第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.3.2、2.3.3课时作业

必修四数学第2章平面向量作业题及答案考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的必修四数学第2章平面向量作业题，希望对大家有所帮助!必修四数学第2章平面向量作业题：第2章平面向量§2.1向量的概念及表示课时目标1.掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念.1.向量的概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，如速度、位移、力等.(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等.注意数量可以比较大小，而向量无法比较大小.2.向量的几何表示(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作________.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就惟一确定.(2)向量的有关概念：向量AB→的________称为向量AB→的长度(或称为模)，记作|AB→|.长度为________的向量叫做零向量，记作0.长度等于________个单位长度的向量，叫做单位向量.3.平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行，通常记为a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a，都有0∥a.4.相等向量与共线向量(1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，通常记为a=b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量.(2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量.5.相反向量我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的________________，记作________，a与-a互为________________，并且规定零向量的相反向量仍是____________.于是，对任一向量a有____________.一、填空题1.下列命题中正确的个数为______.①向量a与向量b平行，则a、b方向相同或相反;②若向量AB→、CD→满足|AB→|>|CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→>CD→;③若|a|=|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反;④由于0方向不确定，故0不能与任何向量平行;⑤若向量a与向量b方向相反，则a与b是相反向量.2.下列结论中，正确的是________.(填序号)①向量AB→，CD→共线与向量AB→∥CD→同义;②若向量AB→∥CD→，则向量AB→与DC→共线;③若向量AB→=CD→，则向量BA→=DC→;④只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b.3.在四边形ABCD中，AB→=DC→且|AB→|=|AD→|，则四边形的形状为________.4.下列说法正确的有________.(填序号)①方向相同的向量叫相等向量;②零向量的长度为0;③共线向量是在同一条直线上的向量;④零向量是没有方向的向量;⑤共线向量不一定相等;⑥平行向量方向相同.5.下列四个命题①若|a|=0，则a=0;②若|a|=|b|，则a=b，或a=-b;③若a∥b，则|a|=|b|;④若a=0，则-a=0.其中正确命题的个数是________.6.给出以下5个条件：①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填写序号)7.下列命题正确的是________.(填写正确命题的序号)①向量的模一定是正数;②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;③向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上.8.下列命题正确的是________.(填写正确命题的序号)①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线;②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点;③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量;④有相同起点的两个非零向量不平行.9.下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形.①把所有单位向量移到同一起点;②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点;③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点.①__________;②____________;③____________.10.如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量EF→共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来).二、解答题11.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b=a;(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|=5，并说出向量c的终点的轨迹是什么?12.如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.(1)写出与EF→共线的向量;(2)写出与EF→的模大小相等的向量;(3)写出与EF→相等的向量.能力提升13.如图，已知AA′→=BB′→=CC′→.求证：(1)△ABC≌△A′B′C′;(2)AB→=A′B′→，AC→=A′C′→.14.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→=a，OB→=b，OC→=c.(1)与a的模相等的向量有多少个?(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些?(3)与a共线的向量有哪些?(4)请一一列出与a，b，c相等的向量.1.向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑.2.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义.3.共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行.第2章平面向量§2.1向量的概念及表示知识梳理1.(1)方向2.(1)AB→(2)大小0 13.相同相反平行4.(1)长度(2)直线5.相反向量-a 相反向量零向量-(-a)=a作业设计1.02.①②③解析根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确;根据向量相等的概念知③正确;④不正确.3.菱形解析∵AB→=DC→，∴AB綊DC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵|AB→|=|AD→|，∴四边形ABCD是菱形.4.②⑤解析②与⑤正确，其余都是错误的.5.2解析②③错，①④正确.6.①③④解析相等向量一定是共线向量，①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b;零向量与任一向量平行，④成立.7.②解析①错误.0的模|0|=0.②正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.③错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB→、CD→必须在同一直线上.8.③解析若b=0，则a与c不共线，①不正确;两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，②不正确;若a，b中有一个是零向量，则a与b一定共线，③正确;有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，④不正确.9.单位圆相距为2的两个点一条直线10.FE→，BC→，CB→解析∵E、F分别为△ABC对应边的中点，∴EF∥BC，∴符合条件的向量为FE→，BC→，CB→.11.解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(如图).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(如图).12.解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊12BC.又因为D是BC的中点，所以与EF→共线的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)与EF→模相等的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量有：DB→与CD→.13.证明(1)∵AA′→=BB′→，∴|AA′→|=|BB′→|，且AA′→∥BB′→.又∵A不在BB′→上，∴AA′∥BB′.∴四边形AA′B′B是平行四边形.∴|AB→|=|A′B′→|.同理|AC→|=|A′C′→|，|BC→|=|B′C′→|.∴△ABC≌△A′B′C′.(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，∴AB→∥A′B′→，且|AB→|=|A′B′→|.∴AB→=A′B′→.同理可证AC→=A′C′→.14.解(1)与a的模相等的向量有23个.(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.(3)与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.(4)与a相等的向量有EF→，DO→，CB→;与b相等的向量有DC→，EO→，FA→;与c相等的向量有FO→，ED→，AB→.。

2021年高中数学 2.3.2-2.3.3平面向量的坐标运算课时作业 新人教A 版必修4课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)；(2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2m ＋π6＋n－2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]D28011 6D6B 浫21482 53EA 只37834 93CA 鏊37387 920B 鈋x K36132 8D24 贤i24523 5FCB 忋I7G36494 8E8E 躎。

基础达标1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( )．A ．3 B.13 C ．－13 D.－3解析 3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.答案 C2．已知A (1,2)，B (4,0)，C (8,6)，D (5,8)四点，则四边形ABCD 是( )．A ．梯形B.矩形 C ．菱形 D.正方形解析 ∵AB →＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →綉DC →，又AD →＝(4,6)，∴AB →·AD→＝3×4＋(－2)×6＝0，∴AB →⊥AD →，∴四边形ABCD 为矩形．答案 B3．(2012·四川省威远中学高一月考)已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a－(a ·b )b ，则|c |等于( )．A ．4 2 B.2 5 C ．8 D.8 2解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2.答案 D4．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.答案 15．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，则cos θ＝________.解析 b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，则a ·b ＝6.又|a |＝32，|b |＝2，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝66＝1.答案 16．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________. 解析 ∵a 与b 共线且方向相反，∴b ＝λa (λ<0)，设b ＝(x ，y )，则(x ，y )＝λ(1，－2)，得⎩⎨⎧x ＝λ，y ＝－2λ.由|b |＝35，得x 2＋y 2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b ＝(－3,6)．答案 (－3,6)7．(2012·南昌期末)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.能力提升8．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )．A ．(－3,0)B.(2,0) C ．(3,0) D.(4,0) 解析 设点P 的坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，∴点P 的坐标为(3,0)，故选C.答案 C9．已知点A (2,3)，若把向量OA →绕原点O 按逆时针旋转90°得到向量OB →，则点B 的坐标为________．解析 设点B 的坐标为(x ，y )，因为OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|，所以⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝0，x 2＋y 2＝13，解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2(舍去)． 故B 点的坐标为(－3,2)．答案 (－3,2)10．已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O为坐标原点)．(1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →；(2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点，∴向量OC →与OP →共线，设OC →＝tOP →(t ∈R )，则OC →＝t (2,1)＝(2t ，t )，∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )，CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )，∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4,2)．(2)由(1)知OC →＝(4,2)，∴CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－3－5＝－8.∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717.。

基础达标1．(2012·三亚检测)已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )．①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误． 答案 B2．在△ABC 中，如果AD 、BE 分别为BC 、AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →为( )． A.23a ＋43b B.23a －23b C.23a －43bD ．－23a ＋43b解析 由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →.解得BC →＝23a ＋43b . 答案 A3．已知向量a ，b ，设AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，那么下列各组中三点一定共线的是( )． A ．A ，B ，C B ．A ，C ，D C ．A ，B ，DD ．B ，C ，D解析 由向量的加法法则知BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，又两线段均过点B ，故A ，B ，D 三点一定共线． 答案 C4．在▱ABCD 中，E ，F 分别在DC 和AB 上，且DE ＝113DC ，AF ＝1213AB ，则AE →与CF →的关系是________． 解析 设AD →＝a ，AB →＝b . ∵DE ＝113DC ，AF ＝1213AB ， ∴AE →＝AD →＋DE →＝a ＋113b ， CF →＝CB →＋BF →＝－a －113b ＝－AE →. 答案 CF →＝－AE →5．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析 由2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，得72x －23a ＋12b －12c ＝0，∴x ＝421a －17b ＋17c . 答案 421a －17b ＋17c6．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则λ1λ2＝________.解析 若A ，B ，C 三点共线，则AC →，AB →共线，所以存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，(1－λλ1)a ＋(λ2－λ)b ＝0，由于a ，b 不共线，所以1＝λλ1，且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1. 答案 17．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2， ∴⎩⎨⎧ λk ＝2，λ＝－1，∴⎩⎨⎧k ＝－2，λ＝－1，∴k ＝－2. 能力提升8．已知△ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )．A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在线段AC 上解析 由已知，得P A →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →， ∴PC →＝2AP →，故P 点在线段AC 上． 答案 D9．(2012·广州测试)在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则mn 的值为________． 解析 取BC 的中点M ，连接DM ，交AC 于N .∵平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，∴AF ＝FN ＝CN .∴EF →＝－12AD →＋13AD →＋13AB →＝13AB →－16AD →， ∵EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )， ∴m ＝13，n ＝－16，∴m n ＝13－16＝－2. 答案 －210．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a 、b 表示OM →；(2)在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求证：17p ＋37q ＝1. (1)解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b . ∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线， ∴m －1－1＝n12，∴m ＋2n ＝1.① CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b .∵点C 、M 、B 共线， ∴CM →与CB →共线， ∴m －14－14＝n 1，∴4m ＋n ＝1.② 联立①②可得m ＝17，n ＝37， ∴OM →＝17a ＋37b .(2)证明 EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17－p a ＋37b ，EF →＝－p a ＋q b ，∵EF →与EM →共线， ∴17－p －p ＝37q， ∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q ＝1.。