浅析连续复利计息期值与计息期数的关系

复利计算和单利计息的差别复利计算和单利计息的差别在于，单利计算方法中期限是在括号中与年利率直接相乘；而在复利计算中，期限是作为指数，在括号之外的。

如果投资的期限相同，而且投资的年利率也一样，那么前者的值要大于后者的值，因此，在复利计息方式下计算出来的到期还本付息额要大于单利方式下计算出来的数值，并且期限越长，这两个值之间的差额越大。

同样是100元的资金，每年的利率都是2.00%，用单利法和复利法分别进行投资，期限越长，差距越大。

原因是在复利法下所得到的利息收入被不断地再投资并且不断地得到新的收益。

那么为什么会有单利法和复利法之间的差别呢？单利法计算简单，操作容易，也便于理解，因此银行存款计息和到期一次还本付息的国债都采取单利计息的方式。

但是对于投资者而言，每一期收到的利息都是会进行再投资的，不会有人把利息收入原封不动地放在钱包里，至少存入银行也是会得到活期存款的收益的。

因此复利法是更为科学的计算投资收益的方法。

特别是复利法的现值计算，这个公式决定了你当前应该付出多少资金来取得未来固定的收入，所有对债券定价的分析，都是围绕着这个问题而展开的。

单利情况银行的储蓄存款利率都是按照单利计算的。

所谓单利，就是只计算本金在投资期限内的时间价值（利息），而不计算利息的利息。

这是利息计算最简单的一种方法。

单利利息的计算公式为：I=P0×r×n其中：I为到期时的利息，P0为本金，r为年利率，n为期限；※例：Peter的投资回报Peter现在有一笔资金1 000元，如果进行银行的定期储蓄存款，期限为3年，年利率为2.00％，那么，根据银行存款利息的计算规则，到期时Peter所得的本息和为：1 000＋1 000×2.00％×3＝1 060（元）。

按照每年2.00%的单利利率，1 000元本金在3年内的利息为60元。

那么反过来说，如果按照单利计算，3年后的1 060元相当于现在的多少资金呢？这就是所谓的“现值”问题。

复利进化论
复利是一种计算利息的方式，将所获取的利息或利润加入本金，继续赚取报酬。

投资大师巴菲特偏爱长期定投的价值投资，着眼点正是时间的长期复利效应。

本金、时间、利率是复利的三大要素。

前两项都是投资人可以固定提供的，而资产管理人的工作就是为大家实现一个长期较高且稳定的回报率。

从投资的角度来看，以复利计算的投资报酬效果是相当惊人的。

复利的公式为：本利和=本金×（1+利率）期数。

举例来说，如果本金为10万元，每年有10%的获利，以单利计算，投资100万元，每年可赚10万元，十年可以赚100万元，但如果以复利计算，第一年赚10万元，第二年赚的是110万元的10%，即是11万元，等到第十年总投资获得是将近160万元，成长了1.6倍。

复利进化论表明，在长期投资中，复利效应可以带来巨大的收益。

通过合理的投资策略和长期持有，投资者可以实现资产的增值。

同时，复利效应也提醒我们，时间是投资的重要因素，越早开始投资，越能享受到复利的回报。

基础精讲班中级财务管理2019年全国会计专业技术中级资格考试主讲老师：孙孝群第二章财务管理基础第二章财务管理基础章节概述第二章财务管理基础近3年考试来看，分值为6-7分。

但本章是后面学习的基础，例如，第一节货币时间价值影响到第六章投资管理，甚至可以说第六章投资管理是货币时间价值的应用；第三节成本性态分析是我们学习第八章成本管理的基础。

第二节风险与收益，理解起来有难度，过于理论的内容不建议同学们思考，主要是记住结论，应对考试，因为该部分内容涉及一些数学原理。

第二章财务管理基础第一节货币时间价值第一节货币时间价值本节教材大标题并不能体现出内在逻辑关系。

其实本节主要讲了三大类问题，一是货币时间价值的概念，二是货币时间价值的计算，三是货币时间价值的应用，利率的计算，其中货币时间价值的计算是重点，包含了复利终值和现值的计算（单笔收付），年金终值和现值的计算（多笔等额收付）。

总结如下，本节讲了：第一节货币时间价值第一节货币时间价值【知识点：货币时间价值的概念】一、货币时间价值含义货币时间价值是指在没有风险和没有通货膨胀的情况下，货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称为资金的时间价值。

二、货币时间价值两种表示方法1.绝对数：A企业经过一年的经营，增值1000万元。

（不常用）第一节货币时间价值2.相对数（习惯使用）第一节货币时间价值（二）复利现值【例题】某人为了5年后能从银行取出100元，在复利年利率2%的情况下，求当前应存入金额。

没有现值系数的情况下应当如何算？第一节货币时间价值有现值系数的情况下如何算？【知识点：普通年金终值和现值】一、普通年金终值1.普通年金终值系数通过一到例题感知普通年金终值的推导。

【例】孙老师是位热心于公众事业的人，自2019年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款1000元,帮助这位失学儿童从小学一年级就读完九年义务教育。

假设每年定期存款利率都是2%，则小王9年的捐款在2021年年底相当于多少钱？19年底的1000元按复利终值算，产生2期利息，即n-1期的利息。

2020年中级会计职称考试《财务管理》考点精讲第二节财务管理基础【考情分析】本章是重点章，主要介绍货币时间价值、风险与收益以及成本性态等内容，是预算管理、筹资管理、投资管理、成本管理等后续章节的先导知识。

本章题型比较全面，其中，货币时间价值中的现值计算可以与项目投资管理、证券投资管理等结合考计算分析题或综合题，也可以单独考计算分析题（如2018年度考题）。

风险与收益中的资本资产定价模型可以同普通股资本成本的计算、普通股价值评估等结合考计算分析题或综合题。

本章各年分值波动幅度较大，预计2020年分值在8分左右。

本章近三年题型、分值分布【主要考点】1.货币时间价值的计算（1）复利终现值与年金终现值的计算（2）利率的推算①利用插值法推算利率②名义利率与实际利率的换算2.风险与收益（1）资产收益率的构成与类型（2）风险的含义（3）风险对策（4）风险矩阵（5）风险管理原则（6）单项资产与资产组合的风险与收益衡量（7）系统风险与资本资产定价模型3.成本性态分析（1）成本按性态的分类：固定成本、变动成本、混合成本（2）混合成本的分解方法第一节货币时间价值知识点：货币时间价值的概念1.货币时间价值是指没有风险和没有通货膨胀情况下，货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值。

（1）货币进行投资才会产生价值增值。

（2）货币时间价值（纯粹利率）是投资收益率的基础，在有风险和通货膨胀的情况下，投资者会要求获得更高的投资收益率，即：投资收益率＝货币时间价值＋通货膨胀补贴＋风险收益率 在没有风险和通货膨胀的情况下，有： 投资收益率＝货币时间价值2.投资收益率的存在，使货币随着时间的推移产生价值增值，从而使不同时点的单位货币具有不同的价值量。

一般来说，发生时间越早的单位货币，其价值量越大。

【示例】今天的1块钱比明年的1块钱更值钱。

3.货币时间价值计算实质上是以投资收益率为依据，将货币的价值量在不同时点之间进行换算。

（1）由于不同时点的单位货币具有不同的价值量，因此，不同时点的货币不能直接进行比较，必须换算到相同时点上，才能进行比较。

1、单利率计算公式F：代表本利和,n代表计息周期数,i单：计息周期单利利率,P 代表本金
F=P1+n i单
2、复利率计算公式F：代表本利和,n代表计息周期数,i：计息周期复利利率,P 代表本金
F=P1+ i单n
3、一次支付现金流量终值与现值F：终值,代表本利和.n代表计息的期数.i：计息期年复利率.P现值,代表本金
终值F=P1+ i n n年末本利和是多少出题带有年复利率多少
现值P= F1+ i-n计算开始须一次投资多少出题带有年复利率多少
4、等额支付系列现金的终值现值F：终值,代表本利和.A代表年金,某一特定时间序列计息期末,比如说每年末存多少钱.i：计息期复利率.P现值,代表本金
终值F= A 1+ i n-1 一般计算n年末本利和是多少出题带有每年末
i
现值P= A 1+ i n-1 一般计算开始须一次投资多少出题带有每年末
i1+ i n
5、有效利率的计算P代表资金,r代表利率,m代表次数
年有效利率ieff=I/p=1+r/m m-1。

复利是计算利息的一种方法。

按照这种方法，每经过一个计息期，要将所生利息加入本金再计利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。

这里所说的计息期是指相邻两次计息的时间间隔，如年、月、日等。

除非特别指明，计息期为1年。

所谓"复利"，实际上就是我们通常所说的"利滚利"。

即每经过一个计息期，要将利息加入本金再计利息，逐期计算。

终值是指最后得到的数据。

因此，复利终值就是指一笔收支经过若干期后再到期时的金额，这个金额和最初的收支额事实上具有相同的支付能力。

复利现值是复利终值的对称概念，指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值，或者说是为取得将来一定本利和现在所需要的本金。

也可以认为是将来这些面值的实际支付能力(不考虑通货膨胀因素)。

它们的区别主要是：
1、复利终值：就是以现在的时点看未来，现在我存入银行一笔钱，n年以后拥有的“本利和”就是复利的终值。

2、复利的现值：就是站在未来看现在，我想要在n
年以后拥有一笔“本利和”，那么我现在应该存入银行多少本金，这就是复利的现值。

从计算方法看：
复利现值计算，是指已知终值F、利率i、期数n时，求现值P。

P=F/(1+i)^n
上式中[(1+i)^-n]的是把终值折算为现值的系数，称为复利现值系数，或称作1元的复利现值，用符号(P/F,i,n)来表示。

例如，(P/F,10%,5)表示利率为10%时5期的复利现值系数。

为了便于计算，可编制“复利现值系数表”。

该表的使用方法与“复利终值系数表”相同。

由上述公式可知：当其他条件不变的条件下，复利终值与复利现值成正比!。

财务管理综合练习一、 单项选择题1. 与其他企业组织形式相比，公司制企业最重要的特征是（ D ）。

A ．创办费用低B ．筹资容易C ．无限责任D ．所有权与经营权的潜在分离2.公司的所有者同其管理者之间的财务关系反映的是（ A ）。

A ．公司与股东之间的财务关系B ．公司与债权人之间的财务关系C ．公司与政府之间的财务关系D ．公司与员工之间的关系3.按照公司治理的一般原则，重大财务决策的管理主体是（ D ）。

A ．财务会计人员B ．经营者C ．财务经理 D. 出资者4.企业价值最大化作为企业财务管理目标，其主要优点是（ A ）。

A ．考虑了时间价值因素B ．有利于明确企业短期利润目标导向C ．无需考虑了风险与报酬间的均衡关系D ．无需考虑投入与产出的关系5.企业财务管理目标的最优表达是( C )。

A. 利润最大化 B ．每股利润最大化 C ．股东财富最大化 D ．资本利润率最大化6.每年年底存款5 000元，求第5年末的价值，可用（ C ）来计算。

A ．复利终值系数B ．复利现值系数C ．年金终值系数D ．年金现值系数7.在资本资产定价模型公式()j f j m f K K K K β=+-中f K 表示的含义为（ B ）。

A ．第j 项资产的必要报酬率B ．无风险收益率C ．第j 项资产的风险系数D ．市场均衡报酬率8.某项目的贝塔系数为1.5，无风险报酬率为10%，所有项目平均市场报酬率为14%，则该项目的必要报酬率为（ B ）。

A ．18%B ．16%C ．15%D ．14%9. 普通年金终值系数的倒数称为( B )。

A ．复利终值系数 B. 偿债基金系数 C ．普通年金现值系数 D ．投资回收系数10.如果一笔资金的现值与将来值相等，那么（ C ）。

A ．折现率一定很高B ．不存在通货膨胀C ．折现率一定为0D ．现值一定为011.某人在2015年1月1日将现金10 000元存入银行，其期限为3年，年利率为10%，则到期后的本利和为（ A ）元。

第七章长期投资决策同步练习题答案一、思考题1．什么是独立项目和互斥项目?答：独立项目是指相互之间没有关联关系的项目。

独立项目之间，选择一个项目不影响或并不排斥另一个项目的实施。

如果企业资金充足的情况下，只需对项目自身进行可行性分析；如果企业资金有限，也只影响其先后次序但不影响项目最终是否被采纳。

互斥项目是指在投资决策时涉及的两个或两个以上相互关联、相互排斥，不能同时并存的项目，即一组项目中各项目彼此可以相互替代，采纳项目组中的某一项目，其他项目就要被淘汰。

因此，互斥项目间具有排他性，只能在备选方案之间选择其一。

2．什么是现金流量?投资项目的现金流量包括哪些内容？答：在长期投资决策中，现金流量是指投资项目所引起的在其计算期内可能或应该发生的各种现金流入量与现金流出量的统称，是计算长期投资决策评价指标的主要依据和重要信息之一。

现金流量可进一步细分为现金流出量、现金流入量和现金净流量。

3．投资项目的现金流量如何计算?1.初始现金流量初始现金流量是指开始投资时发生的现金流量，即建设期间现金流量。

它主要包括：（1）固定资产投资，主要包括房屋、建筑物、生产设备等的购入或建造成本、运输成本和安装成本。

（2）无形资产投资，主要包括土地使用权、专利权、商标权、专有技术、特许权等方面的投资。

（3）流动资产投资，是指项目投产后为保证其生产经营活动得以正常进行所必须垫付的周转资金，如对原材料、产成品、应收账款、现金等资产的投资。

（4）其他费用，是指不属于以上各项的投资费用，如投资项目筹建期间发生的咨询调查费、人员培训费、员工工资等。

（5）原有固定资产的变价收入，主要是指固定资产更新时原有固定资产变卖所得的现金收入。

2.经营期间现金流量经营期间现金流量是指投资项目在建成投产后，在其寿命期间因正常经营活动所产生的现金流入量和流出量之差，即营业现金净流量。

营业现金净流量一般按年度进行计算，主要包括项目投产后增加的现金收入和增加的与项目有关的各种付现的成本费用支出（不包括固定资产折旧费和无形资产摊销费），以及各种税金支出。

连续复利公式一、名义利率、实际利率、连续复利当计息周期不是年，如何将其转化为年利率？在普通复利计算以及技术经济分析中，所给定或采用的利率一般都是年利率，即利率的时间单位是年，而且在不特别指明时，计算利息的计息周期也是以年为单位，即一年计息一次。

在实际工作中，所给定的利率虽然还是年利率。

由于计息周期可能是比年还短的时间单位，比如计息周期可以是半年、一个季度、一个月、一周或者为一天等等，因此一年内的计息次数就相应为2次、4次、12次、52次、或365次等等。

这样，一年内计算利息的次数不止一次了，在复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息，因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。

假如按月计算利息，且其月利率为1%，通常称为“年利率12%，每月计息一次”。

这个年利率12%称为“名义利率”。

也就是说,名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息周期数的乘积。

若按单利计算，名义利率与实际利率是一致的，但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应比12%略大些。

为12.68%。

例如，本金1000元，年利率为12％，若每年计息一次，一年后本利和为：F＝1000＊（1＋0.12／12）12＝1126.8（元）实际年利率i为：i=(1126.8-1000)/1000*100%=12.68%这个12.68%就是实际利率。

在上例中，若按连续复利计算，实际利率为：i=e0.12-1=1.1257-1=12.75%设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周期的利率应为r／m，求一年后本利和、年利率？分析：单利方法：一年后本利和F=P(1+i期×m) 利息P×i期×m年利率：P×i期×m / P = i期×m = r复利方法：一年后本利和 F=P(1+i期) m 利息P(1+i期) m - P年利率：i = [ P(1+i期) m—P]/ P = (1+i期) m -1所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i = (1+i期) m–1= (1+r/m) m–1当m＝l时，名义利率等于实际利率；当m＞1时，实际利率大于名义利率。

利息的计算方法3．利息的计算方法利息的计算方法有单利法和复利法两种。

1）单利法单利法是指只对本金计息，不对利息计息的方法。

因此，每期的利息是固定不变的。

其计算公式为：F＝P（1＋i·n）（3-1）式中F—第n期期末的本利和；P—本金；i—计息期单利利率；n—计息期。

单利法虽然考虑了资金的时间价值，但仅是对本金而言，即“利不生利”，而没有考虑每期所得利息再进人社会再生产过程从而实现增值的可能性，这是不符合资金运动的实际情况的。

因此单利法未能完全反映资金的时间价值，在应用上有局限性，通常仅适用于短期投资及期限不超过一年的借款项目2）.复利法复利法就是对利息也计息的方法，即由本金加上先前周期中累计利息总额进行计息，也就是利上加利。

所“利滚利”就是复利计算的意思。

其计算公式为：F＝P（1＋i）n，F,P,i,n的含义同单利计算公式。

从以上的公式可以看出，单利计息贷款与资金占用时间之间是直线形变化关系，利息额与时间按等差级数增值；而复利计息贷款与资金占用时间之间则是指数变化关系，利息额与时间按等比级数增值。

当利率较高、资金占用时间较长时，所需支付的利息额很大。

所以，复利计息方法对资金占用的数量和时间有较好的约束力。

目前，在工程经济分析中一般都采用复利法，单利法仅在我国银行储蓄存款中采用。

4．实际利率与名义利率利息通常是按年计算的，但在实际应用中，计算利息的周期与利率周期可能相同也可能不相同，有时计算复利的次数会多于计息期数。

这样就出现了“名义利率”和“实际利率”。

比如，计算复利时，有时是一年计息一次，有时是半年计息一次，或每季度、每月计息一次。

由于计息周期的不同，同一笔资金在占用的总时间相等的情况下，其计算结果是不同的。

所谓名义利率是指计息周期的实际利率乘以一个利率周期内的计息期数所得的利率周期利率。

如月利率为1%时，年利率为1% x12＝12%，该年利率称为“名义利率”。

他没有考虑年内计息周期间的复利影响。

【知识点2】复利终值和现值单利计算方法与复利计算方法1.单利(simple interest)计算方法是指计算每一个计息期的利息，但不将该期利息加入本金再计算利息。

【提示】这里所说的一个计息期，是指相邻两次计息的间隔，如一年、半年等。

除非特别说明，一个计息期一般为一年。

单利(simple interest)计算方法图示：2.复利(compound interest)计算方法是指每经过一个计息期，要将该期的利息加入本金再计算利息，逐期滚动计算，俗称“利滚利”。

3.单复利计算方法总结。

单利计算是乘法FV=P（1+i×n）复利计算是乘方FV=P（1+i）nFV与TVM二者逻辑关系单利：△V=P（1+n×i）-P=P×n×i复利：△V=P（1+i）n-P=P[（1+i）n-1]时间点与时间段二者逻辑关系后齐前不齐一、复利终值复利终值指现在的特定资金按复利计算方法，折算到将来某一时点的价值，或者说是现在的一定本金在将来一定时间，按复利计算的本金与利息之和，简称本利和。

终值：FV或F，Future Value or Final Value。

与“本利和”同义。

现值：Present Value，简称PV或P。

计息期利率：i。

计息期数：n。

【教材例题】某人将100万元存入银行，年利率10%，计算一年、两年后的本利和。

期数1% 2% 3% 4% 5% 6%1 1.0100 1.0200 1.0300 1.0400 1.0500 1.06002 1.0201 1.0404 1.0609 1.0816 1.1025 1.12363 1.0303 1.0612 1.0927 1.1249 1.1576 1.19104 1.0406 1.0824 1.1255 1.1699 1.2155 1.26255 1.0510 1.1041 1.1593 1.2167 1.2763 1.3382复利终值系数（F/P，4%，3）【教材例题】某人将100万元存入银行，年利率4%，半年计息一次，按照复利计算，求5年后的本利和。

《高等数学》知识在经济学中的应用举例由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。

数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。

应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。

这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。

一、复利与贴现问题1、复利公式货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。

利息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。

在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。

如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。

在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。

通俗说法就是“利滚利”。

下面推出按福利计息方法的复利公式。

现有本金A 0，年利率r=p%，若以复利计息，t 年末A 0将增值到A t ，试计算A t 。

若以年为一期计算利息：一年末的本利和为A 1=A 0（1+r ）二年末的本利和为A 2=A 0（1+r ）+A 0（1+r ）r= A 0（1+r ）2类推，t 年末的本利和为A t = A 0（1+r ）t （1）若把一年均分成m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是r m，容易推得 0(1)mt t r A A m=+ （2） 公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算A t 的复利公式。

若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m →∞，这时，由于000lim (1)lim[(1)]mmt rt rt r m m r r A A A e m m→∞→∞+=+= 所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是0rt t A A e =例1 A0＝100元，r=8%，t＝1，则一年计息1期 1100(10.08)108()A =⨯+=元一年计息2期 210.08100(1)108.16()2A =⨯+=元 一年计息4期 410.08100(1)108.243()4A =⨯+=元 一年计息12期 1210.08100(1)108.300()12A =⨯+=元 一年计息100期 10010.08100(1)108.325()100A =⨯+=元 连续复利计息 0.081100108.329()A e==元 2、实利率与虚利率由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。

保险复利计息的计算公式
复利的计算公式是:F=P(1+i)^n。

P为本金，i为投资回报率，n 为时间，F为本利和。

30（1+X%）的10次方=52则X=5.6%
10万本金，如果能够仅仅依赖对价格信号，技术分析，每天看对只赚2%，3年时间（749个交易日，按每年250个交易日计算，约3年时间），10万\times（1+0.02）^{749}=2763亿，
复利计算就是：计算前一期利息再生利息的问题，计入本金重复计算利息，也就是咱们俗称的利滚利。

简单说就是把之前产生的本金利息之和作为下一期的本金，再来计算利息。

本期视频主要介绍复利的基本计算公式终值=现值×（1+利率）^计息期数F=P（1+i）^n公式中每个字母代表的意思分别是F：终值（Future Value），或者叫未来值，即期末本利和的价值P：现值（Present Value），或者叫期初金额。

i：利率（interest rate）n：计息期数。