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放射性测量中的统计学

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绪论与放射性测量中的统计学基础

绪论与放射性测量中的统计学基础

卢瑟福散射实验
• 卢瑟福散射实验是近代物理科学发展史中最重要的实验之 一。
• 在1897年汤姆逊（J.J.Thomson）测定电子的荷质比，提 出了原子模型，他认为原子中的正电荷分布在整个原子空 间，即在一个半径R≈10－10m区间，电子则嵌在布满正电 荷的球内。
• 1909年卢瑟福和他的助手盖革（H.Geiger）及学生马斯登 （E.Marsden）在做α粒子和薄箔散射实验时观察到绝大 部分α粒子几乎是直接穿过铂箔，但有大约1/8000α粒子
核辐射探测与测量方法
辐射
• 辐射充满着整个空间
E.g. background radiation
Nobel Prize in Physics 2006 J. C. Mather and G. F. Smoot, USA
电磁波
核（电离）辐射
• 电离辐射：10 eV -10 MeV • 主要来源于原子核或核外电子的某些过程
X射线行李安检系统
医学影像学
核成像技术通过对射线的利用，探测物体的内部组成 和结构，获得物体的图像，而不必破坏该物体。
大型集装箱检测系统
检测用核技术用核物理方法测量地下的矿藏和工业规模 材料的厚度、密度、重量、成分以及测量界面等等。
工业在线测厚仪
• 核技术应用已渗透到我们当代生活的方方 面面，深化了农业的绿色革命，促进了工 业的技术改造，推动了环保事业的发展， 提高了人类征服疾病的能力。
学习本课程的目的
• 因此，学习本课程，无论对基础学科或是 实际应用都是很重要的，学好本课程是一 个核相关实验工作者的基础。
核辐射探测与测量
核辐射探测与测量方法
核电子学
核辐射探测系统=核辐射探测器+核电子学仪器

辐射探测中的统计学(3)

辐射探测中的统计学(3)
不能直接应用于以下情况:
1. 计数率
x
2. 计数的和或差
3. 平均值
4. 任何导出量
对于直接测量量 (或其他独立变量)
标准偏差已知
x, y, z, … x, y, z, …
求任意导出量的标准偏差
2 2 2 u
u(x, y, z, …)
u 2 u 2 x y x y
N p 1 e t N0
x p n N 0( 1 e
t
t
)

2
x ( 1 p ) N 0( 1 e
)e
t
要求p << 1
pn e Px
x
pn
x!
pn x
x e Px
x
x
x!
Px 1
（5）平均计数的统计误差 对某样品重复测量k次，每次测量时间t相同 (等精度测量)，得到k个计数 N 1 , N 2 , , N k 则在时间t内的平均计数值为：
1 k N Ni k i 1
由误差传递公式，平均计数值的方差为：
1 2 k
2 N

i 1
k
2 Ni
1 2 k
x 27.4 2
54.8
1 Px e 2 27.4
x 5.23
如果放射性原子核的个数N0非常大，同时测 量时间t比半衰期小的多，即在t内可不考虑放射 原子核总数 N0 的改变，则在 t内放射源衰变数 就可用泊松分布作为其概率函数。
所以对于原子核衰变，其数学期望为：
(A) 先按条件组A作一次试验，实现了随 机变量1的一个可取值1i； (B) 再按条件组B作1i次试验，实现了随 机变量2的1i个可取值 21, 22, 2； 1 i (C) 将这些可取值加起来得到一个值i， 并将此值定义为一个新的随机变量的一 个可取值； i 21 22 ... 2 2 j

第四章 放射性测量中的统计误差

第四章 放射性测量中的统计误差

第四章放射性测量中的统计误差核事件发生的数目，例如，在一定时间内放射性原子核的衰变数，带电粒子在介质中损耗能量所产生的离子对数，都具有随机性，亦即统计涨落。

在粒子探测器中测量的粒子计数，也有统计涨落。

研究这些现象，对于了解核事件随机性方面的知识，对于合理地安排放射性实验，正确地处理测量数据和分析测量数据及指标，是必要的。

本章着重讨论放射性测量中的一些统计涨落计算问题。

§1 核衰变数和计数的分布问题的提出：在任何一次放射性强度的测量中，即使所有的测量条件都保持不变，如源的活度，源的位置，仪器的各项指标等。

若多次记录探测器在相同的时间间隔中所测到的粒子数目，就会发现，每次测到的计数并不完全相同，而是围绕某个平均数往上，下涨落。

我们把这种现象叫做放射性计数的统计涨落。

这种统计涨落，不是由于测量条件的变化引起的，而是由于原子核衰变的随机性引起的，它是一种客观现象。

既然是客观现象，这种涨落本身有什么规律性呢？（规律：事物之间的本质联系），这是本节要讨论的问题。

一、二项分布①二项分布假定有许多相同的客体，其数目为N，它们中的每一个都可以随机地归为A类或B类。

设归为A类的概率为p，归为B类的概率为p+q=1。

现考虑试验后归为A类的数目为ξ，可以证明ξ为随机变量。

ξ服从二项分布。

个客体中发现有n个属考虑ξ取值为n的概率。

设从N于A类的概率为P（n）。

N个客体是不可区分的，对于n个客体归为A 类的概率为p n ，还有（N 0-n ）个客体归为B 类的概率为从N 0个中取出n 的组合数为n N q -0)!(!!000n N n N C n N -=故从N 0个客体中发现有n 个属于A 类的概率为nN n n N q p C n P -=00)( 这是二项分布的概率密度。

②二项分布的期望值和方差对于一种分布，通常用两个特征量—数学期望和方差来描述。

数学期望在物理学中也叫平均值，它表示随机变数取值的平均值。

二,放射性测量

二,放射性测量

放射性测量的基本概念
（三）测量效率
测量效率（detection efficiency，E）：指单位时间 内放射性测量仪器记录的脉冲数（计数率）与放射 性原子核实际衰变数目衰变率）的比率。 测量效率=计数率/衰变率*100%
E即是评价放射性测量仪器质量的重要指标，也可根据 效率因素校正放射性活度。
放射性测量的基本概念
泊松分布的参数λ 是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
二、放射性测量计数的统计学误差
通过单次或多次测定，可确定计数水平及其离散范围和离散程度，这个 离散范围或离散程度就是放射性计数的统计误差，分为标准误差σ和相对 误差δ两类。
标准误差（Standard error）
第四节 放射性测量统计误差及其控制
一，放射性的统计性
放射性核素的衰变总体上遵循负指数规律，由于各个核互不关联，衰变是独立 的随机事件，所以不同时刻衰变的核数不是一个固定的值，但总在衰变总体期望 值上下波动，属于离散型随机变量，服从一定的概率分布。 放射性核素衰变的统计涨落服从泊松分布规律。 泊松分布规律（Poisson distribution）：泊松分布的概率密度函数为：

缺点：易潮解，导致透明度降低，性能下降；大面积的NaI（Ti）晶 体易破裂。
注意：使用NaI（Ti）晶体的测量仪器时，要保持干燥，防止剧烈震动。
2，液体闪烁体
一般由溶剂、闪烁剂和添加剂组成，常用于测定低能β射线，也可进行 低能γ射线，契伦科夫效应、单光子测定。
① 溶剂：溶解闪烁剂，吸收和传递射线的能量。（烷基苯类——甲苯、
能量分辨率（energy resolution）：指放射性测量仪器能够 分辨两种不同能量的同类射线的能力。 时间分辨率（time resolution）：指放射性测量仪器能够分 辨出的前后两个相邻脉冲之间的最短时间。

绪论与放射性测量中的统计学基础

绪论与放射性测量中的统计学基础

信号处理
将探测器输出的微弱信号 进行放大、整形和数字化 处理。
数据获取
通过计算机或专用电子学 设备对处理后的信号进行 采集和记录。
测量误差与数据处理
测量误差来源
01
包括统计误差、系统误差和偶然误差等。
数据处理方法
02
如平均值法、最小二乘法、加权平均值法等，用于提高测量精
度和减小误差。
不确定度评估
03
放射性测量的应用领域
放射性测量在核能、核医学、环境科学 、地球科学等领域具有广泛应用，如核 电站的运行监测、核医学诊断和治疗、 环境辐射监测、地球年龄测定等。
统计学在放射性测量中的应用
数据处理与分析
在放射性测量中，统计学方法可用于数据的处理、分析和解 释。例如，通过统计检验和回归分析等方法，可以评估测量 结果的可靠性和准确性，以及研究不同因素对测量结果的影 响。
根据样本数据推断总体参数，如均值、 方差等，并给出估计的置信区间和可信
度。
方差分析
研究不同因素对放射性测量结果的影 响程度，确定各因素的主次关系和交
互作用。
假设Байду номын сангаас验
提出原假设和备择假设，通过构造检 验统计量并计算p值，判断原假设是 否成立。
回归分析
建立放射性测量结果与影响因素之间 的数学模型，预测未知条件下的测量 结果。
讨论正态总体均值和方差的假 设检验方法，包括单样本和双 样本的t检验和F检验等。
非参数假设检验
介绍非参数假设检验的基本思 想和常用方法，如符号检验、 秩和检验和游程检验等，以及 它们的适用条件和优缺点。
回归分析
阐述回归分析的基本思想和方 法，包括一元线性回归、多元 线性回归和非线性回归等，以 及回归模型的建立、检验和应 用。

有关探测限的统计学解释

有关探测限的统计学解释

0 和 b 。则有
N0 N s Nb N 0 的标准偏差为
a P(N0) LC
0 s2 b2
因为 s N s ; b N b ，所以
2 2
α O LD
பைடு நூலகம்
0 N0 2 Nb
样品中不含放射性时， N 0 服从均值为零、 标准偏差为 0 的正态分布： b β
图 1 两类错误的概念示意
N02
P( N 0 )dN 0
1

0 2
.e
2 0 2
dN 0
样品中含有待测放射性时， N 0 服从均值为 LD 、标准偏差为 D 的正态分布：
P( N 0 )dN 0
1

( N 0 LD ) 2
D 2
.e
2 D 2
dN 0
由于统计涨落， N 0 会有各种各样的值，很难判断样品中是否存在待测放射性。这 种情况下规定一个判别标准，选取了一个大于零的数 LC ，当 N 0 LC 时，就认为样品 中含有待测放射性；当 N 0 LC 时，就认为样品中不含待测放射性， LC 称为判断限[9]。
随测量时间的变化规律需要研究。 （3） MDA 与探测效率 成反比， 因此尽可能提高探测效率是降低系统 MDA 的有 效手段。
MDC ( Bq / m3 )
MDA K s .K w .V
其中， K s
1 ets 为取样过程中的衰变校正，这里假设在在空气中及其样品采 ts
4.66 B 2.71 ， 因 此 2.71 可 省 略 ； FWHM 为 γ 射 线 的 能 量 分 辨 率 ；
KC 1 e tc ， 为测量期间的衰变校正， 其中 为核素衰变常数，tc 为测量的时间；T t c

放射性计数的统计误差及处理

1

e 1 1 m 2m （ 1 ） 2 m
利用级数展开式 有
x 2 x3 ln（ 1 x） x - 2 3
m 2 1 1 2 ln（ 1 ) （m ） [ - （ ） m 2 m 2 m
1 2 1 1 3 2 2m 2m 2m
由以上各式可见，无论是计数或计数率，其 相对误差只取决于总计数，不论是多次（ k次）， 还是一次测量但时间增加至k 倍，只要总计数相 等，那么结果的精度是相同的。
• 例题. 测样品8min得计数200个，测本底4min得 计数72个。求样品净计数率及误差。 解：
N c N b 200 72 n0 7cpm tc tb 8 4
N 0！ n N（ N 1 ）（ N 2 ） （ N n 1 ） N 0 0 0 0 0 （N 0 - n） !n！
（ 1 - p）
N0 -n
（e ）
-p N0 -n
e
-pN0
因此，得到关于计数的泊松分布
n n N0 m P（ n） p n e -pN0 e -m n！ n！
n
0
Nc Nb 200 72 ( 2 2 ) 2 2.8cpm 2 tc tb 8 4
n 0 n0 7.2 2.8 （ 7 1 40% ）cpm
4. 测量条件的选择
1）测量时间确定 计数率n、测量时间t和相对误差n 三者具有 关系： 2
n nt 1
N
N
N

1 KN

1
N
i
N 3）平均计数率 n 的误差 t 1 Nk 1 n 2N 2 t t k
1 n n n k

放射性计数的统计误差及处理


给定了任意两个量，就可以确定第三个量。 • 例题 3 n 10 cpm，要求 n 1% 若 ，则
1 1 t 2 10min 2 3 n n 0.01 10
当需要考虑本底计数时，为了在规定的测量 时间（ T t s t b ）内合理分配样品测量和本底测 量时间，使结果的误差最小，即
n N / t 1880/ 2 940cpm
n n / t 940/ 2 470 22cpm
n 1/ N 2.3%
n 940 22cpm 940(1 2.3% ）cpm
2）平均计数
1 K N N i 的误差 K i1
1 K N
N
N
N
N

1 KN

1
N
i
N 3）平均计数率 n 的误差 t 1 Nk 1 n 2N 2 t t k
1 n n n k
n t
1
n
n 1 t knt
N
i
• 例题. 对放射性样品进行计数，每次测量2 min， 共测量了20次，计算得平均计数率为949cpm ， 试计算结果的误差及写出误差表达式。 解：
n0Leabharlann Nc Nb 200 72 ( 2 2 ) 2 2.8cpm 2 tc tb 8 4
n 0 n0 7.2 2.8 （ 7 1 40% ）cpm
4. 测量条件的选择
1）测量时间确定 计数率n、测量时间t和相对误差n 三者具有 关系： 2
n nt 1
1
考虑到 /m 1 ， 3/m （2 /m)( / m） 2 /m 可略 3 2 去包括 /m 以上的高次项，并注意到

二,放射性测量


125I的测量
125I的物理特性：
1，T1/2=60d；2，标记后抗原的放射性比活度较高；3，发射的γ射线容易测量。
在125I的衰变过程中，以X和γ 射线的形式释放能量。其中电子俘获后产生 的特征X线的能量为27.5keV。原子核俘获电子后，生成激发态的125Te（碲）， 退激时以两种途径释放35.5keV的能量：一是核本身以70%的几率释放γ 射线； 二是以内转换方式产生特征X线。因此，除27.5keV和35.5keV的X线和γ 线外， 还包括55keV(27.5+27.5)和63keV（35.5+27.5）的符合峰。 由于125I有上述四组可探测的能量辐射，再考虑NaI闪烁晶体对低能X线和γ 线的分辨率大约在20%左右，两个峰有既分离又相互连接的特点，因此一般将 125I能量的测量范围设定在20到80keV的范围。这是对125I的最佳测量条件。

缺点：易潮解，导致透明度降低，性能下降；大面积的NaI（Ti）晶 体易破裂。
注意：使用NaI（Ti）晶体的测量仪器时，要保持干燥，防止剧烈震动。
2，液体闪烁体
一般由溶剂、闪烁剂和添加剂组成，常用于测定低能β射线，也可进行 低能γ射线，契伦科夫效应、单光子测定。
① 溶剂：溶解闪烁剂，吸收和传递射线的能量。（烷基苯类——甲苯、
2，液体闪烁计数器：主要用于低能β射线的计数测量。
（三）辐射剂量监测仪
1，个人辐射剂量监测仪：常用的有袖珍计量仪、胶片计量仪和热释光 计量仪。
2，表面污染和场所辐射剂量监测仪
第三节 放射性样品的测量
一、γ射线的测量
γ射线穿透力强，无论固体、液体或组织样品均可直接测量。对于低能γ 射线样品，应使用薄壁NaI（Ti）晶体可降低本底，提高测量效果。 二、高能β射线的计数测量 对于高能β射线的测量可选用端窗式盖革计数管（端窗式GM计数管）、 液体β盖革计数管、钟罩型β计数管、流气式4π计数管。 三、低能β射线的测量 液体闪烁测量法

放射性测量统计学科学原则

放射性测量统计学科学原则
7.1 基本概念
7.1.4 合成分布 2）相互独立的随机变量之和或之积的数学期
望是各随机变量的数学期望之和或之积， 即：
3）相互独立的随机变量之和的方差是各随机 变量方差之和：
4）数学期望和方差之间的关系为：
放射性测量统计学科学原则
7.2 核衰变和核辐射测量的统计
7.2.1 核衰变数的统计分分布布
0.04
0.02
0.00
0.01
放射性测量数据分布概率分布图
出 现 次 数
n
7.1 基本概念
7.1.2 泊松分布
二项式分布含有两个相互独立的参数n和 p，使用并不方便。但当概率p(或q)为一个
很小n 值! 、n 且x n 为! 一n 个n 很1 大 n 值 时2 ， 可n 对x 上 述1 各 n x
放射性测量统计学科学原则
7.1 基本概念
7.1.1 二项式分布
设某试验C的试验结果只有s及两种可能，则称C为 伯努利(Bernoulli)试验。设出现s的概率为P(s)=p；则出 现的概率为，其中p∈(0,1)。在相同试验条件下，独 立地将试验C重复n次，则称该n次重复的独立试验为n 重伯努利试验 。
放射性测量统计学科学原则
7.3 核辐射测量中的统计误差与
7.3.1 测量数据的统数计据误差检验
1. 计数率的统计误差
设在t时间内记录了N个计数，则计数率
为
，根据误差传播公式式，计数率n
的标准误差 和相对误差 分别为：
放射性测量统计学科学原则
放射性测量的统计误差
1：标准误差
了解计数值的总体分布，可由计数的有限次测量来估计总体的 真实平均值的大致位置或所在的区间。这就要使用标准误差，
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3
§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
客观世界中许多现象都具有偶然的性质，称为偶然现象 现象的偶然性总是伴随着他的必然性一同出现的，偶然性是 必然性的表现形式。 概率论与数理统计是一门研究偶然现象的规律性的学科
有一类随机试验在今后要常遇到。这类随机试验只有两个可 能的结果，非此即彼，没有第三种结果出现的可能。这类随 机试验称作“伯努利试验”。
2
n2
p(n1 n n2 )
n1
1
e dn
(
nm)2 2 2
2
14
实际使用时，通常利用现成的高斯分布积分数值表，表格中给出了 对应于z的函数值：
(z)
1
z z2
e 2 dz
2 0
其中z的表达式为（此变量置换又称为标准化）
于是得：
z n m , dz dn
E（n）的离散程度。
方差的的开方根值称均方根差，用σ表示，对于二项式分布，对应的期 望值与方差分别为：
m N0 p N0 (1 et )
2 N0 p(1 p) N0 (1 et )et me t
10
§4.1 核衰变数和计数的统计分布
1. 二项式分布
讨论：若λt«1，上式简化为：
7
§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
放射性核衰变所服从的三种最基本的分布规律： 二项式分布 泊松分布 高斯分布
8
§4.1 核衰变数和计数的统计分布
1. 二项式分布
放射性原子核的衰变可以看成是数理统计中的伯努利试验问 题;在t时间内发生核衰变数为n的概率为:
即：
p(n)
N0!
pn (1 p)N0 n
整数值，对高斯分布来说，n可以取整数，也可以是连续型随
机变数。
n1/ 2
p(n) n1/ 2
1
e dn
(
nm) 2 2
2
2
原子核衰变数在某一数值区间【n1，n2】内的概率：
n2 1/ 2
p(n1 n n2 ) n1 1/ 2
1
(nm)2
e 2 2 dn
放射性测量中的统计学
1. 核衰变数和计数的统计分布 2. 放射性测量的统计误差
1
放射性测量中的统计学
放射性事件与核事件，例如核衰变、带电粒子在介 质中消耗能量产生电子－离子对、γ 射线或中子与 物质相互作用产生带电粒子等，在一定时间间隔内 事件发生的数目和某一事件发生能够的时刻都是随 机的，即具有统计涨落性。
2
§4.1 核衰变数和计数的统计分布
在放射性测量中，即使所有实验条件都是稳定的，如源的放 射性活度、源的位置、探测器的工作电压等都保持不变，在 相同时间内对同一对象进行多次测量，每次测到的计数并不 完全相同，而是围绕某个平均值上下涨落，这种现象称为放 射性计数的统计涨落。
这种涨落不是有观测者的主观因素造成的，是放射性原子核 衰变的随机性引起的。在放射性核衰变中，N0个原子核在某 个事件间隔内衰变的数目n是不确定的，这就引起了放射性 测量计数的涨落，它服从统计分布规律。
同样：假定在t＝0时刻有N0个不稳定的原子核，在某一时间t内将有一部 分核发生衰变。考虑一个原子核的情形得到：一个放射性原子核经过t时 间后未发生衰变的概率为e-λt，任何一个核在t时间内衰变的几率为：
p 1 et
未发生率变的概率是：
q 1 p et
显然：
pq 1
这样的情形服从二项n)
N0!
(1 et )n (et )N0 n
(N0 n)!n!
9
§4.1 核衰变数和计数的统计分布
1. 二项式分布
一般的，对于任何一种分布有两个最重要的数字特征。 数学期望值E（n）:（简称期望值，在物理中有时也称平均值用m表示），
它表示随机变数n取值的平均位置； 方差D（n）：又常用σ2 表示，它表示随机变数n取值相对于期望值
在m数值较大时：
2 m 或 ＝ m
(m n) n n
即σ可以用任意一次观测到的衰变核数代替其平均值 来进行计算
11
§4.1. 核衰变数和计数的统计分布
2. 泊松分布
若N0很大，且λt«1 ，
N0! (N0 n)!

N0 (N0
1)(N0

2) ( N 0

n
1)

N
n 0
(1 p)N0 n (e p )N0 n eN0 p
注意到m=N0p，就得到：
p(n) N0n pneN0 p mn em
n!
n!
m
12
§4.1. 核衰变数和计数的统计分布
3. 高斯分布
高斯分布又称正态分布，当m»1时，二项式分布可以简化为高
斯分布：
p(n)
i
令i ,则t 0，我们有：
lim
t
1

()
t i
i

et
所以一个放射性原子核经过t时间后未发生衰变的概率为e-λ t,那么对于
t＝0时刻的N0个原子核，经过t时间后未发生衰变的原子核数目为：
N N0et
6
§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
的概率是：
qt 1 pt 1 t
若将时间t分为许多很短的时间间隔Δ t，则Δt＝t/i，那么该原子核经过
2Δt发生衰变的概率为：
(1 t)(1 t) (1 t)2
5
§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
经过t时间后未发生衰变的概率为：
(1 t)i (1 t )i
1
(nm)2
e 2m
2m
1
e
(
nm) 2 2
2
2
其期望值与方差为：
E(n) m
D(n) 2 m
高斯分布是对称的，当m≥20时，泊松分布就可以用高斯
分布来代替。
13
§4.1. 核衰变数和计数的统计分布
3. 高斯分布
在二项式分布和泊松分布中，n是离散性随机变数，只限于取
4
§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
假定在t＝0时刻有N0个不稳定的原子核，在某一时间t内将有一部分核发 生衰变。先考虑一个原子核的情形。假如在某一短时间间隔Δt内放射性
原子核衰变概率pΔt与此原子核过去的历史和现在的环境无关，则pΔt正
比于Δt，因此：
pt t
比例常数λ 是该种放射性核素的特征值，该原子核经过Δ t未发生率变