2018-2019学年最新浙教版九年级数学上册《二次函数的图像》同步练习题2及解析-精编试题
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1.2 二次函数的图象(一)
1．下列函数中，图象的最低点是原点的是(B)
A. y ＝－3x 2
B. y ＝2x 2
C. y ＝2x ＋1
D. y ＝1x
2．抛物线y ＝12
x 2，y ＝x 2, y ＝－x 2的共同性质是： ①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数是(B)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3．已知抛物线y ＝(m －1)xm 2－m 的开口向上，则m 的值为(D)
A. 2或－1
B. 1
C. －1
D. 2
4．若二次函数y ＝(m －1)x 2＋m 2－1的图象的顶点在坐标原点，则m 的值是(C)
A.±1
B.1
C.－1
D.2
5．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2(a≠0)与y ＝ax(a≠0)的大致图象可能是(C)
6．抛物线y ＝－0.35x 2的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y 轴；当x ＝0时，y 有最大值(填“大”或“小”)，这个值为__0__．
7．抛物线y ＝ax 2(a≠0)与直线y ＝4x －3交于点A(m ，1)．
(1)求点A 的坐标及抛物线的函数表达式．
(2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．
(3)写出抛物线y ＝ax 2与直线y ＝4x －3的另一个交点B 的坐标．
【解】 (1)∵点A(m ，1)在y ＝4x －3上，
∴1＝4m －3，∴m＝1，∴点A(1，1)．
又∵点A(1，1)在抛物线y ＝ax 2上，
∴1＝a·12，∴a＝1，∴y＝x 2.
(2)开口向上，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴．
(3)根据题意，得⎩⎨⎧y ＝x 2
，y ＝4x －3，
解得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝1，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2
＝9.∴点B(3，9)． 8．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点(1，b)．
(1)求a ，b 的值．
(2)抛物线y ＝ax 2的图象上是否存在一点P ，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)∵直线y ＝2x －3过点(1，b)，
∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y ＝ax 2过点(1，－1)，
∴－1＝a×12，∴a＝－1.
(2)若存在点P ，设点P 的坐标为(x ，y)，
则|x|＝|y|.
∵a＝－1，∴y＝－x 2，
∴x 2＝|x|，∴x＝0或x ＝±1，
∴点P 的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1)．
9．如图，在平面直角坐标系中，有四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形ABCD.若抛物线y ＝ax 2与正方形ABCD 有公共点，则该抛物线的二次项系数a
的取值范围为14
≤a≤2．
(第9题)
【解】 由题意，得点A(1，2)，C(2，1)．
把x ＝1，y ＝2代入y ＝ax 2，得a ＝2；
把x ＝2，y ＝1代入y ＝ax 2，得a ＝14
， ∴a 的取值范围是14
≤a≤2. 10．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交二次函数y 1＝x 2
(x≥0)与y 2＝x 2
3(x≥0)的图象于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE∥AC，交
y 2的图象于点E ，则DE AB ＝3－3．
(第10题)
【解】 设点A(0，m)(m>0)．
由x 2＝m ，得x ＝m ，∴点B(m ，m)．
由x 23
＝m ，得x ＝3m ，∴点C(3m ，m)． ∵CD∥y 轴，∴点D 的横坐标为3m ，
∴y 1＝(3m)2＝3m ，∴点D(3m ，3m)．
∵DE∥AC，∴点E 的纵坐标为3m ，∴x 23
＝3m ， ∴x＝3m ，∴点E(3m ，3m)．
∴DE＝3m －3m. ∵AB＝m ，∴
DE AB ＝3m －3m m ＝3－ 3. 11．如图，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD(不含AD)构成．矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如果该隧道内仅设双行道，现有一辆卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，那么这辆卡车能否通过该隧道？
(第11题)
【解】 (1)由题意，得点E(0，6)，D(4，2)．
设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋c ，
则有⎩⎨⎧c ＝6，2＝16a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，c ＝6.
∴y＝－14
x 2＋6. (2)当x ＝2.4时，y ＝－14
×2.42＋6＝4.56>4.2，∴这辆卡车能通过该隧道．
12．如图，在x 轴上有两点A(m ，0)，B(n ，0)(n>m>0)，分别过点A ，B 作x 轴的垂线交抛物线y ＝x 2于点C ，D ，直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F.点E ，F 的纵坐标分别为y E ，y F .
(第12题)
(1)特例探究(填空)：
当m ＝1，n ＝2时，y E ＝__2__，y F ＝__2__；
当m ＝3，n ＝5时，y E ＝__15__，y F ＝__15__．
(2)归纳证明：对任意m,n(n>m>0)，猜想y E 与y F 的大小关系，并证明你的猜想．
(3)拓展应用：连结EF ，AE ，当S 四边形OFEB ＝3S △OFE 时，直接写出m 与n 的关系及四边形OFEA 的形状．
【解】 (2)∵点C 为抛物线y ＝x 2上的点，AC⊥x 轴，∴x C ＝x A ＝m ，∴点C(m ，m 2)．
易求得直线y OC ＝mx ，
又∵x E ＝n ，∴y E ＝mn.
同理，点D(n，n2)，易求得直线y OD＝nx，∴y F＝nm＝mn.∴y E＝y F.
(3)∵y E＝y F，AF⊥x轴，BE⊥x轴，
∴AF＝BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴EF∥OB，EF＝AB＝n－m.
∴S四边形OFEB＝1
2
(n－m＋n)·y E＝
1
2
(2n－m)·y E，S△OFE＝
1
2
(n－m)·y E.
∵S四边形OFEB＝3S△OFE，
∴1
2
(2n－m)·y E＝3×
1
2
(n－m)·y E，
∴2n－m＝3(n－m)，∴n＝2m.
此时EF＝n－m＝2m－m＝m＝OA，
∴EF平行且等于OA，∴四边形OFEA为平行四边形．。
