第七章 热力学基础 习题课

热学第七章课后习题答案热学是物理学中的重要分支，研究的是热现象和热能转化。

在热学的学习过程中，课后习题是巩固知识和检验理解的重要途径。

本文将为大家提供热学第七章课后习题的答案，并结合相关理论进行解析，帮助读者更好地理解和掌握热学知识。

1. 问题：一个物体的质量是10kg，温度为20℃，求它的内能。

答案：内能可以通过公式Q = mcΔT来计算，其中Q表示内能，m表示物体的质量，c表示物体的比热容，ΔT表示温度的变化。

根据题目中的条件，我们可以得知温度变化ΔT = 20℃-0℃=20℃，物体的比热容c可以通过查表得到，假设为c = 4.18J/(g·℃)。

将这些数据代入公式中，可以得到内能Q = 10kg × 4.18J/(g·℃) × 20℃ = 836J。

2. 问题：一个物体的内能为500J，质量为2kg，求它的温度变化。

答案：根据上一题的公式Q = mcΔT，可以得到温度变化ΔT = Q/(mc)。

将题目中的数据代入公式中，可以得到ΔT = 500J/(2kg × 4.18J/(g·℃)) = 59.81℃。

因此，物体的温度变化为59.81℃。

3. 问题：一个物体的质量为5kg，温度由20℃升高到50℃，求它的内能变化。

答案：内能变化可以通过公式ΔQ = mcΔT来计算，其中ΔQ表示内能变化。

根据题目中的条件，我们可以得到温度变化ΔT = 50℃-20℃=30℃，物体的比热容c可以通过查表得到，假设为c =4.18J/(g·℃)。

将这些数据代入公式中，可以得到内能变化ΔQ= 5kg × 4.18J/(g·℃) × 30℃ = 627J。

因此，物体的内能变化为627J。

4. 问题：一个物体的质量为2kg，内能为300J，求它的温度。

答案：根据上一题的公式ΔQ = mcΔT，可以得到温度变化ΔT = ΔQ/(mc)。

第七章 热力学基础7-1 假设火箭中的气体为单原子理想气体，温度为2000 K ，当气体离开喷口时，温度为1000 K ，（1）设气体原子质量为4个原子质量单位，求气体分子原来的方均根速率2v ．已知一个原子质量单位=1.6605×10-27 kg ；（2）假设气体离开喷口时的流速（即分子定向运动速度）大小相等，均沿同一方向，求这速度的大小，已知气体总的能量不变．分析 气体动理论的能量公式表明，气体的温度是气体分子平均平动动能的量度．当气体的内能转化为定向运动的动能时，即表现为平均平动动能的减少，也就是温度的降低．解 （1）由气体动理论的能量公式kT m 23212=v ，得m/s 3530.7m/s 106605.1420001038.13327232=⨯⨯⨯⨯⨯==--m kTv （2）气体总的能量不变，气体内能的减少应等于定向运动动能的增量，就气体分子而言，即分子的平均平动动能的减少应等于定向运动动能的增量．若分子定向运动速度为d v ，则有212d 232321kT kT m -=v m/s 2496.6m/s 106605.14)10002000(1038.13)(3272321d =⨯⨯-⨯⨯⨯=-=--m T T k v7-2 单原子理想气体从状态a 经过程abcd 到状态d ，如图7-2所示．已知Pa 10013.15⨯==d a p p ，Pa 10026.25⨯==c b p p ，L 1=a V ，L 5.1=b V ，L 3=c V ，（1）试计算气体在abcd 过程中作的功，内能的变化和吸收的热量；（2）如果气体从状态d 保持压强不变到a 状态，如图中虚线所示，问以上三项计算变成多少？（3）若过程沿曲线从a 到c 状态，已知该过程吸热257 cal ，求该过程中气体所作的功．分析 理想气体从体积1V 膨胀到体积2V 的过程中所作的功为⎰21d )(V V V V p ，其量值为V p -图上过程曲线下的面积．如果过程曲线下是规则的几何图形，通常可以直接计算面积获得该过程中气体所作的功．解 （1）气体在abcd 过程中作的功应等于过程曲线下的面积，得Pa531.8 Pa 10)5.13(10013121103100131 353514=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=--..S S W adcbda abcd 内能改变为J455.9J )101104(10013.123)(23)(23)(335m V,=⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=-=---a d a a d a d a d V V p T T R M m T T C M m E E应用热力学第一定律，系统吸热为J 987.7J 455.9J 8.531=+=-+=a d abcd E E W Q（2）气体在等压过程da 中作的功为J -303.9J 10)41(10013.1)(35=⨯-⨯⨯=-=-d a a da V V p W0 1 1.5 3 4 V /L图7-2内能改变为 J 455.9-=-a d E E系统吸热为 J 9.875J 455.9-J 9.303-=-=-+=d a da E E W Q（3）若沿过程曲线从a 到c 状态，内能改变为J8.759J 1010013.1)1132(23)(23)(23)(35m V,=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-=-=-=--a a c c a c a c a c V p V p T T R M m T T C M m E E应用热力学第一定律，系统所作的功为J 5.314J 759.8-J 18.4257=⨯=-+=a c ac ac E E Q W7-3 2 mol 的氮气从标准状态加热到373 K ，如果加热时（1）体积不变；（2）压强不变，问在这两种情况下气体吸热分别是多少？哪个过程吸热较多？为什么？分析 根据热力学第一定律，系统从外界吸收的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于对外作功．理想气体的内能是温度的单值函数，在常温和常压下氮气可视为理想气体，无论经过什么样的准静态过程从标准状态加热到373 K ，其内能的变化都相同．在等体过程中气体对外不作功，系统从外界吸收的热量，全部用于系统的内能的增加，而在等压过程中，除增加内能外，还要用于系统对外作功，因此吸热量要多些．解 （1）氮气可视为双原子理想气体，5=i ．在等体过程中，系统吸热为J 4155J )273373(31.8252)(212V =-⨯⨯⨯=-=T T R i M m Q（2）在等压过程中，系统吸热为J 5817J )273373(31.8272)(2212p =-⨯⨯⨯=-+=T T R i M m Q7-4 10 g 氧在p = 3×105 Pa 时温度为t = C 10︒，等压地膨胀到10 L ，求（1）气体在此过程中吸收的热量；（2）内能的变化；（3）系统所作的功．分析 气体在等压过程中吸收的热量为)(2212p T T R i M m Q -+=，其中1T 已知，2T 可以通过气体状态方程由已知的该状态的压强和体积求出．用同样的方法可以计算内能的变化．再应用热力学第一定律计算出系统所作的功．解 （1）气体在等压过程中吸收的热量为J8792J )28331.832101010103(27 )(22)(22351212p =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-+=-+=-RT MmpV i T T R i M m Q（2）内能的变化为J5663J )28331.832101010103(25 )(2)(235121212=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=--RT MmpV i T T R i M m E E（3）应用热力学第一定律，系统所作的功为J 2265J 5663-J 792812==-+=E E Q W7-5 双原子理想气体在等压膨胀过程中吸收了500 cal 的热量，试求在这个过程中气体所作的功．解 双原子理想气体在等压膨胀过程中吸热为)(22)(221212p V V p i T T R i M m Q -+=-+=所作的功为J 597J 18.450025222)(p 12p =⨯⨯+=+=-=Q i V V p W 7-6一定质量的氧气在状态A 时V 1 = 3 L ，p 1 = 8.2×105 Pa ，在状态B 时V 2 = 4.5 L ，p 2 = 6×105 Pa ，分别计算在如图7-6所示的两个过程中气体吸收的热量，完成的功和内能的改变：（1）经ACB 过程；（2）经ADB 过程．分析 在热力学中，应该学会充分利用V p -图分析和解题．从图7-6所示的V p -图可以看出，AC 和DB 过程为等体过程，AD 和CB 过程为等压过程．理想气体的内能是温度的单值函数，在常温和常压下氧气可视为理想气体，只要始末状态相同，无论经过什么样的准静态过程，其内能的变化都相同．但是气体吸收的热量和完成的功则与过程有关，在等压过程中吸收的热量为)(2212p T T R i M m Q -+=，在等体过程中吸收的热量为)(212V T T R iM m Q -=，其中温度值可以利用状态方程代换为已知的压强和体积参量．解 （1）经ACB 过程，即经等体和等压过程，气体吸热为J1500 J103106J 103102.825J 105.4106225 222 )(22)(2353535121122p V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+=--+=-++-=+=---V p V p iV p i V p V p i V p V p i Q Q Q C C B B A A C C ACB 所作的功为J 900J 10)35.4(106)(35122=⨯-⨯⨯=-==-V V p W W CB ACB应用热力学第一定律，系统内能改变为J 600J 900-J 1500==-=-ACB ACB A B W Q E E（2）经ADB 过程，所作的功为J 1230J 10)35.4(102.8)(35121=⨯-⨯⨯=-==-V V p W W AD ADB系统内能改变为 J 600=-A B E Ep pO V 1 V 2 V图7-6应用热力学第一定律，气体吸热为J 1830J 600J 123012=+=-+=E E W Q ADB ADB7-7 1 g 氮气在密封的容器中，容器上端为一活塞，如图7-7所示．求（1）把氮气的温度升高10°C 所需要的热量；（2）温度升高10°C 时，活塞升高了多少？已知活塞质量为1 kg ，横截面积为10 cm 2，外部压强为Pa 10013.15⨯．分析 可以上下自由运动的活塞加在气体上的压强为大气压与气体上表面单位面积上承受的活塞重力之和．利用理想气体状态方程，气体对外所作的功，也可以用温度的变化表示，即T R MmV p ∆=∆． 解 （1）因外部压强和活塞质量不变，系统经历等压过程，压强为Pa 101.111Pa 10108.91Pa 10013.1545⨯=⨯⨯+⨯=-p J 4.10J 1031.822528122p =⨯⨯+⨯=∆+=T R i M m Q（2）系统作功为T R Mmh pS V p W ∆=∆=∆=p 则 m 102.67m 101010111.11031.82812-45⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆-pS T R m m h 7-8 10 g 某种理想气体，等温地从V 1膨胀到V 2 = 2 V 1，作功575 J ，求在相同温度下该气体的2v ．分析 气体动理论的能量公式表明，气体的温度是气体分子平均平动动能的量度，而且定义了方均根速率2v ．只要温度不变，无论经历什么样的过程，方均根速率都不变．本题中，可以通过等温过程中系统所作的功的表达式确定该过程中系统的温度．图7-7解 等温过程中系统所作的功为12T ln V V RT M mW =m/s 499m/s 2ln 10105753ln33312T2=⨯⨯⨯===-V V m W MRTv 7-9 2 m 3的气体等温地膨胀，压强从Pa 10065.551⨯=p 变到Pa 10052.451⨯=p ，求完成的功．解 等温过程中系统所作的功为J 102.26J 10052.410065.5ln210065.5 ln ln 5555121112T ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===p p V p p p RT M mW7-10 在圆筒中的活塞下密闭空间中有空气，如图7-10所示．如果空气柱最初的高度h 0 = 15 cm ，圆筒内外的压强最初均为Pa 10013.150⨯=p ，问如要将活塞提高h = 10 cm ，需作多少功？已知活塞面积S = 10 cm 2，活塞质量可以忽略不计，筒内温度保持不变．分析 因筒内温度保持不变，这是一个等温过程．由于过程必须是准静态过程，则在过程进行中的任一时刻，系统都处于平衡状态．过程进行中，活塞受到向上的拉力F ，筒外空气向下的压力S p 0，筒内气柱向上的压力pS ，在这些力的作用下处于平衡状态．由力的平衡条件，可以确定活塞向上位移外力所作的元功，并联系气体等温过程方程求解．解 取圆筒底面为原点，竖直向上为x 轴正向，如图7-10所示．设活塞位于x 处时，筒内压强为p ，筒内外的压强差为p p -0，在准静态过程中提高活塞O图7-10所需的向上外力为S p p F )(0-=，此时活塞向上位移x d 外力所作的元功为x S p p x F W d )(d d 0-==因等温过程有00V p pV =，Sx V =，则要将活塞提高h ，需作的功为J2.37J )15.015.010.0ln15.010.0(10101.013 )ln (d )1(d )(3500000000=+-⨯⨯⨯=+-=-=-=-++⎰⎰h h h h h S p x x h S p x S p p W h h h h h h7-11 今有温度为27°C ，压强为Pa 10013.15⨯，质量为2.8g 的氮气，首先在等压的情况下加热，使体积增加一倍，其次在体积不变的情况下加热，使压强增加一倍，最后等温膨胀使压力降回到Pa 10013.15⨯，（1）作出过程的p —V 图；（2）求在三个过程中气体吸收的热量，所作的功和内能的改变．分析 本题中涉及到三个等值过程，利用已导出的各等值过程中系统作功、吸热和内能变化表达式和热力学第一定律求解．解 （1）过程的p —V 图如图7-11所示． （2）1～2，等压过程J249J 30031.8288.2 )(111121p =⨯⨯===-=RT MmV p V V p WJ872J 2492252222 )(22)(22p 112112p =⨯+=+=+=-+=-+=W i pV i V V p i T T R i M m QJ 623J 249J 872p p =-=-=∆W Q E2～3，等体过程， 0V =WpppO V 1 V 2 V 4 V图7-11J 1245J 24952)(2)(2p 112121323V =⨯====-=-==∆iW V p i V p iV p p iT T R i M m Q E3～4，等温过程， 0=∆EJ690J 2ln 24942ln 4 2ln 42ln 2lnp 11131333T T =⨯⨯======W V p V p p p V p W Q7-12 双原子气体V 1 = 0.5 L ，Pa 10065.541⨯=p ，先绝热压缩到一定的体积V 2和一定的压强p 2，然后等容地冷却到原来的温度，且压强降到Pa 10013.150⨯=p ．（1）作出过程的p -V 图；（2）求V 2 = ？p 2 = ？分析 对于双原子理想气体，热容比4.1=γ．不论经历什么过程，只要初终态气体的温度相同，就可以应用理想气体状态方程，建立类似于等温过程中初态和终态压强和体积之间的关系．解 （1）过程的p —V 图如图7-12所示．（2）因初态和终态温度相同，应用理想气体状态方程，有1120V p V p =L 0.25L 10013.15.010065.5540112=⨯⨯⨯==p V p V 由绝热过程方程γγ1122V p V p =，得Pa 101.337Pa 25.05.010065.554.142112⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=γVV p p 7-13 推证质量为m ，摩尔质量为M 的理想气体，由初状态（p 1、V 1、T 1）pp p pO V 2 V 1 V图7-12绝热膨胀到p 2、V 2时气体所作的功为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=-1211221111)(11γγγV V RT M m V p V p W 分析证 对于绝热过程，有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=-=-=∆-=-121121121112211221122112111111 11)(11)(2)(2γγγγγγV VRT M m V V V V RT M mV p V p V p V p V p V p V p iT T R i M m E W7-14 32 g 氧气处于标准状态，后分别经下二过程被压缩至5.6×10-3 m 3，（1）等温压缩；（2）绝热压缩，试在同一个p -V 图上作出两过程曲线，并分别计算两过程最终的温度以及所需要的外功．分析 32 g 氧气恰好为1 mol ，标准状态下体积和温度都有确定值． 解 两过程的p —V 图如图7-14所示． （1）32 g 氧气为 1 mol ，体积为331m 104.22-⨯=V ，温度为K 2731=T ，且等温压缩过程K 27312==T T ，所作的功为J -3146J 4.226.5ln104.2210013.1 ln351211T =⨯⨯⨯⨯==-V V V p W（2）绝热压缩过程γγ1122V p V p =，得K 475K )106.5()104.22(31.810013.14.034.1351211222=⨯⨯⨯⨯===---γγV V R p R V p Tpp 1O V 2 V 1 V图7-14利用上题结果，绝热压缩过程所作的功为J -4204J 6.54.2214.0104.2210013.1 114.03512111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--γγVV V p W7-15 体积为V 1 = 1 L 的双原子理想气体，压强p 1 =Pa 10013.15⨯，使之在下述条件下膨胀到V 2 = 2 L ，（1）等温膨胀；（2）绝热膨胀，试在同一p -V 图中作出两过程曲线，并分别计算两种情况下气体吸收的热量，所作的功及内能的变化．分析 等温过程中气体内能不变，所吸收的热量等于对外所作的功；绝热过程中气体吸热为零，对外所作的功等于内能的减少．解 两过程的p —V 图如图7-15所示．（1）等温膨胀 0=∆EJ 2.70J 2ln 1010013.1 ln351211T T =⨯⨯⨯===-V V V p W Q（2）绝热膨胀 0=QJ61.3J )5.01(4.01010013.1 114.03512111=-⨯⨯⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--γγV V V p W J 3.61-=-=∆W E7-16 0.1 mol 单原子理想气体，由状态A 经直线AB 所表示的过程到状态B ，如图7-16所示，已知V A = 1 L ，V B = 3 L ，p A =Pa 10039.35⨯，p B =Pa 10013.15⨯。

习题解答解：（1）根据电子气体0T K =费米能级的定义式（7.44）求得022/3233422819313()28(6.62610)3 2.610/1.61029.111083.2F h N E m VeVππ---=⨯⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⨯⨯⎝⎭=温度为室温时， Na 的费米能级的近似值由式（7.55）有00221()12F F F kT E E E π⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦0022321925F 3.14 1.38103001()12 3.2 1.6103.14 6.5103.2112E 3.2F F E E eV---⎡⎤⨯⨯=-⎢⎥⨯⨯⎣⎦⎡⎤⨯⨯=⨯-⎢⎥⎣⎦≈= （2） 取1mol 的电子，此时电子比热近似值由（7.57）式有002222319221.381103002 3.2 1.6100.040.33/*v F F kT kT C Nk R E E R R J K molπππ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯⨯=⨯ ⎪⨯⨯⎝⎭≈=解：（1） 单位时间内碰到单位面积的器壁上的电子数，由式（6.87）为（在这儿：v 为电子的平均速率）14nv Γ= （此式适用于一切理想气体）由式（6.20）并考虑到电子的简并度，则在体积V 内，动量绝对值在p 到p dp +范围内电子的状态数为2342V p dp hπ⨯又考虑到绝对零度下电子气体中电子动量的分布为10F F p p f p p f ≤=⎧⎨>=⎩其中F p 为费米动量，也即绝对零度时电子的动量，这样电子的平均动量为330238384FFp Fp V p dph p p V p dph ππ==⎰⎰所以电子的平均速率为34Fp p v m m ==（习题7.5）由式（7.45），费米动量有1/3131382F N N p h h V V ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以1/311334432N h N N nv v V m V V π⎛⎫Γ=== ⎪⎝⎭（2） 由内能的热力学微分方程有dU SdT pdV =-由上式可得，在温度不变时，则有T U p V ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭由式（7.46）有022/3333()5528F h N U NE N m Vπ==223358T U h N N P V m V V π∂⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭解：由式（6.20）并考虑到电子的简并度，在体积V 内，动量绝对值在p 到p dp +范围内，自由粒子的可能的状态数为（参考上题）2342V p dp h π⨯考虑到在相对论下，有E cp =，这样结合上式可得在体积V 内，在E 到E dE +能量范围内量子态数为2342()V E dE hc π⨯ 又考虑到绝对零度下电子气体的分布为0010E f E f μμ≤=⎧⎨>=⎩费米能级0μ由下式决定2308()V E dE N hc μπ=⎰即可得到在绝对零度下相对论理想气体的费米能级为013038F N E hc V μπ⎛⎫== ⎪⎝⎭在绝对零度下相对论理想气体的内能也即总能量为0333834F V U E dE NE h cμπ==⎰解：（1）如果粒子可分辨，令其分别为a 和b 则有()a b aba babE E E E E E E E Z eeeβββ-+--==∑∑∑()2223411232EE E E E E eee e e e ββββββ------=++=++++（2）如果粒子不可分辨，但不受Pauling 原理限制，{}2340,1,2212i iii i i in E E E E En n n Z ee e e e βββββ-----==∑==++++∑∑（对于Bose 分布，粒子数占据能级的可能性有六种(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2) ）（3）粒子不可分辨且服从Pauling 原理{}230,12i iii i i in E EEEn n n Z eeeeββββ----==∑==++∑∑（对于Fermi 分布，粒子数占据能级的可能性有三种(0,1),(0,2), (1,2)）解：在单位体积中其动量在,,p p dp d d θθθϕϕϕ→+→+→+间隔的状态数为231()sin d p p dp d d h θθϕΩ=其中 p m v =，所以323()sin m d p v dv d d h θθϕΩ=当0T K =时3203()sin ,m dN v v dv d d v v hθθϕ=<0()0,dN v v v =>其中，0v =，所以()x x v v dN v =⎰323sin cos sin m v v dv d d hθϕθθϕ=⎰⎰⎰ 0=注：20cos 0d πϕϕ=⎰22201()/()5x x v v dN v dN v v ==⎰⎰解：（1）首先判别该电子气服从哪种统计由第132页式(6.73)可知eα=326212 1.25101mKT n h π⎛⎫≅⨯ ⎪⎝⎭则由第150页式（7.12）和（7.14）可得，当非简并性条件满足时，Bose 分布和Fermi 分布过渡到Boltzmann 分布。

第七章 习题及解答1. 设有一个体系，由三个定位的一维简谐振子所组成，体系能量为νh 211,这三个振子在三个固定的位置上振动,试求体系全部的微观状态数.解 对振动 νυενh )21(+=,在总能量 νενh 211=时，三个一维简谐振子可能有以下四种分布方式:（1）N 0=2, N 4=1, νενh 2120⨯=, νενh 294=， 3!2!1!31==t （2）N 0=1， N 2=2， νενh 2110⨯=, νενh 2522⨯=, 3!2!1!32==t （3）N 0=1， N 1=1, N 3=1， νενh 210=, νενh 231=， νενh 273=， 6!1!1!1!33==t （4）N 1=2， N 2=1， νενh 2321⨯=, νενh 252=， 3!2!1!34==t Ω= t 1+t 2+t 3+t 4=3+3+6+3=152。

当热力学体系的熵函数S 增加0.418J ·K —1时，体系的微观状态数增加多少？用1/∆ΩΩ表示。

解 S 1=kln Ω1， S 2=kln Ω2， S 2—S 1=kln （Ω2/Ω1)ln(Ω2/Ω1)=（S 2—S 1）/k=(0。

418J·K -1）/（1.38×10—23J ·K -1）=3。

03×10221/Ω∆Ω=（Ω2—Ω1）/Ω1=（Ω2/Ω1)-1≈Ω2/Ω1= exp （3。

03×1022）3。

在海平面上大气的组成用体积百分数可表示为：N 2（g ）为0.78,O 2(g)为0。

21,其他气体为0。

01。

设大气中各种气体都符合Bolzenmann 分布，假设大气柱在整个高度内的平均温度为220K 。

试求：这三类气体分别在海拔10km ，60km 和500km 处的分压.已知重力加速度为9.8m·s -2。

解 所用公式为p=p 0e —Mgh/RT ，其中M （空气） =29g·mol —1， M(N 2)=28g·mol —1， M （O 2)=32g·mol —1，M （其它)=［M(空气)—0。

第七章 热力学基础7-1 假设火箭中的气体为单原子理想气体，温度为2000 K ，当气体离开喷口时，温度为1000 K ，（1）设气体原子质量为4个原子质量单位，求气体分子原来的方均根速率2v ．已知一个原子质量单位=1.6605×10-27 kg ；（2）假设气体离开喷口时的流速（即分子定向运动速度）大小相等，均沿同一方向，求这速度的大小，已知气体总的能量不变．分析 气体动理论的能量公式表明，气体的温度是气体分子平均平动动能的量度．当气体的内能转化为定向运动的动能时，即表现为平均平动动能的减少，也就是温度的降低．解 （1）由气体动理论的能量公式kT m 23212=v ，得m/s 3530.7m/s 106605.1420001038.13327232=⨯⨯⨯⨯⨯==--m kTv （2）气体总的能量不变，气体内能的减少应等于定向运动动能的增量，就气体分子而言，即分子的平均平动动能的减少应等于定向运动动能的增量．若分子定向运动速度为d v ，则有212d 232321kT kT m -=v m/s 2496.6m/s 106605.14)10002000(1038.13)(3272321d =⨯⨯-⨯⨯⨯=-=--m T T k v7-2 单原子理想气体从状态a 经过程abcd 到状态d ，如图7-2所示．已知Pa 10013.15⨯==d a p p ，Pa 10026.25⨯==c b p p ，L 1=a V ，L 5.1=b V ，L 3=c V ，（1）试计算气体在abcd 过程中作的功，内能的变化和吸收的热量；（2）如果气体从状态d 保持压强不变到a 状态，如图中虚线所示，问以上三项计算变成多少？（3）若过程沿曲线从a 到c 状态，已知该过程吸热257 cal ，求该过程中气体所作的功．分析 理想气体从体积1V 膨胀到体积2V 的过程中所作的功为⎰21d )(V V V V p ，其量值为V p -图上过程曲线下的面积．如果过程曲线下是规则的几何图形，通常可以直接计算面积获得该过程中气体所作的功．解 （1）气体在abcd 过程中作的功应等于过程曲线下的面积，得Pa531.8 Pa 10)5.13(10013121103100131 353514=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=--..S S W adcbda abcd 内能改变为J455.9J )101104(10013.123)(23)(23)(335m V,=⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=-=---a d a a d a d a d V V p T T R M m T T C M m E E应用热力学第一定律，系统吸热为J 987.7J 455.9J 8.531=+=-+=a d abcd E E W Q（2）气体在等压过程da 中作的功为J -303.9J 10)41(10013.1)(35=⨯-⨯⨯=-=-d a a da V V p W0 1 1.5 3 4 V /L图7-2内能改变为 J 455.9-=-a d E E系统吸热为 J 9.875J 455.9-J 9.303-=-=-+=d a da E E W Q（3）若沿过程曲线从a 到c 状态，内能改变为J8.759J 1010013.1)1132(23)(23)(23)(35m V,=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-=-=-=--a a c c a c a c a c V p V p T T R M m T T C M m E E应用热力学第一定律，系统所作的功为J 5.314J 759.8-J 18.4257=⨯=-+=a c ac ac E E Q W7-3 2 mol 的氮气从标准状态加热到373 K ，如果加热时（1）体积不变；（2）压强不变，问在这两种情况下气体吸热分别是多少？哪个过程吸热较多？为什么？分析 根据热力学第一定律，系统从外界吸收的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于对外作功．理想气体的内能是温度的单值函数，在常温和常压下氮气可视为理想气体，无论经过什么样的准静态过程从标准状态加热到373 K ，其内能的变化都相同．在等体过程中气体对外不作功，系统从外界吸收的热量，全部用于系统的内能的增加，而在等压过程中，除增加内能外，还要用于系统对外作功，因此吸热量要多些．解 （1）氮气可视为双原子理想气体，5=i ．在等体过程中，系统吸热为J 4155J )273373(31.8252)(212V =-⨯⨯⨯=-=T T R i M m Q（2）在等压过程中，系统吸热为J 5817J )273373(31.8272)(2212p =-⨯⨯⨯=-+=T T R i M m Q7-4 10 g 氧在p = 3×105 Pa 时温度为t = C 10︒，等压地膨胀到10 L ，求（1）气体在此过程中吸收的热量；（2）内能的变化；（3）系统所作的功．分析 气体在等压过程中吸收的热量为)(2212p T T R i M m Q -+=，其中1T 已知，2T 可以通过气体状态方程由已知的该状态的压强和体积求出．用同样的方法可以计算内能的变化．再应用热力学第一定律计算出系统所作的功．解 （1）气体在等压过程中吸收的热量为J8792J )28331.832101010103(27 )(22)(22351212p =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-+=-+=-RT MmpV i T T R i M m Q（2）内能的变化为J5663J )28331.832101010103(25 )(2)(235121212=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=--RT MmpV i T T R i M m E E（3）应用热力学第一定律，系统所作的功为J 2265J 5663-J 792812==-+=E E Q W7-5 双原子理想气体在等压膨胀过程中吸收了500 cal 的热量，试求在这个过程中气体所作的功．解 双原子理想气体在等压膨胀过程中吸热为)(22)(221212p V V p i T T R i M m Q -+=-+=所作的功为J 597J 18.450025222)(p 12p =⨯⨯+=+=-=Q i V V p W 7-6一定质量的氧气在状态A 时V 1 = 3 L ，p 1 = 8.2×105 Pa ，在状态B 时V 2 = 4.5 L ，p 2 = 6×105 Pa ，分别计算在如图7-6所示的两个过程中气体吸收的热量，完成的功和内能的改变：（1）经ACB 过程；（2）经ADB 过程．分析 在热力学中，应该学会充分利用V p -图分析和解题．从图7-6所示的V p -图可以看出，AC 和DB 过程为等体过程，AD 和CB 过程为等压过程．理想气体的内能是温度的单值函数，在常温和常压下氧气可视为理想气体，只要始末状态相同，无论经过什么样的准静态过程，其内能的变化都相同．但是气体吸收的热量和完成的功则与过程有关，在等压过程中吸收的热量为)(2212p T T R i M m Q -+=，在等体过程中吸收的热量为)(212V T T R iM m Q -=，其中温度值可以利用状态方程代换为已知的压强和体积参量．解 （1）经ACB 过程，即经等体和等压过程，气体吸热为J1500 J103106J 103102.825J 105.4106225 222 )(22)(2353535121122p V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+=--+=-++-=+=---V p V p iV p i V p V p i V p V p i Q Q Q C C B B A A C C ACB 所作的功为J 900J 10)35.4(106)(35122=⨯-⨯⨯=-==-V V p W W CB ACB应用热力学第一定律，系统内能改变为J 600J 900-J 1500==-=-ACB ACB A B W Q E E（2）经ADB 过程，所作的功为J 1230J 10)35.4(102.8)(35121=⨯-⨯⨯=-==-V V p W W AD ADB系统内能改变为 J 600=-A B E Ep pO V 1 V 2 V图7-6应用热力学第一定律，气体吸热为J 1830J 600J 123012=+=-+=E E W Q ADB ADB7-7 1 g 氮气在密封的容器中，容器上端为一活塞，如图7-7所示．求（1）把氮气的温度升高10°C 所需要的热量；（2）温度升高10°C 时，活塞升高了多少？已知活塞质量为1 kg ，横截面积为10 cm 2，外部压强为Pa 10013.15⨯．分析 可以上下自由运动的活塞加在气体上的压强为大气压与气体上表面单位面积上承受的活塞重力之和．利用理想气体状态方程，气体对外所作的功，也可以用温度的变化表示，即T R MmV p ∆=∆． 解 （1）因外部压强和活塞质量不变，系统经历等压过程，压强为Pa 101.111Pa 10108.91Pa 10013.1545⨯=⨯⨯+⨯=-p J 4.10J 1031.822528122p =⨯⨯+⨯=∆+=T R i M m Q（2）系统作功为T R Mmh pS V p W ∆=∆=∆=p 则 m 102.67m 101010111.11031.82812-45⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆-pS T R m m h 7-8 10 g 某种理想气体，等温地从V 1膨胀到V 2 = 2 V 1，作功575 J ，求在相同温度下该气体的2v ．分析 气体动理论的能量公式表明，气体的温度是气体分子平均平动动能的量度，而且定义了方均根速率2v ．只要温度不变，无论经历什么样的过程，方均根速率都不变．本题中，可以通过等温过程中系统所作的功的表达式确定该过程中系统的温度．图7-7解 等温过程中系统所作的功为12T ln V V RT M mW =m/s 499m/s 2ln 10105753ln33312T2=⨯⨯⨯===-V V m W MRTv 7-9 2 m 3的气体等温地膨胀，压强从Pa 10065.551⨯=p 变到Pa 10052.451⨯=p ，求完成的功．解 等温过程中系统所作的功为J 102.26J 10052.410065.5ln210065.5 ln ln 5555121112T ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===p p V p p p RT M mW7-10 在圆筒中的活塞下密闭空间中有空气，如图7-10所示．如果空气柱最初的高度h 0 = 15 cm ，圆筒内外的压强最初均为Pa 10013.150⨯=p ，问如要将活塞提高h = 10 cm ，需作多少功？已知活塞面积S = 10 cm 2，活塞质量可以忽略不计，筒内温度保持不变．分析 因筒内温度保持不变，这是一个等温过程．由于过程必须是准静态过程，则在过程进行中的任一时刻，系统都处于平衡状态．过程进行中，活塞受到向上的拉力F ，筒外空气向下的压力S p 0，筒内气柱向上的压力pS ，在这些力的作用下处于平衡状态．由力的平衡条件，可以确定活塞向上位移外力所作的元功，并联系气体等温过程方程求解．解 取圆筒底面为原点，竖直向上为x 轴正向，如图7-10所示．设活塞位于x 处时，筒内压强为p ，筒内外的压强差为p p -0，在准静态过程中提高活塞O图7-10所需的向上外力为S p p F )(0-=，此时活塞向上位移x d 外力所作的元功为x S p p x F W d )(d d 0-==因等温过程有00V p pV =，Sx V =，则要将活塞提高h ，需作的功为J2.37J )15.015.010.0ln15.010.0(10101.013 )ln (d )1(d )(3500000000=+-⨯⨯⨯=+-=-=-=-++⎰⎰h h h h h S p x x h S p x S p p W h h h h h h7-11 今有温度为27°C ，压强为Pa 10013.15⨯，质量为2.8g 的氮气，首先在等压的情况下加热，使体积增加一倍，其次在体积不变的情况下加热，使压强增加一倍，最后等温膨胀使压力降回到Pa 10013.15⨯，（1）作出过程的p —V 图；（2）求在三个过程中气体吸收的热量，所作的功和内能的改变．分析 本题中涉及到三个等值过程，利用已导出的各等值过程中系统作功、吸热和内能变化表达式和热力学第一定律求解．解 （1）过程的p —V 图如图7-11所示． （2）1～2，等压过程J249J 30031.8288.2 )(111121p =⨯⨯===-=RT MmV p V V p WJ872J 2492252222 )(22)(22p 112112p =⨯+=+=+=-+=-+=W i pV i V V p i T T R i M m QJ 623J 249J 872p p =-=-=∆W Q E2～3，等体过程， 0V =WpppO V 1 V 2 V 4 V图7-11J 1245J 24952)(2)(2p 112121323V =⨯====-=-==∆iW V p i V p iV p p iT T R i M m Q E3～4，等温过程， 0=∆EJ690J 2ln 24942ln 4 2ln 42ln 2lnp 11131333T T =⨯⨯======W V p V p p p V p W Q7-12 双原子气体V 1 = 0.5 L ，Pa 10065.541⨯=p ，先绝热压缩到一定的体积V 2和一定的压强p 2，然后等容地冷却到原来的温度，且压强降到Pa 10013.150⨯=p ．（1）作出过程的p -V 图；（2）求V 2 = ？p 2 = ？分析 对于双原子理想气体，热容比4.1=γ．不论经历什么过程，只要初终态气体的温度相同，就可以应用理想气体状态方程，建立类似于等温过程中初态和终态压强和体积之间的关系．解 （1）过程的p —V 图如图7-12所示．（2）因初态和终态温度相同，应用理想气体状态方程，有1120V p V p =L 0.25L 10013.15.010065.5540112=⨯⨯⨯==p V p V 由绝热过程方程γγ1122V p V p =，得Pa 101.337Pa 25.05.010065.554.142112⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=γVV p p 7-13 推证质量为m ，摩尔质量为M 的理想气体，由初状态（p 1、V 1、T 1）pp p pO V 2 V 1 V图7-12绝热膨胀到p 2、V 2时气体所作的功为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=-1211221111)(11γγγV V RT M m V p V p W 分析证 对于绝热过程，有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=-=-=∆-=-121121121112211221122112111111 11)(11)(2)(2γγγγγγV VRT M m V V V V RT M mV p V p V p V p V p V p V p iT T R i M m E W7-14 32 g 氧气处于标准状态，后分别经下二过程被压缩至5.6×10-3 m 3，（1）等温压缩；（2）绝热压缩，试在同一个p -V 图上作出两过程曲线，并分别计算两过程最终的温度以及所需要的外功．分析 32 g 氧气恰好为1 mol ，标准状态下体积和温度都有确定值． 解 两过程的p —V 图如图7-14所示． （1）32 g 氧气为 1 mol ，体积为331m 104.22-⨯=V ，温度为K 2731=T ，且等温压缩过程K 27312==T T ，所作的功为J -3146J 4.226.5ln104.2210013.1 ln351211T =⨯⨯⨯⨯==-V V V p W（2）绝热压缩过程γγ1122V p V p =，得K 475K )106.5()104.22(31.810013.14.034.1351211222=⨯⨯⨯⨯===---γγV V R p R V p Tpp 1O V 2 V 1 V图7-14利用上题结果，绝热压缩过程所作的功为J -4204J 6.54.2214.0104.2210013.1 114.03512111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--γγVV V p W7-15 体积为V 1 = 1 L 的双原子理想气体，压强p 1 =Pa 10013.15⨯，使之在下述条件下膨胀到V 2 = 2 L ，（1）等温膨胀；（2）绝热膨胀，试在同一p -V 图中作出两过程曲线，并分别计算两种情况下气体吸收的热量，所作的功及内能的变化．分析 等温过程中气体内能不变，所吸收的热量等于对外所作的功；绝热过程中气体吸热为零，对外所作的功等于内能的减少．解 两过程的p —V 图如图7-15所示．（1）等温膨胀 0=∆EJ 2.70J 2ln 1010013.1 ln351211T T =⨯⨯⨯===-V V V p W Q（2）绝热膨胀 0=QJ61.3J )5.01(4.01010013.1 114.03512111=-⨯⨯⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--γγV V V p W J 3.61-=-=∆W E7-16 0.1 mol 单原子理想气体，由状态A 经直线AB 所表示的过程到状态B ，如图7-16所示，已知V A = 1 L ，V B = 3 L ，p A =Pa 10039.35⨯，p B =Pa 10013.15⨯。