统计学：从数据到结论(人大吴喜之老.

高三男生身 高
170
160
150
§3.1.1 定量变量的图表示:3.茎叶图
• 在直方图和盒形图中，很难恢复数据 的原貌。而另一种图：茎叶图(stemand-leaf plots)可以恢复数据 • 以地区1高三男生身高为例（图3.3）， 茎叶图既展示了分布形状又有原始数 据。它象一片带有茎的叶子。茎为较 大位数的数字，叶为较小位数的数字。
§3.2 如何用少量数字来概括数据？
• 概括统计量经常对应于总体 的无法观测到的某些参数。 • 这时，统计量可作为这些参 数的估计。一些统计量还可 以用来检验样本和假设的总 体是否一致。
§3.2 如何用少量数字来概括数据？
• 注：一些统计量前面有时加 上“样本”二字，以区别于 总体的同名参数。如“样本 均值”和“样本标准差”， 以区别于总体均值和总体标 准差；但在不会混淆时可以 只说“均值”和“标准差”。
40
-3 -2 -1 0 x 1 2 3
80
60
20
40
0
0
-3
20
60
80
-2
-1
0 y
1
2
3
图 3.7 两个尺度不同的数据的直方图，左边的标准差大约只有右边的一半
§3.2.3 数据的标准得分
• 假定两个水平类似的班级（一 班和二班）上同一门课， • 但是由于两个任课老师的评分 标准不同，使得两个班成绩的 均值和标准差都不一样(数据： grade.txt)。
30
40
直方图
20
10
0 150.0 155.0 160.0 165.0 170.0 175.0 180.0 185.0 190.0 195.0 200.0

140
我们例中时间序列数据的指数平滑和对未来的预测
120
100
80
ห้องสมุดไป่ตู้
60
40
20 SA LES
0
Fit for SA LES
-20
JAN
19O9C0T
1J9U9L019A9P1R
JAN 1992
19O9C3T
1J9U9L319A9P4R
JAN 1995
19O9C6T
1J9U9L619A9P7R
JAN 1998
例tssales.sav
• 利用点图则可以得到对该数据更加直观的印象： 120
某企业从1990年1月到2002年12月的销售数据图（单位：百万元）
100
80
60
SALES
40
20
JAN
19S9E0P
19M9A0Y
JAN 1991
19S9E2P
19M9A2Y
JAN 1993
19S9E4P
1M99A4Y
ARIMA模型 ：AR模型
• 比指数平滑要有用和精细得多的模型是Box-Jenkins引 入 的 ARIMA 模 型 。 或 称 为 整 合 自 回 归 移 动 平 均 模 型 (ARIMA 为Autoregressive Integrated Moving Average 一些关键字母的缩写)。该模型的基础是自回归和移动 平均模型或ARMA(Autoregressive and Moving Average) 模型。
• 它由两个特殊模型发展而成，一个特例是自回归模型或 AX测tR表值示(由A，u其to则以re一前gr个的es纯spiv个粹e)观的模测A型R值。的(p假)线模定性型时组意间合味序加着列上变用随量X机1的, 误一X2差个, …项观, at（该误差为独立无关的）而得：

结从 论数 的据 过得 程到 对 现 实 世 界 的
统 计 推 断
估计
• 总体代表我们所关心的那部分世界。 • 而在利用样本中的信息来对总体进行推断 之前人们往往对代表总体的变量假定了分 布族。(描述数据时不用假定) • 比如假定人们的身高属于正态分布族；在 抽样调查时假定了二项分布族等等(这些假 定可能有风险!)。 • 这些模型基本上是根据“经验”来假定的， 仅仅是对现实世界的一个近似。
一个描述性例子
一个描述性例子 • 实际上，第二个调查隐瞒了置信 度（等价于隐瞒了样本量）。 • 如果第二个调查仅仅调查了50个 人，有35个人反对该观点。根据 后面的公式可以算出，第二个调 查的置信区间的置信度仅有11%。
• 置信度的概念大量重复抽样时的一 个渐近概念。 • 类似于“我们目前得到的置信度为 95% 的 置 信 区 间 （ 比 如 上 面 的 75%±3%）以概率0.95覆盖真正的 比例p”的说法是错误的。 • 实际上应该说“重复类似的抽样所 得到的大量区间中有大约95%的覆 盖真实比例(其值可能永远未知)。
估计
• 在假定了总体分布族之后，进一步 对总体的认识就是要在这个分布族 中选择一个适合于我们问题的成员 • 由于分布族成员是由参数确定的， 如果参数能够估计，对总体的具体 分布就知道得差不多了。
估计量是用来估计的统计量
• 我们知道，统计量是样本的不包含 未知参数的函数。样本均值、样本 标准差都是统计量。 • 由于样本是随机的，统计量也是随 机变量。 • 用于估计总体参数的统计量称为估 计量；样本均值和标准差都是总体 均值和标准差的常用估计量。
假设检验的过程和逻辑
• 根据零假设（不是备选假设！），我们可 以得到该检验统计量的分布； • 然后再看这个统计量的数据实现值 （realization）属不属于小概率事件。也就 是说把数据代入检验统计量，看其值是否 落入零假设下的小概率范畴 • 如果的确是小概率事件，那么我们就有可 能拒绝零假设，否则我们说没有足够证据 拒绝零假设。

记R=diag(ai.), C=diag(a.i), R1/2= diag(a.i1/2), 则上面式子为
rx=R-1Ay; ry=C-1A’x 或
rR1/2x=(R-1/2AC-1/2)C1/2y;
rC1/2y=(C-1/2A’ R-1/2)R1/2x= (R-1/2 A C-1/2 )’R1/2x X为一个解的条件是下面特征值问题有解(最 大特征值为1是平凡解, 两组非零特征值相同!)
SPSS的实现
• 加权之后，选择Analyze－Data Reduction －Correspondence Analysis，
• 然后把“汉字使用”选入Row（行），再 点击Define Range来定义其范围为 1(Minimum value)到3(Maximum value)， 之后点击Update。
例子（数据ChMath.sav )
• 在研究读写汉字能力与数学的关系的研究 时，人们取得了232个美国亚裔学生的数学 成绩和汉字读写能力的数据。
• 关于汉字读写能力的变量有三个水平： “纯汉字”意味着可以完全自由使用纯汉 字读写，“半汉字”意味着读写中只有部 分汉字（比如日文），而“纯英文”意味 着只能够读写英文而不会汉字。而数学成 绩有4个水平（A、B、C、D）。
l1

up1 l1
u12 l2 u22 l2
up2 l2
u1m
lm

v11 l1
u2m
lm

G

v21
l1

vpm lm vn1 l1
v12 l2 v22 l2
vn2 l2
v1m
lm

v2m lm


vnm lm

• 有些概率是无法精确推断的。 • 比如你明天感冒的概率 • 有些概率是可以知道的。 • 比如在打桥牌时得到一手黑桃的概
率 为 1/635013559600 ， 大 约 为 1.574770×10-12（条件是洗牌均匀， 没有作弊）。实际上得任何特定的 一手牌的概率都是一样的，对吗？
§1.3 变量和数据
• 什么是概率(probability)？ • 新闻中最常见的是“降水概率” • 从某种意义说来，概率描述了某件事
情发生的机会。
• 显然，这种概率不可能超过百分之百， 也不可能少于百分之零。
• 概率是在0和1之间（也可能是0或1） 的一个数，描述某事件发生的机会。
§1.2 现实中的随机性和规律性，概率和机会
统计学
─从数据到结论
第一章 一些基本概念
§1.1 统计是什么？
• 统计是人类思维的一个归纳过程 • 站在一个路口，看到每过去20辆
小轿车时，也有100辆自行车通过 • 而且平均每10个轿车载有12个人 • 于是，你认为小汽车和自行车在
这个路口的运载能力为24:100 • 这是一个典型的统计思维过程
是统计。
§1.2 现实中的随机性和规律性，概率和机会
• 从中学起，我们就知道物理 学F=的m许a等多等定律，例如v=v0+at;
• 但是在许多领域，很难用如 此确定的公式或论述来描述 一些现象。
§1.2 现实中的随机性和规律性，概率和机会
• 一些现象既有规律性又有随 机性(randomness)
(qualitative variable，或categorical
variable)。 • 这些定性变量也可以由定量 变量来描述，如男女生的数 目，持有某观点的人数比例 等等。

统计学可以应用于几乎所有的领域: 统计学可以应用于几乎所有的领域
精算，农业，动物学，人类学，考古学， 精算，农业，动物学，人类学，考古学，审计 晶体学，人口统计学，牙医学，生态学， 学，晶体学，人口统计学，牙医学，生态学， 经济计量学，教育学，选举预测和策划，工程， 经济计量学，教育学，选举预测和策划，工程， 流行病学，金融，水产渔业研究，遗传学， 流行病学，金融，水产渔业研究，遗传学，地 理学，地质学，历史研究，人类遗传学， 理学，地质学，历史研究，人类遗传学，水文 工业，法律，语言学，文学，劳动力计划， 学，工业，法律，语言学，文学，劳动力计划， 管理科学，市场营销学，医学诊断，气象学， 管理科学，市场营销学，医学诊断，气象学， 军事科学，核材料安全管理，眼科学，制药学， 军事科学，核材料安全管理，眼科学，制药学， 物理学，政治学，心理学，心理物理学， 物理学，政治学，心理学，心理物理学，质量 控制，宗教研究，社会学，调查抽样，分类学， 控制，宗教研究，社会学，调查抽样，分类学， 气象改善，博彩等。 气象改善，博彩等。
统计学
─从数据到结论
第一章 一些基本概念
统计是什么？ §1.1 统计是什么？
• 统计是人类思维的一个归纳过程 • 站在一个路口，看到每过去20辆 站在一个路口，看到每过去 辆 小轿车时，也有100辆自行车通过 小轿车时，也有 辆自行车通过 • 而且平均每 个轿车载有 个人 而且平均每10个轿车载有 个轿车载有12个人 • 于是，你认为小汽车和自行车在 于是， 这个路口的运载能力为24:100 这个路口的运载能力为 • 这是一个典型的统计思维过程
• 再如，一般来说，白种人身 再如，一般来说， 材比黄种人要高些， 材比黄种人要高些，这就是 规律性 • 但对于具体的一个白人和一 个黄种人， 个黄种人，就很难说谁高谁 矮了， 矮了，这体现随机性

SPSS Syntax: UNIANOVA s1 BY income WITH j3 /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = income j3 .
注意 • 这里进行的线性回归，仅仅是回归 的一种，也是历史最悠久的一种。 • 但是，任何模型都是某种近似； • 线性回归当然也不另外。 • 它被长期广泛深入地研究主要是因 为数学上相对简单。 • 它已经成为其他回归的一个基础。 • 总应该用批判的眼光看这些模型。
例1广告投入和销售之间的关系（数据ads.sav）
70 60
50
40
30
20
10
S A LE
0 0 2 4 6 8 10 12 14
AD
• 这两个变量是否有关系？显然，它们有关系； 这从散点图就很容易看出。基本上销售额是 随着广告投入的递增而递增。 • 如果有关系，它们的关系是否显著？这也可 以从散点图得到。当广告投入在6万元以下， 销售额增长很快；但大于这个投入时，销售 额增长就不明显了。因此，这两个变量的关 系是由强变弱。 • 这些关系是什么关系，是否可以用数学模型 来描述？本例看上去是可以拟合一个回归模 型（后面会介绍），但绝不是线性的（用一 条直线可以描述的）。具体细节需要进一步 的分析
相关和回归分析 • 一旦建立了回归模型 • 可以对各种变量的关系有了进一步的 定量理解 • 还可以利用该模型（函数）通过自变 量对因变量做预测。 • 这里所说的预测，是用已知的自变量 的值通过模型对未知的因变量值进行 估计；它并不一定涉及时间先后的概 念。
例1 有50个从初中升到高中的学生.为了比较初三的成绩是 否和高中的成绩相关,得到了他们在初三和高一的各科平 均成绩(数据:highschool.sav)

( j 1, ..., p ).
i 1
行记分(row score) xi和列记分yj的加权均值成 比例, 而列记分yj和行记分xi的加权均值成比 例. 数值r为行列记分的相关(在典型相关的意 义上).
记R=diag(ai.), C=diag(a.i), R1/2= diag(a.i1/2), 则上面式子为 rx=R-1Ay; ry=C-1A’x 或 rR1/2x=(R-1/2AC-1/2)C1/2y; rC1/2y=(C-1/2A’ R-1/2)R1/2x= (R-1/2 A C-1/2 )’R1/2x X为一个解的条件是下面特征值问题有解(最 大特征值为1是平凡解, 两组非零特征值相同!)
对 应 分 析
行和列变量的相关问题
• 在因子分析中，或者对变量（列中的变量） 进行分析，或者对样品（观测值或行中的 变量）进行分析；而且常常把每一种分析 结果画出载荷图来看各个变量之间的接近 程度。 • 典型相关分析也只研究列中两组变量之间 的关系。 • 然而，在很多情况下，所关心的不仅仅是 行或列本身变量之间的关系，而是行变量 和列变量的相互关系；这就是因子分析等 方法所没有说明的了。先看一个例子。
对应分析 • 处理列联表的问题仅仅是对应分析的 一个特例。一般地， • 对应分析常规地处理连续变量的数据 矩阵；这些数据具有如在主成分分析、 因子分析、聚类分析等时所处理的数 据形式。 • 在因子分析中，根据各行变量的因子 载荷和各列变量的因子载荷之间的关 系，行因子载荷和列因子载荷之间可 以两两配对。
对应分析
• 如果对每组变量选择前两列因子载荷，那么两组 变量就可以画出两个因子载荷的散点图。 • 由于这两个图所表示的载荷可以配对，于是就可 以把这两个因子载荷的两个散点图画到同一张图 中，并以此来直观地显示各行变量和各列变量之 间的关系。 • 由于列联表数据形式和一般的连续变量的数据形 式类似，所以也可以用对应分析的数学方法来研 究行变量各个水平和列变量各个水平之间的关系； • 虽然对不同数据类型所产生结果的解释有所不同， 数学的原理是一样的。下面通过对ChMath.sav 数据的计算和结果分析来介绍对应分析。