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线性递归数列主讲：杜修奎【基础知识】1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p qa n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
【例题】例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。
例2、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。
例3、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。
例4、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。
例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。
递归与高等数学一、递归函数递归函数是一种数学函数，它在其定义或行为中直接或间接地调用自身。
递归函数通常用于解决一些可以分解为更小的子问题的问题。
递归函数可以分为两类：基本递归函数和递归函数。
基本递归函数是直接解决问题的函数，而递归函数则是通过调用自身来解决问题的函数。
在高等数学中，许多问题可以通过使用递归函数来解决。
例如，在微积分中，许多积分和级数可以通过递归方法进行计算。
此外，在实数和复数分析中，许多函数可以通过递归函数进行展开和逼近。
二、递归数列递归数列是一种特殊的数列，它可以通过一系列规则生成。
常见的递归数列包括斐波那契数列、卢卡斯数列等。
递归数列在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
在高等数学中，递归数列可以用于解决一些与序列相关的问题。
例如，在概率论和统计学中，一些概率分布可以通过递归数列进行描行解决。
三、递归方程递归方程是一种描述自然规律的数学工具，它是通过递归函数定义的等式或系统。
常见的递归方程包括人口动态模型、斐波那契序列等。
在高等数学中，递归方程可以用于解决一些与时间相关的问题。
例如，在微分方程和差分方程中，一些问题可以通过递归方程进行描述和解决。
此外，在控制理论和系统理论中，一些系统可以通过递归方程进行建模和分析。
四、递归级数递归级数是具有特定模式的数字序列或数字集的级数表示。
它与级数、级数定理、积分级数以及算术、几何和三角级数等都有密切的关系。
在高等数学中，递归级数可以用于解决一些与数字相关的问题。
例如，在离散概率论和统计学中，一些概率分布可以通过递归级数进数进行解决。
五、递归图论图论是研究图（由顶点和边构成的图形）的数学理论。
在图论中，图是由顶点（或节点）和连接这些顶点的边构成的。
递归图论则是使用递归来定义或描述图的理论。
在计算机科学中，这可以用于计算机算法、数据结构和其他相关的领域。
例如，一种常用的数据结构是二叉堆（Binary Heap），它可以看作是一个完全二叉树，并且每个节点都有两个子节点（除了叶节点）。
高中数学知识点归纳数学归纳法与递归数列高中数学知识点归纳：数学归纳法与递归数列数学归纳法和递归数列是高中数学中非常重要的知识点，它们在解决数列、证明问题以及推理推广中发挥着重要的作用。
下面将对数学归纳法与递归数列进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这两个概念。
一、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明以及构造数学问题解决方案的重要方法。
它分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳推理。
基础步骤：首先，我们需要证明当n取某个特定值时，命题成立。
这个特定值通常是一个自然数，比如n = 1 或 n = 0。
通过验证这个基础步骤，我们确保了对于第一个自然数命题成立。
归纳假设：接下来，我们假设当n = k时，命题成立，其中k是一个正整数。
这个假设被称为“归纳假设”。
归纳推理：最后，我们需要证明当n = k+1时，命题也成立。
这一步通常是通过使用归纳假设，并根据命题的规律进行推理得出的。
通过这样的步骤，我们可以推广这个命题对于所有自然数n成立的结论。
数学归纳法在证明数学命题中使用广泛，特别是在数列和等式的证明中。
二、递归数列递归数列是指一个数列的每一项都是前面一些项的函数。
通常，递归数列的第一项和第二项是已知的，而后面的项则通过递归关系得到。
常见的递归数列有斐波那契数列和阶乘数列。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2), n≥2斐波那契数列的特点是每一项都是前两项的和。
通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。
2. 阶乘数列：阶乘数列的定义如下：n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1阶乘数列的特点是每一项都是前一项与当前项的乘积。
通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。
递归数列在数学中具有重要的应用，例如在组合数学、概率论以及计算机科学等领域有广泛的应用。
综上所述，数学归纳法和递归数列是高中数学中重要的知识点。
计算递归数列的和递归数列是数学中一种重要的数列形式，它通过定义当前项和前一项（或多项）之间的关系来计算数列中每一项的值。
计算递归数列的和就是求该数列中所有项的总和。
本文将介绍递归数列的概念，并提供一种计算递归数列和的方法。
一、递归数列的概念递归数列是一种通过递推关系来定义的数列。
它的每一项都可以通过前一项（或多项）的值来计算得到。
一般来说，递归数列可以表示为以下形式：a(1) = c (c为常数)a(n) = f(a(n-1), a(n-2), ..., a(k)) (k < n)其中a(n)表示数列中第n项的值，f则是一个函数，通过前面的项来计算当前项的值。
二、计算递归数列的和为了计算递归数列的和，我们可以使用递归的方式来遍历数列中的每一项，并将其累加到一个变量中。
具体步骤如下：1. 初始化和变量sum为0。
2. 利用递归方式遍历数列，计算每一项的值并累加到sum中。
3. 当数列遍历完毕时，sum中保存的数值即为递归数列的和。
下面是一个用Python语言实现计算递归数列和的示例代码：```def recursive_sequence(n):if n == 1:return 1else:return n + recursive_sequence(n-1)def calculate_sum(n):sum = 0for i in range(1, n+1):sum += recursive_sequence(i)return sumn = int(input("请输入递归数列的项数："))print("递归数列的和为：", calculate_sum(n))```以上代码中，recursive_sequence函数用于计算递归数列的每一项的值，calculate_sum函数则通过调用recursive_sequence函数来计算递归数列的和。
用户需要输入递归数列的项数，程序将自动计算并输出结果。
数列的递推与递归关系知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
数列的递推和递归关系是数列研究中的重要内容，通过递推和递归可以得到数列中后一项和前一项之间的关系。
本文将总结数列的递推和递归关系的知识点。
一、数列的递推关系数列的递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系，通过这种关系可以求解数列中的任意一项。
数列的递推公式分为线性递推和非线性递推两种。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系为线性函数的情况。
线性递推关系可以表示为：an = a(n-1) + b其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，b为常数。
通过这个递推公式，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。
2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系不为线性函数的情况。
非线性递推关系可以表示为：an = f(a(n-1))其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，f为一个非线性函数。
通过这个递推关系，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。
二、数列的递归关系数列的递归关系是指数列中后一项和前一项之间的关系通过递归定义的情况。
数列的递归关系可以表示为：an = f(an-1)其中an为数列的第n项，an-1为数列的第n-1项，f为一个递归函数。
递归关系中的数列可以通过给定的初始条件，即数列的第一项或前几项，求解数列中的其他项。
三、递推与递归的关系递推和递归是两种不同的求解数列的方法，但它们之间存在紧密的联系。
递推是通过前一项和递推公式来计算后一项，递归则是通过前一项和递归函数来计算后一项。
实际上，递推公式可以看作是递归关系的一种特殊形式，即递归函数是一个线性函数的情况。
通过递推和递归，可以发现数列中的规律，预测数列的未知项，解决各种与数列相关的问题。
在数学和计算机科学领域中，递推和递归在数列求解、算法设计等方面有着重要的作用。
递归数列知识点总结一、递归数列的定义递归数列是指数列中的每一项都是前面几项的某种函数表达式，是按照规则进行递推得到的。
递归数列通常以一定的初始条件为起点，通过递推关系式生成后续的项，是由其前面的项推出该项的一个数列。
常见的递归数列可以表示为：1. 根据数学关系式写出一个函数表达式，然后根据递推公式得到后续的项，如斐波那契数列等。
2. 递归数列将问题不断地分解，直至问题的规模足够小，利用这个最小规模问题的解，逆推得到当前规模问题的解。
二、递归数列的性质1. 递归数列常常具有固定的递推关系式，可以根据递推关系式求解数列的任意项。
2. 递归数列的数项通常与前面的若干项有关，通过递推关系式可以将数列的每一项都表示为前面若干项的函数表达式。
3. 递归数列通常需要一定的初始条件，通过递推关系式得到数列中的后续项。
三、递归数列的求解方法1. 直接利用递归关系式递推得到数列的任意项。
2. 利用递推关系式，通过迭代计算数列的任意项。
3. 利用递推关系式，建立数列的通项公式，从而直接求解数列的第n项。
四、递归数列的应用1. 递归数列在组合数学和概率论中有广泛的应用，如二项式系数、排列组合问题等。
2. 递归数列在计算机科学中有重要的应用，如斐波那契数列、汉诺塔等问题。
3. 递归数列在统计学中也有应用，如泊松分布、二项分布等。
五、递归数列的实例1. 斐波那契数列斐波那契数列是经典的递归数列，它的定义是：F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)。
其通项公式为：F(n)=((1+√5)^n-(1-√5)^n)/(2^n*√5)。
斐波那契数列在计算机科学、金融数学等领域有重要的应用。
2. 阶乘数列阶乘数列的定义是：n的阶乘表示为n!=1*2*3*...*n，0的阶乘为1。
阶乘数列递推关系式为：n!=n*(n-1)!。
阶乘数列在概率统计中有重要的应用。
3. 几何数列几何数列是指两个相邻项的比值为常数的数列，其通项公式为：an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
递归数列及其性质1．递归数列及其性质1．对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方n N a ＝（f a ，a ，，a ）k k*n n﹣1 n﹣2 n﹣k程，由阶递归关系及给定的前项的值（称为初始值）所确定的数列称为阶递归数列．若是k k a，a ，，a k f1 2 k线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题．2．求递归数列的常用方法：①公式法：{a } a d a ＝a （n﹣m）d是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；n 1 n m是等比数列{a } ，首项为a ，公比为q ，则其通项为푎푛=푎푚푞푛―푚；n 1푆1，(푛=1)已知数列的前项和为，则={n S S푆푛―푆푛―1，(푛≥2)．n n②迭代法：迭代恒等式：；a a a a a a a a a a a a＝（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）n n n﹣1 n﹣1 n﹣2 n﹣2 n﹣3 3 2 2 1 1푎푛푎푛―1푎푛―2푎푛―3푎3푎2迭乘恒等式：=푎푛―3×a 푎푛―4×⋯×0푎푛―1×푎푛―2×푎2×푎1×a1，；（）ann迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知，求通项；a＝b，a ＝a （f n）a1 n 1 n n类型二：已知求通项；a＝b，a ＝（f n） a a1 n 1 n n③待定系数法：类型三：已知，求通项；a＝b，a ＝pa q1 n 1 n④特征根法：类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为，其特征方程为，x 2＝px 1 qx（n 1，p、q为常数q 0）x2＝pxq n n n其根为特征根．（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确、x ＝A n B（n n 1）A、Bn定；1/ 2（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确x ＝[A B（n﹣1）]n﹣（1 n 1）A、Bn定．典型例题：已知数列满足求数列的通项．{a } *a1＝2，a2＝3，a n2＝3a n﹣12a（n n N ）{a }a n nn解：其特征方程为，解得，令，x2＝3x﹣2x1＝1，x2＝2 a ＝A1n B2nn퐴=1푎1=퐴+2퐵=2푎2=퐴+4퐵=3，得到{ 由{퐵=1，2所以＝．a 1 2n﹣1n2/ 2。
数列的递归公式和通项公式在数学的奇妙世界里，数列就像是一串有规律排列的数字精灵，而数列的递归公式和通项公式则是我们理解和掌控这些精灵的魔法钥匙。
让我们先来聊聊什么是数列。
简单说，数列就是按照一定次序排列的一列数。
比如：1，3，5，7，9……这就是一个数列。
递归公式呢，是通过前面的项来表示后面的项的一种方式。
举个例子，斐波那契数列的递归公式是：＄F_{n}＝F_{n-1}＋F_{n-2}＄（＄n\geq 2$），其中$F_{1}＝1$，＄F_{2}＝1$。
也就是说，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
那通项公式又是什么呢？通项公式可以直接算出数列中任意一项的值。
比如等差数列的通项公式是$a_{n}＝a_{1}＋（n-1)d$，其中$a_{1}＄是首项，＄d$是公差；等比数列的通项公式是$a_{n}＝a_{1}q^｛n-1}＄，＄a_{1}＄是首项，＄q$是公比。
递归公式和通项公式之间有着紧密的联系。
递归公式就像是一步一步的脚印，告诉我们怎么从前面的项走到后面的项；而通项公式则像是一张地图，能让我们直接找到想去的地方，也就是直接算出任意一项的值。
比如说，对于一个简单的数列：1，2，4，8，16……我们可以发现这是一个等比数列，它的递归公式是$a_{n}＝2a_{n-1}＄（＄n\geq2$），＄a_{1}＝1$。
而它的通项公式则是$a_{n}＝2^｛n-1}＄。
再来看一个例子，数列：1，3，6，10，15……这个数列的递归公式可以写成$a_{n}＝a_{n-1}＋n$（＄n\geq 2$），＄a_{1}＝1$。
通过一些巧妙的方法，我们可以推导出它的通项公式是$a_{n}＝＼frac{n(n＋ 1)｝｛2}＄。
那么，如何从递归公式推导出通项公式呢？这可不是一件容易的事情，需要一些巧妙的方法和技巧。
有时候，我们可以通过累加法、累乘法等方法来实现。
比如说对于递归公式$a_{n}＝a_{n-1}＋2$（＄n\geq 2$），＄a_{1}＝1$，我们可以依次写出：＄a_{2}＝a_{1}＋2$＄a_{3}＝a_{2}＋2=（a_{1}＋2)＋2=a_{1}＋2×2$＄a_{4}＝a_{3}＋2=（a_{1}＋2×2)＋2=a_{1}＋3×2$……以此类推，＄a_{n}＝a_{1}＋（n 1)×2$，因为$a_{1}＝1$，所以$a_{n}＝1 ＋ 2(n 1)＝2n 1$。
高考命题中的递归数列项又祥对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。
常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。
本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：模式一：形如)(1n f a a n n +=+递推式。
由累加法可求得通项公式为：++=）（11f a a n)1()2(-+++n f f 。
例1．（2007北京高考题）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式模式二：形如)(1n f a a n n =+递推式。
由)(1n f a a n n =+得)(1n f a a nn =+，使用累乘法可得)1()1(1f n f a a n -⋅=。
例2．已知数列}{n a 满足，11=a ，nn a a nn 11+=+，求通项公式n a 。
模式三：形如μλ+=+n n a a 1（其中λ、μ为常数）递推式，通常解法是设=-+β1n a)(βλ-n a ，求出β，因}{1ββ--+n n a a 是等比数列则可求出通项公式。
例3．（2007全国高考卷Ⅰ）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，,2,1=n ,3．（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）略。
模式四：形如)(1n f a a n n +=+λ（其中λ为常数）递推式，n n n a a μλ+=+1（λ、μ为常数）是其特殊情形。
后者的等式两边同除以n μ，得111+⋅=-+n nnn a a μμλμ，令1-=n nn a b μ，则可化归为μλ+=+n n a a 1（λ、μ为常数）型。
例4．（2007天津高考题）在数列{}n a 中，∈⋅-++==++n a a a nn n n (2)2(,2111λλλ )*N ，其中0λ>．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）略；模式五：形如)()(1n g a n f a n n +=+（其中λ为常数）递推式，设数列)}({n h ，使)1()()(+=n h n h n f ，则)()1()(1n g a n h n h a n n ++=+，即）n h n g n h a n h a n n 1()()()1(1+⋅+⋅=+⋅+，令)(n h a b n n ⋅=，则)1()(1+⋅+=+n h n g b b n n ，即已化为模式一。
高三数学第二轮复习递归数列 人教版1.迭代加法使用于能变形为a n -a n-1=f(n)或a n+1-a n =f(n)的数列.例:已知数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +2n ,n ∈N *求a n . 解:由题意知: a n+1-a n =2n 且a 1=2 ∴a 2-a 1=2×1a 3-a 2=2×2 ……a n -a n-1=2(n-1)以上各式相加得:a n -a 1=2[1+2+3+…+(n -1)] ∴a n =n 2-n+2.思考:若具有a n+1-a n =f(n)我们宜用迭代加法， 若具有a n+1+a n =f(n)我们如何处理呢？ 我们看∵a n+1+a n =f(n)……① ∴a n +a n-1=f(n-1)……②①-②得a n+1-a n-1= f(n)- f(n-1)故原数列中每隔一项抽出组成的新数列可使用迭代加法. 例、（天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，则100S =_ ___.例：（江西卷）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n}的通项公式. 解：方法一：先考虑偶数项有：2121222113()3()22n n n n S S ----=⋅-=-⋅23232224113()3()22n n n n S S -----=⋅-=-⋅ ………3342112()3().22S S -=⋅-=-⋅2123321233222111111113[()()()]3[()()()]2222222111()111122434[()]2()(1).1224214n n n n n n n n S S n -----∴=-+++=-++++-=-⋅=--⋅=-+≥-同理考虑奇数项有：222121113()3().22n nn n S S ---=-=⋅22222123113()3()22n n n n S S -----=⋅-=⋅……….)21(3)21(32213⋅=-⋅=-S S222222112212212122212122211111113[()()()]2()(1).22221112()(2())43()(1).2221112()(2())43()(1).2221.n n n n n n n n n n n n n n n n S S n a S S n a S S n a S -+-++---∴=++++=-≥∴=-=---+=-⋅≥=-=-+--=-+⋅≥==综合可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n方法二：因为),3()21(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以两边同乘以n)1(-，可得：.)21(3)21()1(3)1()1(1111----⋅-=-⋅-⋅=---n n nn n n n a a令).3()21(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n nn所以,)21(311---⋅-=-n n n b b ,)21(3221----⋅-=-n n n b b………23213(),2b b -=-⋅-212222111()1114423[()()()]3122212n n n n b b b ----⋅∴=-+++=-⨯-).3()21(32312≥⋅+-=-n b n 又11221351,1,22a S a S S ===-=--=-1211225(1)1,(1)2b a b a ∴=-=-=-=-∴1153113()43()(1)2222n n nb n --=--+⋅=-+⋅≥ ∴11(1)4(1)3(1)()2nnnn n n a b -=-=--+⋅-⋅31143(),,2143(),.2n n n n --⎧-⋅⎪⎪=⎨⎪-+⋅⎪⎩为奇数为偶数 例:已知数列{a n }的相邻两项a n 、a n+1是方程x 2+3nx+C n =0的两根,n ∈N *,当a 1=1时,求C 1+C 2+…+C 2p 的值. 解:由题意知a 2n-1、a 2n 是方程 x 2+3(2n-1)x+C 2n-1=0的两根∴a 2n-1+a 2n =-3(2n-1)…………① 同理a 2n +a 2n+1=-3·2n………② ②-①得a 2n+1-a 2n-1 =-3 ∴奇数项通项为a 2n-1=4-3n 偶数项通项为a 2n =-1-3n 据题意C 2k-1=a 2k-1·a 2k =9k 2-9k-4C 2k =a 2k ·a 2k+1=9k 2-1 ∴C 1+C 2+…+C 2p=(C 1+C 3+…+C 2p-1)+(C 2+C 4+…+C 2p ) =…… = p 2 (12p 2+9p-13). 2.迭代乘法 使用于能变形为a n+1a n=f(n)的数列. 例:已知数列{a n }中, a 1=2, a n+1= n+1n ·a n ,n ∈N*, 求a n .解: 由题意知 a n+1 a n = n+1n∴a 2 a 1 =21 a 3 a2 = 32……a n a n-1 =nn-1以上各式相乘得a na 1=n ∴a n =2n.3. 深层迭代法 (对a n = pa n-1+f(n)型) 当p=1时,可用迭代加法; 当p≠1时,可用深层迭代法. 例: 数列{a n }中a 1=1,满足递推式a n =- 1 3 a n-1+23(n≥2), 求a n . 解:∵a n =- 1 3 a n -1+23 (n≥2)∴a n =- 1 3 (- 1 3 a n-2+ 2 3 )+23=(- 1 3 )2a n -2+(- 1 3 )· 2 3 +23 =……=(- 1 3 )n-1a 1+(- 1 3 )n-2· 2 3 +…+(- 1 3 )· 2 3 +23 =12 [(- 1 3 )n-1+1].4.由递推公式构造辅助数列 类型一a n = pa n-1+q 型 可构造成等比辅助数列:a n - q 1-p =p(a n-1- q 1-p)证明：由a n -x=p(a n-1-x) 则a n =pa n-1-px+x 令x-px=q 得x=q 1-p.例: 数列{a n }中a 1=1,满足递推式a n =- 1 3 a n-1+23(n≥2)求a n .解:由a n =- 1 3 a n-1+23 (n≥2)得a n - 1 2 =- 1 3 ( a n-1- 1 2 )而a 1=1 ∴{a n -1 2 }是以12 为首项以- 13为公比的等比数列 故a n - 1 2 = 1 2 (- 1 3 )n-1∴a n = 1 2 (- 1 3 )n -1+12.类型二:递推公式中含有a n 、a n-1、a n-2连续三项的一次关系式时, 通常拆分中间项,使之与前后两项分别结合, 变形为形式a n -pa n-1=q(a n-1-pa n-2),进而构造辅助等比数列. 当不容易变形时,可用待定系数法. 比如,对于a n =4a n-1-4a n-2 可令a n -pa n-1=q(a n-1-pa n-2) 整理得a n =(p+q)a n-1-pqa n-2 于是有p+q=4且pq=4 可得p=q=2故可变形为a n -2a n-1=2(a n-1-2a n-2). 进而构造辅助等比数列.例（广东卷，10）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212nn n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则=1x ( )（Ａ）32（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５类型三:形如k ·a n+12 +t ·a n+1·a n +p ·a n 2=0递推公式是关于a n+1、a n 的二次齐次式,可以同除以a n 2,得 a n+1 a n 的一元二次方程.构造 a n+1a n=f(n)形式,进而用迭代乘法. 练习:设{ a n }是首项为1的正数列且(n +1)a n +12=na n 2- a n +1·a n , n ∈N* 求a n . 答案: a n =1n.类型四:形如k ·a n+1 +t ·a n+1·a n -k ·a n =0(t ·k≠0) 可以同除以a n+1·a n 得:k a n+1 - ka n=t .进而构造等差辅助数列.递推公式的特点是a n+1与a n 都是一次,系数相反,含交叉项a n+1·a n ,无常数项. 例(重庆卷，文22)数列{a n }满足a 11且8a n 1 a n 16a n 12a n 50 (n ≥1)。
递归数列的性质递归数列是数学中的一个基本概念，在许多数学问题和计算机科学中都有广泛的应用。
递归数列的定义是通过前一项或多项来定义后一项的数列。
本文将介绍递归数列的性质，包括递推公式、初项和通项公式等。
一、递推公式递推公式是递归数列中非常重要的性质之一。
它描述了数列中每一项与前一项或前几项之间的关系。
递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种情况。
1. 线性递推线性递推是指递归数列中每一项与前一项之间的关系是线性的，可以用一个简单的数学表达式表示。
例如，斐波那契数列是一个典型的线性递推数列，其递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中F(n)表示数列的第n项，F(n-1)和F(n-2)分别表示数列的第n-1项和第n-2项。
2. 非线性递推非线性递推是指递归数列中每一项与前几项之间的关系不是简单的线性关系，需要通过复杂的表达式或条件来描述。
例如，帕斯卡三角形是一个典型的非线性递推数列，其递推公式为：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)其中C(n,k)表示帕斯卡三角形的第n行第k列的数值。
二、初项与通项公式除了递推公式，初项和通项公式也是递归数列的重要性质。
初项是数列中的第一项，通项公式是指通过数列的位置n来求解第n项的表达式。
1. 初项初项是递归数列的基础，它确定了数列的起始值。
在一些递归数列中，初项可能是已知的常数或特定数值。
例如，等差数列的初项可以表示为a1，等比数列的初项可以表示为b1。
2. 通项公式通项公式是求解递归数列中任意一项的表达式。
通项公式的形式可以各不相同，取决于数列的性质和规律。
有些数列的通项公式可以通过递推公式来得到，而有些数列则需要通过特殊方法推导得到。
例如，斐波那契数列的通项公式可以表示为：F(n) = (1/sqrt(5)) * ((1+sqrt(5))/2)^n - (1/sqrt(5)) * ((1-sqrt(5))/2)^n其中sqrt(5)表示5的平方根。
高考数学冲刺递归数列考点全面解析在高考数学的备考征程中，递归数列一直是一个重点和难点考点。
对于即将踏入高考考场的同学们来说，透彻理解和熟练掌握递归数列相关知识，无疑是取得高分的关键之一。
首先，我们来明确一下什么是递归数列。
简单来说，递归数列就是通过前一项（或前几项）的值以及一个特定的关系式来确定后续项的数列。
常见的递归数列类型包括等差数列型、等比数列型以及更为复杂的线性递归数列等。
等差数列型递归数列的特点是，相邻两项的差值为一个常数。
例如，若数列\（＼｛a_n\｝＼）满足\（a_{n ＋ 1} a_n ＝ d\）（＼（d\）为常数），则\（＼｛a_n\｝＼）为等差数列。
在处理这类递归数列时，我们通常可以利用通项公式\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）来求解。
等比数列型递归数列则是相邻两项的比值为一个常数。
比如，若数列\（＼｛b_n\｝＼）满足\（＼frac{b_{n ＋ 1}｝｛b_n} ＝ q\）（＼（q\）为常数且\（q ＼neq 0\）），那么\（＼｛b_n\｝＼）就是等比数列。
其通项公式为\（b_n ＝ b_1 ＼cdot q^｛n 1}＼）。
而线性递归数列就相对复杂一些，常见的形式如\（a_{n ＋ 1} ＝pa_n ＋ q\）（＼（p\）、＼（q\）为常数且\（p ＼neq 1\））。
对于这种类型的递归数列，我们可以通过构造等比数列的方法来求解。
具体来说，将其变形为\（a_{n ＋ 1} ＋＼frac{q}｛p 1} ＝p\left(a_n ＋＼frac{q}｛p 1}＼right)＼），这样就构造出了一个新的等比数列\（＼｛a_n ＋＼frac{q}｛p 1}＼｝＼），从而可以求出\（a_n\）的表达式。
在解决递归数列问题时，要特别注意初始值的给定。
因为递归关系式只是给出了数列项之间的关系，而初始值则决定了整个数列的具体取值。
高考中，关于递归数列的考查形式多种多样。
有时会直接要求求出数列的通项公式，有时则会考查数列的前\（n\）项和，或者通过与其他知识点的综合，如函数、不等式等，来考查同学们的综合运用能力。
