第19讲 近似值与估算

估算知识点的总结一、估算的基本原理估算是通过一定的逻辑推理和计算，得出一个近似的结果。

在实际生活中，我们经常会碰到一些没有确切数据的问题，这时就需要用到估算的技巧。

比如，我们看到一种商品标价1000元，但由于我们没带测量工具，我们无法精确估计这种商品的价格，这时我们就可以使用估算的方法来得出一个近似的结果。

估算的基本原理包括以下几点：1. 近似值：估算得出的结果是一个近似值，不是一个精确值。

这是因为估算是根据一些已知的信息和经验进行推测和计算的，其结果只能作为一个大致的参考，不能完全代表实际值。

2. 逻辑推理：估算是建立在一定的逻辑推理之上的。

在估算过程中，我们需要根据已知的信息和问题的特点，进行合理的逻辑推理，从而得出一个近似的结果。

3. 灵活应用：估算需要我们在实际问题中灵活应用各种方法和技巧。

不同的问题可能需要不同的估算方法，我们需要根据具体情况选择合适的方法。

二、估算的方法估算的方法主要包括以下几种：1. 数值近似法：这是最常用的估算方法之一。

通过对实际数值进行近似，把复杂的运算转化为简单的运算，从而得出大致的结果。

例如，将一个小数近似为一个整数，或者将一个较大的数近似为一个较小的数，从而方便计算。

2. 分段估算法：将一个复杂的问题分成若干个简单的部分，然后对每个部分进行估算，最后将各个部分的结果合并起来，得出整体的估算结果。

这种方法适用于一些复杂的问题，通过分段估算可以简化计算过程，降低计算难度。

3. 类比估算法：将一个问题类比为一个已知的问题，通过对已知问题的估算，得出未知问题的估算结果。

这种方法适用于一些与已知问题类似的新问题，通过类比可以加速估算过程，提高估算的精度。

4. 经验估算法：根据已有的经验和常识进行估算。

例如，我们可以根据地理位置和气候条件，估算某地的平均降雨量；或者可以根据人口数量和食物需求，估算某地的粮食需求量。

这种方法适用于一些常见的问题，通过经验估算可以得出较为准确的结果。

小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲近似值与估算在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。

但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。

例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。

又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。

用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。

要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有：（1）四舍五入法。

四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。

例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。

（2）去尾法。

把尾数全部舍去。

例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.39。

（3）收尾法（进一法）。

把尾数舍去后，在它的前一位加上1。

例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。

表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。

在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。

一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。

例1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。

那么，精确到小数点后两位数是多少？分析与解：13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。

由题意知，26.85≤平均值＜26.95，所以13个数之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。

26.85×13＝349.05，26.95×13＝350.35。

因为在349.05与350.35之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。

350÷13＝26.923…当精确到小数点后两位数时，是26.92。

小学数学奥数基础教程近似值与估量在计数、胸怀和计算过程中，获得和实质状况丝绝不差的数值叫做正确数。

但在大部分状况下，获得的是与实质状况邻近的、有必定偏差的数，这种近似地表示一个量的正确值的数叫做这个量的近似数或近似值。

比如，丈量身高或体重，获得的就是近似数。

又如，统计全国的人口数，因为地区广人口多，统计的时间长及统计时期人口的出生与死亡，获得的也是近似数。

用位数较少的近似值取代位数许多的数时，要有必定的弃取法例。

要保存的数位右侧的所有数叫做尾数，弃取尾数的主要方法有：（ 1）四舍五入法。

四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于 4 的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于 5 的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加 1。

比如： 7.3964 ，截取到千分位的近似值是 7.396 ，截取到百分位的近似值是 7.40 。

（ 2）去尾法。

把尾数所有舍去。

比如：7.3964 ，截取到千分位的近似值是7.396 ，截取到百分位的近似值是7.39 。

（ 3）扫尾法（进一法）。

把尾数舍去后，在它的前一位加上 1。

比如： 7.3964 ，截取到千分位的近似值是 7.397 ，截取到百分位的近似值是 7.40 。

表示近似值近似的程度，叫做近似数的精准度。

在上边的三种方法中，最常用的是四舍五入法。

一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精准到哪一位。

例 1 有 13 个自然数，它们的均匀值精准到小数点后一位数是26.9 。

那么，精确到小数点后两位数是多少？剖析与解： 13 个自然数之和必定是整数，因为此和不是13 的整数倍，因此均匀值是小数。

由题意知， 26.85 ≤均匀值＜ 26.95 ，因此 13 个数之和必定不小于 26.85 的 13 倍，而小于 26.95 的 13 倍。

26.85 × 13＝ 349.05 ，26.95 × 13＝ 350.35 。

因为在 349.05 与 350.35 之间只有一个整数350，因此 13 个数之和是350。

数的估算与近似数的估算与近似在数学中扮演着重要的角色。

它们可以帮助我们在没有精确数值的情况下，通过使用适当的近似方法来计算数值。

本文将探讨数的估算与近似的概念、方法和应用。

一、数的估算与近似的概念数的估算与近似是指在计算过程中，用一些不精确但相对接近的数值来替代确切的数值。

这种处理方式一般在实际问题中应用广泛，因为很多情况下我们无法获得完全准确的数值，或者为了简化计算而需要使用近似数。

二、数的估算与近似的方法1.舍入法舍入法是一种常见的估算与近似方法。

它基于四舍五入的原则，将数值调整到最接近的整数或指定位数的小数。

这种方法在计算金融数据、统计数据等情况下经常使用。

例如，要将3.14159近似到小数点后两位，可以使用舍入法将其近似为3.14。

2.科学记数法科学记数法是另一种常用的估算与近似方法。

它通过将一个数表示为一个基数和指数的乘积，简化了大数或小数的表达和计算。

科学记数法通常在科学、工程等领域广泛应用。

例如，1,500,000可以用科学记数法表示为1.5 × 10^6，其中1.5是基数，6是指数。

3.估算法估算法是一种以近似的方式求解问题的方法。

它不追求精确值，而是利用一些简化的计算或近似方法得到一个接近解。

例如，要计算48 × 17，可以将48近似为50，将17近似为20，然后进行乘法运算（50 × 20 = 1000），最后再根据估算结果进行适当的调整。

三、数的估算与近似的应用1.商业计算在商业计算中，数的估算与近似广泛应用于成本估计、销售预测和市场分析等方面。

通过使用适当的近似方法，可以在短时间内得到准确的结果，并为决策提供支持。

2.科学研究在科学研究中，数的估算与近似常见于实验和观测数据的处理过程中。

由于实验或观测过程中的误差和不确定性，科学家们经常需要使用一些近似方法来处理数据并得出结论。

3.工程设计工程设计中经常需要进行参数估算与近似计算，以确定合适的设计参数。

小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

估算与近似值的区别王倩新课程标准明确提出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。

”估算是以口算为基础的，估算要加强，必须有口算的准确熟练为坚实的基础。

同时估算也要提倡算法多样化，允许学生采用不同的算法。

取近似值估算，就是在以上的理念指导下进行的“取整”口算，也就是按“四舍五入”法，将原始数据取近似的整十、整百、整千的数，进行口算，得以估算。

1、妈妈带100元钱去商店买下列生活用品：暖瓶28元，铝壶43元，茶杯一套24元，妈妈带的钱够吗？教材算法：28≈30 43≈4030＋40＝70 100－70＝30 30＞24所以100元够了。

学生喜欢的方法：28≈30 43≈40 24≈2030＋40＝70 70＋20＝90 90＜100所以100元够了。

2、万以内数的加减法估算同学们收集矿泉水瓶，第三周收集192个，第四周收集219个。

第三、四周大约一共收集了多少个？估算方法一：192≈200 219≈200200＋200＝400 500－400＝100估算方法二：192≈190 219≈220192＋220＝410 500－410＝90多数学生喜欢第一种方法，理由是好算。

3、乘法估算。

每张门票8元，29个同学参观，带250元钱够吗？解法：29≈30 30×8＝240 240＜250 够了。

以上三个例题（当然教材里类似的例题还有，就不一一列举了。

）的教学，基本上代表了这一阶段的“取整估算”。

这一阶段的教学内容对学生来说并不难，学生易于接受和掌握。

通过四舍五入取整估算，学生初步知道估算的基本方法，大概了解估算的意义。

这一阶段估算教学实践的体验和借鉴：1、由于多个例题的取整估算的学习，再加上教师设计的一定量的类似的练习强化，容易给学生形成一种条件反射：即，见到估算就全部取整估算。

尤其是两个数的加减法估算影响最大。

2、建议：两个数的加减法估算，不必两个数都要取整估算，可将其中一个数取整估算，即可起到估算的效果，又不会对两位数乘法估算起到负迁移作用，而且在某种程度上还有正迁移的影响。

《估算与近似数》知识回顾河北 刘新民本章的主要内容是了解生活中的大数，从估算和近似两方面培养数感，包括用熟悉的事物描述较大的数，用科学记数法表示较大的数，用科学计算器进行复杂的计算等。

下面我们就对这一章的知识加以回顾，供同学们参考。

一、复习目标1．掌握估算的方法，体会估算在生活中的作用。

2．了解近似数和有效数字的概念，能按要求取近似数，体会它在现实生活中的作用。

3．体会科学记数法的意义，能用科学记数法表示大数，并能说出精确到的数位以及有效数字的个数。

4．能用科学计算器进行数的加、减、乘、除及乘方运算，能借助计算器探究一些数字或算式的规律。

5．重视大数的实际意义，能对较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展数感。

二、重难点提示本章的重点是感受大数的含义，并能用科学记数法表示，以及掌握估算的方法和有效数字的概念。

难点是近似数与有效数字的理解与应用。

三、知识归纳1．对于大数，要多与现实生活中的具体问题相联系，从多角度、多种方式去感受大数、估计大数和表示大数，如可以从报刊杂志、电视广播、计算机网络等方面去选取素材。

2．估算主要有两种形式：一是对一些无法精确测量的量进行估算，二是对一些不必要很精确的量进行估算。

估算结果的准确程度，一般决定于估算方案的合理性。

不同的估算方法可能有不同的结果，因此估算时一要把各种因素考虑周全，二要使方案误差小且操作方便，更符合要求。

3．对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

要分清一个近似数的有效数字，很关键的一点是要弄清在这个近似数中，0在何时是有效数字，在何时不是有效数字，记住末尾作为补位的0仍是有效数字。

在取近似值时，末尾的数字“0”不能随意去掉。

如果随意去掉末尾的数字“0”，将使近似数在精确度、有效数字以及真值的取值范围上都发生变化。

例如，对于近似数1.80和1.8而言，它们的意义是完全不同的：在精确度方面，末尾的数字“0”精确到百分位，而近似数1.8则精确到十分位；在有效数字方面，近似数1.80有三个有效数字1、8、0，而近似数1.8则有两个有效数字1和8；在真值的取值范围方面，近似数1.80的真值大于或等于1.795且小于1.805，而近似数1.8的真值大于或等于1.75且小于1.85。

数的估算与近似数学是一门精确的学科，但在现实生活中，我们经常需要对某些数进行估算与近似。

估算与近似的技巧能够帮助我们快速计算，便于日常生活中的决策和问题解决。

本文将介绍一些常见的数的估算与近似方法。

一、数的上估与下估在估算与近似中，常常需要对数进行上估与下估。

上估是指将数的实际值向上方向近似，而下估则是将数的实际值向下方向近似。

通过上估与下估，我们可以迅速得到一个数的估算范围，更好地进行决策或解决问题。

例如，我们需要估算一种商品的价格。

如果我们发现类似商品的市场价格范围在100元至200元之间，我们可以将价格上估为200元，下估为100元。

这样一来，我们就明确了商品价格的估算范围。

二、数的近似运算在日常生活中，我们经常需要进行数的近似运算。

数的近似运算一般分为四则运算、百分数运算和开方运算。

下面将介绍这几种常见的数的近似运算方法。

1. 四则运算的近似在四则运算中，我们可以采用舍入法进行近似运算。

舍入法是指根据数轴上的距离将数近似为最接近的整数或小数。

例如，我们需要计算3.7乘以2.9。

如果我们将3.7近似为4，2.9近似为3，那么乘积就近似为12。

2. 百分数的近似百分数的近似通常用于表示比例或增减百分比。

在进行百分数的近似时，我们可以将数进行换算，使其更易计算。

例如，我们需要计算75%折扣的商品价格。

我们可以将原价乘以0.75来近似计算折后价格。

3. 开方运算的近似在开方运算中，我们需要将数的平方根近似为一个更易计算的数。

一般而言，我们可以通过试验法或近似计算法来进行开方运算的近似。

例如，我们需要计算√7的近似值。

通过试验法，我们可以发现2的平方是4，3的平方是9，那么√7的近似值应该介于2和3之间，可以取2.6来近似表示。

三、数的估算应用数的估算与近似在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的数的估算应用示例。

1. 购物预算估算在购物前，我们需要对所需商品进行预算估算。

通过对每个商品价格的上估与下估，我们可以迅速计算出所需商品的预算范围，便于合理安排购买计划。