上册微专题九圆周角定理的综合运用人教版九年级数学全一册完美课件
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九年级初三数学上册人教版 圆周角的概念和圆周角定理 名师教学PPT课件
9
达标检测
2.如图,点A、B、C、D都在⊙O上,AC、BD为四 边形ABCD的对角线,填空:
∠1=∠__5 ∠2=∠__6 ∠3=∠__7 ∠4=∠__8
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10
达标检测
3.已知⊙O的半径是1,△ABC的三个顶点都在 ⊙O上,∠BAC=45°,求线段BC=______ 2
1 90°1
17
引入新知
问题:将圆心角顶点向上移,直至与⊙O相交于点C?观察
得到的∠ACB的顶点及两边各有什么特征? C
O. z.xx.k
A
B
好好学习 天天向上
18
A C
M
好好学习 天天向上
19
好好学习 天天向上
20
圆周角定理
探究新知
人教版数学九年级上册第24章第一节第4课时
DN
H
M E
x
C
F
O
2x
P
x
次参加优质课、信息化大赛、多媒体 大赛并获得市、区级一等奖,所撰写的 论文多次获国家级、省市级一等奖,多 次参与教育局组织的送教下乡活动,并 获得与会老师的一致好评。所承担的
省级课题《初中数学自主探究学习研 究》也顺利结题。
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2
教学目标 :
知识与技能
1、了解圆周角的定义,会在具体情景中识别圆周角; 2、掌握圆周角定理,会运用定理进行简单的论证和计算。 数学思考与问题解决
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11
问题回解
学了本节课,你会比较∠ACB和 ∠ADB的大小关系了吗?
3
F2
1
E
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12
归纳新知
请从以下三个关键词中任选一个谈一谈:
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
B
A D
O C
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
探究二：
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
2. 90°的圆周角所对的弦是
否是直径？
C
推论：
A
B
O
半圆或直径所对的圆周角都相等,都
等于90°(直角).反过来也是成立的,
即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
C E
D
O
A
B
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8
判断下列各图形中的是不是圆周角, 并说明理由．
√
√
归纳：
√
一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
探究一：
问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角 度数有什么关系？
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
探究一：
3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
【解析】连结OA、OB ∵∠C=30°，∴∠AOB=60° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
O
A B
A D
O C
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
探究二：
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
2. 90°的圆周角所对的弦是
否是直径？
C
推论：
A
B
O
半圆或直径所对的圆周角都相等,都
等于90°(直角).反过来也是成立的,
即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
C E
D
O
A
B
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8
判断下列各图形中的是不是圆周角, 并说明理由．
√
√
归纳：
√
一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
探究一：
问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角 度数有什么关系？
人教版九年级数学上册 圆周角经典课件
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探究一：
3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
【解析】连结OA、OB ∵∠C=30°，∴∠AOB=60° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
O
A B
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O
A B
圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，
那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
BC
E
C
O
A
O
D
A B
F
E
A 如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：∠A+∠C=? 能用圆周角定理证明你的结论B吗？
圆内接四边形的对角互补。
人教版九年级数学上册圆周角教学课 件
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3.当圆心在圆周角外部时 提示:能否转化为1的情况?
A C
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=
1
B
∠COD,
2
●O
D
1 ∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆 周角等于它所对圆心角的一半.
A' C'
A
C
练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
如果∠A=44°,则∠BOC=_8_8_0_. 如果∠BOC=44°,则∠A=_2_2_0_. 如果∠A=35°,则∠BDC=_3_5__0 .
B
A D
O C
探究二：
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以O为圆心，AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，CO= 1 AB,
九年级初三数学上册人教版 圆周角定理 名师教学PPT课件
的弧也相等;②两条弦相等,弦所对的弧也相等;③弦心距弦
心距所对的弦相等;④两个圆周角相等,圆周角所对的弧相
等;⑤弧相等弧所对的弦相等;
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
其中正确的有
（填序号）. A
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24
O B
D
知识点三:圆周角定理的推论
典例讲评
如图,AB是⊙O直径,
C
你知道∠C、∠D、∠E是什么关系吗? A
复习备用
1、圆是中心对称图形,对称中心是: .
弧、弦、 圆心角
2、圆心角:
.
3、在同圆或等圆中
弦心距相等,两条弦也相等
圆心角相等 两条弧相等 两条弦相等
知一推二
好好学习 天天向上
1
情景引入
好好学习 天天向上
2
人教版九年级数学上册 第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
1.4 圆周角（1）圆周角定理
B
∵ ∠C是AB所对的一个圆周角
∠AOB是AB所对的一个圆心角
∴∠C=
1 2
∠AOB
好好学习 天天向上
O
A
C
14
知识点二:圆周角定理
归纳总结
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
C
化归
O
B
A
分类讨论
C
O A
B
化归
完全归纳法
C
O A
B
圆周角定理
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15
知识点二:圆周角定理
先独立完成导学案互动探究2,再同桌相互交
流,最后小组交流;
B
O
A
①弦AB所对的弧有哪几条? ②一条弦所对的圆周角分几类?自己画一画.
人教九年级数学上册第二十四章圆周角圆周角的概念和圆周角定理讲课文档
∵ OA=OB，
∴ ∠BAD=∠OBA．
又∵ ∠BOD=∠BAD+∠OBA，
∴
BAD
1 2
BOD．
同理， CAD 1 COD．
2
∴ BAC CAD BAD
D
1 2Leabharlann (CODBOD )
1 2
BOC．
第十四页
A O
C B
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
半
A
∵∠BAC和∠BOC分别是弧
∠ADB= (360°-60°)=150° ∴弦AB所对的圆心角的度数为60°，圆周角的 度数为30°或150° .
第十九页
反思小结，认知内化
本节课你学到了什么数学知识？感悟 到了哪些数学思想方法？
第二十页
课外作业，教学延伸
1.教材88页第1、2、3题；
2.在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方
②两边都与圆相交.
第六页
合作学习，探究定理
思考：在同一个圆中， 一条弧所对的圆周角
有几个呢？
无数个
第七页
合作学习，探究定理
请在⊙O上任取一条弧AB，画出弧AB所对的一 个圆周角和圆心角，分别测量它们的度数， 它们之间有何数量关系？
第八页
合作学习，探究定理
提示：请大家根据圆心角与圆周角的位置关系， 把小组内画出的图形进行分类，你能分为几类？ 需要分情况逐一证明.
4.如图，C是⊙O中的一点，O是圆心，AD为 直径，若∠C=145°，则∠AOB度数为 110
第十八页
。
基础巩固，运用新知 5.已知⊙O中弦AB的长等于半径长，求弦AB所 对的圆心角和圆周角的度数.
人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
∴AD=BD.
等的圆周角所对的弧相等.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2 (cm)念和定理:
圆周角, 圆周角定理 两个推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
三种思想方法：
明辨真假
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
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动手操作
在圆中任意画一个圆周角∠BAC,看一下圆
心在什么位置?画出圆周角所对弧所对的
圆心角∠BOC.
A
A
A
O
O
O
B
CB
CB
C
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
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观察猜想 人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
互助释疑
• 如图,观察圆周角∠ BAC与圆心角∠ BOC,它们的大 小有何等量关系?
说说你的想法,并与同伴交流.你能证明所发现的结论吗？
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1，∠C2，∠C3的度数是 90°.
C1 C2
问题2： 若∠C1，∠C2，∠C3是 C3 直角，那么∠AOB是 180°.
A
O
B 推论2：半圆（或直径）所对 的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径.
人教版数学九年级上册圆周角定理的推论和圆内接多边形PPT优秀课件
2．性质探究
观察圆内接四边形对角之间有什么关系． 如何验证你的猜想呢？
A
D
O
B C
人教版数学九年级上册2圆4.周1.角4定圆理周的角推定论理和的圆推内论接和多圆边内形接P P多T边 优形 秀 课件
人教版数学九年级上册2圆4.周1.角4定圆理周的角推定论理和的圆推内论接和多圆边内形接P P多T边 优形 秀 课件
思维拓展:
1、圆内接平行四边形一定是 矩形。 2、圆内接菱形一定是 正方 形。
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角定理的推论和圆内接多边形 课件
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角定理的推论和圆内接多边形 课件
3．利用性质解决问题
拓展：如图，AD、BE 是△ABC 的两条高． 求证：∠CED=∠ABC．
B
C B
C
图1
图2
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角定理的推论和圆内接多边形 课件
1．提出问题
什么叫圆内接多边形？ 什么叫圆内接四边形？
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角定理的推论和圆内接多边形 课件
人教版数学九年级上册2圆4.周1.角4定圆理周的角推定论理和的圆推内论接和多圆边内形接P P多T边 优形 秀 课件
3．利用性质解决问题
已知：△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆 AC 上的点（不与 A，C 重合），延长 BD 到 E．
求证：AD 的延长线平分∠CDE．
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A DE
O
F
B
C
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角定理的推论和圆内接多边形 课件
观察圆内接四边形对角之间有什么关系． 如何验证你的猜想呢？
A
D
O
B C
人教版数学九年级上册2圆4.周1.角4定圆理周的角推定论理和的圆推内论接和多圆边内形接P P多T边 优形 秀 课件
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思维拓展:
1、圆内接平行四边形一定是 矩形。 2、圆内接菱形一定是 正方 形。
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角定理的推论和圆内接多边形 课件
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3．利用性质解决问题
拓展：如图，AD、BE 是△ABC 的两条高． 求证：∠CED=∠ABC．
B
C B
C
图1
图2
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角定理的推论和圆内接多边形 课件
1．提出问题
什么叫圆内接多边形？ 什么叫圆内接四边形？
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人教版数学九年级上册2圆4.周1.角4定圆理周的角推定论理和的圆推内论接和多圆边内形接P P多T边 优形 秀 课件
3．利用性质解决问题
已知：△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆 AC 上的点（不与 A，C 重合），延长 BD 到 E．
求证：AD 的延长线平分∠CDE．
人教版数学九年级上册2圆4.周1.角4定圆理周的角推定论理和的圆推内论接和多圆边内形接P P多T边 优形 秀 课件
A DE
O
F
B
C
人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角定理的推论和圆内接多边形 课件
人教版九年级上册数学圆周角定理及推论的复习PPT优秀课件
B B
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习PPT 优秀课 件
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
D
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习PPT 优秀课 件
A1
87
2
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习PPT 优秀课 件
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习PPT 优秀课 件
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
C G
A
O
在同圆或等圆中，如果两个
F 圆周角相等，它们所对的弧
B
E
一定相等．
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习PPT 优秀课 件
圆周角及推论 的复习
第一课时
考考你 ：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大
小有什么关系?
A C
A C
A C
●O
●O
●O B
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角 定理及 推论的 复习 第一课时课件
课堂练习
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有 什么关系？为什么？
C
O
B
A
•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且
九年级数学上册(人教版)圆周角-定理及推论1教学课件
人教版九年级(上)数学教学课件
第24章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4(1) 圆周角-定理及推论1
情境导入 探究新知 知识归纳 典例精讲 当堂训练
温故知新
圆周角---定理及推论
情境导入
A
B C
E D
站在哪一个位置踢球,最容易进
01 圆周角的定义
知识要点 02
圆周角定理
精讲精练
03 圆周角定理的推论1
圆周角---定理及推论
1.顶点在圆上 2.两边都与圆相交的角
知识梳理
圆周角 同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对
定理
圆周角
的圆心角的一半；
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等.
强化 训练
强化训练
圆周角---定理及推论
提升能力
1.如图,在☉O中,已知直径AB⊥CD于点E,∠CDB=18º.将△OBD绕点O顺时针
∴ BAC 1 BOC
2
典例精讲
圆周角定理
知识点二
【例1】在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)º
和(5x-30)º,求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。
解：由题意得： 2x+100=2(5x-30) 解得：x=20 ∴2x+100=140º,5x-30=70º.
答：这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为：140º和70º.
B O· A
B
C
O·
C O·
C A
(√1)
A
顶点不(2在) 圆上 B
B 边AC没(3有)和圆相交
O·
B
C
顶点不(4在) 圆上
C A O·
第24章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4(1) 圆周角-定理及推论1
情境导入 探究新知 知识归纳 典例精讲 当堂训练
温故知新
圆周角---定理及推论
情境导入
A
B C
E D
站在哪一个位置踢球,最容易进
01 圆周角的定义
知识要点 02
圆周角定理
精讲精练
03 圆周角定理的推论1
圆周角---定理及推论
1.顶点在圆上 2.两边都与圆相交的角
知识梳理
圆周角 同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对
定理
圆周角
的圆心角的一半；
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等.
强化 训练
强化训练
圆周角---定理及推论
提升能力
1.如图,在☉O中,已知直径AB⊥CD于点E,∠CDB=18º.将△OBD绕点O顺时针
∴ BAC 1 BOC
2
典例精讲
圆周角定理
知识点二
【例1】在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)º
和(5x-30)º,求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。
解：由题意得： 2x+100=2(5x-30) 解得：x=20 ∴2x+100=140º,5x-30=70º.
答：这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为：140º和70º.
B O· A
B
C
O·
C O·
C A
(√1)
A
顶点不(2在) 圆上 B
B 边AC没(3有)和圆相交
O·
B
C
顶点不(4在) 圆上
C A O·
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课件(31张PPT)
推论 2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
如图，在⊙O 中，若 AB 为⊙O 的直径， 则∠C1 = ∠C2 = ∠C3 = 90°. 若∠C1(或∠C2，∠C3 )= 90°， 则 AB 为 ⊙O 的直径.
思考 若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同 弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？
证明 3
你会证明吗？
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心在圆周角的 情况
一条边上
圆心在圆周角 的内部
圆心在圆周角 的外部
图示
结论
∠BAC = ∠BOC．
思考 AB 所对的两个圆周角，∠ACB 与∠ADB 之间 有什么关系？
同弧所对的圆周角相等．
思考 AB = BC ，∠ADB 与∠BEC 之间有什么关系？
解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
【教材P88练习 第3题】
3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
证明：∵ ∠ACB = ∠AOB，
∠BAC = ∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
不一定成立，因为 一条弦所对的圆周 角有两种情况.
例题4
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB =ADB = 90°． 在 Rt△ABC 中， BC AB2 AC 2 102 62 8cm.
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上册 微专题九 圆周角定理的综合运用-2020秋人教 版九年 级数学 全一册 课件( 共32张P PT)
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解：(1)如答图①，连接 PB. ∵AB 是⊙O 的直径，P 是A︵B的中点， ∴∠APB＝90°，PA＝PB， 又∵AB＝13，∴PA＝ 22AB＝132 2；
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[2019·武威]如图 1，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 2倍，则∠ASB 的度数是( C )
A．22.5°
B．30°
图1 C．45°
D．60°
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微专题九 圆周角定理的综合运用
一 二
一 巧作辅助线 (教材 P87 思考) 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 解：如答图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形． 连接 OB，OD.
教材母题答图
∵∠A 所对的弧为B︵CD，∠C 所对的弧为B︵AD， 又∵B︵CD和B︵AD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝3620°＝180°. 同理∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴圆内接四边形的四个角之间的关系是对角互补． 【思想方法】 通过添加辅助线来构造圆心角或圆．
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已知：阿基米德折弦定理：如图 5①，AB 和 BC 是⊙O 的两条弦(即折 线 ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB，M 是A︵BC的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂 足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CD＝AB＋BD.
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①
②
变形 4 答图
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(2)如答图②，连接 BC，OP，相交于点 D，连接 PB. ∵P 是B︵C的中点，∴OP⊥BC，BD＝CD， 又∵OA＝OB，∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD＝12AC＝52， ∵OP＝12AB＝123，∴PD＝OP－OD＝123－52＝4， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， 又∵AB＝13，AC＝5，
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∴BC＝12，∴BD＝12BC＝6， ∴PB＝ PD2＋BD2＝2 13， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠APB＝90°， ∴PA＝ AB2－PB2＝3 13.
如图 3，点 D 是等腰三角形 ABC 底边的中点，过点 A，B，D 作⊙O.
图3 (1)求证：AB 是⊙O 的直径； (2)延长 CB 交⊙O 于点 E，连接 DE，求证：DC＝DE.
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变形1答图
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[2019·娄底]如图 2，C，D 两点在以 AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD ＝30°，则 AD＝___1__．
【解析】 ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， 又∵∠ACD＝30°， ∴∠B＝∠ACD＝30°，
图2 ∴AD＝12AB＝12×2＝1.
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解：(1)证明：如答图，连接 BD， ∵BA＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°，∴AB 是⊙O 的直径； (2)∵BA＝BC，∴∠A＝∠C， 由圆周角定理得∠A＝∠E， ∴∠C＝∠E，∴DC＝DE.
变形3答图
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如图 4，AB 是⊙O 的直径，C，P 是⊙O 上两点，AB＝13，AC＝5.
①
②
图4 (1)如图①，若 P 是A︵B的中点，求 PA 的长；
(2)如图②，若 P 是B︵C的中点，求 PA 的长．
下面是运用“截长法”证明 CD＝AB＋BD 的部分证明过程．
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①
②
③
图5
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证明：如图②，在 CB 上截取 CG＝AB，连接 MA，MB，MC 和 MG. ∵M 是A︵BC的中点， ∴MA＝MC. … 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图③，已知等边三角形 ABC 内接于⊙O，AB＝2，D 为A︵C上一点， ∠ABD＝45°，AE⊥BD 于点 E，则△BDC 的周长是__2_＋__2__2____．
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【解析】 如答图，设圆心为 O，连接 OA，OB， ∵弦 AB 的长度等于圆半径的 2倍， 即 AB＝ 2OA， ∴OA2＋OB2＝AB2， ∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB＝90°， ∴∠ASB＝12∠AOB＝45°.