∴AD⊥BC，在Rt△BOD中，∵OB＝14，OD＝6，∴BD＝＝＝4．在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝4（cm）；如图2，当△ABC是钝角三角形时，连接AO交BC于点D，同理得：BD＝4．∴AD＝14﹣6＝8，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝4（cm）．综上所述，AB的长是4cm或4cm．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．14．（10分）如图在⊙O中，AB为直径，过OB的中点D作CD⊥AB交⊙O于C，M为CD 的中点，且CD＝，连接AM并延长交⊙O于N．（1）求∠ANC的大小；（2）求弦CN的长．【分析】（1）连接OC，根据已知条件得到OD＝OB＝OC，根据三角形的内角和得到∠COD＝60°，由邻补角的定义得到∠AOC＝120°，于是得到∠ANC＝∠AOC＝60°，；（2）连接AC，由的第三轮得到OC＝＝2，AM＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OC，则OC＝OB，∵D是OB的中点，∴OD＝OB＝OC，∵CD⊥AB，∴∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠ANC＝∠AOC＝60°，；（2）连接AC，∴OC＝＝2，∴OD＝1，∴AD＝3，∴AC＝2，∴AM＝＝，∵∠CAO＝∠ACO＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠N，∵∠CAM＝∠NAC，∴△ACM∽△ANC，∴＝，即＝，∴CN＝．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（10分）如图，已知AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，AB被CD分成3厘米、14厘米两段（AE＜EB），求点O到CD的距离．【分析】过O作OM⊥CD，ON⊥AB，易知四边形ONEM是矩形，所以ON＝EM，再根据垂径定理和已知数据求出EM的长即可得到ON的长，即圆心O到AB的距离．【解答】解：过O作OM⊥CD，ON⊥AB，∴∠ONE＝∠OME＝90°，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠NEM＝90°，∴四边形ONEM是矩形，∴ON＝EM，∵ON⊥AB，∴AN＝BN＝AB，∵AE＝3cm，BE＝14cm，∴AB＝17cm，∴AN＝8.5cm，∴EN＝AN﹣AE＝5.5cm，∴OM＝EN＝5.5cm，∴圆心O到CD的距离是5.5cm．【点评】本题考查了垂径定理、矩形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．。

课题：垂径定理圆中相关概念的结构示意图 圆()()⎩⎨⎧⇒⇒等圆大小半径同心圆位置圆心相关概念⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒圆周角圆心角等弧半圆、优弧、劣弧弧直径弦例1、如图，圆中弦的条数为（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条 例2、判断题（1）直径是弦 （ ） （2）弦是直径 （ ） （3）半圆是弧 （ ） （4）弧是半圆 （ ） （5）长度相等的两段弧是等弧（ ） （6）等弧的长度相等 （ ）知识点一：垂径定理圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。

）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造R t △OAE ）。

概念辨析题：1．下面四个命题中正确的一个是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（）．A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧e中，AB是直径，CD⊥AB于P，3、如图2，O（1）已知半径是5，CD=8，求OP（2）已知OP=5，CD=24，求半径（3）已知半径是10，OP=6，求CDe中，半径OD⊥弦AB于C，4、如图3，O（1）已知半径是5，AB=8，求CD（2）已知CD=4，AB=16，求半径典型例题分析：例题1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.说明：本题主要考查垂径定理．易错点是忘记油面宽度AB 是DB 的2倍．例题2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②作辅助线的能力．例题3、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.说明：作出弦)(AB 的弦心距)(OE ，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.例题4、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.CBAO知识点二：弦、弧、圆心角圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

初中数学试卷马鸣风萧萧24.1.2 垂直于弦的直径基础题知识点1 认识垂径定理1．如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，则下列说法错误的是( )A ．AD ＝BDB ．∠AOE ＝∠BOEC.AE ︵＝BE ︵D ．OD ＝DE2．(遂宁中考)如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm3．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，若AB ＝16 cm ，OC ＝6 cm ，则⊙O 的半径为( )A ．3 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．10 cm4．(黔东南中考)如图，已知⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为点E ，∠ACD ＝22.5°，若CD ＝6 cm ，则AB 的长为( )A ．4 cmB ．3 2 cmC ．2 3 cmD ．2 6cm5．(上海中考)如图，已知，在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A．AD＝BD B．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB6．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为________．知识点2垂径定理的推论7．下列说法正确的是()A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径的弦平分这条直径D．弦的垂直平分线经过圆心8．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于() A．8 B．2 C．10 D．5知识点3垂径定理的应用9．(兰州中考)如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，则该输水管的半径为()A．3 cmB．4 cmC．5 cmD．6 cm10．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为________米．11．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米．中档题12．(潍坊中考)如图，⊙O 的直径AB ＝12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ∶AP ＝1∶5，则CD 的长为( )A ．4 2B ．8 2C ．2 5D ．4 513.(黔东南中考)如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC ⊥AD 于E ，AB ＝BC ＝12，则OC ＝________．14．如图，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，且AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，那么⊙O 的半径OA 长为________．15．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为________．16．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为________．17．(邵阳中考)如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ︵所在圆O 的半径r.18．(孝感中考改编)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ︵.若AB ︵的中点C 到弦AB 的距离为20 m ，AB ＝80 m ，求AB ︵所在圆的半径．综合题19．(湖州中考)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图所示)．(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．参考答案基础题1．D 2.B 3.D 4.B 5.B 6.43 7.D 8.D 9.C 10.0.5 11.连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ，∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.在Rt △OAD 中，设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R. 由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6. 故圆拱形门所在圆的半径为2.6米． 中档题12．D 13.43 14.5 cm 15.(6，0) 16.4 17.由题意知OA ＝OE ＝r.∵EF ＝1，∴OF ＝r －1. ∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2. 解得r ＝138.即圆O 的半径为138m ．18.∵C 为AB ︵的中点，∴OC ⊥AB.∴AD ＝BD ＝12AB ＝40.设⊙O 的半径为r ，则OA ＝r ，OD ＝OC －CD ＝r －20. 在Rt △OAD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2， ∴r 2＝(r －20)2＋402，解得r ＝50. 即所在圆的半径是50 m. 综合题19．(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E.则CE ＝DE ，AE ＝BE. ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.(2)连接OA ，OC.由(1)可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝27，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8. ∴AC ＝AE －CE ＝8－27.。

九年级数学上册《垂直于弦的直径》练习题复习巩固1．下列说法中正确的是( )A ．直径是圆的对称轴B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴2．如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定成立的是( )A ．∠COE =∠DOEB ．CE =DEC ．OE =BED ．BD BC3．如图所示，O 的弦AB 垂直平分半径OC ，则四边形OACB是( )A ．正方形B ．长方形C ．菱形D ．以上答案都不对4．如图，AB 是O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6cm ，OD ＝4cm ，则DC 的长为( )A ．5cmB ．2.5cmC ．2cmD ．1cm5．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为( )A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm6．右图是一个单心圆隧道的截面，若路面AB 宽为10m ，拱高CD 为7m ，则此隧道单心圆的半径OA 是( )A ．5mB ．377m C ．375m D ．7m7．已知O中，弦AB的长为6cm，圆心O到弦AB的距离为4cm，则O的直径为__________cm8．如图，AB，AC分别是O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BC，若BC＝12，则OD＝__________9．如图，在O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为__________．10．如图，在O中，AB，AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，求证：四边形ADOE是正方形．能力提升11．如图，已知O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是()A．2.5 B．3.5C．4.5 D．5.512．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，若点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为__________．13．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则两弦之间的距离为__________．14．在直径为650mm的圆柱形油桶内装进一些油后，其截面如图所示，若油面宽为600mm，求油的最大深度．15．有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？参考答案复习巩固1．B 2.C3．C 由垂径定理知AB 也被OC 平分，所以AB 和OC 互相垂直平分，即四边形OACB 为菱形．4．D 连接OB .∵OC ⊥AB ，AB ＝6cm ，∴BD ＝12AB ＝3cm. ∴OB ＝222243OD BD +=+＝5(cm)．∴OC ＝OB ＝5cm.∴DC ＝OC －OD ＝5－4＝1(cm)．5．D 如图，过O 作OE ⊥AB 于点E ，由垂径定理，得AE ＝12AB ＝12×10＝5(cm)，CE ＝12CD ＝12×6＝3(cm)． 所以AC ＝AE －CE ＝5－3＝2(cm)．6．B 根据题意，得AD ＝DB .所以AD ＝5m ，OD ＝CD －OC ＝7－OA .在Rt △ADO 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即OA 2＝52＋(7－OA )2，解得OA ＝377m.7．10 8．69．24 连接OD ，∵AM ＝18，BM ＝8，∴OD ＝18822AM BM ++=＝13. ∴OM ＝13－8＝5.在Rt △ODM 中，222213512DM OD OM =-=-=.∵直径AB ⊥弦CD ，∴CD ＝2DM ＝2×12＝24.10．证明：∵OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴∠OEA ＝90°，∠EAD ＝90°，∠ODA ＝90°.∴四边形ADOE 为矩形．由垂径定理，得AE ＝12AC ，AD ＝12AB . 又AC ＝AB ，∴AE ＝AD .∴四边形ADOE 为正方形．能力提升11．C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，则由垂径定理得AC ＝12AB ＝3.在Rt △OAC 中，由勾股定理得OC ＝22OA AC ＝4，∵OC ≤OM ≤OA ，即4≤OM ≤5，∴线段OM 的长可能是4.5.故选C.12．(6,0) 过点P 作PC ⊥AB 于点C ，∵AC ＝BC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴OB ＝OC ＋BC ＝4＋2＝6.∴点B 的坐标为(6,0)．13．1cm 或7cm 已知两条平行弦的长，求两弦之间的距离，这两条弦可能在圆心的同侧也可能在圆心的两侧(如图所示)，因此应分两种情况讨论．(1)当两弦在圆心的同侧时，如图①，作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N .∵AB ∥CD ，∴OM ⊥CD .∴MN 即为所求的距离．连接OB ，OD ，这时OB ＝OD ＝5cm ，AM ＝BM ＝12AB ＝3cm ，ND ＝CN ＝12CD ＝4cm.在Rt △OBM 中， 2222534OM OB BM =-=-=(cm)．在Rt △ODN 中，2222543ON OD DN =-=-=(cm)．∴MN ＝OM －ON ＝1(cm)．故当两弦在圆心的同侧时，两弦之间的距离为1cm.(2)当两弦在圆心的两侧时，如图②，作OM ⊥AB 于点M ，延长MO 交CD 于点N . ∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .∴MN 即为所求的距离．同样地，可以求出OM ＝4cm ，ON ＝3cm.∴MN ＝OM ＋ON ＝4＋3＝7(cm)．故当两弦在圆心的两侧时，两弦之间的距离为7cm.14．解：作OD ⊥AB ，交O 于点D ，垂足为点C ，连接AO .∵OD ⊥AB ，OD 为半径，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×600＝300(mm)． 在Rt △AOC 中，22226503001252OC AO AC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(mm)， 因此CD ＝OD －OC ＝325－125＝200(mm)．故油的最大深度为200mm.15．解：判断货船能否顺利通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住．如图所示，用AB 表示拱桥，计算出FN 的长度，若FN ＞2m ，则货船可以顺利通过这座拱桥；否则，货船不能顺利通过这座拱桥．设拱桥AB的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交AB于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA＝r m，则OD＝OC－DC＝r－2.4(m)，AD＝1AB＝3.6(m)．2在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△O HN中，2222=--=(m)．OH ON NH3.9 1.5 3.6所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．因为2.1m＞2m，所以货船能够顺利通过这座拱桥．。

垂直于弦的直径（必做）
1. 如图，O O 直径AB 和弦CD 相交于点 E , AE=2 EB=6,/ DEB=30，求弦CD 长.
2、如图，O O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）
A 、4
B 、6
C 、7
D 、8
3、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为
水面到管道顶部距离为 10cm,则修理人员应准备 ______________ cm 内径的管道（内径指内部直径）
4、如图，在O O 中，弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm.求：O O 的半径.
60cm, D
5、如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（
A、4 3cm 、2 3cm 、 3 cm 、2cm
分层作业：（选做：从下列两题中任选一题完成）
1.一条公路的转变处是一段圆弧弧CD,点0是弧CD的圆心，其中CD=600m,E为弧CD上的一点，且OE丄CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
2•赵州桥主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ,
问：你能求岀赵州桥主桥拱的半径吗？现有一艘宽16米，船舱顶部为长方形并高岀水面 5.9米的船要
经过这里，此船能顺利通过赵州桥吗?。

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA. 【答案】D；【解析】连OA，由垂径定理知13cm2AD AB==，所以在Rt△AOD中，5AO==（cm）．所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

举一反三：【356965 ：例4-例5】【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。

【答案】1cm．2．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE 交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．【答案与解析】解：∵E为弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴AD=AC=4cm，∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，∴OD=OE﹣DE=3cm．【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形. 举一反三：【356965 ：例2-例3】【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒∠=，AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m ，拱的半径为13m ，则拱高为（ ）A ．5mB ．8mC ．7mD ．【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B ；【解析】如图2，AB 表示桥拱，弦AB 的长表示桥的跨度，C 为AB 的中点，CD ⊥AB 于D ，CD 表示拱高，O 为AB 的圆心，根据垂径定理的推论可知，C 、D 、O 三点共线，且OC 平分AB ．在Rt △AOD 中，OA ＝13，AD ＝12，则OD 2＝OA 2－AD 2＝132－122＝25．∴ OD ＝5，∴ CD ＝OC －OD ＝13－5＝8，即拱高为8m ．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．（2015•蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB=26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD=5：24（1）求CD 的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案与解析】解：（1）∵直径AB=26m，∴OD=，∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16， 342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．。

专题24.4 圆的对称性-垂径定理（基础篇）（专项练习）一、单选题1．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（ ）A．8B．10C．16D．202．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（ ）A．B．6C．D．3．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（）A．2B．4C．6D．84．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．»»AC BC =D ．»»AD BD=5．如图，点A ，B ，C ，D 在圆上，弦AB 和CD 交于点E ，则下列说法正确的是（ ）A ．若CD 平分AB ，则CD AB ^B ．若CD AB ^，则CD 平分ABC ．若CD 垂直平分AB ，则圆心在CD 上D ．若圆心在CD 上，则CD 垂直平分AB 6．如图，CD 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，连接BC 、BD ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AE BE =B ．»»AD BD =C ．OE DE =D ．»»AC BC=7．下列命题中假命题是（ ）A ．平分弦的半径垂直于弦B ．垂直平分弦的直线必经过圆心C ．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D ．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦8．如图，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点E ，AE =2，则下列结论正确的是（ ）EC=A．2OE=B．2C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（ ）A．1B．2C．3D．410．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA C为»AB中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(3,1)12．我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD 是⊙O 的直径， 弦 AB ⊥CD 于P ，CP =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长是 （ ）寸A ．20B ．23C ．26D ．30二、填空题13．圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB =_______cm ．14．如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．15．如图，O e 的半径为4，AB ，CD 是O e 的弦，且//AB CD ，4AB =，CD =则AB 和CD 之间的距离为______．16．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为_____米．17．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD=，则AB=________cm．Ð的度数为18．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心O到弦AB的距离为2，则AOC______．19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是_________．20．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．21．在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是__．22．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．23．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm．24．已知O e 的半径为2，弦BC =，A 是O e 上一点，且»»AB AC =，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．三、解答题25．如图，在⊙O 中，直径AB =10，弦AC =8，连接BC ．(1)尺规作图：作半径OD 交AC 于E ，使得点E 为AC 中点；(2)连接AD ，求三角形OAD 的面积．26．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（1ED =寸），锯道长1尺（AB =1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（AC ）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．27．已知：如图，在O e 中，AB AC 、为互相垂直的两条弦，,OD AB OE AC ^^，D 、E 为垂足．(1)若AB AC =，求证：四边形ADOE 为正方形．(2)若AB AC >，判断OD 与OE 的大小关系，并证明你的结论．28．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ^于点F ，OE AC ^于点E ，若3OE =，OB=，求OF的长．5参考答案1．D【分析】连接OC ，由垂径定理可知，点E 为CD 的中点，且OE ⊥CD ，在Rt △OEC 中，根据勾股定理，即可得出OC ，从而得出直径．解：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E∴CE=12CD=8，∵OE=6．在Rt △OEC 中，由勾股定理得：OC 2=OE 2+EC 2，即OC 2=62+82解得：OC=10∴直径AB=2OC=20．故选D ．【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.2．C【分析】连接OC ，求出∠COB =45°，根据垂径定理求出CD =2CE ，根据勾股定理求出CE 即可．解：连接OC ，则OC =12AB =12×12=6， ∵OA =OC ，∠CAB =22.5°，∴∠CAB =∠ACO =22.5°，∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，∵AB⊥CD，AB为直径，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=∠COB=45°，∴OE=CE，∵CE2+OE2=OC2，∴2CE2=62，解得：CE，即CD=2CE，故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键．3．B【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，∴AM=BM=12AB=8，在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，∴MD=CD-CM=20-16=4．故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．B【分析】根据垂径定理即可判断．解：CD Q 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，AE EB \=，»»AC BC =， »»AD BD=．故选：B ．【点拨】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5．C【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．解：A 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；B 、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；C 、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；D 、AB 若也是直径，则原说法不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．6．C【分析】根据垂径定理判断即可；解：∵直径CD 垂直于弦AB 于点E ，则由垂径定理可得，AE BE =，»»AD BD=，»»AC BC=，故选项A ，B ，D 正确；OE DE =无法得出，故C 错误．故选C ．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．7．A【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选：A．【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．8．D【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．解：连接OA，条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；∵OC⊥AB于点E，∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；选项C不符合题意，故选：D．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．C【分析】根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得OC的长解：OA OBQ点C是AB的中点，=Q ⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，1,42OC AB AC BC AB \^===在Rt AOC △中3OC ==故选C【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．10．C【分析】根据弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，判定出四边形OACB 是平行四边形，再由AB OC ^，即可判定四边形OACB 是菱形.解：∵弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，OC 为半径，∴12AP AB AO AB OC ==^，，∴1122OP OA OC ===，∴12PC OC =，即OP PC =，∴四边形OACB 是平行四边形，又∵AB OC ^，∴四边形OACB 是菱形.【点拨】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键．11．A【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：如图，作弦AB 、AC 的垂直平分线，∵点A 、B 、C 的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，所以弦514AB =-=，弦404AC =-=，∴弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点(30)，，弦AC 的垂直平分线与y 轴相交于点(0)2，，∴两条垂直平分线的交点1O即为三角形外接圆的圆心，且1O点的坐标是(3,2)．故选：A．【点拨】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键．12．C【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x 的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB=10寸，∴AP=BP=5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，∵CP=1，∴OP=x-1，在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴CD =26（寸）．故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．13．6【分析】根据题意，画出图形，利用垂径定理，可得2AB AC = ，然后利用勾股定理求出3AC cm =，即可求解．解：根据题意画出如下图形，半径5OA cm = ，OC AB ^ ，则4OC cm = ，∵半径5OA cm = ，OC AB ^ ，∴2AB AC = ，在Rt AOC △ 中，由勾股定理得：3A C cm === ，∴26A B A C cm == ．故答案为：6 ．【点拨】本意主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理，得到2AB AC =是解题的关键．14．16【分析】连接OA ，由垂径定理可得2AB AE =，在Rt AOE D 中利用勾股定理即可求得AE 的长，进而求得AB ．解：连接OA ，∵OE ⊥AB 于E ，∴2AB AE =，在Rt AOE D 中，10OA =，OE ＝6，∴8AE ==，∴216AB AE ==，故答案为：16【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．15．±【分析】作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，根据平行线的性质等到OF CD ^，再利用垂径定理得到1122AE AB CF CD ==，，再由勾股定理解得OE ，OF 的长，继而分类讨论解题即可．解：作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，如图，//AB CDQ OF CD\^11222AE BE AB CF DF CD \======，在Rt OAE △中，42OA AE ==Q ，\==OEV中，在Rt OCFQ，C F4OC==\==OF当圆心O在AB与CD之间时，=+=EF OF OE当圆心O不在AB与CD之间时，=-=-EF OF OE即AB和CD之间的距离为故答案为：【点拨】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．16【分析】先根据勾股定理CF8=米，根据垂径定理求出DF=CF=8米，然后根据四边形ABCD为矩形，得出AB=DC=16米即可．解：∵EF=4米，OC=OE=10米，∴OF=OE-EF=6米，在Rt△OEC中，CF8=米，∵OF⊥DC，DC为弦，∴DF=CF=8米，∴DC=2×8=16米，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=DC=16米，故答案为：16．【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形性质是解题关键．17．【分析】根据∠D =30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH ，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB =2AH 计算出AB ．解：在Rt AHD V 中，∠D =30°∴2AD AH=∴AH =cm∵弦AB ⊥CD∴2==AB AH故答案为：【点拨】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．18．45°【分析】先根据垂径定理可得122AC AB ==，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．解：由题意得：OC AB ^，4AB =，122AC AB \==，2OC =Q ，AC OC \=，Rt AOC \V 是等腰直角三角形，45AOC =\а，故答案为：45°．【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．19．（3，1）【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）．故答案为：（3，1）．【点拨】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．20．(1,0)．【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用A点坐标得出原点位置即可得出答案．解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），据此建立平面直角坐标系如下图所示，连接AB，AC，作AB，AC的中垂线，交点是点D则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：(1,0)．故答案是：(1,0)．【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键．21．等腰三角形三线合一的性质【分析】连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，依据三线合一的性质可得．故答案是：等腰三角形三线合一的性质．【点拨】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．22．48【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：解：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC．∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．∵D为AC的中点，∴OD⊥AC．∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．故答案为：48．23．100【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可．解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．设AO=OB=r则OC=r-20，BC=140 2BD=有222 OB OC BC=+222(20)40r r =-+化简得r =50故新管道直径为100cm ．故答案为：100．【点拨】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．24．1或3【分析】根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得OD ，进而分两种情况讨论即可．解：如图，连接OB ，»»AB AC =Q ，\由垂径定理可知，OA BC ^，BD CD ==则在Rt OBD △中，1OD ==，211AD r OD \=-=-=或213AD r OD =+=+=，故答案为：1或3．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定理，准确分类讨论是解题关键．25．(1)见分析(2)10【分析】（1）过点O 作OD ⊥AC ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ；（2）由题意可得OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，继而可得118422AE AC ==´=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．(1)解：如图，点E 即为所求；(2)解：如图，连接AD ，∵⊙O 的直径是10，∴OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，∴118422AE AC ==´=，∴11541022OAD S OD AE =×=´´=V ．【点拨】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键．26．这块圆形木材的直径（AC ）是26寸【分析】设O e 的半径为x 寸，根据题意可得AD BD =，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，勾股定理求解即可．解：设O e 的半径为x 寸，∵OE AB ^，10AB =寸，∴152AD BD AB ===寸，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，由勾股定理得()22215x x =-+，解得13x =.∴O e 的直径226AC x ==（寸）.答：这块圆形木材的直径（AC ）是26寸.【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．27．(1)见分析(2)OD ＜OE【分析】（1）先根据垂径定理，由OD ⊥AB ，OE ⊥AC 得到AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，且∠ADO ＝∠AEO ＝90°，加上∠DAE ＝90°，则可判断四边形ADOE 是矩形，由于AB ＝AC ，所以AD ＝AE ，于是可判断四边形ADOE 是正方形；（2）由（1）得四边形ADOE 是矩形，可得OE ＝AD ＝12AB ，OD ＝AE ＝12AC ，又AB ＞AC ，即可得出OE 和OD 的大小关系．(1)证明：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴四边形ADOE 为矩形，且OD 平分AB ，OE 平分AC ，∴BD ＝AD ＝12AB ，AE ＝EC ＝12AC ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AE ，∴四边形ADOE 为正方形．(2)解：OD ＜OE ，理由如下：由（1）得四边形ADOE 是矩形，∴OE ＝AD ，OD ＝AE ，∵AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，∴OE ＝12AB ，OD ＝12AC ，又∵AB ＞AC ，∴OD ＜OE ．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定．28．1.4【分析】根据垂径定理得到AE EC =，CF FD =，根据勾股定理求出AE ．设OF x =，再次根据勾股定理得到等式2222AC AF OC OF -=-，代入求值即可解答．解：连接OC ，∵AB CD ^，OE AC ^，∴AE EC =，CF FD =，∵3OE =，5OB =，∴5OB OC OA ===，∴在Rt OAE △中，4AE ===，∴4AE EC ==，∴8AC =，设OF x =，∵在Rt CAF V 中，222CF AC AF =-，在Rt OFC V 中，222CF OC OF =-，∴2222AC AF OC OF -=-，∴()2222855x x -+=-，解得： 1.4x =，即 1.4OF =．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．。

九年级数学上册垂直于弦的直径一﹨课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分,则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B﹨C,那么弦BC的长等于___________.二﹨课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是______________.2.如图24-1-2-2,在⊙O中,直径MN垂直于弦AB,垂足为C,图中相等的线段有__________,相等的劣弧有______________.3.在图24-1-2-3中,弦AB的长为24 cm,弦心距OC=5 cm,则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图24-1-2-4所示,直径为10 cm的圆中,圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.图24-1-2-4三﹨课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B﹨C,则BC 等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8 cm,OC=5 cm,则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10,弦AB=12,CD=16,且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-2-7所示,秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-86.如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A﹨B﹨C.(1)用尺规作图法,找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹,不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形,底边BC=10 cm,腰AB=6 cm,求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m﹨n为正整数),试估算m和n的值.图24-1-2-97.⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围,本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量,在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB,求得OM即可.。

人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径一、基础题1．下列命题错误的是( )A ．平分弧的直径平分这条弧所对的弦B ．平分弦的弦垂直于这条弦C ．垂直于弦的直径平分这条弦D ．弦的中垂线经过圆心2．如图24－1－13，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若CD ＝8，OP ＝3，则⊙O 的半径为()图24－1－13A ．10B ．8C ．5D ．33．如图24－1－14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是( )图24－1－14A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD4．如图24－1－15，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C .若AB ＝23，OC ＝1，则半径OB 的长为____．图24－1－155．如图24－1－16，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为____．图24－1－166．如图24－1－17，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB＝24，则CD的长是__．图24－1－177．如图24－1－18，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为____.图24－1－188．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图24－1－19所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm.图24－1－199．如图24－1－20所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C，D是AB上的两点，并且AC＝BD.求证：OC＝OD.图24－1－20二、能力提升10．绍兴是著名的桥乡，如图24－1－21，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( )图24－1－21A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m11．如图24－1－22，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为( B )图24－1－22A．2 B．3C．4 D．512．如图24－1－23，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB.点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OA＝5 cm，OC＝3 cm，则AP的长度可能是____cm(写出一个符合条件的数值即可)．图24－1－2313．如图24－1－24，两个圆都以点O为圆心．求证：AC＝BD.图24－1－2414．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为了更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，图24－1－25是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径．图24－1－2515．如图24－1－26，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF 两边相交于A，B和C，D，连接OA，此时有OA∥PE.(1)求证：AP＝AO；(2)若弦AB＝102，求点O到直线PF的距离；(3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为__________________．图24－1－26答案：1.B2.C3.D4.25.246.89.证明：如图，过O作OE⊥AB于E，则AE＝BE，又∵AC＝BD，∴CE＝DE，∴OE是CD的中垂线，∴OC＝OD.10. D 11.B12.答案不唯一，5≤AP ≤813. 证明：过点O 作OE ⊥AB 于E ，在小⊙O 中，∵OE ⊥AB ，∴EC ＝ED ，在大⊙O 中，∵OE ⊥AB ，∴EA ＝EB ，∴AC ＝BD .14.解：(1)作出图形，如图所示；(2)如图，过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BD ＝12AB ＝12×16＝8(cm)． 由题意可知CD ＝4 cm.设这个圆形截面的半径为x cm ，则OD ＝(x －4)cm.在Rt △BOD 中，由勾股定理得OD 2＋BD 2＝OB 2，即(x －4)2＋82＝x 2，解得x ＝10，∴这个圆形截面的半径为10 cm.15.解：(1)∵PG 平分∠EPF ，∴∠DPO ＝∠BPO .∵OA ∥PE ，∴∠DPO ＝∠POA ，∴∠BPO ＝∠POA ，∴AP ＝AO .(2)如图，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝HB ，∵AB＝102，∴AH＝52∵OA＝10，∴OH＝OA2－AH2＝102－（52）2＝5 2.(3)P，A，O，C A，B，D，C或P，A，O，D或P，C，O，B。