整数裂项习题附答案-小学数学

整数裂项整数裂 基本公式(1) 1 2 2 3 3 4 ... (n1) n1 1) n ( n1) (n3(2) 1 2 3 2 3 4 34 5 ... (n2) (n 1) n1 ( n 2)( n 1)n(n 1)4【例 1 】 1 2 2 3 3 4 L49 50=_________【考点】整数裂 【 度】 3 星【 型】 算【解析】是整数的裂 。

裂 思想是：瞻前 后，相互抵消。

S ＝ 12 23 34 L 49 501×2×3＝ 1×2×32×3×3＝ 2×3×（ 4－ 1）＝ 2×3×4－ 1×2×3 3×4×3＝ 3×4×（ 5－ 2）＝ 3×4×5－ 2× 3× 4⋯⋯49×50×3＝ 49×50×（ 51－ 48） =49 ×50×51－ 48×49×50 3S ＝ 1×2×3＋ 2×3×3＋ 3×4×3＋ ⋯＋ 49×50×3＝ 49×50×51 S ＝ 49×50×51÷3＝ 41650【答案】 41650【巩固】 1 2 2 3 3 44 5 5 6 6 77 8 8 9 9 10 ________【考点】整数裂【 度】 3 星【 型】 算【解析】本 数 少，可以直接将每一 乘 都 算出来再 算它 的和，但是 于 数 多的情况 然不能 行 算． 于 数 多的情况，可以 行如下 形：n n 1 n 2n 1 n n 111n 1 n n 1 ， n n 13n n 1 n 233所以原式1 12 31 2 3 4 1 1 2 3L1 9 10 11 18 9 1033 333 110 11 33093另解：由于 n n 1 n 2 n ，所以原式12 1 22 2 L92 91222 L921 2L 91 9 10 19 1 9 1033062 1采用此种方法也可以得到1 2 2 3 Lnn11 n2 一 ．n n3【答案】 330【例 2 】 1 44 77 10 L49 52 =_________【考点】整数裂【 度】 3 星【 型】 算【解析】S ＝ 1 4 4 7 7 10 L 49 521×4×9＝ 1×4×7＋ 1×4×24×7×9＝ 4×7×（ 10－ 1）＝ 4×7×10－ 1×4×77×10×9＝ 7×10×（ 13－4）＝ 7×10×13－ 4×7×10⋯⋯⋯⋯.49×52×9＝ 49×52×（ 55－ 46）＝ 49×52×55－ 46×49×529S＝ 49×52×55＋ 1×4×2S=（ 49×52×55＋ 1×4×2）÷9＝15572【答案】 15572【例 3 】 1 2 3 2 3 4 3 4 5 L 9 10 11【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】 n n1n21n1n2n311 n n1n2 ，所以，n n44原式11 2 3 41 2 3 4 511 2 3 4L19 10 11 1218 9 10 11 444441910111229704从中可以看出，1232343 4 5L n n11n 2 n 3 n 2n n 14【答案】 2970【例 4 】算：1 3 5357L171921．【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】可以行整数裂．357 3 5 7 9 1 3 5 7 ，8579 5 7 9 11 3 5 7 9 ，817192117 19 21 23 15 17 19 21 ，8所以原式135********L1719212315171921 88135171921231357171921231358819503也可适用公式．原式 3 2 3 3 2 5 2 5 5 2 L19 2 19 19 2 3222 3 5222 5 L19222193353L 193 4 3 5 L 19133353L 193 4 1 3 5 L 19 3而 133353L 193132333L 203234363L20312022128110211219900，441 3 5 L 19 102100 ，所以原式19900 4 100 3 19503．【答案】19503【巩固】算：1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 L 97 98 99 100【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】一般的整数裂各之都是的，本中各之是断开的，此可以将中缺少的上，再行算．原式 A ，再 B2345456767 89L96979899 ，A B 1 234 2 3453456L97989910019798991001011901009880 ，5在知道 A 与 B 的和了，如果能再求出 A 与 B 的差，那么 A 、 B 的就都可以求出来了．A B12342345345645 6 7567 8L9798 99 1004(123345567... 979899)42(221)4(421)6(621)L98(9821)4(2 34363L983 )4(246L98)48149250 241100494801020042所以， A1901009880480102002974510040 ．【答案】 974510040【例 5 】2004 2003 20032002 2002200120012000L 2 1【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】原式2003220012L32122135L20012003212003100222008008其中也可以直接根据公式 1 357L2n 1 n2得出1 35L200120032 1002【答案】2008008【例 6 】 1 1!22!33!L20082008!【考点】整数裂【度】 4 星【型】算【解析】察 22!221(31)213!2! ，3 3!3321(41)32 14!3! ，⋯⋯20082008!20082008 2007L 2 1，(20091)20082007L212009!2008!可，原式1!(2!1!)(3!2!)L(2009!2008!)2009!【答案】 2009!【例 7 】计算：123456L991002345L98 99【考点】整数裂项【难度】 5 星【题型】计算【解析】设原式 =BAA B 122334L98999910011230122 3 412 3 L99 100 101 98 99 100 3【答案】199 100 1013333003B A 1 2 3 2 L 99 2 50 100 5000 B 333300 50003383A 333300 5000328333833283。

小学六年级奥数整数的裂项与拆分练习题
在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法.例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.
(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数.
(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数.
分析：(1)关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1“，就是用连续的整数的和的形式来表达种数;根据(1)知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15);有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;
(2)有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2，3、6、9、10、27个数相加：
364+365;242+243+244;119+120+...+124;77+78+79+...+85 ;36+37+...+45;14+15+ (40)
解答：解：根据(1)知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15);
有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;
根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，
有连续的2，3、6、9、10、27个数相加：
364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85 ;36+37+…+45;14+15+…+40。

B.102
C.156
D.180
3.一根木头长 24 分米，要锯成 4 分米长的木棍.若每锯一次要 3 分钟，锯完一段休息 2
分钟，则全部锯完需要 ( ) 分钟.
A.23
B.25
C.28
D.30
4.一块三角形地，三条边分别 12 米、15 米、9 米，每 3 米种一棵树，一共要种 ( ) 棵
树.
A.9
度从一楼走到五楼王老师家要用 ( ) 分钟. A. 15 4 B.3 C. 20 3 D.以上都不对 43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了 15 棵月季花，每两棵月季花的距离都是 2
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米，那么花坛的周长是 ( )
A.30 B.3 C.28 D.15 44.奶奶折一个纸鹤用 3 分钟，每折好一个需要休息 1 分钟，奶奶从 2 时 30 分开始折， 她折好第 5 个纸鹤时已经到了 ( )
（4）两个数都扩大 10 倍，两个数乘积扩大 100 倍.
A.1
B.2
C.3
D.4
22.用四个数码 1，3，4 和 6 所组成的没有重复数字的所有整数中，是 6 的倍数的有 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
23.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔 2 人发一个苹果，从右面第一
人开始，每隔 4 人发一个桔子，结果有 10 个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友
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地砖上.那么这一排地砖共有 ( ) 块（从下列选项中选出符合条件的答案）. A.39 B.40 C.47 D.49 E.53 39. a 、 b 和 c 是三个自然数，在 a b c 中，不一定成立的是 ( ) A. a 一定是 b 的倍数 B. a 一定能被 b 整除 C. a 一定是 b 和 c 的最小公倍数 D. b 一定是 a 的约数 40.一个圆的直径缩小 2 倍，周长与面积分别缩小 ( ) A.2 倍与 4 倍 B.2 倍与 2 倍 C.4 倍与 4 倍 D.4 倍与 2 倍 41.下列四组数中，两个数只有公约数 1 的数是 ( ) A.13 和 91 B.21 和 51 C.34 和 51 D.15 和 28 42.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了 3 分钟，用同样的速 4

五年级整数裂项练习题一、基础裂项题1. 将28裂项为两个整数的和。

2. 将45裂项为两个整数的和。

3. 将63裂项为两个整数的和。

4. 将80裂项为两个整数的和。

5. 将99裂项为两个整数的和。

二、进阶裂项题1. 将36裂项为三个整数的和。

2. 将48裂项为三个整数的和。

3. 将60裂项为三个整数的和。

4. 将72裂项为三个整数的和。

5. 将84裂项为三个整数的和。

三、混合裂项题1. 将50裂项为两个整数的差。

2. 将65裂项为两个整数的差。

3. 将75裂项为两个整数的差。

4. 将85裂项为两个整数的差。

5. 将90裂项为两个整数的差。

四、应用裂项题1. 小明有23个苹果，他想把这些苹果分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的苹果。

请列举出所有可能的分法。

2. 小红有34个糖果，她想把这些糖果分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的糖果。

请列举出所有可能的分法。

3. 小华有41本书，他想把这些书分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的书。

请列举出所有可能的分法。

4. 小李有56个铅笔，他想把这些铅笔分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的铅笔。

请列举出所有可能的分法。

5. 小王有69个橘子，他想把这些橘子分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的橘子。

请列举出所有可能的分法。

五、拓展裂项题1. 将100裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为10。

2. 将120裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为15。

3. 将140裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为20。

4. 将160裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为25。

5. 将180裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为30。

六、整数裂项与乘法结合题1. 将12裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以2。

2. 将18裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以3。

3. 将24裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以4。

4. 将30裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以5。