八年级数学竞赛题及答案解析讲课稿

人教版 八年级数学上册 竞赛专题：分式方程（含答案）【例1】 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______．解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值．解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程： （1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+； （3）2x ＋21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭＝3．解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________．解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． 解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解． 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______．5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0C ．m ＜－1D ．m ＜－l 且m ≠－27．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=； （2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭．9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值．11．已知关于x 的方程x2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______．5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________． （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） ． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠08．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解． 例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=． 于是221()x x+331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或 － 72. x₁=8 , x₁=－1 , x₁=－8 , x₁=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。

专题14 多边形的边与角阅读与思考主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：设两个凸多边形分别有m，n条边，分别引出(3)2m m-，(3)2n n-条对角线，由此得m，n方程组．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n的不等式，通过求解不等式逼近求解．【例3】凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值．（山东省竞赛试题）解题思路：利用n边形内角和公式，以及边数n为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出n的值．录入：王云峰【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长． （全国通讯赛试题）解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．能力训练A 级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．（重庆市竞赛试题）A DE FG HM2．如图，凸四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别为3，4，12和13，∠ABC ＝90°，则四边形ABCD 的面积为＿＿＿．3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条（“祖冲之杯”邀请赛试题）6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ）（全国初中联赛试题）A ．11B ．12C ．13D ．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角．A ．5个B ．5个或3个C ．5个或3个或4个D ．4个 8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（ ）A ．15B ．16C ．17D ．不能确定9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．A BCD EFG 第1题 A BC D 第2题 AB D EFG 第3题 A B C D24x 第4题 第7题 AB CD10．—个凸n边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n的值．（“希望杯”邀请赛试题）11．平面上有A，B，C，D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—个三角形的内角不超过45°．（江苏省竞赛试题）12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．（安徽省中考试题）B级1．一个正m边形恰好被正n边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m＝4，n＝8的情况），若m ＝10，则n＝＿＿＿＿．2．如图，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，F A -CD ＝3，则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．（北京市竞赛试题）3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．（第十二届“希望杯”邀请赛试题）4．如图，在四边形ABCD 中，AB＝4BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D ＝（ ）A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．不能确定（重庆市竞赛试题）5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ）A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15（江苏省竞赛试题）7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．（全国通讯赛试题）第1题 ABC D EF 第2题 1A 1B 2A 2B 3B 4B 5B 3A 4A 5A 第3题 AB CD 第4题 O ABC D 第5题8．一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n ＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 的值．（上海市竞赛试题）9．设有一个边长为1的正三角形，记作A 1如下左图，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A 2（如下中图）；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（如下右图）；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A 4，求A 4的周长．（全国初中数学联赛试题）10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：1A 2A 3A（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．（陕西省中考试题）。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，是正有理数的是（）A. -3B. 0C. -1/2D. 2解答：D2. 若a < b，且a、b都是正数，那么下列不等式中正确的是（）A. a² < b²B. a³ < b³C. a < b²D. a² < b解答：B3. 已知方程3x - 2 = 5，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解答：C4. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）解答：A5. 若等腰三角形底边长为4，腰长为6，则该三角形的周长为（）A. 14B. 16C. 18D. 20解答：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 若a、b是方程x² - 5x + 6 = 0的两个根，则a + b = __________。

解答：52. 在等差数列{an}中，a₁ = 3，公差d = 2，则第10项a₁₀ = __________。

解答：213. 若a² + b² = 25，且a - b = 3，则ab的值为 __________。

解答：164. 已知正方形的对角线长为10，则该正方形的面积是 __________。

解答：505. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 6，ab = 12，则c²的值为__________。

解答：18三、解答题（共55分）1. 解方程：2(x - 3) + 3(x + 1) = 5。

解答：2x - 6 + 3x + 3 = 55x - 3 = 55x = 8x = 8/52. 已知数列{an}是等差数列，且a₁ = 3，公差d = 2，求第10项a₁₀。

解答：a₁₀ = a₁ + (10 - 1)da₁₀ = 3 + 9 2a₁₀ = 213. 已知三角形的三边长分别为3、4、5，求该三角形的面积。

专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABCADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′C ENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 8 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，P A =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABQCABD CFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案分式的化简与求值典例剖析【例l 】 已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a+=，需要对所求代数式变形含“1a a +”．【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，356124234567a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944（五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】 已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．（北京市竞赛试题）【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++=②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d-+-+-+的值是 ．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知2131xx x =-+，则24291x x x =-+ ． （广东竞赛试题）3．若2221998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c++--- 的值为 ．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知232325x xy y x xy y +-=--，则11x y -= ．5．如果111,1a b b c+=+=，那么1c a +=（ ）．A ．1B ．2C ．12D ．14（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的 值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则22222223657x y z x y z++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定8．已知211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值为（ ） A ．1 B ．313m + C ．2132m - D ．2131m + 9．设0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值．10．已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）11．设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++， 求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为,,a b c ．（1）若a a b cb c b c a ++=+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111a b c a b c-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．13．已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值． （“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）： （1）18272938x x x x x x x x +++++=+++++； （江苏省竞赛试题）（2）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题）（3）111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩．（北京市竞赛试题）B 级1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c=++， 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++，则23x y xy ++= ．2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222x y z y z x z y x+++++的值为 ． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知a c c bb a b a-==+，那么有（ ）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ）．A ．3B ．8C ．16D ．207．已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）．A ．1996B ．1997C ．1998D ．199998．若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y-+-+的值为（ ）． A ．92 B ．94C ．5D ．6 （全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3333a b c abc ++=； （2）求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值． （北京市竞赛试题）10．已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、（天津市竞赛试题）12．设222222222,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab+-+-+-===，当3A B C ++=-时，求证：2002200220023A B C ++=．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）专题07 分式的化简求值例1 181提示：3363111aa a a +=+例2 A 提示：7665544332216a a a a a a a a a a a a k •••••==71a a =58328，得k=31±，又25443322151k a a a a a a a a a a =•••= 例3油x+y+z=3a ，得（x-a ）+（y-a ）+（z-a ）=0.设x-a=m ，y-a=n ，z-a=p ，则m+n+p=0，即p=-（m+n ）.原式=222p n m pm np mn ++++=()222p n m n m p mn ++++=()()2222n m n m n m mn ++++-=-21 例4 x=512 提示：由已知条件知xy ≠0，yz ≠0，取倒数，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++,31,21,1zx x z zx z y xy y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,3111,2111,111x z z y y x ①+②+③，得1211111=++z y x 例5 提示：由已知条件，得()()a bc acb abc bc ac b ab +++++++22=()()[]()c a b a c b a b ++++=()()()0=+++a c c b b a例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c ，①或b=a+c ，②或c=b+a ，③，联立①③，只需证a=16或或b ＝16或c ＝16，即（a －16）（b －16）（c －16）＝0. ④ 展开只需证明0＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋162（a ＋b ＋c ）－163＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋163 ⑤ 将①平方、移项，有a 2＋b 2＋c 2＝322－2（ab ＋bc ＋ca ），⑥ 又将②移项、通分，有 0＝14－（++b c a bc ＋+c a b ac －＋a b c ab ++）①② ③＝14－（2+ab ac aabc-＋2+bc ab babc-＋2ac bc cabc+-）＝222 8()4()4abc ab bc ac a b cabc-+++++＝28()4[322()]4abc ab bc ac ab bc caabc-+++-++把⑥代入等式中，0＝3 16()164abc ab bc acabc-+++＝23 16()16()164abc ab bc ac a b cabc-+++++-＝(16)(16)(16)4a b cabc---当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c为斜边的直角三角形.同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a 个直角三角形.A级1. 0或－22. 15∵231x xx-+＝1，∴x＋1x＝4.又∵42291x xx-+＝5，∴24291xx x-+＝153. 184.35. A6. C 提示：b 2＋c 2－a2＝－2bc7.B8. C 提示：取倒数，得x＋1x＝1＋m，原式的倒数＝x3＋31x－m39. 1 提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）10. 提示：由x＋1y＝y＋1z，得x－y＝1z－1y，得zy＝y zx y--11. 提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝012. （1）∵()a b cbc+＝()b cb c a++-，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.（2）∵1a＋1c＝1+a b c-＋1b，∴a cac+＝()a ca b c b+-+∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0, a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.13. 3 x＝1a，y＝1b，c＝1z，∴411a+＋411x+＝411a+＋4111a+＝1，∴原式＝3.14. （1）x＝－11 2（2）x＝123 14（3）（x，y，z）＝（2310，236，232）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1. 22. －1或8 提示：设a bc+＝b ca+＝c ab+＝k，则k＝－1或2 3.1128354. 0 提示：由xy z+＝1－yz x+－zx y+，得：14＝x－xyz x+－xzx y+5. A6. C7. D 提示：原式＝4(2)(2)(1)(2)x x xx x-+---＝3(2)1x xx-+-＝3261281x x x xx-+-+-＝2(1)5(1)8(1)1x x x x xx---+--＝x2－5x＋88. A 提示：由已知条件得x＝3y9. （1）由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ∴a 3＋b 3＋c 3＝－3ab （a ＋b ）＝3abc（2）∵（a b c -＋b c a -＋c a b -）·ca b-＝1＋22c ab ， ∴同理：（a b c -＋b c a -＋c ab -）·a bc -＝1＋22a bc ，（a b c -＋b c a -＋c a b -）·bc a -＝1＋22b ac ，∴左边＝3＋22c ab ＋22a bc＋22c ab ＝3＋3332()a b c abc ++＝910. ∵a 2＋4a ＋1＝0，∴a 2＋1＝－4a ，①a ≠0. 4232122a ma a ma a++++＝2222(1)(2)2(1)a m a a a ma ++-++＝3.把①代入上式中，222216(2)8a m a a ma +--+＝3，消元得1692)8m m+--+＝3，解得m ＝19.11. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a 天、b 天、c 天，则,,bc a p b c ac b q a c ab c x a b ⎧=⋅⎪+⎪⎪=⋅⎨+⎪⎪=⋅⎪+⎩即111,111,111p a b c q b a c x c a b ⋅=+⋅=+⋅=+解得x ＝14. 12. 由A ＋B ＋C ＝－3得（2222b c a bc+-＋1）＋222222(1)(1)0.22c a b a b c ac ab +-+-+++=即222222()()()0222b c a c a b a b c bc ac ab+-+-+-++=分解因式，得(b ＋c －a )(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝0b ＋c －a ， a ＋b －c ，a －b ＋c 中至少有一个为0，不妨设b ＋c －a ＝0，代入式中， A 2002＋B 2002＋C 2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．13．（1）设女孩速度x 级/分，电梯速度y 级/分，男孩速度2x 级/分，楼梯S 级，则27271818.S x y S xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得13.5271818S S -=-，327418S S -=-，∴S ＝54． （2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 编，走过楼梯n 编，则女孩走过扶梯(m －1)编，走过楼梯(n －1)编，男孩上扶梯4x 级/分，女孩上扶梯3x 级/分．545454(1)54(n 1)423m m m x x x x --+=+，即114231m n m n --+=+，得6n ＋m ＝16，m ，n 中必有一个是正整数，且0≤︱m －n ︱≤1．①16m n -=，m 分别取值，则有②m ＝16－6n ，分别取值，则有 显然，只有m ＝3，n ＝126满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋126×54＝198级． ∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．。

专题 22 关于中点的联想阅读与思考线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：例题与求解【例1】如图，△ABC边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP ⊥AD，M为BC的中点，则PM的值为___________．(安徽省竞赛试题)例2题图例1题图F解题思路：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF ∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为( ) (北京市竞赛试题)A．102B．172C．173D．2103解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线．【例3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连接CE ，CD ， 求证：CD ＝2EC ． (宁波市竞赛试题)解题思路：图形中有两个中点E ，B ，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．【例4】如图1，P 是线段AB 上一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使∠APC ＝∠BPD ，PC ＝P A ，PD ＝PB ，连接CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AC ，AB ，BD ，CD 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．(1) 猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2) 当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3) 如果(2)中，∠APC ＝∠BPD ＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由． （营口市中考试题）BAPAFP BG D H CE HGF E PABC D图① 图② 图③解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．例3图CA D【例5】如图，以△ABC 的AB ，AC 边为斜边向形外作直角三角形ABD 和ACE ，且使∠ABD ＝∠ACE ，M 是BC 的中点，求证：DM ＝EM ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：显然△DBM 不全等于△ECM ，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM ＝EM ．【例6】如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高CH 与△ABC 的两条内角平分线AM ，BN 分别交于P ，Q 两点，PM ，QN 的中点分别为E ，F ，求证：EF ∥AB ． （全国初中数学联赛题）解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．○能 ○力 ○训 ○练 A 级1．如图，若E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是____________．(1)如果把条件中的四边形ABCD 依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH 分别为_______________________；(2)如果把结论中的平行四边形EFGH 依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD 应具备的条件是_______________________． （湖北省黄冈市中考试题）例5图 EDMABC例6图CB D2．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF ＝2，ED ＝3，GC ＝4，则△ABC 的周长为_______________． (重庆市竞赛试题)3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，E 是AC 的中点，若BC ＝16，DE ＝5，则AD ＝______________． （南京市中考试题）4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN ，EM ，若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，则图中阴影部分的面积为________________． （北京市中考试题）5．A ′，B ′，C ′，D ′顺次为四边形ABCD 的各边的中点，下面条件中使四边形A ′B ′C ′D ′为正方形的条件是（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是等腰梯形 D ．四边形ABCD 中，AC ⊥BD 且AC ＝BD 6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则该等腰梯形的面积为（ ） A ．16cm 2 B ．32cm 2 C ．64cm 2 D ．112cm 27．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是BD ，AC 的中点，若AD ＝6cm ，BC ＝18cm ，则EF 的长为（ ）A ．8cmB ．7cmC ．6cmD ．5cm8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE ＝EG ＝GB ，AD ＝18，BC ＝32，则EF ＋GH ＝（ ）A ．40B ．48C ．50D ．56 （泰州市中考试题）第4题图第1题图第2题图C第3题图A第7题图B第8题图 第9题图9．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，M 是BC 的中点，求证：DM ＝12AB ．10． 如图，在△ABC 中，BD ＝CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P ，Q ，求证：AP ＝AQ ．11．在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ； （2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由） (2009年河北省中考试题)第10题图图1AHC (M )DEBFG (N )G图2 AHC DEBFNMAHCDE图3BFG MN12．在六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥F A ，AB ＋DE ＝BC ＋EF ，A 1，B 1，D 1，E 1分别是边AB ，BC ，DE ，EF 的中点，A 1D 1＝B 1E 1．求证：∠CDE ＝∠AFE ．B 级1．如图，正方形ABCD 两条对角线相交于点E ，∠CAD 的平分线AF 交DE 于点G ，交DC 于点F ，若GE ＝24，则FC ＝_________________．2．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点F ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，MN 分别交BD ，AC 于点P ，Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，BD ＝10，则AC ＝_________． （重庆市竞赛试题）3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，以AB ，AC 为边分别向形外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，M 为AD 的中点，N 为AE 的中点，P 为BC 的中点，则∠MPN ＝_________． （北京市竞赛试题） 4．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC ，△ABC ，△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）A ．S 2＝32(S 1＋S 3)B ．S 2＝12(S 3―S 1)C ．S 2＝12(S 1＋S 3)D ．S 2＝32(S 3―S 1)5．如图，在图形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为DC 的中点，N 为AB 的中点，则 ( ) A ．MN ＞12(AD ＋BC ) B ．MN ＜12(AD ＋BC )C ．MN ＝12(AD ＋BC ) D ．无法确定MN 与12(AD ＋BC )的关系第2题图C第12题图FEF第1题图F第3题图6．如图，凸四边形ABCD 的面积是a ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，那么图中的阴影部分的面积为( )A ．18aB ．16aC ．14aD ．12a（江苏省竞赛试题）7．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE ＝DF ，过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠P AE ＝∠PBF ． （全国初中数学联赛试题）8．如图，锐角△ABC 中，作高BD 和CE ，过顶点B ，C 分别作DE 的垂线BF 和CG ，求证：EF ＝DG ．（全俄奥林匹克数学竞赛试题）9． 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且∠MDN ＝90°，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2．求证：AD 2＝14(AB 2＋AC 2)． （北京市竞赛试题）第8题图BG 第5题图DC M第4题图D第6题图ABE第7题图EPF90°，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2．求证：AD 2＝14(AB 2＋AC 2)． （北京市竞赛试题）10．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD ＝∠ACE ＝90°．如图1，连接DE ，设M 为DE 的中点．(1)求证：MB ＝MC ；(2)设∠BAD ＝∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图2的位置，试问：MB ＝MC 是否还成立?请说明理由． （江苏省竞赛试题）图2图111．已知△OAB ，△OCD 都是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90°． (1) 如图1，点C 在OA 边上，点D 在OB 边上，连接AD ，BC ，M 为线段AD 的中点，求证：OM ⊥BC ． (2) 如图2，在图1的基础上，将△OCD 绕点O 逆时针旋转α(α为锐角)，M 为线段AD 的中点．①求证：OM ＝12BC ；②OM ⊥BC 是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第9题图ABCD图1图2BBODC12．如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B ，P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．(1)延长MP 交CN 于点E (如图2)． ①求证：△BPM ≌△CPE ； ②求证：PM ＝PN ．(2)若直线a 绕点A 旋转到如图3的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其他条件不变，此时PM ＝PN 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3) )若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 是否成立．不必说明理由． （沈阳市中考试题）图3图2图1BB。

2023-2024学年安徽省阜阳市八年级（上）竞赛数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系中，点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是()A.，B.，C.，D.，4.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是()A.10B.14C.18D.225.记者乘汽车赴420m外的农村采访，前一段路为高速公路.后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程与时间间的关系如图所示，则该记者从出发到采访地一共需要时间为()A.4小时B.小时C.5小时D.6小时6.无论m为什么实数时，直线总经过点()A. B. C. D.7.已知直线与直线相交于点，那么关于x的方程的解为()A. B. C. D.8.一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中，正确的个数是()A.3B.2C.1D.09.如图，，点A在DE上，，，则的大小为()A. B. C. D.10.三角形的3边长分别是xcm、、，它的周长不超过则x的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11.若一次函数的图象不过第一象限，则k的取值范围是______.12.如图，点A是一次函数图象上的动点，作轴与C，交一次函数的图象于设点A的横坐标为m，当______时，13.如图，则______.14.小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行时间之间的函数关系式如图中折线段所示．小聪与小明出发______相遇；在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是______三、解答题：本题共9小题，共90分。

第十四讲多边形的边角与对角线边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识.多边形的内角和定理反映出一定的规律性：（n —2）X 180°随n的变化而变化；而多边形的外角和定理反映出更本质的规律；360。

是一个常数，把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形有关问题的常用技巧.将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸n边形的一个顶点引出的对角线把凸n边形分成（n_2）个多角形，凸n边形一共可引出n（n—3）对角线.2例题求解【例1】在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002° ,则这个多边形的边数是______________ （江苏省竞赛题）思路点拨设除去的角为。

，y°,多边形的边数为n，可建立关于x、y的不定方程；又0° <x<180° , 0°<y<180。

，又可得到关于n的不等式•故有两种解题途径，注意n为自然数的隐含条件.链接世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程，点是几何学最原始的概念，点生线、线生面、面生体，几何元素的聚合不断产生新的图形，另一方面，不断地分割已有的图形可得到新的几何图形，发现新的几何性质，多边形可分成三角形，三角形可以合成其他一些几何图形.【例2】在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A . 0B . 1C . 3D . 5（全国初中数学竞赛题）思路点拨多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨.【例3】如图，已知在厶ABC中，AB= AC AD丄BC于D,且AD=BC=4若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中直角），并分别写出所拼四边形的对角线的长.（乌鲁木齐市中考题）A思路点拨把动手操作与合情想象相结合，解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形.注教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题，简单地说，“数学建模”就是通过数学化（引元、画图等）把实际问题特化为一个数学问题，再运用相应的数学知识方法（模型）解决问题.本例通过设元，把“没有重叠、没有空隙”转译成等式，通过不定方程求解.【例4】在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360 ° ）时，就拼成了一个平面图形.（1）请根据下列图形，填写表中空格：（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由.（陕西省中考题）止多边形边数3 \—1 —5 6 ]…- --- -------- - -- - ------ U --- ----- ----- i ----------思路点拨本例主要研究两个问题：①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性•假定正n边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n 个内角的和为360 °，这样，将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解.【例5】如图，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A'B'C'D'E'（1）图中5块阴影部分即四边形AHA'G BFB'P、COC'N DMD'L EKE'I能拼成一个五边形吗？说明理由.（2）证明五边形A'B'C'D'E'的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位.（江苏省竞赛题）学力训练1 •如图，用硬纸片剪一个长为16cm 宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 __________ cm,周长最小的是cm•（ 选6《荚国中小学数学课程标准》）2. ______________________________________ 如图，/ 1 + Z 2+Z 3+Z 4+Z 5+Z 6=3. _____________________________________________________________________ 如图，ABCD 是凸四边形，AB=2, BC=4 CD=7则线段AD 的取值范围是 ___________________________________ 4•用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： （1） 第4个图案中有白色地面砖 _______ 块； （2） 第n 个图案中有白色地面砖 _______ 块. （江西省中考题）思路点拨（1）5 块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件: ,A'GB' ； B'PC' ； C'ND' ； D'LE' ； E'lA'点分别共线； /1+ / 2+ / 3+ / 4+ / 5=360；（2）增加的周长等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'0+C'N+D'M+D'L+E'K+E'l ，用圆的周长逼近估算.A . 4笹V 命C . 6 个7第3个（“希望杯”邀请赛试题）6. —个凸多边 形的每一内角都等于 140°,那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 （）A. 9条 B . 8条 C . 7条 D . 6条7 •有一个边长为 4m 的正六边形客厅，用边长为 50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）A . 216 块B . 288 块C . 384 块D . 512 块 （“希望杯”邀请赛试题）&已知△ ABC 是边长为2的等边三角形，△ ACD 是一个含有30°角的直角三角形，现将△ ABC 和△ ACD 拼 成一个凸四边形 ABCD （1））画出四边形ABCD⑵ 求出四边形 ABCD 的对角线BD 的长.（上海市闵行区中考题）9 .如图，四边形 ABCD 中, AB= BC = CD / ABC=90，/ BCD= 150°,求/ BAD 的度数. （北京市竞赛题）10. 如图，在五边形 A 1A 2AAA 中，B 是A 的对边AA 4的中点，连结 A 1B 1,我们称 A 1B 1是这个五边形的一条 中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分，求证：五边形的每条边都有一条11. _______________________ 如图，凸四边形有 _________________________ 个；/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+Z G ___________________（重庆市竞赛题）12. ________________________________________________________________________________________ 如对角线和它平行.（安徽省中考|第勺魁）(% 11题」【第12题》图，延长凸五边形A1AAA4A的各边相交得到5个角，Z B,Z B, Z B3, Z B,Z B s,它们的和等于___________________若延长凸n 边形（n > 5）的各边相交，则得到的 n 个角的和等于 ________ . （“希望杯”邀请赛试题）13•设有一个边长为1的正三角形，记作 A （图a ），将每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形， 去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2（图b ），再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（图C ）;再将每条边三 等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4,那么，A 的周长是 _________ ； A 这个多边形的面积是原三角形面积的 __________ 倍. （全国初中数学联赛题）14 .如图，六边形 ABCDEF 中, Z A=Z B=Z C=Z D=Z E=Z F,且 AB+BC=11FA — CD=3 贝U BC+DC __ •（ 北 京市竞赛题）15.在一个n 边形中，除了一个内角外，其余 （n 一 1）个内角的和为2750°，则这个内角的度数为（）A . 130°D . 140°C . 105 °D . 120°16.如图，四边形 ABCD 中,Z BAD=90 , AB=BC=23 , AC=6 AD=3,贝U CD 的长为() A. 4 B . 4、2 C . 3 .2 D . 3注 按题中的方法’不断地做下去，就会成为下图那样的图形，它的边界有一个美丽的名称一一雪花曲 线或科克曲线（瑞典数学家），这类图形称为“分形”，大量的物理、生物与数学现象都导致分形，分形是 新兴学科“混沌”的重要分支.17.如图，设Z CGE a ，则Z A+Z B+Z C+Z D+Z C+Z F=()l 第 \3.3（江苏省竞赛题）D AH（第20题」ACA. 360° 一 a B . 270° — a C. 180 ° +a D . 2a （山东省竞赛题） 18.平面上有 A 、B, C D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ 中至少有一个三角形的内角不超过 45 °.19. 一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果用较小的相同正方形地砖，那么需 n+76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知 n 及地砖的边长都是整数，求n .（上海市竞赛题）20. 如图，凸八边形 ABCDEFG 的8个内角都相等，边 AB BC CD DE EF 、FG 的长分别为7, 4, 2, 5, 6, 2，求该八边形的周长.21•如图I 是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床 头部分被折到了床面之下（这里的A B C 、D 各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边 形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来.如果已知四边形 ABCD 中, AB=6, CD=15那么BC AD 取多长时，才能实现上述的折叠变化 ?的大小，并画出这样的凸 n 边形的草图.ABC △ ABD △ ACD △ BDC（淄博市中考题）22.—个凸n 边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸 n 边形各个内角C A S09 14-1ns raM的边角馬对角ti【例IE求解】fl 1 "或脂由逢伽2002*<(B-2>X180*<2Q02' + 360MJW 13«2 3C外幣中範懈的个疲不舗超过3忙•又内划与内掛中盥驚羅多不16亀it 3牛+优3屋过适当携合可以组戍以下网种不同理弑的囚边離*时角拔民井JH为K *72*2和2 帀4巽和”芈+4)正三用需、正四边厢I或正方幣)、正珀边幣、假定在樓合处一冀有*块正”边序地砖.由于正n边曙的所有肉希那相誓禺―初X180■羽°JTW 人・；^ = 2 +不±・S 故<-2|4t rt-2-U2,4 碍用=氛4 販6曲此可S1.只有三ff正参边形的瓷砖■可戲檢豪束傭地、暫正三曲幣、正方腦《1圧六边麻一(3>如1正方砸稍iEA边旌■覃圈如右「设在一牛IB点周屈有抽亍正方带的用f d正人边形的魁，犀幺，叭”扈是方程曲・M'4-n • 135*-360-的畫数11.即2m + 3ii-8的整敢歸.f m" 1 •「这牛方程的BftHRW“一胡・・=杆舍条件的ffiJBR有「种.I 片■-£9fS(D ffl中5块祈番部舟电拼虐一牛水五边彰BF-»AG-^H-E/-£K»DL-=DM-CN^<；O«flP=4ZBF/T « Z AGA'^ZCTX* - Z.BPH'匸£DMIY^^CNC■/£!<『■£ DLD* = “ HA r -ZEf^-90*A(ZA +ZB J+ ZC + Zi/■+*Zf/)+ <Zl + Z2 + Z3±Z4 + Z5) = 5X 180', lffJZA H+ ziB，+ZC/+Z£X+ZE'=(5-2)Xiao*-3X 180" A Zl+Z2 + Z3+Z4 + Z5-360D⑵爹边带増加的腾长等于A'H + A^ + B'F + B'P + ro+rt + DM+^L^^K+n.Xffllfr^ffl中阴童，但草构戍的五边矗的隔长"谨五边弼存在一个tS* i的最大囿•其周KS>MfllK#«.S>Bx>aX3J J4-25. 12>25.【学力训练】1.72.56 2- 360* J.设AD-<r.J|i| 7-(4+2)<j<7 + 4 + 2t得］Vi<13 4. (DlBi(2)4ff+2.窕ii |•边理外拒申3个角为惋盘"即内桶申星多碑3牛下是|ft命+褂M€3+2N5t. D 7. C»>■取儿為的中点Bt'ft為曲人為Si A, 4A* •因力AjBy-BtA^SfU ■釦,・片・又因为四边曲為冷儿& 与四边昭4民儿息的面积相积所以鬼屮幵=S A7入.同理艮内“丹-S^y 所以亀**九=3厶22，所以厶為乩儿与△凡九久的益其边A.A,上的髙相算俪联几凡"A.A”同理可证五边带.4//］儿起的邯条边分閘与一斎対角线平行.11* 7,540" 13+180*T(w —2) * IfiO*—n * 180*+(jf —2) * 180*=(w —4) * 180"IX (D3X (-^- J1=^ I(t)S+3X yS+ax 4 X ^S+31X4X ^S-M. 14向外补幣得正三祐坯IS. A 16. D HD作DE丄于E 17. D1乩假谡从四点中(fiS出的三点构赋的三竟幣的三牛内瀚AH大于45J当九BCD构成&四边形时*可碍各角和大于前丁・舟四<1 )108* *120", “一^小単*«. ttl图，可井和得BD“7冶皿・2拧». 75*11边誓内坤*1为閔3矛盾1肖4BCD 构虚凹四边梅时+可側各坤和大于18^,与三输带内角和为180D Jffi.1・ 设丈小正方序边悅分别为才寸.则"P = J + 76〉*，若(x.y) = J,记j- = dxi ・_/・曲必*5 ,y t )=1*则JIJ -? = (M + 76)^I解榕 (Ji + >i )<j| '->])«* 76j^ 3! X 19 X .20.取向延长AB.CD.EF.GH 暂呼边MNPQ,原人边形内谢祁相爭.英邯一牛內角为n 損阳.毎一个外爲为45".因此MNP Q 为快方形，△HPC\ADQE,AFMG* iANHfl 是等眾直命三肃惑.设GH=r.HA = y ・由MQ-NP,得MF+FE+EQ-M4 +AB+BP,即血+6 + 滲 =%十7 + 2応解得$ = 3亠庄•同理由MN^QP.m 工=3十2 72.^BEA 边带周怏为32+A21.由图2的第一舎图形得MO+CD 4 H AD 2.即W + + W = ①又由图2的第三和第0M 个图旳得AB+AD=CD+BC,即6+AD=lS+BC ②解由①、③联立的方程堀得BC-30,AD=39.tt BC\AD^»j^ 30和39时"才能賓现上述的折畏蜚代.12,因为凸十一边矗是由正三储舷和正方幣擠嵐的，所以.各内轴的大小只可能是60\90M2Q*,l50*.设这4牛角个敷分别为 J j ■十 _y+z+ u*・]13\$、*、越■剧 I,\60x+90>+ 120r+ l50ui= (11 -2) X 180化简冉3z 十2y+w ・l*正豐数解为x = ^=0,s=l.w-10,ii 说明.所求凸十一边形一个角毘120笃它由两牛正三您形 的内角拼琥•其余10个角都是150*,*由一牛iE 三m 矗的内帝和i 片正方形的内角携成.草用略.j-t = 10>! =94* J -324. (8-2) X 1B0'。

第二十七讲图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(山西省中考题)思路点拨本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．（山东省中考题)思路点拨 拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键． 注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力． 近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽； (2)请画出拼接图．思路点拨 利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图． 【例6】 如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (温州市中考题)思路点拨 充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学力训练1． 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于 ． (三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有 个． (天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 (2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A ＝∠1+∠2 C ．3∠A ＝2∠1+∠2 D ．3∠A=2(∠l+∠2) (北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形 (陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是． (四川省竞赛题)12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．( “宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于． ( “希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm(如图2)；第二种长600mm，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是 mm2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG为( ) A．15° B．30° C．55° D．75°16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC的长都不小于5cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ． 26D ．27 (山东省济南市中考题)17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为( )A ．2537+ B ．253+ C ．251+ D ．2)21(+ (2003年山东省竞赛题)18．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点月的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点为D ，要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还需添加什么条件? (1)写出两个满足边的条件； (2)写出两个满足角的条件；(3)写出一个满足除边角以外的其他条件． (黄冈市竞赛题)19．如图，正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN ，设梯形ADMN 的面积为S 1，梯形BCMN 的面积为S 2，求21S S 的值20．已知一个三角形纸片ABC ，面积为25，BC 的长为l0，∠B 、∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与A 、B 不重合)，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，设MN=x ． (1)用x 表示△AMN 的面积；(2)△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BCNM(边AM 、AN 落在四边形BCNM 所在的平面内)，设点A 落在平面BCNM 内的点A ′，△A ′MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ． ①用的代数式表示y ，并写出x 的取值范围．②当x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少?。

专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 311 4 6 4 1 1510 10 5 1… … … … … … …。