2017年中考专题复习—辅助圆教学设计

5初中数学最值系列之辅助圆教案教学目标：1.熟练掌握辅助圆在数学中的概念和性质；2.能够运用辅助圆解决初中数学中的最值问题；3.培养学生观察问题、提出问题和解决问题的能力。

教学重难点：1.学习掌握辅助圆在求解最值问题中的应用方法；2.培养学生运用辅助圆解决问题的思维能力。

教学准备：1.教师准备好黑板、彩色粉笔和辅助圆的相关课件；2.提前准备好一些与辅助圆相关的练习题。

教学过程：一、引入新知1.教师简单介绍辅助圆的概念和作用，提出辅助圆在数学中的应用意义。

2.教师通过示意图向学生展示辅助圆的基本构造，帮助学生理解辅助圆的含义和作用。

二、辅助圆的性质1.教师向学生介绍辅助圆的性质，如辅助圆的半径等于问题中的其中一边的一半，辅助圆上的弦等于问题中的其中一边等等。

2.教师通过具体例子向学生展示辅助圆的性质，在黑板上进行解释和分析。

三、辅助圆在求解最值问题中的应用1.教师给学生出几个最值问题，如一张长方形纸片的四个角各剪去一块正方形纸片，求剩下的纸片所能构成的最大面积。

2.教师引导学生观察问题，提出问题，并运用辅助圆解决问题。

3.学生们根据教师的引导，利用辅助圆来求解最值问题。

四、练习巩固1.教师提供一些与辅助圆相关的练习题，让学生独立解答并进行讨论。

2.学生们互相交流，共同解决练习题，教师及时给予指导和帮助。

3.教师对学生的答题情况进行点评和总结，对错误的解答进行纠正和解释。

五、拓展思考1.教师鼓励学生进一步思考，提出一个新的问题，如圆的直径与圆的面积有何关系？2.学生们积极思考，讨论并提出自己的见解。

3.学生们将自己的思考结果与其他同学进行分享和讨论。

六、课堂总结1.教师帮助学生总结今天学到的知识和方法，强调辅助圆在求解最值问题中的重要作用。

2.学生们对今天的学习进行总结，并主动回答教师提出的问题，巩固所学知识。

七、作业布置1.教师布置一些与辅助圆相关的作业，例如写一篇关于辅助圆在求解最值问题中的应用方法的小短文。

初中辅助圆模型教案教学目标：1. 理解辅助圆的概念和作用；2. 学会运用辅助圆模型解决初中数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 辅助圆的概念和作用；2. 辅助圆模型的运用方法和技巧。

教学难点：1. 辅助圆模型的运用方法和技巧；2. 解决实际问题时，如何正确选择辅助圆模型。

教学准备：1. 教师准备相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的相关知识，如圆的性质、圆的周长和面积等；2. 提问：同学们，你们知道什么是辅助圆吗？辅助圆在解题中有何作用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解辅助圆的概念：辅助圆是指在解题过程中，为了方便分析和解决问题而构造的圆；2. 讲解辅助圆的作用：辅助圆可以帮助我们发现题目中的隐含条件，从而解决问题；3. 讲解辅助圆模型的运用方法和技巧：a. 当题目中出现四点共圆的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；b. 当题目中出现动点到定点等于定长的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；c. 当题目中出现直角所对的是直径的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；d. 当题目中出现定弦对定角的情况时，可以考虑使用辅助圆模型。

三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题1：四点共圆的问题；2. 讲解例题2：动点到定点等于定长的问题；3. 讲解例题3：直角所对的是直径的问题；4. 讲解例题4：定弦对定角的问题。

四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题1：四点共圆的问题；2. 布置练习题2：动点到定点等于定长的问题；3. 布置练习题3：直角所对的是直径的问题；4. 布置练习题4：定弦对定角的问题。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辅助圆的概念和作用；2. 让学生分享自己在解题中运用辅助圆模型的经验和感受；3. 教师进行课堂小结，强调辅助圆模型在解题中的应用价值和技巧。

教学延伸：1. 引导学生进一步学习辅助圆模型的拓展应用；2. 鼓励学生参加数学竞赛和相关活动，提高解题能力。

《“圆”来如此简单—探究辅助圆的基本模型》教学设计【一、内容和内容解析】（一）内容探究辅助圆的基本模型（二）内容解析在初中数学中，圆是我们常见的一个数学问题，也是初中教材中一个重要内容，但是有些题目明明题中和图中都没有圆的出现，但是在解题的过程中却要借助圆，这样的圆就是“辅助圆”。

这类“辅助圆”的出现也是有迹可循的：第一类当出现定点和定长时，可根据圆的定义构造圆；第二类当出现定线和定角时，可根据同弧（弦）所对的圆周角构造圆，或是90o的圆周角所对的弦是直径构造圆；第三类对角互补的四边形可构造圆。

三类模型的出现都需要进行探究，而这个探究过程是从特殊到一般的过程。

通过模型的探究，便可以利用圆的性质解决问题。

基于以上的分析，确定本节课的教学重点是：探究辅助圆的基本模型。

【二、教学目标及解析】（一）目标1.利用所学的知识对辅助圆模型进行探究.并在探究的过程中培养学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界.2.能将所探究的辅助圆模型应用到生活实际问题和数学问题中，并进一步体会数学建模思想、分类讨论思想、化归思想和数形结合思想，养成良好的数学学习习惯.（二）目标解析达成目标1的标志是:能够通过小组讨论得到辅助圆出现的条件，并通过小组合作的形式利用图像、几何语言及文字语言总结出模型的特点，以及模型出现所需要具备的条件。

达成目标2的标志是：能够利用所探究的模型应用到生活实际问题和数学问题中去，并独立找到生活实际问题和数学问题的解决办法。

【三、教学问题诊断分析】九年级的学生抽象思维趋于成熟，而且具有独立思考，合作交流，逻辑推理，归纳概括的能力。

本节课是探究辅助圆的基本模型，在已有知识的基础之上，利用条件得到辅助圆并不困难，但是根据条件确定圆心和半径，进一步画出辅助圆对于学生会有一定的困难。

因此在本节课的教学中，可以让学生从已有的知识出发，通过实践操作，自主探究、合作交流，归纳总结等数学活动中，理解和掌握数学知识技能，形成数学思想方法。

张湾中学快乐课堂116导学案课题：九年级数学学科《辅助圆》课型：新授 主讲人： 审核人： 数学组 时间： 【学习目标】1、进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆解决有关问题；2、通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决问题，进而掌握利用作圆解决问题的方法；【学习过程】：一、 目标导学：如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ=90，EF 交正方形外角的平分线ＣＦ于 Ｆ。

求证：ＡＥ=E Ｆ。

（人教版八年级下册第69页14题）A B C DE FG你能否不用构造全等三角形来解决这个问题吗？二、 自主探究：1、圆的“集合”定义是什么？圆是所有到________等于______的点的集合2、圆周角定理：___________________________________________3、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角___________直径所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是_______三、 合作交流：探究1:如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，∠BAC=20°∠CAD=80°，则 ∠BDC=______度，∠DBC=______度什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？条件1:_________________________________________________依据：_________________________________________________小结1:当遇有_______________________ 时，通常以____________为圆心，_______________ 为半径，构造辅助圆。

探究2:已知等腰直角三角形ABC 中,∠A=90°,D 为BC 中点,E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且满足∠EDF=90°。

求证：DE=DF可构造圆的条件2什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？条件2：_______________________________________________依据：________________________________________________小结2：当遇有_________ 时，通常以_______________ ，构造辅助圆.四、 当堂检测：1、（2011湖北鄂州中考）如下图OA=OB=OC 且∠ACB=30°，则∠AOB 的大小是（ ）A.40°B.50° C .60° D.70° 2、（2012青海中考） 如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ=90，EF 交正方形外角的平分线ＣＦ于 Ｆ。

构造辅助圆教学设计一、教学内容分析：对于平面几何问题，学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决问题，但辅助线的添加就被局限在直线形，而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下，更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，利用圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过对构造辅助圆方法的分类，典型题的讲解.二、学情分析：1. 教学对象：初三学生；2. 已具备知识和技能：掌握了圆的相关性质和应用，并对辅助圆有了初步认识.三、教学目标：1. 知识目标：（1）进一步巩固圆的定义和性质；（2）体会利用圆解决点的轨迹问题；（3）初步形成从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物.2. 能力目标：（1）提升转化能力，分类讨论能力；（2）同类型题目的总结归纳能力.3. 情感目标：（1）学生通过观察，发现构造辅助圆的条件，并且选择适合的方法做出辅助圆；（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识.四、教学重难点：1.教学重点：利用辅助圆解决有关问题.2.教学难点：初步形成用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件.五、教学策略：教学内容在公校少有涉及，但在很多时候是个实用工具和方法，所以本堂课采用讲练结合进行教学，注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程.六、课时安排：2小时七、教学过程：类型一：有公共端点的等线段（如下图）例1.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=25°，∠CAD=75°，求∠BDC的度数．变式练习：1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将∠AMN沿MN所在的直线翻折得到∠A′MN，连结A′C，求A′C长度的最小值.2.问题探究(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使∠APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形∠APD，并求出此时BP的长；(2)如图②，在∠ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由。

辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。

二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。

方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。

二、模型本质：两点之间，线段最短。

例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。

深圳中考针对性专题复习（5）辅助圆的应用授课教师：张 振 课型：专题复习 授课时间：5月11日【学习目标】1、熟练掌握利用圆构造等腰三角形和直角三角形；2、学会在恰当的时候利用圆为辅助线解决实际问题.【重点难点】利用圆为辅助线解决实际问题.【学习过程】一、 利用“两圆一中垂线”构造等腰三角形如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)与y 轴交于点C ．(1)抛物线的解析式为 ；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CAP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．二、 利用“两垂线一圆”构造直角三角形如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△CBQ 是直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．三、 利用圆求线段的最值1. 如图①，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，点E 是AD 边的中点，F 是CD 上的动点，将△DEF 沿EF 折叠，点D 落在P 处,则线段BP 最短时的长度为 .2. 如图②，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AC=AB=1，以AC 上动点O 为圆心，以AO 为半径作圆O ，交AC 于点D ，连接BD 交圆O 于点E ，则CE 的最小值为3.如图③，⊙O 的半径为5，OP=3，经过点P 的最长弦为 ，最短弦为 .B P E D A 图① O P 图③图② E D A B O四、 三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆如图，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=2，AB=AC=AD=4．则BD 的长为.五、 四点共圆时作辅助圆1. 如图①，在△ABC 中， BE 和CD 分别是AC 和AB 边上的高，连接DE ，△ADE 与四边形DBCE 的面积比为1:8，则sinA= .2.如图②，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°,∠ACB=30°,在Rt △ADC 中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，若BD=8，则AB= .思考：如何判断四点共圆？六、 利用圆的切线性质作辅助圆如图，在平面直角坐标系内A （8,0），B （0,6），若直线L 与AB 平行，且在直线L 上有且只有一点P 使∠OPA=90°，求满足条件的直线L 的解析式.七、 利用圆构造相等角（课后拓展）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴交于A （1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于C （0，2），连接AC 、BC ．（1）BC 的垂直平分线交抛物线于D 、E 两点，则直线DE 的解析式为 ；（2）若点P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB ，求出所有满足条件的P 点坐标．E D B C 图① DA B C 图②。