2017年上海市八校联考高考数学模拟试卷(3月份)

年上海中学高考数学模拟试卷（）一．选择题．（分）已知函数（）（≤≤）的图象的一段圆弧（如下图）若＜＜＜，则（）．．．．当时，当≥时．（分）已知函数（）ω 在区间[] 上的最小值为﹣，则ω 的取值范围是（）．．．（﹣∞，﹣] ∪ [ ，∞）．．（分）假如数列 {} 知足：首项且那么以下说法中正确的选项是（）．该数列的奇数项，，，．成等比数列，偶数项，，，．成等差数列．该数列的奇数项，，，．成等差数列，偶数项项，，，．成等比数列．该数列的奇数项，，，．分别加后构成一个公比为的等比数列．该数列的偶数项项，，，．分别加后构成一个公比为的等比数列．（分）点为△内一点，且存在正数，设△，△的面积分别为、，则：（）．λ ：λ．λ ：λ．λ ：λ．λ ：λ二．填空题．（分）已知方程（）的两根为，，且＜＜＜，则的取值范围是．．（分）已知函数的值为．．（分）已知有最大值，那么当获得最小正当时，．．（分）一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上搁置个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个极点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则个正方体裸露在外面部分的面积和为．．（分）已知函数（）（ω ?），（＞，ω ＞，≤ ?≤ π ）的部分图象如下图，记则的值为．．（分）在一次珠宝博览会上，某商家展出一套珠宝金饰，第一件金饰是颗珠宝，第二件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第三件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第四件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第五件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，此后每件金饰都在前一件上，依据这类规律增添必定数目的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推测第件金饰上应有颗珠宝；则前件金饰所用珠宝总数为颗．（结果用表示）．（分）已知复数，又，而的实部和虚部相等，求．．（分）定义，设实数，知足拘束条件，{ ，﹣ } ，则的取值范围是．．（分）已知函数（）﹣，给出以下命题：①当时，（）的图象对于点（，）成中心对称；②当＞时，（）是递加函数；③（）至多有两个实数根；④当≤≤时，（）的最大值为．此中正确的序号是．．（分）、是双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，，且△的面积为，则的值是．．（分）平面上有相异的个点，每两点连成一条直线，共得条直线，则任取此中的三个点，构成三角形的概率是．．（分）已知，（，），（，）∈* （，∈ * ）且对随意，∈ * 都有①（，）（，）；②（，）（，）．则（，）的值．三．解答题．已知函数．（）若函数（）（）的图象对于点对称，且∈（，π ），求的值．（）设的充足条件，务实数的取值范围．．如图，⊥平面，四边形是矩形，，与平面所成的角是°，点是的中点，点在边上挪动．（）当点为的中点时，试判断与平面的地点关系，并求出到平面的距离；（）命题：“不论点在边上哪处，都有⊥”，能否成立，并说明原因．．已知定点（，），（，﹣），（，），动点知足：?，（）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线种类；（）当，求的最大，最小值．．阳光商场节日时期为促销，采纳“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满元（这元能够是现金，也能够是奖赏券，或两者共计），就送元奖赏券（奖赏券不可以兑换现金）；满元就送元奖赏券（注意：一定满元才送奖赏券元，花销超出元不足元也只好得元奖赏券，以此类推）．（）按这类酬宾方式，一位顾客只用元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（）在一般状况下，顾客有元现金，而同时新世纪百货在进行折优惠活动，即每件商品按原价的销售，试问该顾客在哪个商场购物才能获取更多优惠．．已知一次函数（）的图象对于直线﹣对称的图象为，且（（））﹣，若点在曲线上，并有．（）求（）的分析式及曲线的方程；（）求数列 {} 的通项公式；（）设，求的值．年上海中学高考数学模拟试卷（）参照答案与试题分析一．选择题．已知函数（）（≤≤）的图象的一段圆弧（如下图）若＜＜＜，则（）．．．．当时，当≥时【考点】：函数的图象与图象变化．【剖析】由题设条件及图象知，此函数是图象是先增后减，观察四个选项，研究的是比较的是两个数大小，由它们的形式知几何意义是（，（））与原点（，）连线的斜率，由此规律即可选出正确选项．【解答】解：由函数的图象知，此函数的图象先增后减，其变化领先正后负，渐渐变小观察四个选项，要比较的是两个数大小，由其形式，其几何意义是（，（））与原点（，）连线的斜率由此函数图象的变化特点知，跟着自变量的增大，图象上的点与原点连线的斜率渐渐变小，当＜＜＜，必定有观察四个选项，应选应选【评论】本题观察函数的图象及图象变化，解题的重点是观察四个选项，找出问题研究的方向，再联合图象的变化得出答案，本题形式新奇，由图象给出题设，由形入数，观察了数形联合的思想及理解能力．．已知函数（）ω 在区间[] 上的最小值为﹣，则ω 的取值范围是（）．．．（﹣∞，﹣] ∪ [ ，∞）．【考点】：三角函数的最值；：（ω φ ）中参数的物理意义．【剖析】先依据的范围求出ω 的范围，依据函数（）在区间[] 上的最小值为﹣，可获取﹣ω ≤﹣，即ω ≥，而后对ω 分大于和小于两种状况议论最值可确立答案．【解答】解：当ω＞时，﹣ω ≤ ω≤ω ，由题意知﹣ω ≤﹣，即ω ≥，当ω ＜时，ω ≤ω ≤﹣ω ，由题意知ω ≤﹣，即ω≤﹣，综上知，ω的取值范围是（﹣∪ [）．应选：．【评论】本题主要观察正弦函数的单一性和最值问题．观察三角函数基础知识的掌握程度，三角函数是高考的一个重要考点必定要加强复习．．假如数列 {} 知足：首项且那么以下说法中正确的选项是（）．该数列的奇数项，，，．成等比数列，偶数项，，，．成等差数列．该数列的奇数项，，，．成等差数列，偶数项项，，，．成等比数列．该数列的奇数项，，，．分别加后构成一个公比为的等比数列．该数列的偶数项项，，，．分别加后构成一个公比为的等比数列【考点】：数列递推式．【剖析】先依据首项和递推式求出前项，而后拿出奇数项依据等差数列和等比数列的定义可判断选项、的真假，将数列的奇数项，，，，分别加后可判断的真假，数列的偶数项项，，，．分别加后可判断的真假．【解答】解：∵首项且∴，，，，，，该数列的奇数项，，，既不可等差数列，也不可等比数列，应选项、不正确；该数列的奇数项，，，，分别加后为，，，，，不可等比数列，故不正确；该数列的偶数项项，，，．分别加后为，，，，，构成一个公比为的等比数列，故正确．应选．【评论】本题主要观察了数列递推式，以及等差数列与等比数列的判断，属于中档题．．点为△内一点，且存在正数，设△，△的面积分别为、，则：（）．λ ：λ．λ ：λ．λ ：λ．λ ：λ【考点】：向量在几何中的应用．【剖析】本选择题利用特别化方法解决．取正数，联合向量的运算法例：平行四边形法例获取是三角形的重心，获取三角形面积的关系．【解答】解：取正数，∵知足即：，∴，设，如图，则是三角形的重心，故三角形和的面积相等，△与△的面积分别是三角形和的面积的一半和三分之一，则△与△的面积之比是．即λ ：λ应选．【评论】本小题主要观察向量在几何中的应用、向量的运算法例等基础知识，观察运算求解能力，观察数形联合思想、特别化思想．属于基础题．二．填空题．已知方程（）的两根为，，且＜＜＜，则的取值范围是（﹣，﹣）．【考点】：一元二次方程的根的散布与系数的关系；：二次函数的性质．【剖析】依据方程（）的两根知足＜＜＜，联合对应二次函数性质获取，获取关于的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：由程（），知对应的函数（）（）图象张口方向向上又∵方程（）的两根知足＜＜＜，则即即，∴﹣＜＜﹣故答案为（﹣，﹣）【评论】本题观察一元二次方程的根的散布与系数的关系，三个二次之间的关系，本题解题的重点是由方程（）的两根知足＜＜＜，联合二次函数图象获取．．已知函数的值为．【考点】：函数的值．【剖析】推导出（），从而获取﹣，由此能求出（）．【解答】解：∵函数，∴（），∴﹣﹣，即﹣，∴（）﹣．故答案为：．【评论】本题观察函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．．已知有最大值，那么当获得最小正当时，．【考点】：数列与函数的综合．【剖析】要求获得最小正当时的值，重点是要找出什么时候小于或等于，而大于，由，我们不难获取＜＜，依据等差数列的性质，我们易求出当获得最小正当时，的值．【解答】解：∵有最大值，∴＜则＞，又，∴＜＜∴＜，（）（）＜，＞又＞＞＞＞＞＞∴＞＞＞＞＞，＞＞＞＞＞＞又∵﹣（）＜∴为最小正当故答案为：【评论】本题观察数列的函数性质，一般的 {} 为等差数列，若它的前项和有最小值，则数列的公差小于； {} 为等差数列，若它的前项和有最大值，则数列的公差大于．．一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上搁置个小正方体形积木摆成塔形，此中上面正方体中下底的四个极点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则个正方体裸露在外面部分的面积和为．【考点】：棱柱的构造特点．【剖析】由已知中一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上搁置个小正方体形积木摆成塔形，此中上面正方体中下底的四个极点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，我们易得相邻两个正方体中，上面一个正方体的侧面积为下面一个正方体的侧面积的一半，从而获取各个正方体的侧面积构成一个以首项，以为公比的等比数列，由此求出各侧面的和，加上顶面裸露在外面部分的面积和为，累加后即可获取答案．【解答】解：最下面正方体的侧面积为×从下面数第二个正方体的侧面积为×从下面数第三个正方体的侧面积为×即相邻两个正方体中，上面一个正方体的侧面积为下面一个正方体的侧面积的一半．各个正方体的侧面积构成一个以首项，以为公比的等比数列故当时而除侧面外其余面的和为，故个正方体裸露在外面部分的面积和为故答案为：【评论】本题观察的知识点是棱柱的构造特点，等比数列的前项和，此中依据已知条件将问题转变为等比数列的前项和问题，是解答本题的重点．解答时易忽视个正方体裸露在外面部分不包含下底面，但包含上底面，而错解为或．．已知函数（）（ω ? ），（＞，ω＞，≤ ? ≤ π）的部分图象如图所示，记则的值为．【考点】：由（ω φ）的部分图象确立其分析式．【剖析】先求出函数（）（），求出（）、（）、（）、（）的值，依据函数的周期性求出的值．【解答】解：由函数（）的图象可得，此函数的周期等于，，∴，ω．故函数（）（）．（），（），（），（），（）﹣，（）﹣，（）﹣，（）．故（）（）（）（）．∴（）（）（）（）（）（）．故答案为：．【评论】本题主要观察函数（）（ω ?）的周期性以及依据图象求分析式，求出函数（）（），是解题的重点．．在一次珠宝博览会上，某商家展出一套珠宝金饰，第一件金饰是颗珠宝，第二件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第三件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第四件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第五件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，此后每件金饰都在前一件上，依据这类规律增添必定数目的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推测第件金饰上应有颗珠宝；则前件金饰所用珠宝总数为颗．（结果用表示）【考点】：数列的应用．【剖析】由题意可知，，，，的值，则﹣，﹣，﹣，﹣，猜想﹣，从而得的值和﹣﹣﹣；所以（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣﹣）﹣求得通项公式，从而求得前项和．【解答】解：由题意，知，，，，，，；∴﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，，﹣﹣﹣；∴（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣﹣）﹣（﹣）﹣﹣；∴﹣，其前项和为（）﹣（）×﹣．故答案为：，．【评论】本题观察了数列的递推关系以及乞降公式的综合应用，解题时要研究数列的递推关系，得出通项公式，并能正确乞降．．已知复数，又，而的实部和虚部相等，求．【考点】：复数代数形式的混淆运算；：复数的基本观点．【剖析】由条件求出（﹣），可得，解出、的值，即可获取．【解答】解：∵，∴（﹣）．∴，（分）∴或﹣，∴或﹣﹣（分）【评论】本题观察复数的基本观点，复数代数形式的混淆运算，属于基础题．．定义，设实数，知足拘束条件，{，﹣}，则的取值范围是﹣≤≤．【考点】：简单线性规划的应用．【剖析】先找出可行域，即四边形上及其内部，（）与（﹣）相等的分界限，令时，点（，）在四边形上及其内部，求得范围；令﹣，点（，）在四边形上及其内部（除边）求得范围，将这个范围取并集可得答案．【解答】解：当≥﹣时可得≥则原题可转变为：当，作出不等式组所表示的平面地区如下图的暗影部分的，作直线：而后把直线向可行域平移则可知直线平移到（，）时，平移到点（﹣，）时﹣当，﹣作出不等式组所表示的平面地区如下图的作直线：﹣，而后把直线﹣向可行域平移则可知直线平移到（﹣，）时﹣，平移到点（，﹣）时，此时有﹣≤≤综上可得，﹣≤≤【评论】本题表面上看拘束条件和目标函数都是静态的，实质上两者都是动向变化的，目标函数是仍是﹣并无明确确立下来，直线又将原可行域分为两部分．解题的重点是经过比较与﹣的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．本题构想比较奇妙．．已知函数（）﹣，给出以下命题：①当时，（）的图象对于点（，）成中心对称；②当＞时，（）是递加函数；③（）至多有两个实数根；④当≤≤时，（）的最大值为．此中正确的序号是①②④．【考点】：命题的真假判断与应用．【剖析】依据函数的单一性和奇偶性，对各个选项加以判断．利用奇函数图象对于原点对称，可得①正确；利用二次函数图象及其单一性，得出②正确；举出一个反例，可得③不正确；利用二次函数图象与性质，求函数的最值可得出④正确．【解答】解：对各个选项分别加以鉴别：对于①，当时，（），可得（﹣）﹣∴（）（﹣），可得（）的图象对于点（，）成中心对称；对于②，当＞时，（）（﹣），图象的对称轴为，张口向上所以在对称轴的右边为增函数，所以当＞时，（）是递加函数；对于③，能够取，﹣时，（）有三个实数根：，故③不正确；对于④，当≤≤时，（）﹣当时，函数的最大值为（）．故答案为：①②④【评论】本题以函数的奇偶性和单一性为载体，观察了命题真假的判断，属于中档题，娴熟掌握函数的基天性质是解决本题的重点所在．．、是双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，，且△的面积为，则的值是或﹣．【考点】：双曲线的简单性质．【剖析】议论＞，＜，运用双曲线的定义和向量垂直的条件，以及三角形的面积公式，联合勾股定理，解方程即可获取所求值．【解答】解：设为双曲线右支上一点，当＞时，由双曲线的定义可得﹣，，可得⊥，△的面积为，可得?，即有 ?，由勾股定理可得，，即有（﹣） ?，解得；当＜时，双曲线即为﹣，由双曲线的定义可得﹣，，可得⊥，△的面积为，可得?，即有 ?，由勾股定理可得，﹣，即有（﹣） ?﹣﹣，解得﹣．综上可得或﹣．故答案为：或﹣．【评论】本题观察双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的勾股定理和面积公式的运用，观察分类议论思想方法，以及运算能力，属于中档题．．平面上有相异的个点，每两点连成一条直线，共得条直线，则任取此中的三个点，构成三角形的概率是．【考点】：等可能事件的概率．【剖析】经过议论先判断出个点中有一个点共线，一个点共线，而后利用组合的方法求出从个点中任取三个点的方法及任取三个点能构成三角形的方法，利用古典概型的概率公式求出答案．【解答】解：若随意三点不共线，则任两点一条直线，共有直线，由于共得条直线，少了条，所以存在多点共线的状况，若点共线的话则减少﹣条，若点共线减少﹣条，若点以上共线减少超出条，所以个点中有一个点共线，一个点共线，从个点中任取三个点共有种，共线有种由古典概型的概率公式得构成三角形概率是．故答案为：．【评论】本题观察古典概型的概率的求法，重点是求失事件包含的基本领件的个数，常用的方法有：摆列组合的方法、列举法、列表法、树状图的方法等．．已知，（，），（，）∈ *（，∈ * ）且对随意，∈ * 都有① （，）（，）；②（，）（，）．则（，）的值．【考点】：抽象函数及其应用．【剖析】依据条件可知 { （，）} 是认为首项，为公差的等差数列，求出（，），以及{（，）} 是认为首项为公比的等比数列，求出（，）和（，），从而求出所求．【解答】解：∵（，）（，）∴{ （，） } 是认为首项，为公差的等差数列∴（，）﹣又∵（，）（，）∴{ （，） } 是认为首项为公比的等比数列，∴（，）﹣∴（，）﹣∴（，）故答案为：．【评论】本题主要观察了抽象函数及其应用，推出（，）﹣，（，）﹣，（，）﹣，是解答本题的重点，属中档题．三．解答题．（ ?徐汇区校级模拟）已知函数．（）若函数（）（）的图象对于点对称，且∈（，π ），求的值．（）设的充足条件，务实数的取值范围．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；：正弦函数的图象．【剖析】（）求出（）的表达式，利用图象对于点（﹣，）对称，成立条件关系即可求的值；（）求出当∈ [ ，] ，函数（）的值域，利用是的充足条件，即可求出的取值范围．【解答】解：（）∵（）（）﹣﹣﹣（）﹣﹣（﹣），∴（）（）（﹣），∵（）（）的图象对于点（﹣，）对称∴（﹣）（﹣×﹣）（﹣），即﹣π，∴，∵∈（，π），∴当时，，当时，．（）∵（）﹣＜，∴：﹣＜（）﹣＜，即﹣＜（）＜，当∈[，]，﹣∈[，]，此时（﹣）∈[，]，即（）∈ [，]，要使是的充足条件，则，即，∴﹣≤≤，即实数的取值范围是[﹣，]．【评论】本题主要观察三角函数的图象和性质，要求娴熟掌握三角函数的周期，对称性和最值的性质，波及的知识点许多，综合性较强，运算量较大．．（ ?徐汇区校级模拟）如图，⊥平面，四边形是矩形，，与平面所成的角是°，点是的中点，点在边上挪动．（）当点为的中点时，试判断与平面的地点关系，并求出到平面的距离；（）命题：“不论点在边上哪处，都有⊥”，能否成立，并说明原因．【考点】：点、线、面间的距离计算．【剖析】（）由题设中的条件，为中点可得∥，由此可判断出与平面的地点关系是平行，再依据体积相等即可求出到平面的距离；（）由题设条件及图形可得出⊥平面，由线面垂直的定义可得出不论点在边的哪处两线都垂直．【解答】解：（）当点为的中点时，与平面平行．∵在△中，、分别为、的中点，∴∥又?平面而? 平面∴∥平面．所以：点到平面的距离和到平面的距离相等．∵与平面所成的角是°，∴，．设到平面的距离为．∵﹣﹣ ???△??△?．所以：到平面的距离为：．（）∵⊥平面， ? 平面，∴⊥．又⊥，∩，， ? 平面，∴⊥平面，又?平面，∴⊥．又，点是的中点，∴⊥，又∵∩，，? 平面，∴⊥平面．∵?平面，∴⊥．即不论点在边上哪处，都有⊥成立．即命题成立．【评论】本题中波及到点、线、面间的距离计算．一般在求点到面的距离当垂线直接不好求时，常用体积相等来求．．（ ?徐汇区校级模拟）已知定点（，），（，﹣），（，），动点知足：?，（）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线种类；（）当，求的最大，最小值．【考点】：轨迹方程；：向量的模；：平面向量数目积的运算．【剖析】（）设出点坐标，求出向量的坐标，而后分和≠由?获取点轨迹；（）把代入（）求出的轨迹方程，获取﹣，利用向量的坐标运算求出，把﹣整体代入后转变为求﹣的最值，令﹣，由圆心到直线﹣的距离不大于圆的半径求的范围，从而获取结论．【解答】解：（）设（，），，．当时，由?，得﹣（﹣），整理得：，表示过（，）且平行于轴的直线；当≠时，由?，得﹣（﹣），整理得：，表示以点为圆心，以为半径的圆．（）当时，方程化为（﹣），即﹣，∵，∴，又﹣，∴．问题归纳为求﹣的最值，令﹣，∵点在圆（﹣），圆心到直线﹣的距离不大于圆的半径，∴，解得﹣．∴．【评论】本题观察了平面向量的数目积运算，观察了轨迹方程的求法，观察了向量模的求法，表现了数学转变思想方法及整体运算思想方法，属有必定难度题目．．（?徐汇区校级模拟）阳光商场节日时期为促销，采纳“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花销满元（这元能够是现金，也能够是奖赏券，或两者共计），就送元奖赏券（奖赏券不可以兑换现金）；满元就送元奖赏券（注意：一定满元才送奖赏券元，花销超出元不足元也只好得元奖赏券，以此类推）．（）按这类酬宾方式，一位顾客只用元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（）在一般状况下，顾客有元现金，而同时新世纪百货在进行折优惠活动，即每件商品按原价的销售，试问该顾客在哪个商场购物才能获取更多优惠．【考点】：函数模型的选择与应用．【剖析】（）依据规则，一定满元才能得元奖赏券，所以要想所得奖券最多，一定每次尽可能使用元整数倍的钱，故可得解；（）依据（）的求解得悉：阳光商场用元钱最多能购回小于元钱的货物，而新世纪百货用元钱能购回元钱的货物，故可解．【解答】解：（）依据规则，一定满元才能得元奖赏券，所以要想所得奖券最多，一定每次尽可能使用元整数倍的钱，所以这位顾客按下述方法可获取最多货物，第一次使用元，可得奖赏券第二次使用元，可得奖赏券第三次使用元，可得奖赏券（此时剩下奖赏券元）第四次使用元，可得奖赏券元（此时剩下奖赏券元）最后一次使用元，没有奖赏券故共可购回（元）货物分（）设阳光商场用元钱最多能购回元钱的货物，则由（）小题知：新世纪百货用元钱能购回元钱的货物，故新世纪的优惠更多．分【评论】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要观察实质问题向数学识题的转变，重点是理解题意，合理剖析．．（ ?徐汇区校级模拟）已知一次函数（）的图象对于直线﹣对称的图象为，且（（））﹣，若点在曲线上，并有．（）求（）的分析式及曲线的方程；（）求数列 {} 的通项公式；（）设，求的值．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；：数列的乞降．【剖析】（）设（）（≠），所以[ （） ] ﹣．由于（）的图象对于直线﹣的对称为，所以曲线为：﹣（）﹣，故﹣（）﹣﹣（﹣）．由此能够推导出（）的分析式及曲线的方程．（）由﹣（），知，由此能够求出数列{} 的通项公式．（）由﹣，知（﹣）（﹣）（﹣）﹣，由此能够求出求的值．【解答】解：（）设（）（≠），∴[（）]﹣．①由于（）的图象对于直线﹣的对称为，∴曲线为：﹣（）﹣，∴﹣（）﹣，﹣（﹣）﹣，﹣（）﹣﹣（﹣）．又点（，）（∈ *）在曲线上，∴﹣（）②﹣（﹣），∴﹣（）﹣﹣（﹣）﹣，∴，﹣．∴（）﹣，曲线：；（）由② ﹣（）∴，∴?? ? ? （﹣） ?! ，∵，∴!；（）∵﹣，∴（﹣）（﹣）（﹣）﹣．则（﹣）．【评论】本题观察数列与函数的综合，解题时要认真审题，认真解答，注意发掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转变．。

江门市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试题(五)共150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）全集U=R ，集合{}02|2≥+=x x x A ，则[U A= （A ）[]0,2-（B ）()0,2- （C ）(][)+∞⋃-∞-,02,（D ）[]2,0（2）已知 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα则)4tan(απ-等于 （A ）7 （B ）71（C ）71-（D ）7-（3）如果等差数列{}n a 中，15765=++a a a ，那么943...a a a +++等于 （A ）21（B ）30（C ）35（D ）40（4）要得到函数)23sin(-=x y 的图象，只要将函数x y 3sin =的图象 （A ）向左平移2个单位（B ）向右平移2个单位 （C ）向左平移32个单位（D ）向右平移32个单位 （5）“1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）下列有关命题的说法正确的是（A ）命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ” （B ）命题“01,2<-+∈∃x x R x ”的否定是“01,2>-+∈∀x x R x ” （C ）命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为假命题 （D ）若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题（7）设m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是 （A ）βα//,//n m 且,//βα则n m // （B ） βα⊥⊥n m ,且 βα⊥，则 n m ⊥（C ）,,,n m n m ⊥⊂⊥βα则βα⊥ （D ）,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂则βα//（8）函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是（9）已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（A ）2（B ）3（C ）2（D ）23（10）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（A ）π12 （B ）π24 （C ）π32 （D ）π48（11）已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-==<--=311|,032|2x x g y x B x x x A ，在区间()3,3-上任取一实数x ，则“B A x ⋂∈”的概率为（A ）41 （B ）81 （C ）31 （D ）121 （12）已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ，若0>k ，则函数1|)(|-=x f y 的零点个数是（A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2017年上海市高三数学第三次模拟测试试卷2017.5.18考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分． 1. 已知集合{}{}2=lg ,230A x y x B x xx ==--<，则A B È=____________.2. 如果(1)(1)i mi ++是实数，则实数=m _________________.3. 已知圆锥母线的轴截面的母线与轴的夹角是3p，母线长为3，则过圆锥顶点的截面面积的最大值=_________________________.4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若723742,S a a a =++则=_______________.5. 圆22:(2)4C x y -+=，直线12:,:1l y l y kx ==-，若12,l l 被圆C 所截得的弦长之比是1:2，则=k _______________. 6. 已知4()ln()f x x a x=+-，若对任意的m R Î，均存在00x >，使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是________________________.7. 若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线上的射影分别是,,2M N BN AM =且，则=k _____________. 8. 某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是__________.9. 已知动点(,)x y 满足条件2123y x y x ì?ïïíï?+ïî，则y x 的取值范围是_________. 10. 若{},1,2,3,,11a b Î ，构造方程22221x y a b+=，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{}(,)11,9x y x y <<内的椭圆的概率是_________________. 11. 已知ABC D ，若存在111A B C D ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称111A B C D 是ABC D 的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是___________：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°； ③A=75°，B=75°，C=30°．12. 已知函数2(),()11x f x g x mx m x -==+--的图象相交于点,A B 两点，若动点P 满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程是________________________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2017项，则判断框内的条件是（ ）A ．n ≤2014B ．n ≤2016C ．n ≤2015D ．n ≤201714. 已知三条直线,,a b c 两两互相垂直，P 为空间一个定点，则在过点P 的直线中，分别与,,a b c 所成的角都相等的直线有（ ）A.1条B.3条C.4条D.无数条15. 在锐角ABC D 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若221sin cos ,2C C -=则下列各式正确的是( )A.2a b c +=B.2a b c +?C.2a b c +<D.2a b c +? 16. 已知集合{}22(,)1M x y xy =+?，若实数,l m 满足：对任意的(),x y M Î，都有(),x y M l m Î，则称(),l m 是集合M的“和谐实数对”，则下列选项中，可以作为集合M 的“和谐实数对”的是( )A.{}(,)+=4l m l mB.{}22(,)+=4l m l mC.{}2(,)4=4l m lm - D.{}22(,)=4l m l m -三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。

上海八校联考高三数学试卷2017.3一. 填空题1. 已知设集合2{|20170,}S x x x x R =+=∈，2{|20170,}T x x x x R =-=∈，则 S T =2. 不等式13x x+<的解为 3. 已知两平行直线1:210l x y +-=，2:260l x y +-=，则1l 与2l 的距离是 4. 若行列式5413879xx 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是5. 二项式(51)n x -的展开式的二项式系数和为W ，各项系数和为P ，且62128W P +=，则n 的值是6. 2，四个顶点在同一球面上，则该球的体积为7. 学校要求每位学生从6门选修课程中选修3门，甲、乙两位同学选的三门课程中恰有两 门是相同的概率为 （以数字作答）8. 已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与 C 的左、右两支分别交于点A 、B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程是9. 已知函数log (5)6()(4)462a x x f x a x x -≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩，数列{}nb 满足()n b f n =（*n N ∈），且{}n b 是 单调递增数列，则实数a 的取值范围是10. 已知0a >，1a ≠，若函数()2|sin 2|2x f x a x π=+-，0x >，若函数()f x 至少有 五个零点，则实数a 的取值范围是11. 已知集合211{|,1}k M x x kt t kt k==+<<，若对大于1的正整数k ，所有集合k M 的 交集为12. 对于定义域和值域均为[0,1]的函数()f x ，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =， …，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3n =，…，满足()n f x x =的点称为f 的n 阶周期点， 设1202()12212x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则f 的2阶周期点的个数是二. 选择题13. 条件甲：0a b >>，条件乙：11a b<，则甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. m 、n 是不重合的两直线，α、β是不重合的两平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若m ∥α，n α⊂，则m ∥nB. 若m ∥α，m ∥β，则α∥βC. 若m α⊥，m β⊥，则α∥βD. 若n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β15. 下列命题：① 命题“若22am bm >，则a b >”的逆命题是真命题；② 若(4,3)a =，(2,1)b =-，则b 在a 上的投影是5-③ 在164(x x的二项展开式中，有理项共有4项； ④ 已知一组正数1x 、2x 、3x 、4x 的方差为2222212340.25(16)s x x x x =+++-，则数据 12x +、22x +、32x +、42x +的平均数为4；⑤ 复数32i i+的共轭复数是a bi +（,a b R ∈），则6ab =-， 其中真命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 316. 已知圆221x y +=与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使2PA 、2PO 、2PB 成等比数列（O 为坐标原点），则PA PB ⋅的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 1[,0)2-C. 1(,0)2- D. [1,0)-三. 解答题17. 已知()lg(1)f x x =+；（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[1,2]x ∈）的反函数；18. ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边长分别为a 、b 、c ，且221(cos )2c a B b a b -=-； （1）求角A ；（2）求sin sin B C +的最大值；19. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 、N 分别是面对角线1A B 和 11B D 的中点；（1）求证：MN AB ⊥；（2）求三棱锥N MBC -的体积；20. 已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线1:220l x y --=相切；（1）求圆的标准方程；（2）设点A 为圆上一动点，AN x ⊥轴于N ，若动点Q 满足：(1)OQ mOA m ON =+-， （其中m 为非零常数），试求动点Q 的轨迹方程2C ；（3）在（2）的结论下，当3m =时，得到曲线C ，与1l 垂直的直线l 与曲线C 交于B 、 D 两点，求△OBD 面积的最大值；21. 设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(3)23n n p S pa p -+=+*()n N ∈，p 为常数， 3p <-；（1）求证：{}n a 是等比数列，写出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公比()q f p =，无穷数列{}n b 满足：11b a =，13()2n n b f b -=(2)n ≥， 求证：1{}nb 是等差数列，并写出{}n b 的通项公式； （3）设11n n n c a a +=-，在（2）的条件下，有lim(lg )lg 27n n n b a →∞=，求数列{}n c 各项和；参考答案一. 填空题1. {0}2. {|0x x <或1}2x >3.5 4. 83x < 5.6 6. 3 7. 920 8. 6y x =± 9. 32(,8)5 10. (1,2) 11. 5[2,)2 12. 4二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. B三. 解答题17.（1）2133x -<<；（2）1()310x f x -=-，[0,lg 2]x ∈； 18.（1）3π；（2）3(3]； 19.（1）略；（2）124； 20.（1）224x y +=；（2）2224y x m+=；（33 21.（1）12()3n n p a p -=+；（2）32n b n =+；（3）34-；。

2017年上海中学高考数学模拟试卷（3）一、填空题1．复数的虚部是．2．已知函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=ƒ（log2x）的定义域为．3．自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为．4．已知函数，则方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有．5．在的取值范围为．6．已知函数对定义域内的任意x的值都有﹣1≤f（x）≤4，则a的取值范围为．7．函数f（x）=a（x+2）2﹣1（a≠0）的图象的顶点A在直线mx+ny+1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为．8．一个四面体的各个面都是边长为的三角形，则这个四面体体积为．9．考察下列一组不等式：23+53＞22•5+2•52，24+54＞23•5+2•53，25+55＞23•52+22•53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是．10．关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为．11．已知不等式对大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为．12．在一个给定的正（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为．二、选择题13．已知，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．C．D．14．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC 的关系为（）A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点15．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）=lga+lgb，则lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（）A．等于1 B．等于lg2 C．等于0 D．不是常数16．对b＞a＞0，取第一象限的点A k（x k，y k）（k=1，2，…，n），使a，x1，x2，…，x n，b 成等差数列，且a，y1，y2，…，y n，b成等比数列，则点A1，A2，…，A n与射线L：y=x（x ＞0）的关系为（）A．各点均在射线L的上方 B．各点均在射线L的上面C．各点均在射线L的下方 D．不能确定三、解答题17．已知函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，求a的取值范围．18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求异面直线CD和PB所成角大小；（2）求直线CD和平面ABE所成角大小．20．设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．21．现有流量均为300m3/s的两条河流A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m3和0.2kg/m3．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100m3的水量，其交换过程为从A股流入B股100m3的水量，经混合后，又从B股流入A股100m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3．（不考虑泥沙沉淀）．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．（1）求椭圆方程；（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T 的配对点的坐标；（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？2017年上海中学高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一、填空题1．复数的虚部是．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可求出复数的虚部．【解答】解：复数===﹣+i．复数的虚部为：；故答案为：．2．已知函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=ƒ（log2x）的定义域为．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】由函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，知．所以在函数y=ƒ（log2x）中，，由此能求出函数y=ƒ（log2x）的定义域．【解答】解：∵函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1，∴．∴在函数y=ƒ（log2x）中，，∴．故答案为：[]．3．自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）．【考点】J3：轨迹方程．【分析】设出AB的中点坐标，利用中点坐标公式求出B的坐标，据B在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．【解答】解：设AB中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，B点坐标为（2x﹣2，2y）．∵B点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AB中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．不包括A点，则弦的中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）故答案为：（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）．4．已知函数，则方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有7个．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求解方程f2（x）﹣f（x）=0，可得f（x）=0或f（x）=1．画出函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：由f2（x）﹣f（x）=0，得f（x）=0或f（x）=1．画出函数的图象如图，由图可知，f（x）=0可得x有3个不同实根；f（x）=1可得x有4个不同实根．∴方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有7个．故答案为：7个．5．在的取值范围为 （1，3） ．【考点】HQ ：正弦定理的应用．【分析】根据正弦定理可得到，结合∠C=3∠B 根据两角和的正弦公式和二倍角公式可得整理得到，再由∠B 的范围即可得到的取值范围．【解答】解：根据正弦定理，，得====4cos 2B ﹣1由∠C=3∠B ，4∠B ＜180°，故0°＜∠B ＜45°，cosB ∈（，1）故4cos 2B ﹣1∈（1，3）． 故答案为：（1，3） 6．已知函数对定义域内的任意x 的值都有﹣1≤f （x ）≤4，则a 的取值范围为 [﹣4，4] ．【考点】34：函数的值域．【分析】将已知条件转化为恒成立，恒成立，令两个二次不等式的判别式小于等于0即得到答案． 【解答】解：根据题意得：恒成立，所以恒成立所以解得﹣4≤a ≤4 故答案为[﹣4，4]．7．函数f （x ）=a （x+2）2﹣1（a ≠0）的图象的顶点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为8 ．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据二次函数求出顶点坐标，然后代入直线方程可得2m+n=1，然后中的1用2m+n代入，2用4m+2n代入化简，利用基本不等式可求出最小值．【解答】解：由题意可得顶点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2 =8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．8．一个四面体的各个面都是边长为的三角形，则这个四面体体积为 2 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】考虑一个长方体ABCD﹣A1B1C1D1，其四个顶点就构成一个四面体AB1CD1恰好就是每个三角形边长为，利用长方体的体积减去4个角的体积即可．【解答】解：设长方体ABCD﹣A1B1C1D1三棱分别是a，b，c，于是列出方程 a2+b2=5，b2+c2=10，c2+a2=13 于是解出 a2=4，b2=1，c2=9，a=2，b=1，c=3，即对于三棱分别为1，2，3的长方体去掉4个角就得到题中要求的四面体．于是，所求四面体体积为：长方体体积﹣4个角上直四面体体积=1×2×3=2．故答案为：2．9．考察下列一组不等式：23+53＞22•5+2•52，24+54＞23•5+2•53，25+55＞23•52+22•53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n ．【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中的式子变形得22+1+52+1＞22•51+21•52（1）23+1+53+1＞23•51+21•53（2）观察会发现指数满足的条件，可类比得到2m+n+5m+n＞2m5n+2n5m，使式子近一步推广得2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n ﹣k，n≥3，1≤k≤n【解答】解：22+1+52+1＞22•51+21•52（1）23+1+53+1＞23•51+21•53（2）观察（1）（2）（3）式指数会发现规律，则推广的不等式可以是：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n故答案为：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n．10．关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】原方程的根是实根与虚根讨论：（1）对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根，（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ，分别求出a的值，从而得到答案．【解答】解：（1）对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根，则实根中有一个根为1或﹣1，△=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）≥0，得a≤﹣8或a≥0，将x=1代入方程，得2+3a+a2﹣a=0，即a2+2a+2=0，a无实根；将x=﹣1代入方程，得2﹣3a+a2﹣a=0，即a2﹣4a+2=0，得a=2±（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ，△=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）＜0，得﹣8＜a＜0 由韦达定理，有 cosθ+isinθ+cosθ﹣isinθ=2cosθ=﹣a，得cosθ=﹣a，（cosθ+isinθ）（cosθ﹣isinθ）=cos2θ+sin2θ=1=（a2﹣a），即（a+1）（a﹣2）=0，⇒a=2或a=﹣1，a=﹣1时，cosθ=∈[﹣1，1]；a=2不在﹣8＜a＜0的范围内，舍去．∴a=﹣1故答案为：a=2±或﹣111．已知不等式对大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】设S n=，（n≥2），由已知，只需小于Sn的最小值，利用作差法得出Sn随n的增大而增大，当n=2时Sn取得最小值，再解对数不等式即可．【解答】设S n=，（n≥2）则S n+1=Sn+1﹣Sn==＞0，∴Sn随n的增大而增大．当n=2时，Sn取得最小值，S2=∴恒成立．移向化简整理得log a（a﹣1）＜﹣1．①根据对数的真数为正得：a﹣1＞0，a＞1，①再根据对数函数单调性得a﹣1＜，a2﹣a﹣1＜0，②①②联立解得故答案为：12．在一个给定的正（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】从（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点中取3个的所有不同的取法有C2n+13，每种取法等可能出现，属于古典概率，正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部，若第一个点取的就是点2n+1，对于第二个点分类考虑：第二个点取取的是点1，第二个点取的是点2…第二个点取的是m，第二个点取的是点n，再考虑第三个点的所有取法，利用古典概率的公式可求．【解答】解：不妨设以时钟12点方向的顶点为点2n+1，顺时针方向的下一个点为点1，则以时钟12点和6点连线为轴，左右两边各有n个点．多边形中心位于三角形内部的三角形个数a：假设第一个点取的就是点2n+1，则剩下的两点必然在轴线的一左一右．对于第二个点取的是点1，对于第二个点取的是点2，第三个点能取点n+1、点n+2，有2种…对于第二个点取的是点m，第三个点能取点n+1、点n+2…点n+m，有m种…对于第二个点取的是点n，第三个点能取点n+1，点n+2…点2n，有n种一共1+2+…n=（n+1）n种如果第二个点取的是点n+1到点2n，可视为上述情况中的第三个点．所以a=（n+1）n×（2n+1）=（2n+1）（n+1）n一共可构成三角形个数b=（2n+1）n（2n﹣1）∴P==故答案为：二、选择题13．已知，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．C．D．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】由题意，可先化简集合A，再由A∪B=A得B⊆A，由此对B的集合讨论求a，由于集合B可能为空集，可分两类探讨，当B是空集时，与B不是空集时，分别解出a的取值范围，选出正确选项【解答】解：由题意，，由A∪B=A得B⊆A又B={x|x2﹣2ax+a+2≤0}当B是空集时，符合题意，此时有△=4a2﹣4a﹣8＜0解得﹣1＜a＜2当B不是空集时，有解得2≤a≤综上知，实数a的取值范围是故选D14．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC 的关系为（）A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．【解答】解：∵，∴，∴，∴P是AC边的一个三等分点．故选项为D15．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）=lga+lgb，则lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（）A．等于1 B．等于lg2 C．等于0 D．不是常数【考点】4H：对数的运算性质．【分析】由lg（a+b）=lga+lgb，知lg（a+b）=lg（ab）=lga+lgb，所以a+b=ab，由此能求出lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值．【解答】解：∵lg（a+b）=lga+lgb，∴lg（a+b）=lg（ab）=lga+lgb，∴a+b=ab，∴lg（a﹣1）+lg（b﹣1）=lg[（a﹣1）×（b﹣1）]=lg（ab﹣a﹣b+1）=lg[ab﹣（a+b）+1]=lg（ab﹣ab+1）=lg1=0．故选C．16．对b＞a＞0，取第一象限的点A k（x k，y k）（k=1，2，…，n），使a，x1，x2，…，x n，b 成等差数列，且a，y1，y2，…，y n，b成等比数列，则点A1，A2，…，A n与射线L：y=x（x ＞0）的关系为（）A．各点均在射线L的上方 B．各点均在射线L的上面C．各点均在射线L的下方 D．不能确定【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】先由等差数列的通项公式，求出x k=，再由等比数列的通项公式，求出y k=a，最后作差即可证明各点均在射线L的下方【解答】解：依题意，设数列{x n}的公差为d，由b=a+（n+1）d，得d=∴x k=a+kd=a+设数列{y n}的公比为q，由b=aq n+1，得∴y k=aq k=a∵y k﹣x k=a﹣a﹣＜0∴各点Ak均在射线L：y=x（x＞0）的下方故选C三、解答题17．已知函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】要使f（x）与g（x）的图象在（0，π）内至少有一个公共点可转化成f（x）=g（x）在（0，π）内至少有一个解，然后根据三角函数公式进行化简整理，将a分离出来，求出另一侧的取值范围即可求出所求．【解答】解：∵函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，∴=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3在（0，π）内至少有一个解即sin﹣sin=2sin [cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3]∴2cos sinx=2sin [cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3]2cos cos=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3cos2x+cosx=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3∴a=（1+cosx）+令1+cosx=t，t∈（0，2）∴a≥2∴a的取值范围是[2，+∞）18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，由sinA不为0，即可得到cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，配方后把b，a+c及cosB的值代入，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：（1）由正弦定理得===2R，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入=﹣，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，化简得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，∵sinA≠0，∴cosB=﹣，又∵角B为三角形的内角，∴B=；（2）将b=，a+c=4，B=，代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得13=a2+（4﹣a）2﹣2a（4﹣a）cos，∴a2﹣4a+3=0，∴a=1或a=3．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求异面直线CD和PB所成角大小；（2）求直线CD和平面ABE所成角大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（1）设异面直线CD和PB所成角为α，用向量表示CD和PB，再利用公式可求．（2）先求平面ABE的法向量，再利用公式求解．【解答】解：由题意，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴．设PA=a，则P（0，0，a），B（a，0，0），，（1）设异面直线CD和PB所成角为α∴∴异面直线CD和PB所成角为（2）设直线CD和平面ABE所成角为βPA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC，PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．∵，∴∴直线CD和平面ABE所成角为．20．设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（1）设Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0，利用f′（x）的符号进行判定函数的单调性即可；（2）运用方程的根，求得f（α）•f（β）==﹣4＜0，可知函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而f（α）•f（β）=﹣4，则当f（β）=﹣f（α）=2时，f（β）﹣f（α）取最小值，从而得到结论．【解答】解：（1）证明：设Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0．f′（x）==﹣＞0，∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．（2）由关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），可得α=，β=，f（α）==，f（β）=，即有f（α）•f（β）==﹣4＜0，函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，∴当且仅当f（β）=﹣f（α）=2时，f（β）﹣f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，此时a=0，f（β）=2．当a=0时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．21．现有流量均为300m3/s的两条河流A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m3和0.2kg/m3．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100m3的水量，其交换过程为从A股流入B股100m3的水量，经混合后，又从B股流入A股100m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3．（不考虑泥沙沉淀）．【考点】8B：数列的应用．【分析】我们设第n个观测点A股水流含沙量为a n，B股水流含沙量为b n．由已知我们易得{a n﹣b n}是以a1﹣b1为首项，为公比的等比数列．求出数列的通项公式后，构造不等式，解不不等式，即可得到结论．【解答】解：设第n个观测点A股水流含沙量为a n kg/m3，B股水流含沙量为b n．a n=即：a n﹣b n=（a n﹣1﹣b n﹣1）∴{a n﹣b n}是以a1﹣b1为首项，为公比的等比数列．a n﹣b n=1.8•解不等式1.8•＜10﹣2得2n﹣1＞180，又由n正整数，∴n≥9因此，从第9个观测点开始，两股水流含沙量之差小于0.01kg/m3．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．（1）求椭圆方程；（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T 的配对点的坐标；（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）设椭圆的顶点为P，由||=2=2c可得c=1，由PF1=PF2=2结合椭圆的定义可得2a，结合b2=a2﹣c2可求椭圆的方程（2）可设过T的直线方程为y=k（x+1），（k≠0），联立椭圆方程整理可得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2﹣3）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），S （a，0），由∠PST=∠QST 可得k PS=﹣K QS即，结合方程的根与系数的关系代入可求a（3）设T（x0，0），直线PQ的方程y=k（x﹣x0），S （a，0），使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即﹣2＜x0＜2同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程由∠PST=∠QST可得，2x1x2﹣（a+x0）（x1+x2）+2ax0=0，同（2）的方法一样代入可求【解答】解：（1）设椭圆的顶点为P，由||=2=2c可得c=1PF1=PF2=2可得2a=4∴a=2，b2=a2﹣c2=3椭圆的方程为：（2）∵T（﹣1，0），则过可设过T的直线方程为y=k（x+1），（k≠0），联立椭圆方程整理可得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2﹣3）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），S （a，0），则，∵∠PST=∠QST∴k PS=﹣K QS∴∴整理可得2x1x2+（1﹣a）（x1+x2）﹣2a=0即∴a=﹣4（3）设T（x0，0），直线PQ的方程y=k（x﹣x0），S （a，0）使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即﹣2＜x0＜2同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程可得，，由∠PST=∠QST可得，2x1x2﹣（a+x0）（x1+x2）+2ax0=0同（2）的方法一样代入可求a=。

2017年上海市春季高考数学试卷
16．如图所示，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【试题再现】若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
且2z x y =+的最大值和最小值分别
为M 和m ，则M m -=（ ）．
（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5
解析四：（向量法）如图2，画出不等式组表示的可行域——由点
11(1,1),(2,1),(,)22
A B C ---围成的三角形区域（包括边界）. 构造向量(2,1),(,)OP OQ x y ==，并设向量OP 与OQ 的夹角为θ，则因为2c o s 5c o s z x y O P O Q O P O Q O Q θθ=+=⋅=⋅=⋅，所以本题关键是考查向量OQ 在OP 方向上的投影（即：cos OQ θ）何时取得最值.
让点(,)Q x y 在可行域内运动变化，分析易知：当点(,)Q x y 与点(2,1)B -重合时，向量OQ 在OP 方向上的投影取得最大值，所以22(1)3M =⨯+-=；当点(,)Q x y 与点(1,1)A --重合时，向量OQ 在
OP
方向上的投影取得最小值，
所以
2
(1)
(1)3m =⨯-+-=-.故3(3)6M m -=--=，选C ．
图2
评注：上述求解的关键是，先根据目标函数的表达式灵活构造向量，再借助动态分析法考查最值情景.显然，这种解法揭示了常规解法中动直线平移的实质——始终保证动直线与向量OP所在直线垂直.故值得我们去回味、深思！。

2 ． 等 比 数 列 {an} 的 首 项 为 a1=a ， 公 比 q ≠ 1 ， 则
=
．
【考点】8E：数列的求和． 【分析】先求出数列的首项和公式，然后根据等比数列的前 n 项和进行求解，化简即可得到 结论．
【解答】解：
是首项为
= ，公比为
∴
=
=
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18．已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1，底面边长 AB=2，AB1⊥BC1，点 O、O1 分别是边 AC，A1C1 的中 点，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求正三棱柱的侧棱长；
=．
化简可得 a1= 故答案为：
，故有 0＜a1＜3 且 a1≠ ， ．
9．某甲 A 篮球队的 12 名队员（含 2 名外援）中有 5 名主力队员（含一名外援），主教练要 从 12 名队员中选 5 人首发上场，则主力队员不少于 4 人，且有一名外援上场的概率是
． 【考点】C7：等可能事件的概率． 【分析】由题意可得：基本事件总数为 C125=792，主力队员不少于 4 人，即 5 名队员中有主 力队员 4 人或者 5 人，并且其选法分别为 25 种、1 种，进而根据等可能事件的概率公式可 得答案． 【解答】解：由题意可得：主教练要从 12 名队员中选 5 人首发上场不同的选法有：C125=792 种． 因为主力队员不少于 4 人，所以 5 名队员中有主力队员 4 人或者 5 人， 当从 12 名队员中选 5 人首发上场其中主力队员为 4 人并且有一名外援上场时，不同的选法 共有 1+C43C61=25 种； 当从 12 名队员中选 5 人首发上场其中主力队员为 5 人并且有一名外援上场时，不同的选法

江西省高三2017届八校联考数学（理）试卷答案14. 2； 15. 15116λ<≤； 16. ①④； 三、解答题17. 解：（Ⅰ）因为()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，由正弦定理有()()()a b a b c b c +-=- 即有222b c a bc +-= …………3分由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又A 为锐角，∴ A=3π…………6分 （Ⅱ）由题，22sin 2sin cos cos 1coscos 1223C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫+-=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 16B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………8分又在锐角ABC ∆中，有002226200322B B B B C πππππππ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩， …………10分 所以2363B πππ<+<，所以sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， ∴2sin 2sin 22C B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围是.⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,123. ……………12分 18. 解：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率434030==p依题意ξξ),43,4(~B 的值可能为0，1，2，3，4…………………2分2561)41()43(()0(4004===ξP25612)41)(43(()1(314===ξP25654)41()43(()2(2224===ξP 256108)41()43(()3(1334===ξP 25681)41()43(()4(0444===ξP32568142561083256542256121=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 或3434=⨯=ξE ………… ………8分 （Ⅱ）每次用车路上平均花的时间5.3540260408504084040143040820=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=t （分钟）… …………………………10 分每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.一个月的平均用车费用约为542元. ……………………………12分19.解：（Ⅰ）取AO 的中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ∵BD 在平面ABCD 内，∴EH ⊥BD ┄┄┄┄┄2分又菱形ABCD 中，AC ⊥BD 且EH ∩AC=H ，EH 、AC 在平面EACF 内 ∴BD ⊥平面EACF ，即BD ⊥平面ACF ┄┄┄┄┄5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz ┄┄┄┄┄┄┄6分 ∵EH ⊥平面ABCD ，∴∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH ＝45°，又菱形ABCD 的边长为4，则AO AH EH ===各点坐标分别为(0,0,0),(2,0),(H A D O -,E(0,0,)┄┄………7分易知HE u u u r为平面ABCD 的一个法向量，记=HE =u u u r ，=()- ,=∵EF//AC ， ∴ (),0,0AO λ==-u u u r┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分设平面DEF 的一个法向量为()z y x⊥⊥=,,,,则 （注意：此处EF u u u r可以用AO u u u r 替代）即 DE m ⋅20y += ,0m EF x ⋅=-=u r u u ur令2,0,3-===z x y 则，则，∴(2,3,0-=m ┄┄┄┄…………9分∴cos ,7n m n m n m⋅===-⋅r u rr u r r u r平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为772. ┄┄┄┄┄┄┄12分20. 解：（Ⅰ）依题意得2,1AB BD ==，设动圆M 与边AC 的延长线相切于1T ，与边BC 相切于2T ， 则1212,,AD AT BD BT CT CT ===所以1212AD BD AT BT AC CT BT +=+=++12242AC CT CT AC BC AB BDAB =++=+=+=>= …………………2分所以点C 轨迹Γ是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点.则曲线Γ的方程为()221043x y y +=≠. …………………4分 （Ⅱ）【法一】由于曲线Γ要挖去长轴两个顶点，所以直线,OE OF 斜率存在且不为，所以可设直线()()11221:,:,,,,OE y kx OF y x E x y F x y k==- …………………5分由223412y kx x y =⎧⎨+=⎩得2214312k x +=,22214312k k y +=，同理可得：43122222+=k k x ,4312222+=k y ；所以22243)1(12k k OE ++=，43)1(12222++=k k OF 又OE OF ⊥，所以()()()3443136412222222+++⨯==∆k k k OF OE S OEF…………………8分 令21t k =+，则1t >且21k t =-，所以()()()()()2222221363631413443OEFk t S t t k k ∆+=⨯=⨯+-++ 21136361111493424t t t =-⨯=-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………10分 又101t <<，所以249114912424t ⎛⎫-≤--<- ⎪⎝⎭，所以21141249114924t -<≤-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以2144136349114924t ≤-⨯<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以1237OEF S ∆≤<， 所以OEF ∆面积的取值范围为12,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭. …………………12分【法二】依题意得直线l 斜率不为0，且直线EF 不过椭圆的顶点，则可设直线l ：x my n =+，且3m ≠±。

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2017年上海市浦东新区高考数学三模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）不等式≥2的解集是：．2．（4分）（1﹣2x）5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为．3．（4分）函数f（x）=（x﹣1）2，（x≤0）的反函数是．4．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=，n∈N*，其前n项和为S n，则S n=．5．（4分）如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为．6．（4分）若复数z满足|z|=1，则|（+i）（z﹣i）|的最大值是．7．（5分）已知O为坐标原点，点A（5，﹣4），点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则•的取值范围是．8．（5分）现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是．9．（5分）若数列{a n}满足a1=12，a1+2a2+3a3+…+na n=n2a n，则a2017=．10．（5分）已知曲线，θ∈[0，2π）上一点P（x，y）到定点M（a，0），（a＞0）的最小距离为，则a=．11．（5分）设集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是单元素集合，若存在a＜0，b＜0使点P∈{（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，则点P所在的区域的面积为．12．（5分）已知定义在Z上的函数f（x），对任意x，y∈Z，都有f（x+y）+f（x ﹣y）=4f（x）f（y）且f（1）=，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若样本平均数为，总体平均数为μ，则（）A．=μ B．≈μC．μ是的估计值D．是μ的估计值14．（5分）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）A．B．C．D．15．（5分）“﹣3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，集合A={m|f（m）＜0}，则（）A．任意m∈A，都有f（m+3）＞0 B．任意m∈A，都有f（m+3）＜0C．存在m∈A，都有f（m+3）=0 D．存在m∈A，都有f（m+3）＜0三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．（1）求证：PA⊥BD；（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．18．（14分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣（1）求函数y=f（x）在[0，]上的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞．19．（14分）如图，已知直线l：x+y﹣c=0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；（2）若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？20．（16分）数列{a n}的前n项a1，a2，…，a n（n∈N*）组成集合A n={a1，a2，…，a n}，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n﹣1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1•3；（1）若集合A n={1，3，5，…，2n﹣1}，求当n=3时，T1，T2，T3的值；（2）若集合A n={1，3，7，…，2n﹣1}，证明：n=k时集合A k的T m与n=k+1时集合A k的T m（为了以示区别，用T m′表示）有关系式T m′=（2k+1﹣1）T m﹣1+T m，+1其中m，k∈N*，2≤m≤k；（3）对于（2）中集合A n．定义S n=T1+T2+…+T n，求S n（用n表示）．21．（18分）已知f（x）是定义在[m，n]上的函数，记F（x）=f（x）﹣（ax+b），|F（x）|的最大值为M（a，b）．若存在m≤x1＜x2＜x3≤n，满足|F（x1）|=M（a，b），F（x2）=﹣F（x1）．F（x3）=F（x1），则称一次函数y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，此时的M（a，b）称为f（x）在[m，n]上的“逼近确界”．（1）验证：y=4x﹣1是g（x）=2x2，x∈[0，2]的“逼近函数”；（2）已知f（x）=，x∈[0，4]，F（0）=F（4）=﹣M（a，b）．若y=ax+b是f （x）的“逼近函数”，求a，b的值；（3）已知f（x）=，x∈[0，4]的逼近确界为，求证：对任意常数a，b，M （a，b）≥．2017年上海市浦东新区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）不等式≥2的解集是：[0，1）．【分析】根据分式不等式的解法进行求解即可．【解答】解：由≥2得﹣2==≥0，即≤0，即0≤x＜1，故不等式的解集为[0，1），故答案为：[0，1）【点评】本题主要考查分式不等式的求解，根据分式不等式的性质进行转化是解决本题的关键．2．（4分）（1﹣2x）5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为243．【分析】令x=﹣1代入即可得出．【解答】解：令x=﹣1，可得：（1﹣2x）5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为=35=243．故答案为：243．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）函数f（x）=（x﹣1）2，（x≤0）的反函数是f﹣1（x）=﹣+1，（x ≥1）．【分析】由函数f（x）=（x﹣1）2，（x≤0），求出x=﹣+1，互换x，y，得：y=﹣+1．（x≥1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣1）2，（x≤0），∴x﹣1=﹣，∴x=﹣+1，互换x，y，得：y=﹣+1．（x≥1），∴f﹣1（x）=﹣+1，（x≥1）．故答案为：f﹣1（x）=﹣+1，（x≥1）．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数的性质的合理运用．4．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=，n∈N*，其前n项和为S n，则S n=．【分析】通过等比数列的求和公式可知当n≥3时++…+=﹣，进而取极限可得结论．【解答】解：由题可知S n=（1++++…+）=（1++）=（1++﹣）=（﹣）=，故答案为：．【点评】本题考查考查数列的通项及前n项和，考查等比数列的求和公式，涉及极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．5．（4分）如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为2．【分析】由已知三棱柱的特征得到侧视图形状，然后计算面积．【解答】解：由三视图得到三棱柱的侧视图为一底面高为一边棱柱高为另一边的矩形，所以侧视图的面积为；故答案为：2．【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．6．（4分）若复数z满足|z|=1，则|（+i）（z﹣i）|的最大值是4．【分析】复数z满足|z|=1，可得=1．令z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．可得（+i）（z﹣i）=1+（z﹣）i+1=2﹣2s inθ．再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足|z|=1，∴=1．令z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．则（+i）（z﹣i）=1+（z﹣）i+1=2﹣2sinθ．∴|（+i）（z﹣i）|=|2﹣2sinθ|≤4，当且仅当sinθ=﹣1时取等号．∴|（+i）（z﹣i）|的最大值是4．故答案为：4．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）已知O为坐标原点，点A（5，﹣4），点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则•的取值范围是[﹣8，1）．【分析】画出满足条件的平面区域，将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，从而求出取值范围．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；将平面区域的三个顶点坐标分别代入计算平面向量数量，可得B（1，2），C（1，1），D（0，2）；∴当x=1，y=1时，•=5×1+（﹣4）×1=1，当x=1，y=2时，•=5×1+（﹣4）×2=﹣3，当x=0，y=2时，•=5×0+（﹣4）×2=﹣8；∴的取值范围是[﹣8，1）．故答案为：[﹣8，1）．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，也考查了平面向量数量积的应用问题，是中档题．8．（5分）现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是．【分析】先求出基本事件总数n=，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C61种，4只次品必有一只排在第五次测试，有C41种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A44种．根据分步计数原理有C61C41A44种．由此能求出最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率．【解答】解：现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，基本事件总数n=，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C61种，4只次品必有一只排在第五次测试，有C41种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A44种．于是根据分步计数原理有C61C41A44种．∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查集合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．9．（5分）若数列{a n}满足a1=12，a1+2a2+3a3+…+na n=n2a n，则a2017=．【分析】通过a1+2a2+3a3+…+na n=n2a n与当n≥2时a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=（n﹣1）2a n﹣1作差，进而可知na n=（n﹣1）a n﹣1=…=2a2=a1，代入计算即得结论．【解答】解：因为a1+2a2+3a3+…+na n=n2a n，=（n﹣1）2a n﹣1，所以当n≥2时a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1两式相减得：na n=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1，即n（n﹣1）a n=（n﹣1）2a n﹣1，所以na n=（n﹣1）a n﹣1=…=2a2=a1，由a1=12可知a n==，所以a2017=，故答案为：．【点评】本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10．（5分）已知曲线，θ∈[0，2π）上一点P（x，y）到定点M（a，0），（a＞0）的最小距离为，则a=或．【分析】根据两点之间的距离公式，表示表示出丨PM丨2，利用换元法及二次函数的性质，即可求得a的值．【解答】解：由丨PM丨2=（2cosθ﹣a）2+sin2θ=3cos2θ﹣4acosθ+1+a2，设cosθ=t，t∈[﹣1，1]，设f（t）=3t2﹣4at+1+a2，t∈[﹣1，1]，由二次函数的性质，对称轴t=，由0＜＜1时，0＜a＜，则当t=时，取最小值为：1﹣，则1﹣=，解得：a=±，由0＜a＜，则a=，当＞1时，即a＞，则f（t）在[﹣1，1]，单调递减，则当t=1时取最小值，最小值为：a2+4﹣4a，∴a2+4﹣4a=，整理得：16a2﹣64a+55=0，解得：a=或a=，由a＞，则a=，综上可知：a的值为：或，故答案为：或．【点评】本题考查参数方程的应用，二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．11．（5分）设集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是单元素集合，若存在a＜0，b＜0使点P∈{（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，则点P所在的区域的面积为2π．【分析】先根据A∩B是一个单元素集合，得到直线和抛物线相切，得到a2+b2=1，结合图象得到集合P的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的，问题得以解决【解答】解：集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A ∩B是一个单元素集合，∴直线和抛物线相切，∴由x2+2bx+1=2a（x+b），即x2+2（b﹣a）x+1﹣2ab=0，有相等的实根，所以△=0即a2+b2=1，∵存在a＜0，b＜0，P={（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限）∴如图所示，集合P中圆的边界的移动是半径为1的圆的边界的移动就是沿着那个半径为2的那个圆弧上，∴集合P的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的，∴集合C的面积=π+π=2π，故答案为：2π．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及集合与集合的关系，关键是画出图形．12．（5分）已知定义在Z上的函数f（x），对任意x，y∈Z，都有f（x+y）+f（x﹣y）=4f（x）f（y）且f（1）=，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=．【分析】令y=1推导f（x）的关系及周期，再计算f（0），利用f（x）的周期性即可得出答案．【解答】解：令y=1得：f（x+1）+f（x﹣1）=f（x），∴f（x+2）+f（x）=f（x+1），∴f（x﹣1）=﹣f（x+2），即f（x﹣1）+f（x+2）=0，∴f（x）+f（x+3）=0，∴f（x﹣3）+f（x）=0，∴f（x﹣3）=f（x+3），∴f（x）的周期为6，且f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）=[f（0）+f（3）]+[f（1）+f（4）]+[f（2）+f（5）]=0，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=f（2016）+f（2017）=f（0）+f（1），令x=1，y=0得2f（1）=f（0），∴f（0）=，∴f（0）+f（1）=，故答案为：．【点评】本题考查了函数周期性的应用，转化思想，化简、变形能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若样本平均数为，总体平均数为μ，则（）A．=μ B．≈μC．μ是的估计值D．是μ的估计值【分析】统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值．【解答】解：样本平均数为，总体平均数为μ，统计学中，利用样本数据估计总体数据，∴样本平均数是总体平均数μ的估计值．故选：D．【点评】本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题．14．（5分）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）A．B．C．D．【分析】过E、F做AO的垂面交AO于G，求出EG，EF，然后求出∠EOF，利用扇形弧长公式求球面距离即可．【解答】解：过E、F做AO的垂面交AO于G，如图，则，∴，∴，∴点E、F在该球面上的球面距离为．故选：B．【点评】本题考查球面距里的计算，基础题．15．（5分）“﹣3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据绝对值不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：根据绝对值不等式的性质得|x﹣a|+|x+1|≥|x﹣a﹣x﹣1|=|a+1|，即|x﹣a|+|x+1|的最小值为|a+1|，若“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”，则|a+1|＜2，即﹣2＜a+1＜2，得﹣3＜a＜1，即“﹣3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合绝对值不等式的性质是解决本题的关键．16．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，集合A={m|f（m）＜0}，则（）A．任意m∈A，都有f（m+3）＞0 B．任意m∈A，都有f（m+3）＜0C．存在m∈A，都有f（m+3）=0 D．存在m∈A，都有f（m+3）＜0【分析】由题意可得a＞0，且c＜0，﹣2＜＜﹣，x=1为f（x）的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为．可得A={m|＜m＜1}，m+3＞1，有f（m+3）＞0恒成立，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，故有a＞0，且c ＜0．∴0＜a+a+c=2a+c，即＞﹣2，且0＞a+c+c=a+2c，即＜﹣，因此有﹣2＜＜﹣，又f（1）=a+b+c=0，故x=1为f（x）的一个零点．由根与系数的关系可得，另一零点为＜0，所以有：A={m|＜m＜1}．所以，m+3＞+3＞1，所以有f（m+3）＞0恒成立，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．（1）求证：PA⊥BD；（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明AD⊥BD，结合BD⊥PD得出BD⊥平面PAD，故而PA⊥BD；=V D﹣BCP列方程解出h．（2）根据V P﹣BCD【解答】（1）证明：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，又AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴BD⊥PA．（2）解：由（1）可知BC⊥BD，==，∴S△BCD∵∠PCD=45°，∴PD=CD=2，==．∴V P﹣BCD∵PC=CD=2，PB==，BC=1，∴BC2+PB2=PC2，∴PB⊥BC，∴S==，△BCP∴V D==，﹣BCP=V D﹣BCP，∴=，又V P﹣BCD解得h=．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．18．（14分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣（1）求函数y=f（x）在[0，]上的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞．【分析】（1）化简三角函数式，利用正弦函数的单调性求单调区间；（2）利用三角函数图象的变换规律得到函数y=g（x），然后证明．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx﹣===sin（2x﹣）；因为2kπ≤2x﹣≤2kπ，∴kπ≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y=f（x）在[0，]上的单调递增区间为[0，]；（2）将函数向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sinx，g（x0）＞．即sinx＞，所以2kπ＜x＜2kπ，k∈Z，则（2kπ）﹣（2k）=＞1，所以对任意的整数k都存在x0∈（2kπ，2kπ），k∈Z，即存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞．【点评】本题看错了三角函数的化简以及三角函数的性质、图象变换；属于中档题．19．（14分）如图，已知直线l：x+y﹣c=0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；（2）若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？【分析】（1）设截获点为P（x，y），根据|OP|=2|AP|列方程化简即可；（2）设|OA|=t，求出截获点轨迹方程，根据直线与圆不相交列不等式得出t的范围即可得出|OA|的最大值．【解答】解：（1）由题意知点A（3，3），设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，即=2，整理得：（x﹣4）2+（y﹣4）2=16．∴走私船能被截获的点的轨迹是以（4，4）为圆心，以4为半径的圆．（2）由题意得=20，即c=40．∴直线l的方程为x+y﹣40=0．设|OA|=t，则A（t，t）（t＞0），设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，∴=2，整理得：（x﹣t）2+（y﹣t）2=，∴走私船能被截获的点的轨迹是以C（t，）为圆心，以为半径的圆．若保证在领海内捕获走私船，则圆心C到直线l的距离d≥．∴≥t，解得：t≤=15（﹣1），∴O，A之间的最远距离是15（﹣1）海里．【点评】本题考查了轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．20．（16分）数列{a n}的前n项a1，a2，…，a n（n∈N*）组成集合A n={a1，a2，…，a n}，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n﹣1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1•3；（1）若集合A n={1，3，5，…，2n﹣1}，求当n=3时，T1，T2，T3的值；（2）若集合A n={1，3，7，…，2n﹣1}，证明：n=k时集合A k的T m与n=k+1时的T m（为了以示区别，用T m′表示）有关系式T m′=（2k+1﹣1）T m﹣1+T m，集合A k+1其中m，k∈N*，2≤m≤k；（3）对于（2）中集合A n．定义S n=T1+T2+…+T n，求S n（用n表示）．【分析】（1）当n=3时，A3={1，3，5}，由定义可得：T1，T2，T3的值．有k+1个元素，比n=k时的集合A k多了一个元素：（2）当n=k+1时，集合A k+1a k+1=2k+1﹣1．对应的包含两个部分：（i）若中不含a k+1，则中的任何一的任何一项，项恰好为n=k时集合A k的对应的T m中的一项．（ii）若中含a k+1除了a k，其余的m﹣1个数均来自集合A k，这m﹣1个数的乘积恰好为集合A k+1中的一项．即可证明．所对应的T m﹣1（3）由S1=1=21﹣1=1，S2=7=23﹣1，S3=63=26﹣1，猜想S n=﹣1．下面利用数学归纳法证明即可．【解答】（1）解：当n=3时，A3={1，3，5}，T1=1+3+5=9，T2=1×3+1×5+3×5=23，T3=1×3×5=15．有k+1个元素，比n=k时的集合A k多了一个（2）证明：当n=k+1时，集合A k+1=2k+1﹣1．∴对应的包含两个部分：（i）若中不含a k+1，则中元素：a k+1的任何一项恰好为n=k时集合A k的对应的T m中的一项．（ii）若中含a k+1的任何一项，除了a k+1，其余的m﹣1个数均来自集合A k，这m﹣1个数的乘积恰好为集合A k所对应的T m﹣1中的一项．∴有关系式T m′=（2k+1﹣1）T m﹣1+T m，其中m，k∈N*，2≤m≤k．（3）解：由S1=1=21﹣1=1，S2=7=23﹣1，S3=63=26﹣1，猜想S n=﹣1．下面证明：（i）易知n=1时成立．（ii）假设n=k时，S n=S k=﹣1，则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），=（T1′+T2′+T3′+…+T k′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（T1′+T2′+T3′+…+T k′）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k =+（2k+1﹣1）=﹣1，即n=k+1时，S k+1═﹣1也成立，综合（i）（ii）知对n∈N*，S n=﹣1成立．∴S n=﹣1．【点评】本题考查了集合的性质、数列通项公式与求和公式、数学归纳法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）已知f（x）是定义在[m，n]上的函数，记F（x）=f（x）﹣（ax+b），|F（x）|的最大值为M（a，b）．若存在m≤x1＜x2＜x3≤n，满足|F（x1）|=M（a，b），F（x2）=﹣F（x1）．F（x3）=F（x1），则称一次函数y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，此时的M（a，b）称为f（x）在[m，n]上的“逼近确界”．（1）验证：y=4x﹣1是g（x）=2x2，x∈[0，2]的“逼近函数”；（2）已知f（x）=，x∈[0，4]，F（0）=F（4）=﹣M（a，b）．若y=ax+b是f （x）的“逼近函数”，求a，b的值；（3）已知f（x）=，x∈[0，4]的逼近确界为，求证：对任意常数a，b，M （a，b）≥．【分析】（1）记G（x）=2x2﹣（4x﹣1）=2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．利用二次函数的单调性可得|G（x）|的最大值为1，且G（0）=1，G（1）=﹣1，G（2）=1．（2）F（x）=﹣（ax+b），由，可得M（a，b）=b，a=．存在x0∈（0，4）满足F（x2）=M（a，b），即F（a，b）max=F（x2）=b，即可得出．（3）M（a，b）==|t﹣at2﹣b|=．即可得出．【解答】解：（1）记G（x）=2x2﹣（4x﹣1）=2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．则|G （x）|的最大值为1，且G（0）=1，G（1）=﹣1，G（2）=1．故y=4x﹣1是g（x）=2x2，x∈[0，2]的“逼近函数”．（2）F（x）=﹣（ax+b），由，可得M（a，b）=b，a=．存在x0∈（0，4）满足F（x2）=M（a，b），即F（a，b）max=F（x2）=b，即F（x）=﹣x﹣b=﹣+﹣b，故x2=1．由F（1）=﹣b=b，可得b=．（3）证明：M（a，b）==|t﹣at2﹣b|=．当∉[0，2]时，2M（a，b）≥|b|+|2﹣4a﹣b|≥|2﹣4a|＞1，故M（a，b）≥．【点评】本题考查了二次函数的单调性、分类讨论方法、换元方法、绝对值的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第21页（共21页）。

2017年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分)1．已知集合A=｛x|y=lg（2﹣x）｝，集合B=［y|y=}，则A∩B=．2．若不等式＜6的解集为(﹣1,+∞），则实数a等于．3．函数f（x）=x2,(x＜﹣2）的反函数是．4．若(1+ai)i=2﹣bi,其中a、b∈R，i是虚数单位,则|a+bi｜=．5．如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为．6．若圆x2+y2=1与直线(参数t∈R)相切，则实数a=．7．设变量x、y满足约束条件:,则z=x2+y2的最大值是．8．｛a n}是无穷数列,若｛a n｝是二项式（1+2x）n（n∈N+）展开式各项系数和，则（++…+）=．9．如图，圆O与x轴正半轴交点为A，点B，C在圆O上,圆C在第一象限，且B（,﹣），∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=．10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为．（用数字作答）11．如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为．12．已知函数f（x）=sin(ωx+φ）（ω＞0,｜φ｜≤），x=﹣为f(x)的零点，x=为y=f(x）图象的对称轴,且f(x）在（,）单调，则ω的最大值为．二、选择题：13．已知二元一次方程组的增广矩阵为,若此方程组无实数解，则实数m的值为（）A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±214．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是(）A． B．C． D．15．已知动点P(x，y）满足5=｜3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆16．已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由,，，和，,，均由2个和2个排列而成,记S=•+•+•+•，S min表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（)①S有3个不同的值；②若⊥，则S min与｜|无关；③若∥，则S min与｜|无关；④若|｜=2｜，S min=4，则与的夹角为．A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（14分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E 是DD1上的一点．（1）求异面直线AC与B1D所成的角；（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．18．（14分）已知函数．若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c,且满足（2a﹣c)cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0)的右焦点为F（2，0），点P （2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O 恰为△ABM的重心，求直线l的方程．20．(14分）已知函数f（x）=4x﹣2x,实数s,t满足f(s）+f（t）=0，a=2s+2t，b=2s+t．(1)当函数f（x）的定义域为[﹣1,1]时,求f(x）的值域；（2）求函数关系式b=g（a），并求函数g（a）的定义域D;（3）在（2）的结论中，对任意x1∈D，都存在x2∈［﹣1，1]，使得g（x1）=f(x2）+m成立，求实数m的取值范围．21．（14分)已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1)求数列{a n｝的通项公式；（2）若数列｛b n｝满足=﹣﹣…+(﹣1)n+1，求数列｛b n}的通项公式；（3）在(2）的条件下,设c n=2n+λb n，问是否存在实数λ使得数列{c n｝(n∈N*）是单调递增数列?若存在,求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．2017年上海市十二校联考高考数学模拟试卷(3月份）参考答案与试题解析一、填空题:（本大题共12小题，每小题5分，共70分)1．已知集合A=｛x|y=lg（2﹣x）}，集合B=[y|y=｝，则A∩B=[0,2）．【考点】交集及其运算．【分析】通过求两个函数的定义域和值域化简两个集合、利用交集的定义求出两个集合的交集．【解答】解：A=｛x|y=lg（2﹣x)｝=（﹣∞,2），B={y｜y=}=［0，+∞），则A∩B=[0，2），故答案为：[0,2）．【点评】本题考查函数定义域的求法:注意求定义域时开偶次方根被开方数大于等于0,对数的真数大于0．利用交集的定义求交集．2．若不等式＜6的解集为（﹣1，+∞），则实数a等于﹣4．【考点】二阶行列式的定义；其他不等式的解法．【分析】利用行列式的定义，求出行列式的值，得到不等式，然后求解即可．【解答】解：不等式＜6化为：ax+2＜6，即ax＜4，因为不等式的解集为（﹣1,+∞），所以a=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查行列式的解法，不等式的解法，考查计算能力．3．函数f（x）=x2,（x＜﹣2）的反函数是．【考点】反函数．【分析】直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f（x)=x2，(x＜﹣2）,则y＞4．可得x=，所以函数的反函数为：．故答案为:．【点评】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．4．若（1+ai）i=2﹣bi，其中a、b∈R,i是虚数单位，则|a+bi｜=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+ai)i=2﹣bi,其中a、b∈R，∴﹣a+i=2﹣bi，∴﹣a=2,1=﹣b,解得a=﹣2，b=﹣1．则｜a+bi｜=|﹣2﹣i|=｜2+i｜==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．5．如图是底面半径为1,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为（2+）π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别计算圆锥和圆柱的体积，即可得出结论．【解答】解:由题意，圆锥的高为,体积为=π，圆柱的体积为π•12•2=2π，∴该组合体的体积为（2+）π．故答案为：(2+）π．【点评】本题考查圆锥和圆柱的体积，考查学生的计算能力，比较基础．6．若圆x2+y2=1与直线(参数t∈R）相切，则实数a=±．【考点】圆的切线方程．【分析】求出直线的普通方程，利用圆心到直线的距离d==1，即可求出实数a．【解答】解：直线(参数t∈R），普通方程为2x﹣y﹣2a=0，∵圆x2+y2=1与直线(参数t∈R）相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴a=±．故答案为:±．【点评】本题考查直线的参数方程转化为普通方程，考查直线与圆的位置关系的运用，属于中档题．7．设变量x、y满足约束条件:,则z=x2+y2的最大值是8．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,数形结合可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域(如图△ABC),而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OC或OA=2，故答案为：8【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键,属中档题．8．{a n}是无穷数列,若{a n｝是二项式（1+2x）n（n∈N+）展开式各项系数和，则（++…+）=．【考点】二项式定理的应用；数列的极限．【分析】先利用二项式定理求得a n=3n，再利用无穷递缩等比数列的各项和，求得结果．【解答】解：若｛a n｝是二项式（1+2x）n(n∈N+)展开式各项系数和,则a n=3n，∴(++…+）=（++…+）==,故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求无穷递缩等比数列的各项和,数列的极限,属于基础题．9．如图,圆O与x轴正半轴交点为A，点B，C在圆O上，圆C在第一象限，且B(，﹣)，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=﹣．【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数．【分析】由题意求得∠AOB=﹣α,由直角三角形中的三角函数的定义可得sin （﹣α)=sin∠AOB=，利用诱导公式化简可求cos（﹣α）的值．【解答】解:如图，由B（，﹣），得OB=OC=1，又BC=1,∴∠BOC=,∠AOB=﹣α，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin（﹣α）=sin∠AOB=，∴cos（﹣α)=cos[（﹣α）+]=﹣sin（﹣α)=﹣．故答案为:﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的定义,考查诱导公式在三角函数化简求值中的应用,是基础题．10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为472．（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．【解答】解:由题意，不考虑特殊情况，共有种取法,其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两张红色卡片，共有种取法,故所求的取法共有﹣4﹣=560﹣16﹣72=472种．故答案为：472．【点评】本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．11．如图，已知点P（2，0）,且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时,的取值范围为［﹣，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先，根据⊥,设M（cosα，sinα)，可得N（﹣sinα, cosα），然后写出向量=（cosα﹣2，sinα）和=（﹣sinα，cosα）,从而得到•=sinα,进而确定其范围．【解答】解：设M（cosα,sinα)，∵⊥,∴•=0,∴N(﹣sinα,cosα)，∴=（﹣sinα,cosα)，=(cosα，sinα），∴=（cosα﹣2，sinα),∴•=﹣sinα（cosα﹣2)+sinαcosα=sinα,∵sinα∈［﹣1，1］，∴sinα∈[﹣，]，∴•的取值范围是［﹣，］．故答案为：[﹣,]．【点评】本题重点考查了平面向量的实际运用，重点掌握平面向量的坐标运算等知识,属于中档题．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）(ω＞0,|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（,)单调，则ω的最大值为9．【考点】正弦函数的图象．【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，)单调，分f（x）在（,）单调递增、单调递减两种情况，分别求得ω的最大值,综合可得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x)=sin（ωx+φ）(ω＞0，|φ｜≤),x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z,即ω=2k+1，即ω为奇数．∵f（x）在（，）单调，（1）若f（x)在(，）单调递增,则ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z,即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵｜φ｜≤,∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，)上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵｜φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin(9x+）在(，）上单调递减，不满足题意；故此时ω无解．（2）若f(x）在（，）单调递减，则ω•+φ≥2kπ+，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ﹣③,且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ④，把③④可得ωπ≤π，∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时,﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵｜φ|≤，∴φ=﹣．此时f(x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调,不满足题意．当ω=9时,﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵｜φ|≤,∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，)上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9．故答案为：9．【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．二、选择题：13．已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（）A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意,,即可求出实数m的值．【解答】解：由题意,,∴m=2．故选B．【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵，考查方程思想，比较基础．14．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（）A． B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】本题给出了正视图与左视图，由所给的数据知凭据三视图的作法规则，来判断左视图的形状，由于正视图中的长与左视图中的长不一致，此特征即是判断俯视图开关的关键，由此标准对四个可选项依次判断即可．【解答】解：如果该几何体是一个圆柱，则其俯视图必为圆，故B可能；如果该几何体是一个正方体，则其俯视图必为正方形，故C可能；如果该几何体是一个长方体，则其俯视图必为长方形,故D错误；根据排除法可知,故D正确．故选D．【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力,三视图的投影规则是:“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．15．已知动点P（x，y）满足5=｜3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是(）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【考点】轨迹方程．【分析】利用方程转化动点的几何意义,然后求解判断轨迹即可．【解答】解：动点P（x，y)满足5=|3x+4y﹣1｜，可得:=，表示动点P（x,y）到（1，2）与到直线3x+4y﹣11=0距离相等，又（1，2）在直线3x+4y﹣11=0上,则点P的轨迹是经过(1，2）与直线3x+4y﹣11=0垂直的直线方程．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，轨迹的判断,注意抛物线的定义域本题直线方程的区别,是易错题．16．已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由，，,和，，，均由2个和2个排列而成,记S=•+•+•+•,S min表示S所有可能取值中的最小值,则下列命题中正确的个数为()①S有3个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥,则S min与｜|无关；④若｜|=2|，S min=4，则与的夹角为．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意得到所有的S值判断①，利用作差法求得S的最小值结合向量垂直、平行及数量积运算判断②③④，则答案可求．【解答】解:由题意可知，S=•+•+•+•有三个值，分别为、、．∴①正确；∵﹣=，﹣=，∴．若⊥,则S min=0与|｜无关，∴②正确;若∥，则S min=，与｜｜有关，∴③错误;若｜｜=2|，S min=4，则cos＜＞=，与的夹角为，故④正确．∴命题中正确的个数为3个．故选:D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量的数量积运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力,是中档题．三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．(14分)（2017•上海模拟）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．（1）求异面直线AC与B1D所成的角;（2)若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角；(2）利用线面垂直的性质定理即可得到点E的坐标，利用V A﹣CDE =V E﹣ADC即可得到体积．【解答】解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．(1)依题意，D（0，0,0）,A（1,0，0)，C（0，1，0)，B1（1，1，2)，∴，∴,∴异面直线AC与B1D所成的角为．（2）设E（0，0，a），则，∵B1D⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴B1D⊥AE．∴，∴﹣1+2a=0,．∴V A﹣CDE =V E﹣ADC==．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两条异面直线所成的角、及掌握线面垂直的性质定理、“等积变形”、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．18．（14分）（2017•上海模拟）已知函数．若f(x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；(2）在△ABC中，角A，B,C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c)cosB=bcosC，求函数f(A）的取值范围．【考点】正弦定理;正弦函数的单调性．【分析】(1）利用倍角公式、和差公式可得f（x），利用周期公式、单调性即可得出．（2)（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC,再利用和差公式可得：B,可得A∈，即可得出．【解答】解：（1）f（x）=sin(2ωx)+cos（2ωx)=,∴4π=，解得ω=．∴f（x）=sin．由+2kπ≤+≤+2kπ,解得4kπ﹣≤x≤+4kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间是［4kπ﹣， +4kπ］，k∈Z．（2)（2a﹣c)cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，∴cosB=，B∈（0,π），∴B=．函数f(A）=sin，∵A∈,∈．∴f（A)=．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分)(2017•上海模拟）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0)，点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心,求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，|PF|=,运用勾股定理可得|PF1|，再由椭圆的定义可得2a，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程;（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）,代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得M的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=2，左焦点F1（﹣2，0），｜PF｜=,所以|PF1｜==，即2a=|PF|+｜PF1｜=2，即a2=6，b2=a2﹣c2=2，故椭圆C的方程为+=1；(Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1)，B（x2，y2）．将l的方程代入C得（1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，可得x1+x2=,所以AB的中点N (，），由坐标原点O恰为△ABM的重心，可得M （，）．由点M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，解得k2=或﹣(舍)，即k=±．故直线l的方程为y=±（x﹣2)．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和a，b,c的关系及点满足椭圆方程，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）（2017•上海模拟）已知函数f（x）=4x﹣2x，实数s，t满足f（s）+f(t）=0,a=2s+2t,b=2s+t．(1)当函数f（x）的定义域为[﹣1，1］时,求f（x)的值域；（2）求函数关系式b=g(a），并求函数g（a）的定义域D;（3)在（2）的结论中,对任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1］，使得g（x1)=f（x2）+m成立,求实数m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【分析】(1）换元根据t=2x∈［，2］，g（t）=t2﹣t单调递增，即可求f（x）的值域；（2）配方得出：(2s+2t）2﹣2•2s+t﹣（2s+2t)=0，a2﹣2b﹣a=0，a≥2,a≥2，a＞0，求解即可得出b=，1＜a≤2；（3)g(x）=（x2﹣x)∈（0,1］，f（x）∈［﹣，2],对任意x1∈D,都存在x2∈［﹣1，1],使得g（x1）=f（x2)+m成立，即可求实数m的取值范围．【解答】解:（1）∵函数f（x）=4x﹣2x，f（x）的定义域为[﹣1,1］时，∴t=2x∈［，2],g(t）=t2﹣t单调递增，∵g（)=﹣，g（2）=2，∴f(x）的值域为：［﹣，2]．（2）∵f（s）+f(t）=0，∴4s﹣2s+4t﹣2t=0，化简得出：（2s+2t）2﹣2•2s+t﹣（2s+2t）=0，∵a=2s+2t，b=2s+t．2s+2t≥2．a≥2∴a2﹣2b﹣a=0,a≥2，a≥2，a＞0即b=,1＜a≤2，D=（1,2]；(3）g（x）=（x2﹣x)∈（0，1］，f（x）∈[﹣,2]．∵对任意x1∈D,都存在x2∈［﹣1，1］，使得g（x1）=f（x2）+m成立,∴（0，1]⊆[﹣+m，2+m］．∴﹣1≤m≤．【点评】本题综合考查了函数的性质，配方求解,考查换元法，考查学生分析解决问题的能力，属于综合题．21．（14分）（2017•上海模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2(n∈N*）．(1）求数列｛a n｝的通项公式;（2）若数列｛b n｝满足=﹣﹣…+（﹣1)n+1，求数列｛b n｝的通项公式；（3)在（2)的条件下，设c n=2n+λb n，问是否存在实数λ使得数列｛c n｝（n∈N*）是单调递增数列?若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．【考点】数列递推式；数列的求和；数列与函数的综合．【分析】(1）由S n=2a n﹣2(n∈N*)，可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2时，a n=S n ﹣S n﹣1，化为:a n=2a n﹣1．即可得出．（2）==﹣﹣…+（﹣1）n+1,n≥2时，=﹣﹣…+，相减可得:b n=（﹣1）n．当n=1时，=，解得b1=．（3）c n=2n+λb n，n≥3时，c n=2n+λ,c n﹣c n﹣1=2n﹣1+＞0，即(﹣1）n•λ＞﹣．①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣．②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜．当n=2时，c2﹣c1＞0，即λ＜8．即可得出．【解答】解：（1)由S n=2a n﹣2(n∈N*），可得a1=2a1﹣2,解得a1=2；n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为2．∴a n=2n．（2）∵==﹣﹣…+(﹣1）n+1，∴=﹣﹣…+,∴=(﹣1)n+1，∴b n=（﹣1)n．当n=1时, =，解得b1=．∴b n=．（3）c n=2n+λb n,∴n≥3时,c n=2n+λ,c n﹣1=2n﹣1+(﹣1）n﹣1λ，=2n﹣1+＞0，即（﹣1)n•λ＞﹣．c n﹣c n﹣1①当n为大于或等于4的偶数时,λ＞﹣,即λ＞﹣,当且仅当n=4时，λ＞﹣．②当n为大于或等于3的奇数时,λ＜，当且仅当n=3时，λ＜．当n=2时，c2﹣c1=﹣＞0，即λ＜8．综上可得:λ的取值范围是．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法、不等式的解法、作差法,考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

上海浦东新区 2017年高三综合练习数学（理）试题注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数y =的单调递减区间为________.2. 已知(2,3),(4,),//,a b x a b x ==且则=______.3. 已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则x y +=_____.4.已知3cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 则2sin cos 1sin x x x =_____5. 已知01x <<的最大值是_______.6.方程222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++的解是_________.7.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =________.8.在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为______。

9.若复数z a bi =+（i 为虚数单位）满足1a b +≤，则z 在复平面内所对应的图形的面积为＿＿.10.若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.11.一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为___________ 12.已知函数2()(2f x x b x a b =++-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是______．13. 定义一个对应法则f ：()()/,,0,0P m n Pm n →≥≥.现有点()/1,3A 与()/3,1B 点，点/M 是线段//A B 上一动点，按定义的对应法则f ：/M M →。

2017年上海中学高考数学模拟试卷（8）一、填空题1．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊊A，则a的值为．2．原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，则它的逆否命题是．3．已知f（x+1）=（x﹣1）2（x≤1），则f﹣1（x+1）= ．4．抛物线y=x2﹣2xsinα+1的顶点在椭圆x2+my2=1上，这样的抛物线有且只有两条，则m的取值范围是．5．已知函数f（x）=log a（2a﹣x）在（0，1）上是增函数，则a的取值范围是．6．已知的夹角．7．已知实数，这三个数从小到大排列为．8．函数的值域为．9．设f（x）=，则f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…+f（5）+f（6）的值为．10．有8本书，其中3本相同，其余各不相同，若有人来借书，每本书被借到的概率相同，则借得4本书中有相同书的概率为．11．已知△ABC中，三边长a，b，c满足a2﹣a﹣2b﹣2c=0，a+2b﹣2c+3=0，则这个三角形最大角的大小为．12．如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；（2）锐角三角形；（3）钝角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形．那么可能成为这个四面体的第四个面是．（填上你认为正确的序号）二、选择题13．设A，B两点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．条件甲：A、B、C三点构成以∠C为钝角的三角形；条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y≠0）的解，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．在直二面角α﹣l﹣β中，A∈α，B∈β，A，B都不在l上，AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成角为z，则cos2x+cos2y+sin2z的值为（）A．B．2 C．3 D．15．方程所对应的曲线图形是（）A．B．C．D．16．已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（）A．B．C．D．三、解答题17．已知函数（a＞0）（1）求f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x）值域为[3，4]，求a，b的值．18．已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．19．斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A﹣B1B﹣C为30°（1）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；（2）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，并求P到平面BB1C距离．20．如图，铁路线上AC段长99km，工厂B到铁路的距离BC为20km，现在要在AC上某一点D处，向B修一条公路，已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为λ（0＜λ＜1），为了使从A到B的运费最省，D应选在离C距离多远处．21．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，焦距是实轴长的倍且过点（4，﹣）（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（3）在（2）条件下，若M F2交双曲线另一点N，求△F1MN的面积．22．已知等差数列{b n}的前n项和为T n，且T4=4，b5=6．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若正整数n1，n2，…，n t，…满足5＜n1＜n2＜…＜n t，…且b3，b5，，，…，，…成等比数列，求数列{n t}的通项公式（t是正整数）；（3）给出命题：在公比不等于1的等比数列{a n}中，前n项和为S n，若a m，a m+2，a m+1成等差数列，则S m，S m+2，S m+1也成等差数列．试判断此命题的真假，并证明你的结论．2017年上海中学高考数学模拟试卷（8）参考答案与试题解析一、填空题1．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊊A，则a的值为{0，﹣1，1} ．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】由x2=1，解得x，可得A={﹣1，1}．由B⊊A，可得B=∅，或B={1}，{﹣1}．即可得出．【解答】解：由x2=1，解得x=±1，∴A={﹣1，1}．∵B⊊A，∴B=∅，或B={1}，{﹣1}．a=0时，B=∅．若B={1}，则a=1．若B={﹣1}，则a×（﹣1）=1，解得a=﹣1．综上可得：{0，﹣1，1}．故答案为：：{0，﹣1，1}．2．原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，则它的逆否命题是“已知a，b，c，d是实数，若a+c≠b+d，则a≠b或c≠d”．．【考点】21：四种命题．【分析】根据原命题是“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．【解答】解：原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，则它的逆否命题是“已知a，b，c，d是实数，若a+c≠b+d，则a≠b或c≠d”．故答案为：“已知a，b，c，d是实数，若a+c≠b+d，则a≠b或c≠d”．3．已知f（x+1）=（x﹣1）2（x≤1），则f﹣1（x+1）= （x≥﹣1）．【考点】4R：反函数．【分析】先根据f（x+1）的解析式求出函数f（x）的解析式，然后求出其反函数，最后将x+1代入可求出所求．【解答】解：∵f（x+1）=（x﹣1）2（x≤1），∴f（x）=（x﹣2）2（x≤2），∴f﹣1（x）=2﹣，（x≥0）∴f﹣1（x+1）=（x≥﹣1）故答案为：（x≥﹣1）4．抛物线y=x2﹣2xsinα+1的顶点在椭圆x2+my2=1上，这样的抛物线有且只有两条，则m的取值范围是（0，1）．【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．【分析】根据题意求出抛物线的顶点坐标，再代入椭圆的方程，即可得到cos2α=0或cos2α=，又因为对应的sinα有2个不同的值，所以看到cos2α=无解，进而得到答案．【解答】解：由题意可得：抛物线y=x2﹣2xsinα+1的顶点坐标为：（sinα，cos2α），因为抛物线y=x2﹣2xsinα+1的顶点在椭圆x2+my2=1上，所以将顶点代入椭圆方程可得：sin2α+mcos4α=1，即mcos4α=cos2α，解得：cos2α=0或cos2α=，因为这样的抛物线有且只有两条，所以对应的sinα有2个不同的值，所以cos2α=无解，即0＜m＜1．故答案为：（0，1）5．已知函数f（x）=log a（2a﹣x）在（0，1）上是增函数，则a的取值范围是[0.5，1）．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意可得0＜a＜1，且y=2a﹣x在（0，1）上恒正，故有0＜a＜1，且2a﹣1≥0，由此求出a的取值范围．【解答】解：由于y=2a﹣x在（0，1）上是减函数，函数f（x）=log a（2a﹣x）在（0，1）上是增函数，故0＜a＜1，且y=2a﹣x在（0，1）上恒正．故0＜a＜1，且2a﹣1≥0，解得0.5≤a＜1．故答案为：[0.5，1）．6．已知的夹角90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先进行的运算，结果为0，因此夹角为直角．问题获解．【解答】解：，==0，∴夹角为，故答案为：90°．7．已知实数，这三个数从小到大排列为a＜b＜c ．【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】由已知中实数，根据方程的根与函数零点的关系，我们可以用图象法判断a，b，c的位置，在同一坐标系中画出函数及的图象，借助图象的直观性即可得到这三个数从小到大排列次序．【解答】解：∵实数，故a为函数图象交点的横坐标；b为函数图象交点的横坐标；c为函数图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出上述函数的图象如下图所示：由图可知a＜b＜c故答案为：a＜b＜c8．函数的值域为[，] ．【考点】34：函数的值域．【分析】先根据条件求出x的范围，再令x﹣2=cosθ，利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论．【解答】解：∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3．令x﹣2=cosθ且θ∈[0，π]∴=，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，如图，最小为，最大为直线与半圆相切，为．故答案为：[，]．9．设f（x）=，则f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…+f（5）+f（6）的值为．【考点】3K：函数奇偶性的判断；3L：函数奇偶性的性质．【分析】此题数值较多，探究其形式发现，此十二个数的自变量可分为六组，每组的自变量的和为1，故解题思路寻求到﹣﹣即验证自变量的和为1时，两数的函数值的和是多少．【解答】解：令x+y=1，则f（x）+f（y）=+=+=+=+=（1+）═×=故f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…+f（5）+f（6）=6×=3故应填310．有8本书，其中3本相同，其余各不相同，若有人来借书，每本书被借到的概率相同，则借得4本书中有相同书的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】由于所有的借书方法有C84种，借来的4本书中有相同书的借法有C32C52+C33C51，从而可得借得4本书中有相同书的概率．【解答】解：所有的借书方法有C84==70 种，借来的4本书中有相同书的借法有C32C52+C33C51=30+5=35种，故借得4本书中有相同书的概率为=．故答案为：．11．已知△ABC中，三边长a，b，c满足a2﹣a﹣2b﹣2c=0，a+2b﹣2c+3=0，则这个三角形最大角的大小为120°．【考点】HS：余弦定理的应用．【分析】根据条件可得b=，c=，显然c＞b，假设c=＞a，解得a＜1或a＞3，刚好符合，故最大边为c，由余弦定理求得cosC 的值，即可得到C 的值．【解答】解：把a2﹣a﹣2b﹣2c=0和a+2b﹣2c+3=0联立可得，b=，c=，显然c＞b．比较c与a的大小．因为b=＞0，解得a＞3，（a＜﹣1的情况很明显为负数舍弃了）假设c=＞a，解得a＜1或a＞3，刚好符合，所以c＞a，所以最大边为c．由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即=﹣2a cosC，解得cosC=﹣，∴C=120°，故答案为：120°．12．如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；（2）锐角三角形；（3）钝角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形．那么可能成为这个四面体的第四个面是（1）（2）（4）（5）．（填上你认为正确的序号）【考点】L3：棱锥的结构特征．【分析】如果一个四面体的三个面是直角三角形，第四面可能是直角三角形，也可能是锐角三角形，也可能是等腰三角形，还可能是等腰直角三角形，但是不能是钝角三角形．【解答】解：如果一个四面体的三个面是直角三角形，第四面可能是直角三角形，也可能是锐角三角形，也可能是等腰三角形，还可能是等腰直角三角形，但是不能是钝角三角形．故答案为：（1）（2）（4）（5）．二、选择题13．设A，B两点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．条件甲：A、B、C三点构成以∠C为钝角的三角形；条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y≠0）的解，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】条件甲：A、B、C三点构成以∠C为钝角的三角形，其对应的图形是单位圆内的部分，条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y≠0）的解，点C所对应的图形是椭圆，得条件乙能推出条件甲，反之不成立．【解答】解：设C（x，y），条件甲：A、B、C三点构成以∠C为钝角的三角形，∴•＜0⇔（x+1，y）•（x﹣1，y）＜0⇔x2+y2＜1．其对应的图形是单位圆内的部分，条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y≠0）的解，点C所对应的图形是椭圆，得条件乙能推出条件甲，反之不成立，则甲是乙的必要也不充分条件，故选B．14．在直二面角α﹣l﹣β中，A∈α，B∈β，A，B都不在l上，AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成角为z，则cos2x+cos2y+sin2z的值为（）A．B．2 C．3 D．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题．【分析】根据题意，先分别作出AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成角为z，再利用三角函数求解即可．【解答】解：过A、B分别作AC⊥l于C，BD⊥l于D，过B作直线平行于l，过C作直线平行于BD，两直线交于E，连接AD、AC、AE．因α一l一β为直二面角，BD在β上，l=α∩β，BD⊥l，故BD⊥α．同理AC⊥β．又∠BAD、∠ABC分别为AB与α、β所成的角，有∠BAD=x，∠ABC=y．又EC∥BD，EC⊥l，AC⊥β，有AE⊥l，AE⊥BE，∠EBA=z．∴cos2x+cos2y+sin2z==2故选B．15．方程所对应的曲线图形是（）A．B．C．D．【考点】KE：曲线与方程．【分析】利用三角换元，将方程化简，可知轨迹是四分之一圆．【解答】解：由题意，令x=cosθ，θ∈（0，），则方程可化为：两边平方，并化简得y=﹣sinθ∴方程所对应的曲线图形是D故选D．16．已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（）A．B．C．D．【考点】K5：椭圆的应用．【分析】本题适合于特值法．不妨取直线的斜率为1．由此推导出|NF|：|AB|的值．【解答】解：取直线的斜率为1．右焦点F（2，0）．直线AB的方程为y=x﹣2．联立方程组，把y=x﹣2代入整理得14x2﹣36x﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴AB中点坐标为（），则AB的中垂线方程为，令y=0，得，∴点N的坐标（）．∴|NF|=，|AB|==，∴|NF|：|AB|=，故选B．三、解答题17．已知函数（a＞0）（1）求f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x）值域为[3，4]，求a，b的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）降次化简，结合三角函数的图象及性质即可求出f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，π]时，求出f（x）值域，即可得a，b的值．【解答】解：函数（a＞0）化简可得：f（x）=asinx+acosx+b+a=sin（x+）+a+b．令，k∈Z．可得：≤x≤．∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（2）当x∈[0，π]时，可得：∈[，]．∴当x+=时，函数f（x）取得最大值为．∴当x+=时，函数f（x）取得最小值为．由题意，可得：，解得：．故得当x∈[0，π]时，f（x）值域为[3，4]，此时a的值为，b的值为3．18．已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．【考点】4H：对数的运算性质；4I：换底公式的应用；7E：其他不等式的解法．【分析】利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可．【解答】解：利用对数换底公式，原不等式左端化为log a x﹣4•+12•++n（﹣2）n﹣1•=[1﹣2+4++（﹣2）n﹣1]log a x=log a x故原不等式可化为log a x＞log a（x2﹣a）．①当n为奇数时，＞0，不等式①等价于log a x＞log a（x2﹣a）．②因为a＞1，②式等价于因为＜0，＞=，所以，不等式②的解集为{x|＜x＜}．当n为偶数时，＜0，不等式①等价于log a x＞log a（x2﹣a）．③因为a＞1，③式等价于或因为，所以，不等式③的解集为{x|x＞}．综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}19．斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A﹣B1B﹣C为30°（1）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；（2）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，并求P到平面BB1C距离．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C，则有∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△ACB1中可求得tan∠∠AB1C．（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，则易知三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，故可求．【解答】解：（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C取BB1的中点D，AC⊥平面BB1C1C∴AC⊥BB1∴BB1⊥平面ADC∴AD⊥BB1∴∠CDA为二面角A﹣BB1﹣C的平面角，∴∠CDA=30°，∵CD=，∴AC=1连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△ACB1中tan∠AB1C=，（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，，则PO∥AC，且PO=，∵AO⊥平面BB1C，∴PO⊥平面BB1C 且BB1C为等边三角形，∴三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，且P到平面BB1C的距离为PO，PO=20．如图，铁路线上AC段长99km，工厂B到铁路的距离BC为20km，现在要在AC上某一点D处，向B修一条公路，已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为λ（0＜λ＜1），为了使从A到B的运费最省，D应选在离C距离多远处．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】设∠BDC=α，总运费为T，铁路和公路每公里的运费分别为λ和1，则可构建函数，利用导数法可求最小值．【解答】解：设∠BDC=α，总运费为T，铁路和公路每公里的运费分别为λ和1则T=99∴T′=由导数为0得，cosα=λ且cosα∈（0，λ）时单调减，cosα∈（λ，+∞）时单调增∴cosα=λ时，T取极小值，且为最小值此时DC=km21．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，焦距是实轴长的倍且过点（4，﹣）（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（3）在（2）条件下，若M F2交双曲线另一点N，求△F1MN的面积．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KC：双曲线的简单性质．【分析】（1）求出离心率e，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），过点（4，﹣），可得16﹣10=λ，即可求双曲线方程；（2）求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论．（3）利用M与F2可得直线方程，求出N的纵坐标，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）∵焦距是实轴长的倍，∴e=，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），∵过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，∴λ=6．∴双曲线方程为x2﹣y2=6．（2）证明：由（1）可知：在双曲线中，a=b=，∴c=2．∴F1（﹣2，0），F2（2，0）．∴=（﹣2﹣3，﹣m），=（2﹣3，﹣m）．∴•=+m2=﹣3+m2．∵M点在双曲线上，∴9﹣m2=6，∴m2=3．∴•=0．∴点M在以F1F2为直径的圆上；（3）由（2）不妨M（3，），F2（2，0），直线M F2的方程为：y=（﹣2﹣）（x ﹣2），代入双曲线方程可得：消去x可得：（6﹣4）y2﹣4（2﹣）y+6=0，因为M的纵坐标为，所以N的纵坐标为：y2•，解得y2=﹣（2+），△F1MN的面积为：=12+4．22．已知等差数列{b n}的前n项和为T n，且T4=4，b5=6．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若正整数n1，n2，…，n t，…满足5＜n1＜n2＜…＜n t，…且b3，b5，，，…，，…成等比数列，求数列{n t}的通项公式（t是正整数）；（3）给出命题：在公比不等于1的等比数列{a n}中，前n项和为S n，若a m，a m+2，a m+1成等差数列，则S m，S m+2，S m+1也成等差数列．试判断此命题的真假，并证明你的结论．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）本题是对数列的基本量的考查，根据通项公式、前n项和公式公式，算出公差和首项，写出通项公式．（2）根据等比数列中前两项求出公比，写出通项=b5•3t=2•3t+1 ，又是{bn}中的第n t项，又可表示成b nt=2n t﹣4．根据这两式的相等性写出{n t}的通项．（3）由a m，a m+2，a m+1成等差数列，求出公比q=﹣再利用等差数列定义判断S m，S m+2，S m+1是否成等差数列．【解答】解：（1）由已知，，∴d=2，b1=﹣2，∴bn=b1+（n﹣1）d=2n﹣4．（2）b3=2，且b3，b5，，，…，，…成等比数列，所以公比q==3，所以b nt=b5•3t=2•3t+1，t∈N*．又b nt=2n t﹣4，所以2n t﹣4=2•3t+1，所以n t=3t+1+2，t∈N*．（3）此命题为真命题．若a m，a m+2，a m+1成等差数列，即a1q m﹣1+a1q m=2a1q m+1，移向化简整理得qm﹣1（2q2﹣q﹣1）=0，q=﹣，S m+2﹣S m=a m+1+a m+2=a m+2 （+1）=﹣a m+2．S m+1﹣S m+2=﹣a m+2．∴S m，S m+2，S m+1也成等差数列．。

2024年上海市八校联考高三模拟试卷（3月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。

(共8题)第(1)题质量为的小车静止在光滑水平面上，其上表面水平，如图所示。

质量为m的沙包（可视为质点）以初始速度水平抛出，抛出点到小车上表面的竖直高度（g为当地重力加速度），并恰好落在小车的右端且没有弹起，又恰好没从小车上滑下来。

已知沙包与小车的动摩擦因数为。

下列选项正确的是（ ）A．沙包从抛出至落到小车上所用时间为B．沙包的抛出点至小车右端的水平距离为C．沙包与小车相互作用的整个过程中，系统的内能增加了D．小车的长度为第(2)题如图所示，在光滑的绝缘水平面上相距为4L的A、B两点固定两个等量正点电荷，C、O、D三点将线段AB四等分，一带正电、可视为点电荷的小球从C点由静止释放后，在C、D两点之间做往复运动。

已知小球运动过程中的最大动能为，带电荷量为Q的点电荷在空间某点的电势（k为静电力常量，r为该点到点电荷的距离），下列说法正确的是（）A．小球在C、D两点之间做简谐运动B．小球运动过程中机械能守恒C．小球的最小电势能为D．小球的最大电势能为第(3)题我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展．设地球、月球的质量分别为m1、m2，半径分别为R1、R2，人造地球卫星的第一宇宙速度为v，对应的环绕周期为T，则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为A．，B．，C．，D．，第(4)题如图所示四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是（ ）A．甲图中，物体在0~t0这段时间内的平均速度小于B．乙图中，物体的加速度为1m/s2C．丙图中，阴影面积表示t1~t2时间内物体的加速度变化量D．丁图中，t=3s时物体的速度为25m/s第(5)题在一次碰撞试验中，质量均为1.2×105kg的两火车头从长为6.4km的直轨道两端同时由静止开始以0.25m/s2相向而行。