初中数学五种作图基本概念及技巧

初中数学几何作图基本作图技巧与方法在初中数学的学习中，几何作图是一项重要的技能。

它不仅能够帮助我们更好地理解几何概念和定理，还能培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。

接下来，让我们一起深入探讨初中数学几何作图的基本作图技巧与方法。

一、线段的作图1、作一条等于已知线段长度的线段首先，我们需要准备好直尺和铅笔。

假设已知线段为 AB，我们要作一条与 AB 长度相等的线段 CD。

步骤如下：（1）用直尺将已知线段 AB 量出长度。

（2）在纸上确定一个起点 C。

（3）将直尺的零刻度线与点 C 对齐，沿着直尺的边缘，从点 C 开始，根据量出的 AB 长度，在直尺相应刻度处标记出点 D。

（4）连接点C 和点D，线段CD 就是与线段AB 长度相等的线段。

2、作线段的平分线作线段的平分线，需要用到圆规。

假设要平分线段 AB。

（1）以点 A 为圆心，大于线段 AB 一半的长度为半径画弧。

（2）再以点 B 为圆心，同样长度为半径画弧，两弧分别交于点 M和点 N。

（3）连接点 M 和点 N，与线段 AB 相交于点 O，点 O 就是线段AB 的中点，直线 MO 就是线段 AB 的平分线。

二、角的作图1、作一个等于已知角大小的角已知角为∠AOB，要作一个与之相等的角∠MON。

步骤如下：（1）先作一条射线 OM。

（2）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交∠AOB 的两边于点 P和点 Q。

（3）以点 M 为圆心，以 OP 的长为半径画弧，交射线 OM 于点 A'。

（4）以点 A'为圆心，以 PQ 的长为半径画弧，交前弧于点 B'。

（5）过点 B'作射线 ON，则∠MON 就是与∠AOB 相等的角。

2、作角的平分线对于一个角，比如∠AOB，要作其平分线。

（1）以点 O 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 OA、OB 于点C、D。

（2）分别以点 C、D 为圆心，大于二分之一 CD 长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 E。

第十四章尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.四、基本作图最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图.最基本、最常用的尺规作图通常称为基本作图.已知：线段a（如图所示）.求作：一条线段长度等于a.作法：（1）任作一条射线OA；（2）在射线OA上截取OB＝a （以O为圆心，以a的长为半径画弧，交OA于点B），则OB即为所求作的线段.已知：∠AOB（如图所示）.（一）尺规作图的概念（二）基本作图求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.作法：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前弧于点D′；（4）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.已知：∠AOB（如图所示）.求作：∠AOB内的射线OC，使∠AOC＝∠BOC.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；（2）分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠AOB内相交于点C；（3）画射线OC，则OC就是所求作的射线.已知：线段AB（如图所示）.求作：直线CD，使CD垂直平分线段AB.作法：（1）分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；（2）过点C，D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.（1）经过直线上一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB上的一点C（如图所示）.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交直线AB于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ；③作直线CF ，则直线CF 就是所求作的垂线.（2）经过已知直线外一点作已知直线的垂线.已知：直线AB 和AB 外一点C （如图所示）.求作：AB 的垂线，使它经过点C.作法：①任取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两侧；②以点C 为圆心，CK 的长为半径画弧，交AB 于点D ，E ；③分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ；④作直线CF ，则直线CF 就是所求作的垂线.（1）已知：写出已知的线段和角，画出图形.（2）求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化.（3）作法：应用“五种基本作图”（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，经过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线），叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹.（4）结论：对所作图形下结论. （三） 尺规作图的基本步骤。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。

限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。

最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线;一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交,可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。

用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。

一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。

历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。

直至1837年,万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形。

初中数学几何图形构造方法梳理几何图形构造方法梳理在初中数学学习中，几何图形构造是一个重要的部分，它涉及到直线、角度、三角形、四边形等各种图形的构造方法。

本文将梳理一些常见的初中数学几何图形构造方法，帮助学生更好地理解和掌握这些内容。

一、直线图形的构造方法1. 画线段：给定两个不同的点A和B，我们可以使用直尺在点A和B之间画一条直线段AB。

2. 画射线：给定一个起点A和一个方向，我们可以使用直尺在起点A开始，按照给定的方向延伸出一条射线。

3. 画平行线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L平行的直线。

4. 画垂直线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L垂直的直线。

二、角度的构造方法1. 画角：给定两条射线，将它们的起点重合，通过尺规作图的方法，可以构造出一个特定的角。

2. 以角的顶点为中心，以确定的角度为半径，画弧：给定一个角的顶点O和一个角度a，我们可以使用尺规作图的方法，在以O为中心，以a为半径的圆上选择一点P，然后连接OP，即可得到一个角为a的角。

3. 画平分线：给定一个角，我们可以使用尺规作图的方法，构造出这个角的平分线，即将这个角平分为两个相等的角。

4. 画垂线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L垂直的直线。

三、三角形的构造方法1. 画等边三角形：给定一个边长，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个边长相等的等边三角形。

2. 画等腰三角形：给定一个底边和两个底角，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个具有底边和底角相等的等腰三角形。

3. 画直角三角形：给定一个直角，我们可以使用尺规作图的方法，在直角的一边上任选一点，然后以这个点为顶点，直角的两条边为另外两边，构造一个直角三角形。

4. 画任意三角形：给定三条边长a、b、c，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个具有边长分别为a、b、c的任意三角形。

四、四边形的构造方法1. 画平行四边形：给定两条平行线L1和L2，以及一个点P，我们可以使用尺规作图的方法，在点P处作出一条与L1平行的线段，然后再以该线段为边作出一条与L2平行的线段，连接两个线段的两个端点，即可得到一个平行四边形。

初中数学知识点总结：掌握五种基本作图知识点总结
一、基本作图的有关概念：
1.尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规来作图的方法，叫做尺规作图。

2.五种基本作图：五种基本作图是尺规作图的基础，数学中的五种基本作图是指作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一个角的角平分线、过定点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线。

二、基本作图的原理和步骤：
1.原理：边边边公理
2.步骤：作图题的方法与证明题解法不相同，对于作图题首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

三、尺规作图的优点：尺规作图只能使用圆规和无刻度的直尺这两种工具。

工具虽少但能正确地画出的图形，比度量法画出的图形更精确。

常见考法
(1)考查五种基本作图中的一种，要求写出已知、求证、作法、证明过程。

有时考题不要求写作法，但要求保留作图痕迹;(2)利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理
数点;(3)利用尺规作图作一些正多边形(如正三角形、正六
边形等)。

误区提醒。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最着名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问径1题.若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个着名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形==.2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点.⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点.⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆.∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..1的直的长度自然就出来了.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为..）⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形作法：⑴ 作线段12MD a =； ⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙；⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ，⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG .正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M .1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)；⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点.连接,PD CD (或',''PD C D ).则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BC AB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． ⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图4，点E 是ABCD Y 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD Y 的黄金分割线．请你画一条ABCD Y 的黄金分割线，使它不经过ABCD Y 各边黄金分割点．【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边AB 上的高为h ． 12ADC S AD h=g △，12BDC S BD h =g △，12ABC S AB h =g △， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD=△△． 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD BD AB AD =．∴ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△．A CB 图1 AD图2 C A D 图3 C F E E 图4∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， 此时1212S S S ==，即121S S S S ≠， ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，∴DEC FCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△． ∴ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形． 又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．⑷ 画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ， 连接MN ，则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．E M （答案图1）E M （答案图2）。

初中几何尺规作图总结归纳在初中数学学习中，几何部分是一个复杂而又有趣的内容。

其中，几何尺规作图是一个重要的知识点，通过使用尺规和直尺进行各种图形的构建和分析。

在本文中，我将对初中几何尺规作图进行总结和归纳，从理论到实践，为大家提供一个全面的了解。

理论基础几何尺规作图的基础是尺规和直尺。

在进行尺规作图时，我们需要使用一支尺子和一根没有刻度的直尺。

尺规的长度一般为15cm或30cm，在作图时要注意尺规的摆放和固定，以确保精确度和准确性。

作图步骤尺规作图的步骤一般分为三个部分：已知条件、构图、证明。

已知条件：根据题目给出的已知条件，我们首先要明确图形的特征和要求。

这是解决问题的起点，只有明确了已知条件，我们才能正确地进行后续的构图和证明。

构图：根据已知条件，我们需要使用尺规和直尺进行图形的构建。

构图时，要注意使用正确的工具和技巧，例如画垂线、平行线等。

同时，要保持手的稳定和准确的测量，以确保最终的作图结果正确无误。

证明：在完成构图后，我们需要对所得图形进行证明。

证明的过程中，需要运用尺规作图的基本原理和性质，进行推理和论证。

通过合理的推导过程，我们可以得出图形的性质和结论，进一步巩固和应用几何知识。

基本作图方法1. 作点：通过特定的条件，我们可以通过尺规作图的方式，在平面上标出一个点。

常见的作点方法有：作单位线段、作等分线段、作垂直平分线等。

2. 作线段：通过已知条件，我们可以使用尺规和直尺作出特定长度的线段。

作线段的方法包括：作单位线段的倍数、作等线段、作半线段等。

3. 作角：在几何尺规作图中，我们可以通过作线段和作弧的方式来构建特定的角度。

常见的作角方法有：作等角、作垂直角、作等分角等。

4. 作垂线和平行线：作垂线和平行线是几何尺规作图中常用的方法之一。

通过作垂线和平行线，我们可以解决很多与角度和线段有关的问题。

几何尺规作图的应用几何尺规作图在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们可以通过几何尺规作图来绘制房屋的平面图和立体图。

1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6:尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9:单尺作出正八边形10：单尺作出正方形11：单尺作出正六边形12：单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15:单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18：单规作出正六边形19：单规作出正十边形20:单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22：单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25:只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。

这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中。

初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。

限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。

最简单的尺规作图有如下三条:⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交，可以求出交点;以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则,就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

初中数学解决几何问题的方法与技巧数学作为人们日常生活中不可或缺的一门学科，解决几何问题一直是学习数学中的一个重要部分。

在初中阶段，学生开始接触到各种形状、角度和直线，因此懂得如何解决几何问题是非常重要的。

本文将介绍一些初中数学解决几何问题的方法与技巧。

一、了解基本概念与定理在解决几何问题之前，必须熟悉并理解基本概念与定理，如角度、直线、平行线、垂直线等。

同时，学习数学还要掌握形状的特点，例如三角形的内角和等于180度，四边形的对角线交点会成为一个点等等。

只有真正理解这些基本概念和定理，才能够更好地解决几何问题。

二、掌握画图方法画图对于几何问题的解决非常重要。

通过绘制图形，可以更清晰地展现问题的几何特点，并利用图形上的关系进行分析。

在解决几何问题时，我们可以根据题目的描述，使用直尺、量角器等工具绘制出所给图形，并在图形上添加已知信息，以便于更好地理解和推导。

三、应用数学关系解决几何问题时，经常需要运用数学关系。

例如，当我们需要计算未知边长时，可以利用两条边的比例关系来求解；当问题中涉及到平行线和对称线时，可以利用相应的角度关系进行推理；当问题需要证明时，可以利用逻辑推理和数学定理来完成。

因此，掌握数学知识和关系是解决几何问题的关键。

四、实践与练习解决几何问题需要进行大量的实践与练习。

通过解决各种类型的几何问题，可以熟悉和掌握不同的解题方法和技巧。

建议学生在课外多进行几何问题的练习，可以选择教材上的习题或者通过网络上的相关资源进行练习。

通过不断地实践与练习，积累解决几何问题的经验，提高解题能力。

五、借助图形辅助工具在解决一些复杂的几何问题时，可以借助一些图形辅助工具来帮助解题。

例如，利用计算机软件或者在线几何绘图工具可以绘制出精确的图形，更方便进行推导和分析。

这些工具可以帮助学生直观地观察和思考问题，提高解题准确性和效率。

六、理解与分析题目解决几何问题时，一定要仔细阅读并理解题目。

对于一些复杂的题目，可以分析题目中的关键词、限制条件和已知信息，从而推导出解题的思路和方法。

初中数学五种基本作图技巧（含数学语言规范）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。

用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题:作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。

直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数(即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数)，由此即可推得根号π（即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题。

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形。

初中数学五种作图基本概念及技巧一、基本概念1.尺规作图：在几何里，用没有刻度的直尺和圆规来画图，叫做尺规作图．2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．3.五种常用的基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)平分已知角；(4)作线段的垂直平分线．(5)经过一点作已知直线的垂线4.掌握以下几何作图语句：(1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××；(2)连结两点×、×；或连结××；(3)在××上截取××=××；(4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）；(5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×；(6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××；(7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××．5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了。

如：(1)作线段××=××；(2)作∠×××=∠×××；(3)作××（射线）平分∠×××；(4)过点×作××⊥××，垂足为×；(5)作线段××的垂直平分线××．二、尺规作图基本步骤和作图语言1、作线段等于已知线段已知：线段a 求作：线段AB，使AB＝a 作法：（1）作射线AC （2）在射线AC上截取AB＝a ，则线段AB就是所要求作的线段2、作角等于已知角已知：∠AOB求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.作法:(1)作射线O′A′.(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.(3)以点O′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于点C′.(4)以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′.(5)过点D′作射线O′B′.∠A′O′B′就是所求作的角.3、作角的平分线已知：∠AOB, 求作：∠AOB内部射线OC,使：∠AOC=∠BOC,作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．(2)分别以D、E为圆心，大于1/2DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．(3)作射线OC．OC就是所求作的射线．4、作线段的垂直平分线（中垂线）或中点已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线作法：(1)分别以A、B为圆心，以大于AB的一半为半径在AB两侧画弧，分别相交于E、F两点。

第五部分尺规作图一、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．最基本最常用的尺规作图通常称基本作图．一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的．二、五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段已知：如图，线段a．求作：线段AB，使AB＝a作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB＝a，则线段AB就是所求作的图形．2.作一个角等于已知角已知：如图，已知∠AOB．求作：∠A’O’B'，使∠A’O’B’＝∠AOB作法：（1）作射线O′A′；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O′为圆心，以OM的长为半径画弧，交O′A′于M′﹔（4）以M′为圆心，以M的长为半径画弧，交前弧于N′﹔（5）连接ON′并延长到B′．则∠A′O′B′就是所求作的角．3.作已知线段的垂直平分线已知：如图，线段MN．求作：点O，使MO＝NO（即O是MN的中点）．作法：（1）分别以M、N为圆心，大于12MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（2）连接PQ交MN于O．则直线PQ就是所求作的MN的垂直平分线．4.作已知角的角平分线已知：如图，∠AOB，求作：射线OP，使∠AOP＝∠BOP（即oP平分∠AOB）．作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于P；（3）作射线OP．则射线OP就是∠A0B的角平分线．5.过一点作已知直线的垂线已知：如图，直线B及外一点P．求作：直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB．作法：（1）以Р为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；（2）分别以M、N圆心，大于MN长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；（3）过P、Q作直线CD．则直线就CD是所求作的直线．三、题型练题型一用尺规作线段例1.如图，在平面内有三个点A，B，C．（1）按下面的要求作图：（要求：利用尺规，不写画法，保留作图痕迹，不写结论）①连接AB ，AC ，作射线BC ；②在射线BC 上作线段BD ，使BD BC AB =+．（2）已知6AB =，4BC =，点P 是BD 的中点．将点P 标在（1）所画的图中，并求线段CP 的长．【分析】（1）①根据线段，射线的定义画出图形即可．②根据要求作出图形即可．（2）利用线段和差定义以及线段的中点的性质解决问题即可．【详解】解：（1）①如图，线段AB ，AC ，射线BC 即为所求作．②如图，线段BD 即为所求作．（2）∵BD ＝BC ＋AB ＝4＋6＝10，又∵BP ＝PD ，∴PB ＝12BD ＝5，∴PC ＝PB －BC ＝5－4＝1.【点睛】本题考查作图－复杂作图，线段，射线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．变式11.（1）如图，已知线段AB ，请用尺规按下列要求作图：①延长线段AB 到C ，使BC=AB ；②延长线段BA 到D ，使AD=AC ．（2）在（1）所作的图中，若点E 是线段BD 的中点，AB=2cm ，求线段AE 的长．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）1cm【解析】【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据题意画出图形即可；（2）首先根据图形求出AC 的长度，进而得出AD 的长度，然后利用中点求出DE 的长度，最后利用AE AD CE =-求解即可．【详解】（1）①如图，②如图，（2）如图，2cm,AB BC AB == ，4cm AC AB BC ∴=+=，4cm AD AC ∴==，6cm DB AD AB ∴=+=．∵点E 是线段BD 的中点，13cm 2DE DB ∴==，1cm AE AD CE ∴=-=．【点睛】本题主要考查线段的和与差，掌握线段之间的关系是关键．题型二用尺规作垂线例2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线．用直尺和圆规作DE ⊥AB 于点E （不要求写作法，保留作图痕迹）【分析】以点D 为圆心，BD 长为半径画弧，交AB 于点G ，然后以点B ．E 为圆心，大于BE 长的一半画弧，交于一点F ，连接DF ，交AB 于点E ，则DE 即为所求，【详解】解：由题意可得如图所示：则DE 即为所求，【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图，掌握常规的尺规作图方法是解题的关键．变式22.尺规作图：如图，已知ABC ．请在AC 边上找一点D ，使ABD △的周长等于+AB AC ．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【解析】【分析】△ABD 的周长=AB +AD +BD ，要使ABD △的周长等于+AB AC ，即BD =CD ，故只需做边BC的垂直平分线交AC于点D．【详解】解：如图所示，点D为所求点．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图，能够将问题转化为常规的尺规作图是解题的关键．题型三用尺规作一个角等于已知角例3.“经过已知角一边上的一点作“一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图（2），（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC．所以∠CCA就是所求作的角此作图的依据中不含有（）A.三边分别相等的两个三角形全等B.全等三角形的对应角相等C.两直线平行同位角相等D.两点确定一条直线【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS 可以推知△EOD ≌△GCF ，故A 正确；结合该全等三角形的性质对应角相等，故B 正确；作射线CG ，利用两点确定一条直线，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．变式33.如图，点B 是射线AC 上一点，利用尺规作//BE AD ，依据是：______．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析，同位角相等，两直线平行【解析】【分析】在∠CAD 的内部，利用尺规作∠CBE ，使得∠CBE =∠A 即可．【详解】解：如图，AD ∥BE 的依据是：同位角相等，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与作图，关键是熟练掌把握作一个角等于已知角的作图方法．题型四用尺规作角的和与差例4.如图，已知α∠，β∠．求作：AOB ∠，使AOB αβ∠=∠-∠．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】作∠AOC ＝α∠，然后在∠AOC 内部作∠BOC ＝β∠，即可得到AOB αβ∠=∠-∠．【详解】解：作∠AOC ＝α∠，然后在∠AOC 内部作∠BOC ＝β∠，即可得到AOB αβ∠=∠-∠，如下图所示，∠AOB 即为所求．【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键．变式44.已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）【答案】见解析【解析】【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P 、Q 、M 、N ；作射线OB ，以O 为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB 于点C ，以C 为圆心，PQ 的长度为半径作弧，交优弧于点D ，作射线OD ，再以D 为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．题型五用尺规作平行线例5.已知直线l及直线l外一点D，要求利用尺规作图过D点作直线l的平行线．对如图所示的两种作法，下列说法正确的是（）A.两种作法都正确B.两种作法都错误C.左边作法正确，右边作法错误D.右边作法正确，左边作法错误【分析】左边利用同位角相等求平行线，右边利用内错角相等求平行线；【详解】作法1：通过同位角相等来确定平行线的另一点F，作法2：通过内错角相等来确定平行线的另一点F，作法2中，，先作BAC ∠的平分线，∴EAC EAB=∠∠再以点D 为圆心DA 为半径作圆，交BAC ∠的平分线于点F ，∴DA DF =，∴DAF DFA ∠=∠，∴DFA FAB ∠=∠，即内错角相等，连接DF ，∴//DF AB （内错角相等，两直线平行）∴两种作法都正确故选：A ．【点睛】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．变式55.如图，过直线l 外一点Р作它的平行线2l ，其作图依据是（）A.两直线平行，同位角相等B.两直线平行，内错角相等C.同位角相等，两直线平行D.内错角相等，两直线平行【答案】D【解析】【分析】根据基本作图痕迹可知内错角相等，再根据平行线的判定解答即可．【详解】解：由作图可知，内错角相等，则这两条直线平行，故选：D ．【点睛】本题考查基本尺规作图-作角、平行线的判定，理解题意，根据作图痕迹得出内错角相等是解答的关键．题型六用尺规作三角形例6.尺规作图：如图，已知线段a ，b ，c ，求作ABC ，使AB a b =-，AC b =，BC c=（不写作法，保留作图痕迹）【分析】首先作线段BD＝a，在BD上截取AD＝b，再分别以A、B为圆心，b，c为半径画弧，两弧相交点C，连接BC，AC，则△ABC即为所求作．【详解】为所作．解：如图，ABC【点睛】=-．此题主要考查了复杂作图，关键是作出线段AB a b变式66.如图所示，已知△ABC，请你画一个△A1B1C1，使A1B1＝AB，C1B1＝CB，∠B1＝∠B，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【分析】根据已知三角形，利用SAS进而得出全等三角形即可．【详解】解：如图所示，△A1B1C1即为所求．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．题型七结合尺规作图的全等问题例7.如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是（）A .SASB .SSSC .AASD .ASA【分析】根据尺规作图的痕迹可知,,OD O D OC O C CD C D ''''''===，从而利用SSS 证明COD C O D '''△≌△，则可证明AOB AO B '''∠=∠．【详解】根据尺规作图的痕迹可知,,OD O D OC O C CD C D ''''''===，()COD C O D SSS '''∴△≌△AOB A O B '''∴∠=∠故选：B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握尺规作图是关键．变式77.小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：（1）在OA 和OB 上分别截取OD OE =．（2）分别以D，E为圆心，以大于12DE长为半径作弧，在AOB∠的内部两弧交于点C．（3）作射线OC，则有AOC BOC∠=∠．你能指出作法中的道理吗？【答案】见解析【解析】【分析】利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可以得∠AOC=∠BOC．【详解】解：由作法得：OE=OD，CE=CD，而OC为公共边，即OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠AOC=∠BOC．【点睛】本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．题型八用尺规作角的平分线例8.如图，按下列要求作图：（1）用尺规作出ABC的角平分线CD；（2）用尺规在BC 找出点P ，使2APC B ?（要求有明显的作图痕迹，不写作法）【分析】（1）根据角平分线的作法作出∠ACB 的平分线即可；（2）作AB 的垂直平分线，交BC 于点P 即可．【详解】解：（1）如图，CD 即为所作；（2）如图，点P 即为所作．可得：AP ＝BP ，∴∠P AB ＝∠B ，∴∠APC ＝2∠B ．【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，利用外角的性质分析∠APC ＝2∠B ，从而得出作法．变式88.已知，PBC ∠的边PB 上有一点A 、E ，过点E 作EF ∥BC ．（1）用尺规作PBC ∠的平分线，交EF 于点D ；（只保留作图痕迹）（2）在（1）的前提下，连结AD 并延长交BC 于G ．①求证：BE ＝ED ；②如果点E 是AB 的中点，直接写出 ABD 和 ABG 的形状．【答案】（1）见解析；（2）①证明见解析，②ABD △是直角三角形，ABG 是等腰三角形【解析】【分析】（1）根据角平分线尺规作图方法画图即可；（2）①利用角平分线得出的角相等以及平行线得出的角相等，进行等量代换，可得出∠ABD ＝∠EDB ，进而得出BE ＝ED ；②根据①中BE ＝ED ，再加上E 是AB 的中点，可得BE ＝ED ＝AE ，根据角相等以及三角形内角和可得出∠BDA ＝90°；在ABG 中,根据中位线可得D 为AG 中点，且BD ⊥AG ，根据三线合一可得出AB ＝BG ，即可得出答案.【详解】解：（1）作图如下图所示：（2）①如图：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵EF ∥BC ，∴∠EDB ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠EDB ，∴BE ＝ED ．②ABD △是直角三角形，ABG 是等腰三角形．证明如下：E 为AB 中点，BE AE ∴=,BE ＝ED ,∴BE ＝ED ＝AE ；EBD EDB ∴∠=∠,EAD EDA ∠=∠，则在ABD △中180EBD EDB EAD EDA ∠+∠+∠+∠=︒，90EDB EDA ∴∠+∠=︒，ABD ∴∆是直角三角形；ED ∥BG ，E 为AB 中点，∴D 为AG 中点，90BDA ∠=︒ ，BA BG ∴=，ABG 是等腰三角形；故答案为：ABD △是直角三角形，ABG 是等腰三角形【点睛】本题考查利用角的等量代换进行几何图形的综合证明.重点掌握等角对等边，等边对等角，以及中位线的相关定理.题型九作圆和确定圆心例9.如图，已知弧AB ，利用直尺和圆规作弧AB 所在的圆的圆心O ，（要求保留作图痕迹）【分析】在弧上找一点C，连接AC和BC，分别作AC和BC的垂直平分线，交于点O即可．【详解】解：如图，点O即为所作．【点睛】本题主要考查了确定圆心，解题的关键是利用垂直平分线的交点得到圆心．变式99.如图，在大圆中有一小圆O．按下列要求尺规作图（保留作图痕迹，不需要写步骤）．（1）作大圆的圆心P．（2）作直线l，使其将两圆的面积均二等分．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）任作两条不平行的弦，作出其垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心；（2）过圆心的直线把圆的面积分为面积相等的两部分，那么过两圆连心线的直线可把两圆分为面积相等的两部分．【详解】解：（1）任作大圆的两条弦AB、CD，分别作AB和CD的中垂线l1与l2，l1的l2交点O'就是大圆的圆心．（2）过O，O′作直线l可等分两圆的面积．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；两圆的连心线所在的直线把两圆分为面积相等的两部分．题型十无刻度直尺作图例10.请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．（1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行；（2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF；（3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行．【分析】（1）连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作直线AF即可．（2）连接AE ，BF 交于点G ，连接BD ，CE 交于点H ，作直线GH 即可．（3）作直径BE ，CF ，作直线EF 即可．【详解】解：（1）如图1，直线AF 即为所求作．（2）如图2，直线GH 即为所求作．（3）如图3，直线EF 即为所求作．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，正多边形和圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．例11.创新作图．（1）如图1，已知BE ，CD 是ABC 的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出BAC 的平分线；（2）如图2，已知ABC DCB ∠=∠，且BD ，CA 分别平分ABC ∠与DCB ∠，AC 与BD 相交于O ，请你仅用无刻度的直尺作出BOC ∠的平分线．【分析】（1）连接AO 并延长交BC 于P ，则利用三角形的三条角平分线相交于一点可判断AP 平分∠BAC ；（2）BA 和CD 的延长线相交于E ，连接EO 并延长交BC 于P ，利用三角形的三条角平分线相交于一点可判断EP 平分∠BEC ，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BP ＝PC ，由于OB ＝OC ，再利用等腰三角形“三线合一”的性质可判断OP 平分∠BOC ．【详解】（1）如图所示：AP 是BAC ∠的平分线；（2）如图所示：OP 是BOC ∠的平分线．∵BD ，CA 分别平分ABC ∠与DCB ∠，AC 与BD 相交于O ，∴EP 平分∠BEC ，∵ABC DCB ∠=∠，∴EB ＝EC ，∴BP ＝PC ，∵ABC DCB ∠=∠，且BD ，CA 分别平分ABC ∠与DCB ∠，∴OBC OCB ∠=∠，∴OB ＝OC ，∴OP 平分∠BOC ．【点睛】本题考查了运用三角形三条角平分线相交于一点巧作角平分线，运用等腰三角形“三线合一”性质巧作角平分线．第（2）补全三角形再运用三角形三条角平分线相交于一点以及等腰三角形“三线合一”性质巧作角平分线是解题的关键．变式1010.作图题（网格作图题，仅用无刻度的直尺作图）（1）找一格点B 使AB AC⊥（2）求作点P 关于AC 的对称点Q【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据网格，找到AB ⊥AC 即可；（2）根据网格过P 点作AC 的垂线，再找到对应点即可.【详解】（1）如图，B 点为所求；（1）如图，Q 点为所求；【点晴】此题主要考查对称性的作图，解题的关键是熟知网格中对称性的特点.四、实战练11.（1）如图，用没有刻度直尺和圆规画图：①点C 是线段AB 处一点，画射线CB ，画直线AC ；②延长线段AB 到E ，使3AE AB =；（2）在（1）的条件下，如果2AB cm =，O 是线段AE 的中点，求线段OB 的长．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）1cm【解析】【分析】（1）①根据射线和直线的定义作图即可，②作直线AB ，以AB 为半径作圆，圆与直线AB 交点作圆心，即可得；（2）根据延长线的定义以及线段的和差计算即可得．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）由图可知2AB cm =，236AE cm =⨯=，116322OA AE cm ∴==⨯=，1OB OA AB cm∴=-=【点睛】本题考查了无刻度直尺和圆规画图，根据线段中点计算线段的长度；掌握好相关的定义，根据线段中点的特性解题是关键．12.如图，在ABC 外找一个点A '（与点A 不重合），并以BC 为一边作A BC ' ，使之与ABC 全等，且ABC 不是等腰三角形，则符合条件的点A '有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】本题是开放题，要想使△A ′BC 与△ABC 全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解．【详解】解：如图：以B 点为圆心，CA 为半径上下画弧，C 点为圆心，BA 为半径上下画弧，两弧相交分别得到点A '、1A '；以C 点为圆心，CA 为半径画弧，以B 点为圆心，BA 为半径画弧，两弧的交点得到点2A '，所以符合条件的点A ′有3种可能的位置．故选：C ．【点睛】本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证．13.如图，在ABC 中，,50AB AC A =∠=︒，根据作图痕迹，可知CBD ∠=（）A.80︒B.60︒C.45︒D.50︒【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出．【详解】解：∵AB =AC ，∴11==(180)(18050)6522ABC ACB A ∠∠︒-∠=︒-︒=︒．由作图痕迹可知BC =BD ，∴==65BDC BCD ∠∠︒．∴180=180656550CBD BDC BCD ∠=︒-∠-∠︒-︒-︒=︒．故选D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC =BD 是解答本题的关键．14.如图，已知三角形ABC ，CD 平分∠ACB ．（1）以D 为顶点，在边AB 右侧作∠ADE ＝∠ABC ，交AC 于点E （要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：DE ＝CE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作∠ADE ＝∠ABC 即可；（2）根据ADE ABC =∠∠，可得到//DE BC ，再利用角平分线的性质和平行线的性质可以得到ECD EDC ∠=∠，由等腰三角形的判定即可求解．【详解】（1）如图所示：∠ADE 即为所求（2）∵ADE ABC=∠∠∴//DE BC∴EDC DCB∠=∠又∵CD 平分ACB∠∴ECD DCB∠=∠∴ECD EDC∠=∠∴DE CE=【点睛】本题主要考查了相同角的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质和判定，等腰三角形的判定，熟悉掌握等角的尺规作图方法是解题的关键．15.如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转DAC ∠的度数得到AED ．（1）尺规作图：确定AED 的顶点E 的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；（2）连接AE ，DE ，设BC 的延长线交DE 于点G ，连接AG ．求证：AG 平分DGB ∠．【答案】（1）作图见解析，（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)作∠EAB =∠DAC ，截取AE =AB 即可；(2)作AN ⊥DE ，AC ⊥BC ，交ED 延长线于N ，BG 于M ，证AN =AM 即可．【详解】解：(1)点E 位置如图所示；(2)证明：作AN ⊥DE ，AC ⊥BC ，交ED 延长线于N ，BG 于M ，由旋转可知AED ≌ABC ，DE =BC ，∴12AED S DE AN =⋅ ，12ABC S BC AM =⋅ ，∴1122DE AN BC AM ⋅=⋅，∴AN AM =，∴AG 平分DGB ∠．【点睛】本题考查了尺规作图和角平分线的判定，解题关键是明确尺规作图方法，熟练运用角平分线的判定证明．16.如图，ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，求作线段DE ，使//DE BC ，且DE DB =（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析．【解析】【分析】先作ABC ∠的角平分线BE ，交AC 于点E ，再作DEB CBE ∠=∠，角的边DE 交AB 于点D ，根据内错角相等，两直线平行得到//DE BC ，最后根据等角对等边得到DE DB =．【详解】解：如图，线段DE 即为所求．【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线、作一个角等于已知角，涉及内错角相等，两直线平行、等角对等边等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17.如图，已知四边形ABCD．用尺规作图在对角线AC上求作一点P，使得ADP△△的面积（不写作法，保留作图痕迹）的面积等于ADB【答案】作图见解析．【解析】【分析】只需要作BP∥AD，利用三角形面积公式可判断△ADP的面积等于△ADB 的面积．【详解】解：如图，点P为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18.下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P，PQ l．求作：直线PQ，使得//小于同学的作法：如下，（1）在直线l的下方取一点O；交直线l于点C，D（点C在左侧），（2）以点O为圆心，OP长为半径画圆，O连接CP；于点Q，N（点Q与点P位于直线（3）以点D为圆心，CP长为半径画圆，交Ol同侧）；（4）作直线PQ；所以直线PQ即为所求．请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：中，按要求解答下列问题：如图，ABC（ⅰ）尺规作图：（保留作图痕迹，不必写作法与证明）∠的平分线BD交AC于点D；①作ABC②过点D作BC的平行线交AB于点E；（ⅱ）根据作出的正确图形，判定BDE的形状是________．【答案】（1）图见解析；（2）（ⅰ）图见解析；（ⅱ）等腰三角形．【解析】【分析】（1）按照小于同学的作法、圆的画法即可得；∠的平分线，再参照（1）的作法作（2）（ⅰ）先根据角平分线的尺规作图画出ABC平行线即可得；（ⅱ）先根据角平分线的定义可得EBD CBD ∠=∠，再根据平行线的性质可得EDB CBD ∠=∠，从而可得EBD EDB ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定即可得．【详解】解：（1）如图，直线PQ 即为所求．（2）（ⅰ）尺规作图如下所示：（ⅱ）BD Q 平分ABC ∠，EBD CBD ∴∠=∠，//DE BC ，EDB CBD ∴∠=∠，EBD EDB ∴∠=∠，BDE ∴ 是等腰三角形．【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的尺规作图、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．19.某小区为方便M 、N 两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路AB AC、的交叉区域内设置一个垃圾投放点P，现要求P点到两条道路的距离相等， ，请你通过尺规作图找出这一P点（不写作法，保留作图痕迹）且使PM PN【答案】见解析【解析】【分析】因为使P到AB、AC两条道路的距离相等，所以点P应在∠BAC的平分线上；而且要使PM=PN，所以点P还应在MN的中垂线上，即∠BAC的平分线和MN 的中垂线的交点，即为点P．【详解】解：点P即为所求．【点睛】此题考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及作法，难度中等．20.如图，有一块三边长分别为3cm,4cm,5cm的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为5cm的等腰三角形．在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】图见解析．【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线MN，交BC于点D，连接AD即可得．△即【详解】解：作线段AB的垂直平分线MN，交BC于点D，连接AD，则ABD为所求，如图所示：【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．五、培优练21.在10×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（6，3），C（4，6）仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图．（1）在CB上找点D，使AD平分∠BAC；（2）在AB上找点F，使∠CF A＝∠DFB；（3）在BC上找点M、N，使BM＝MN＝NC．[（1）（2）画在图1中，（3）画在图2中]．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）取格点E使AE＝AC＝5，作出CE的中点P，利用等腰三角形的性质得到AP平分∠CAE，延长AP交BC于D；（2）取C点关于AB的对称点Q，连接DQ交AB于F，利用对称得到∠CF A＝∠QF A，利用对顶角相等得到∠DFB＝∠QF A，所以∠CF A＝∠DFB；（3）利用平行线分线段成比例定理，线段BC与平行格线的交点为M、N．【详解】解：（1）如图1，点D为所作；（2）如图1，点F为所作；（3）如图2，点M、N为所作．【点睛】本题考查尺规作图，涉及等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、轴对称等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．。

尺规作图的概念用无刻度的直尺和圆规作图尺规作图的步骤写已知，求作，作法，结论作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角基本作图作角的平分线尺规作图经过一点作已知直线的垂线作线段的垂直平分线利用基本作图作三角形作图举列探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆作正多边形知识能力解读知能解读（一）尺规作图的概念在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。

最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。

知能解读（二）基本作图1作一条线段与已知线段相等已知：线段a（如图所示）。

求作：一条线段长度等于a。

作法：①任何一条射线OA；②在射线OA上截取OB a=（以O为圆心，以a的长为半径画弧，交OA于点B），则OB即为所求作的线段。

2作一个角等于已知角已知：AOB∠（如图所示）。

求作：A O B'''∠，使.A OB AOB'''∠=∠作法：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点,;C D（2）作射线O A''，以点O'为圆心，以OC长为半径面弧，交O A''于点C'；3 作已知角的平分线已知：AOB∠（如图所示）。

OBAa求作：射线OC ，使.AOC BOC ∠=∠作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ；（2）分别以点,D E 为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在AOB ∠内相交于点;C（3）画射线,OC 则OC 就是所求作的射线。

4作已知线段的垂直平分线已知：线段AB （如图所示）。

求作：直线CD ,使CD 垂直平分线段AB 。

作法：（1）分别以点,A B 为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点,C D ；（2）过点,C D 作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线。

5过已知点作已知直线的垂线（1）经过直线上一点作这条直线的垂线。