【全国百强校】湖北省黄冈中学2021届高三5月第三次模拟考试数学(理)试题

【全国百强校】湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．根据复数的几何意义，复数z 都可以表示为()cos sin (02)z z i θθθπ=+≤<，其中z 为z 的模，θ称为z 的辐角.已知3z i =，则z 的辐角为（ ）A ．23πB ．43πC ．53πD ．116π 2．已知:p “100a >”，q ：“1log 102a <”，则p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1015a =，且27S S =，则8a =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．某企业产值在2008年~2021年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图如图所示（单位：万元），下列说法正确的是（ ）A ．2009年产值比2008年产值少B ．从2021年到2021年，产值年增量逐年减少C ．产值年增量的增量最大的是2021年D ．2021年的产值年增长率可能比2021年的产值年增长率低5．已知点(14)P -，，过点P 恰存在两条直线与抛物线C 有且只有一个公共点，则抛物线C 的标准方程为（ ）A ．214x y =B ．24x y =或216y x =-C ．216y x =-D ．214x y =或216y x =-6．已知,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，tan ,tan αβ是方程212100x x ++=的两根，则tan2αβ+=（ ） A ．43 B ．2-或12 C ．12 D ．2-7．陶艺选修课上，小明制作了空心模具，将此模具截去一部分后，剩下的几何体三视图如图所示，则剩下的模具体积为（ ）A ．123π-B ．122π-C ．83π-D ．8π+8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ） （参考数据：020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n=⨯⨯ B ．01180sin ,182S n n =⨯⨯ C ．01360sin ,542S n n =⨯⨯ D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯9．对33000分解质因数得333300023511=⨯⨯⨯，则33000的正偶数因数的个数是（ ）A ．48B ．72C ．64D ．9610．已知函数()x a x a f x e e --+=+，若33log a b c ==，则（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f c f b f a <<11．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰Rt ∆，AB =2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为56π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．20πC ．24πD ．36π12．直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，22AB AD CD ==.若P 为ABC ∆边上的一个动点，且AP mAB nAD =+，则下列说法正确的是（ ）A ．满足12m =的P 点有且只有一个 B ．12m n -的最大值不存在 C ．m n +的取值范围是3[0,]2 D ．满足1m n +=的点P 有无数个二、填空题13．已知(2n x -展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值是_______.14．某旅行团按以下规定选择,,,,A B C D E 五个景区游玩：①若去A ，则去B ；②,B C不能同时去；③,C D 都去，或者都不去；④,D E 去且只去一个；⑤若去E ，则要去A 和D .那么，这个旅游团最多能去的景区为_______.15．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，以虚轴为直径的圆O 与C 在第一象限交于点M ，若2MF 与圆O 相切，则双曲线C 的离心率为______. 16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第m 次“扩展”后得到的数列为12211,,,,,2-n x x x ，并记212log (12)=⋅⋅⋅⋅⋅n t a x x x ，其中21,*=-∈n t n N ，则数列{}n a 的前n 项和为__________．三、解答题 17．在ABC ∆中，角, , A B C 对边分别为, , a b c ，且满足()221, bc a bc b c =-=-．（1）求ABC ∆的面积；（2）若1cos cos 4B C =，求ABC ∆的周长． 18．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 为BC 的中点，现将△BAE 与△DCE 折起，使得平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直．（1）求证：BC ∥平面ADE ；（2）求二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．19．随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元. 该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？20．已知函数21()2x f x x ax ae =+-，()g x 为()f x 的导函数. （1）求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()g x 在R 上存在最大值0，求函数()f x 在[0,)+∞上的最大值；（3）求证：当0x ≥时，2223(32sin )x x x e x ++≤-.21．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C 的方程是)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），设(1,2)P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （1）当0α=时，求AB 的长度；（2）求22PA PB +的取值范围.22． [选修4-5:不等式选讲]已知函数()12f x x a a=-+()0a ≠ (1)若不等式()f x ()1f x m -+≤恒成立,求实数m 的最大值;(2)当12a <时,函数()() g 21x f x x =+-有零点,求实数a 的取值范围参考答案1．C【解析】分析：将复数z 化为55cos+33sin ππ⎫⎪⎭，根据辐角的定义可得结果.详解：33i,z z =-∴=，12z ⎫∴=⎪⎪⎭55cos +i 33sin ππ⎫=⎪⎭， z ∴的辐角为53π，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．B【解析】 分析：利用对数函数的单调性，根据充要条件的定义可得结果.详解：100a >时，1log 1012a <-<，而1log 102a <时，a >， 即100a >不一定成立，p ∴是q 充分不必要条件，故选B.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3．D【解析】分析：由1015a =，27S S =，列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，从而可得结果.详解：由1015a =，27S S =，可得11191529721a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩， 解得1123a d =-⎧⎨=⎩，81712219a a d =+=-+=，故选D. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4．D【解析】分析：读懂题意，理解“年增量”量的含义，逐一分析选项中的说法，即可的结果. 详解：对A ，2009年产值比2008年产值多29565万元，故A 错误；对B ，从2021年到2021年，产值年增量逐年增加，故B 错误；对C ，产值年增量的增量最大的不是2021年，故C 错误；对D ，因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定，所以2021年的产值年增长率可能比2021年的产值年增长率低，D 对，故选D.点睛：本题主要考查条形图的应用以及条形图的性质，意在考查学生的阅读能力，划归思想以及建模能,属于中档题.5．D【分析】由过点P 恰存在两条直线与抛物线C 有且只有一个公共点，可判定P 一定在抛物线C 上，讨论抛物线焦点位置，设出方程，将点()14P -,代入即可得结果. 【详解】过()14P -,，过点P 恰存在两条直线与抛物线C 有且只有一个公共点， P ∴一定在抛物线C 上：一条切线，一条与抛物线的对称轴平行的直线，若抛物线焦点在x 轴上，设抛物线方程为22y px =， 将()14P -,代入方程可得216p =-，抛物线C 的标准方程为216y x =-；若抛物线焦点在y 轴上，设抛物线方程为22x py =， ()14P -,代入方程可得得124p =， 抛物线C 的标准方程为214x y =， 故选：D.【点睛】 本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线、点与抛物线的位置关系，属于中档题.求抛物线的标准方程，首项要判断抛物线的焦点位置以及开口方向，其次根据题意列方程求出参数，从而可得结果.,6．D【分析】利用韦达定理求得tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，还可得到tan 2αβ+＜0．利用两角和的正切公式可得tan （α+β）的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2αβ+的值． 【详解】,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，tan ,tan αβ是方程212100x x ++=的两根， tan tan 12αβ∴+=-，tan tan 10αβ⋅=，tan 0,tan 0αβ∴<<，0,022ππαβ∴-<<-<<，022παβ+-<<，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 22tan 124211031tan 2αβαβ+-===+--， 22tan 3tan 2022αβαβ+++-=， 得tan 22αβ+=-或1tan 22αβ+=（舍去）， 故选D.【点睛】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，二倍角的正切公式，属于易错题，学生容易忽视角的取值范围．7．A【解析】 分析：由三视图可知，原模具是中间为空心圆柱的正四棱柱截去了14部分后的组合体，利用三视图中数据可得结果. 详解：由三视图可知，原模具是中间为空心圆柱的正四棱柱截去了14部分后的组合体， 其中，正四棱锥是底面棱长为2，高为4，圆柱的底面半径为1，高为4， 该几何体体积为3(164)1234V ππ=-=-，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 8．C【解析】分析：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，可得正n 边形面积是13602S n sin n=⨯⨯，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是1，顶角是360n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以正n 边形面积是13602S n sin n=⨯⨯，当6n =时， 2.6S =≈；当18n =时， 3.08S ≈；当54n =时， 3.13S ≈；符合 3.11S ≥，输出54n =，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 9．A 【解析】分析：分33000的因数由若干个2、若干个3、若干个5、若干个11相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含2的因数个数即可得结果. 详解：33000的因数由若干个2（共有3212,2,2,2四种情况）， 若干个3（共有03,3两种情况）， 若干个5（共有3215,5,5,5四种情况）， 若干个11（共有111,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有424264⨯⨯⨯=， 不含2的共有24216⨯⨯=，∴正偶数因数的个数有641648-=个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 10．C 【分析】由题，先求得函数()f x 在(,)a +∞上单调递增，再由33log ab c ==判断出a<c<b ，根据单调性可得结果.【详解】由题意可得：()0x a x af x e e--+'=-≥ 可知()f x 在(,)a +∞上单调递增；作出y=c 与33,log ,xy y x y x ===的图象，33log a b c ==，可得a<c<b ，故f(a)<f(c)<f(b)，故选:C.【点睛】本题考查了函数的性质，利用函数的图像判断大小和熟悉对勾函数的性质是解题的关键，属于中档题. 11．B 【解析】分析：分别过E 、F 作BCD 、ABD △所在平面的垂线，两垂线的交点O 到,,,A B C D 的距离相等，即OA OB OC OD R ====，结合56AFE π∠=，利用勾股定理可得球半径，从而可得结果.详解：由已知可知==2BC BD ，BCD 、ABD △的外接圆圆心分别为CD 、BD 的中点E 、F ，分别过E 、F 作BCD 、ABD △所在平面的垂线， 两垂线的交点O 到,,,A B C D 的距离相等， 即OA OB OC OD R ====所以O 为球心，由等腰三角形的性质得AF BD ⊥， 由三角形中位线定理可得//EF BC EF BD ⇒⊥， 所以AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角， 所以56AFE π∠=，又2OFA π∠=，所以3OFE π∠=，112EF BC ==，所以tan3OE EF π=⋅=所以R OC ==2420S R =π=π，故选B ．点睛：本题主要考查二面角的定义、线面垂直的性质以及球的表面积公式，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径（球心在过底面外接圆圆心与底面垂直的直线上）. 12．C 【解析】分析：利用平面向量基本定理，结合平面向量的加法法则，通过找到符合题意的点P 的特殊位置，逐一判断四个选项中的命题的真假即可.详解： C 中，P 与A 重合m n +有最小值0，P 与C 重合m n + 有最大值32，C 对； A 中，P 与C 重合时，P 为AB 的中点时，满足12m =的P 点有两个，A 错； B 中，连接BD 交AC 于E ，P 与E B 、重合时，满足1m n +=的点P 有两个，B 错；D 中，P 与B 重合时12m n -的最大值为1，D 错，故选C ．点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查平面向量基本定理，以及平面向量的加法法则，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 13．10 【解析】分析：利用通项公式，令第7项的幂指数为零，列方程求解即可.详解：312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项是第7项()666661022n n n n n C x C x ---⎛⎫== ⎝， 令100n -=，解得8n =，故答案为10.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 14．C 和D 【解析】分析：可假设⑤正确，然后根据能去不能去的关系得出矛盾，从而可得E 不能去，进而得,C D 都去，再判断,A B 不能去即可得结果.详解：先从⑤开始判断，如果去E ，则A 和D 也必须去；根据③，CD 必须同去或不同去，从上面可以看出，D 已经去了，C 也必须去，因此现在可以去的地方是,,,E A D C ；结合①，若去A ，则B 也必须去，因此，从①，③，⑤可以判断如果去E ，则,,,,A B C D E 都必须去，与④矛盾，因此E 不能去；由④得，则D 必须去，结合③可以判断CD 两地是必须去的；再看②，BC 两地只去一地，CD 已经判断是必须去的，因此B 不能去； 至此，已经判断出,C D 必须去，而,B E 不能去，由①知，若去A ，则B 也必须去，已经判断出B 不能去，如果去A ，则与之矛盾，因此A 不能去，所以，该团最多能去两个地方，C 和D ，故答案为C 和D .点睛： 本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.15【解析】分析：先根据2MF 与圆O 相切求出2MF a ==，在2Rt OMF ∆中，由射影定理可得，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 的坐标代入22221x y a b -=即可得结果.详解：以虚轴为直径的圆O 与C 在第一象限交于点M ，若2MF 与圆O 相切，22,OM MF MF a ∴⊥==，作2MN OF ⊥于N ， 在2Rt OMF ∆中，由射影定理可得ab MN c =，2b ON c=， 即2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 的坐标代入22221x y a b -=，解得222221,1b a c a a ac c ac c ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222113,e e e e e ⎛⎫--⇒== ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查双曲线的简单性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．16．13234++-=n n n S【解析】分析：先求出1n a +，再找到关系131,+=-n n a a 构造数列求出n a ，最后求数列的前n 项和得解.详解：()212log 12n t a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，所以121112log [11)()(2)2]（+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n i i a x x x x x x=2333322123log (12)31,⋅⋅⋅⋅⋅=-i n x x x x a所以1113()22+-=-n n a a ，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是一个以32为首项，以3为公比的等比数列， 所以113313,222-+-=⨯∴=n n n n a a ， 所以113(13)32321324+-+-=⨯+=-n n n n n S . 故答案为13234n n n S ++-=点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n 项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找1,n n a a +的关系，并能找到关系13 1.+=-n n a a17．（1（2）3 【解析】分析：（1）由()22a bc b c -=-，利用余弦定理求得060A =，结合1bc =利用三角形面积公式求解即可；（2）根据诱导公式以及两角和的余弦公式可求得3sin sin 4B C ⋅=，由正弦定理可得1a =，由余弦定理可得2b c +=，从而可得结果. 详解：（1）∵222b c a bc +-=，∴1cos 2A =，即060A =，∴1sin 24ABC S bc A ∆==； （2）∵()1cos cos 2A B C =-+=，∴1sin sin cos cos 2B C B C ⋅-⋅= 由题意，1cos cos 4B C ⋅=，∴3sin sin 4B C ⋅=，∵24sin sin sin 3a bc A B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴1a =， ∴()()22222213b c a b c bc b c +-=+--=+- ∵2221b c a +-=，∴2b c +=． ∴ABC ∆的周长为123a b c ++=+=．点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．(1)见解析;(2)-3【分析】（1）过点B作BM⊥AE于M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN，证明BC∥MN即可；（2）以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，建立空间直角坐标系E−xyz，求出平面CEB的<>即可．法向量n，平面AEB的法向量m，计算cos,m n【详解】（1）过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN，如图所示；∵平面BAE⊥平面ADE，平面DCE⊥平面ADE，∴BM⊥平面ADE，CN⊥ADE，∴BM∥CN；由题意知Rt△ABE≌Rt△DCE，∴BM＝CN，∴四边形BCNM是平行四边形，∴BC∥MN；又BC⊄平面ADE，MN⊂平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）由已知，AE、DE互相垂直，以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，建立空间直角坐标系E−xyz，如图所示；则E （0，0，0），B （0），C，0，(0,2,2),(2,0,EB EC ==，设平面CEB 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则00n EB n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220y z x z +=+=， 令y ＝−1，则z ＝1，x ＝1， ∴n ＝（−1，−1，1）；设平面AEB 的法向量为m ＝（x ，y ，z ），则00m EA m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，易求得m ＝（1，0，0），又cos ,||||m nm n m n ⋅<>===⨯二面角A −BE −C 的平面角的余弦值为 【点睛】本题考查了空间几何体以及空间向量的应用问题，是中档题． 19．（1）144625（2）①平均值可估计为15元. ②公司不应将前台工作人员裁员1人. 【解析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在101300~之间的概率为35，X 服从二项分布3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果.详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率363605f==，故可估计概率为35，显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数X服从二项分布，即3~5,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，故所求概率为32252314455625C⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为10431530201525830415100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为126015310010003⨯⨯-⨯=（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为12351521009753⨯⨯-⨯=（元） 因9751000<，故公司不应将前台工作人员裁员1人. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度 20．（1）见解析（2）(0)1f =- (3)见解析 【解析】分析：（1）对a 分类讨论，求函数()g x 的单调区间.(2)根据函数()g x 在R 上存在最大值0转化得到a=1,再求函数()f x 在[)0,+∞上的最大值.(3)先利用第2问转化得到()()2222332sin 22332sin x x x x x e x e e x ++--≤-+--，再证明()222332sin x x e e x -+--≤0.详解：（1）由题意可知，()g x = ()'x f x x a ae =+-，则()'1xg x ae =-， 当0a ≤时，()'0g x >，∴()g x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，解得ln x a <-时，()'0g x >，ln x a >-时，()'0g x <∴()g x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减综上，当0a ≤时，()g x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无递减区间；当0a >时，()g x 的单调递增区间为(),ln a -∞-，单调递减区间为()ln ,a -+∞.（2）由（1）可知，0a >且()g x 在ln x a =-处取得最大值，()1ln ln ln ln 1a g a a a a e a a -=-+-⋅=--，即ln 10a a --=，观察可得当1a =时，方程成立令()ln 1(0)h a a a a =-->，()11'1a h a a a-=-= 当()0,1a ∈时，()'0h a <，当()1,a ∈+∞时，()'0h a >∴()h a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()()10h a h ≥=，∴当且仅当1a =时，ln 10a a --=，所以()212x f x x x e =+-，由题意可知()()'0f x g x =≤，()f x 在[)0,+∞上单调递减，所以()f x 在0x =处取得最大值()01f =-（3）由（2）可知，若1a =，当0x ≥时，()1f x ≤-，即2112x x x e +-≤-， 可得2222x x x e +≤-， ()()2222332sin 22332sin x x x x x e x e e x ++--≤-+--令()()()22sin 3212sin 321x x x x F x e x e e e x ⎡⎤=-++=-++⎣⎦，即证()0F x ≤令()()2sin 32x G x e x =-+，()()'2sin 2cos 334x x G x e x x e x π⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∵sin 14x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭∴304x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，又0x e >，∴304x e x π⎡⎤⎛⎫+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴()'0G x <，()G x 在[)0,+∞上单调递减，()()01G x G ≤=-，∴()10x F x e ≤-+≤，当且仅当0x =时等号成立 所以()222332sin x x x e x ++≤-.点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于先利用第2问转化得到()()2222332sin 22332sin x x x x x e x e e x ++--≤-+--，这实际上是放缩，再证明()222332sin x x e ex -+--≤0.体现的主要是转化的思想. 21．（1）2；（2）(]6,14.【解析】 分析：（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，当0α=时，直线:2l y =，代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2-，从而可得2AB =；（2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得，()24cos 2sin 30t t αα+++=，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.详解：（1）曲线C 的方程是4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化为2ρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭化为22sin 2cos )ρρθρθ=-，∴2222x y y x +=-曲线C 的方程为()()22112x y ++-=当0α=时，直线:2l y =代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2- ∴2AB =. （2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得， ()24cos 2sin 30t t αα+++=由0∆>，得()24cos 2sin 120αα+-> 化简得()23sin 15αφ<+≤（其中tan 2φ=）， ∴()12124cos 2sin ,3t t t t αα+=-++= ∴()22222121212||2PA PB t t t t t t +=+=+- ()()224cos 2sin 620sin 6αααφ=+-=+- ∴22||PA PB + (]6,14∈. 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．22．(1)1. (2) [ -12,0 ). 【解析】分析：第一问首先根据题中所给的函数解析式，将相应的变量代入可得结果，之后应用绝对值不等式的性质得到其差值不超过m ，这就得到| m |≤1，解出范围从而求得其最大值，第二问解题的方向就是向最小值靠拢，应用最小值小于零，从而求得参数所满足的条件，求得结果.详解：(Ⅰ) ∵ f (x) =|x -a|+12a ,∴f(x+m)=|x+m -a|+12a, ∴f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤| m | ,∴| m |≤1 , ∴-1≤ m ≤1 , ∴ 实数 m 的最大值为 1 ;( Ⅱ )当 a <12时,g(x)=f(x)+|2x -1|=|x-a|+|2x-1|+12a=131,2111.221131,22x a x a a x a a x a x a x a ⎧-+++<⎪⎪⎪--++≤≤⎨⎪⎪-+->⎪⎩∴ g(x)min =g(12)=12-a+12a =2a2a 12a-++≤0 , ∴2102210a a a ⎧<<⎪⎨⎪-++≤⎩或20210a a a <⎧⎨-++≥⎩, ∴-12≤a≤0, ∴ 实数 a 的取值范围是 [ -12,0 ). 点睛：该题考查的是有关不等式的综合题，在解题的过程中，需要明确绝对值不等式的性质，从而求得参数所满足的条件，从而求得结果，第二问就要抓住思考问题的方向，向最值靠拢，即可求得结果.。