12.6(1)实数的运算

实数的运算与性质在数学中，实数是指包括有理数和无理数的数集。

它们可以进行各种运算，并且具有特定的性质。

本文将详细介绍实数的运算法则以及相关性质。

一、实数的四则运算实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面以具体的运算示例来说明这四种运算法则。

1. 加法：实数加法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)，即加法具有结合律。

例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2+3)+4=9，而2+(3+4)=9，所以加法满足结合律。

2. 减法：实数减法是加法的逆运算。

设a、b和c是任意实数，那么a-(b+c)=a-b-c，即减法也具有结合律。

举个例子，对于a=5，b=3和c=1，我们有5-(3+1)=1，而5-3-1=1，因此减法也满足结合律。

3. 乘法：实数乘法的法则是：对于任意的实数a、b和c，有(ab)c=a(bc)，即乘法也具有结合律。

例如，对于a=2，b=3和c=4，我们有(2*3)*4=24，而2*(3*4)=24，所以乘法满足结合律。

4. 除法：实数除法是乘法的逆运算。

对于任意非零实数a、b和c，有a/(bc)=(a/b)/c，即除法也具有结合律。

举个例子，对于a=10，b=2和c=5，我们有10/(2*5)=1，而(10/2)/5=1，所以除法也满足结合律。

二、实数的性质实数具有许多重要的性质，下面介绍几个常见的性质。

1. 封闭性：实数的加法和乘法都具有封闭性，即任意两个实数的和或积仍为实数。

例如，对于任意实数a和b，a+b和ab也都是实数。

2. 结合律：前文已经介绍了加法和乘法的结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(ab)c=a(bc)。

这个性质允许我们对实数进行连续的运算，无需考虑运算的顺序。

3. 交换律：实数的加法和乘法都具有交换律，即a+b=b+a和ab=ba。

举个例子，对于任意实数a和b，a+b和ab都满足这一性质。

4. 零元素和单位元素：加法中的零元素是0，即对于任意实数a，a+0=a。

12.6 实数的运算（作业）一、单选题1．（2019·上海兰田中学七年级期中）下列运算中，正确的是（ ）A 235=B ．()23223-=C ．2 a a =；D ．2a ba b +=+.2．（2019·上海普陀区·七年级期中）在算式333中的□处填上运算符号，使结果为负实数，则填的运算符号为（ ） A ．加B ．减C ．乘D ．除3．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）设a=20，b=(-3)2，39-d=11()2-，则a ，b ，c ，d 按由小到大的顺序排列正确的是（ ） A ．c<a<d<b B ．b<d<a<c C ．a<c<d<bD ．b<c<a<d5．（2019·上海市三门中学七年级期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a b c ++就是完全对称式(代数式中a 换成b ，b 换成a ，代数式保持不变).下列三个代数式：①2()a b -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．（2019·上海七年级课时练习）实数2.6、 √7和2√2的大小关系是（ ）A ．2.6<2√2<√7B ．√7<2.6<2√2C ．2.6<√7<2√2D ．2√2<2.6<√77．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）√2,√3,125的大小关系是（ ）A ．√2<√3<125B ．125<√2<√3C ．√2<125<√3D ．√3<125<√28．（2019·上海市中国中学七年级期中）如果0＜x ＜1,比较x 、1xx 、2x 的大小正确的是( ) A ．1 xx 2x >xB ． x 1x>x>2x C ．1 xx >x>2xD ．以上答案均不对9．（2019·上海全国·七年级单元测试）已知01x <<，那么在21,,x x x x中，最大的数是（ ）A ．xB ．1xC xD ．2x10．（20197－1与72的大小，结果是( ) A ．后者大 B ．前者大 C ．一样大D ．无法确定二、填空题11．（2020·上海静安区·七年级期中）比较大小：22-_________3-（填“<”或“=”或“>”）．12．（2020·上海嘉烁教育培训有限公司）计算：()233x =____________.13．（20205（填“＞”或“＜”或“=”） 14．（2019·上海市闵行区七宝第三中学七年级月考）计算：()()()32a a a -÷-÷-=_________.15．（2019·上海市廊下中学七年级月考）如果定义a ⊕b ＝a ﹣2b ，计算：（3⊕x ）﹣2＝_____．16．（2019·上海青浦区·青教院附中七年级期中）在数学中，为了书写简便，我们记k=1kn∑=1+2+3+…+(n-1)+n ，nk=1(x+k)∑=(x+1)+(x+2)+(x+3)+…+(x+n)，则化简3k=1[(x-k)(x-k-1)]∑的结果是______________________.17．（2019·上海市同洲模范学校七年级月考）对于任意实数m 、n ，都有m ▲n=3m+2n ，则[2▲（-3）▲（-1）]的值为__________。

§12.6实数的运算（1）教学目标：1．知道有理数的运算法则、性质和顺序在实数范围内仍然适用，能根据相关运算法则、性质和顺序进行实数运算；2．了解实数运算的两条性质． 教学重点：实数的运算法则及简单的计算． 教学难点：较为复杂的实数运算． 教学过程：一、 复习引入： 回忆：1．有理数有哪些运算性质？2．有理数的运算顺序是什么？师：我们学了一种新的运算“开方”，并且了解了有理数和无理数统称为实数．那么我们之前所学的有理数的运算就可推广为实数的运算． 实数如何运算？实数的运算与有理数的运算一致．1．实数的加、减、乘、除、乘方等运算的意义与有理数运算的意义一样．2．有理数的运算法则和运算性质及顺序，在实数范围内仍旧适用，其中开方和乘方是同级运算． 有关运算律中的字母的范围为实数．二、学习新课例题1：不用计算器，计算：⑴ ⑵2132÷⨯； ⑶3)5( ； ⑷3)323(÷- 解：⑴ =1(232+- （乘法对于加法的分配律）问1：⑴类似于我们学过的什么运算？问2：此题先计算什么？= （除法法则） 2= （乘法交换律及平方的意义）=（3）32= （乘方的意义）=（4）(3-问3：此题先计算什么？(3=- 问4：接下来如何计算？3=- 分配律）问5：3313231)3(2⨯-⨯= 23-=（平方根的意义及除法法则）练习：书P24页 第1题例2：.用计算器计算，直接写出计算器显示的结果： ⑴65⨯、65⨯; ⑵65、65. 问：你从上题的计算结果中发现什么结论？这个规律在一般情况下适用吗？ 【小结】.当a ≥0、b ≥0= 当a ≥0、b ＞0ba ba=．练习：不用计算器，计算：（1）327⨯; （2 （3例题3 不用计算器，计算：97÷；(3)(- 22.⨯解：（1）问1：此题的运算顺序是什么？41679)7()3(22==+=+-⑵问2：此题的运算顺序是什么？3)3()3()3()3(27979===÷-.⑶问3：此题的运算顺序是什么？(-3===+⑷问4：此题可运用什么乘法公式计算？22)23()23(+⨯-[][].1)23()2()3()23()23(2222=-=-=+⨯-=练习：书P24页 第2题三、课堂练习 A 组1．计算：22-B 组1．计算：.)12()23()4(;205)131)(3(;)10()41()2(;)32()3)(1(0212223-+-⨯+-+-⨯+--C 组计算：))2007200644四、课堂小结 1．实数的运算．2．实数计算中的两条性质．五、作业布置练习册§12.6（1）§12．6 实数的运算（2）教学目标：1、 知道准确数、近似数、精确度、有效数字等概念的含义；2、 掌握表述近似数精确度的两种方法，会按指定精确度取近似数，会根据所给近似数判断其精确度.教学重点：对近似数用两种方法表示其精确度.教学难点：对精确到十位及以上的数的精确度的确定. 教学过程：一、准确数、近似数师：在实数运算中，常常要进行近似计算，现在我们对近似计算中有关的一些概念和问题，简要地进行整理和讨论.问1：我国的“神舟六号”飞船搭载2位航天员进入太空轨道绕地球飞行.飞船的3个舱内有发动机52个，飞船上共有设备600余台，元器件10万多个.试着说说在上述数量中，哪些是准确数，哪些近似数？问2：我国的科学考察队在2005年对珠穆朗玛峰的高度进行测量，得出它的高度约为8844.43米，这个表示高度的数是准确数还是近似数？ 说明：通过测量得到的数据一般都是近似数. 小结：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）.议一议：下列数据中，哪些是近似数？哪些是准确数？ （1）上海科技馆的建筑面积约98000平方米； （2）我们班里有9位同学的身高为1.65米； （3）地球赤道的半径约6378千米；（4）据国家统计局在2005年12月公布的经济普查结果，我国2004年GDP 总量达到159878亿元. 二、近似数精度的表示方法 1、近似数的精确度问：用四舍五入法得到：14.3≈π、 3.1415926π≈，哪个更接近π？ 小结：对于近似数，要考虑它与相应准确数的接近程度.近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度.2、近似数的精确度的两种表示方法：近似数的精确度通常有以下两种表述方法： （1）指定精确到哪一位数位例如：指明圆周率π的近似数“保留两位小数”（或“精确到百分位”，或“精确到0.01”），这时利用四舍五入法得到14.3≈π. （2）指定保留几个有效数字另一种近似数精确度的表示方法是指定保留几个有效数字.对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字（significant figure ）.如，近似数3.1416，从左边第一个不为零的数字“3”起，往右到末尾数字“6”为止的所有数字是：3、1、4、1、6，所以，它的有效数字有五个，为3、1、4、1、6.3、判断近似数的精确度例题1 指出下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？ （1）2000；解：近似数2000精确到个位； 它的有效数字有四个，为2、0、0、0. （2）0.618；解：近似数0.618精确到千分位；它的有效数字有三个，为6、1、8. （3）32.50解：近似数32.50精确到百分位；它的有效数字有四个，为3、2、5、0.例题2：指出下列近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？（1）51010.5⨯ 师：因为5.10510⨯=510000 近似数51010.5⨯精确到千位. 它有三个有效数字：5、1、0.小结：对于用科学记数法na 10⨯表示的近似数，其精确度看前面一个因式a 的最后一个数字的在原数中的位置；其有效数字由a 确定. （2）21010.5-⨯（3）7.20万通过以上例题我们知道如何判断一个近似数的精确度，如何根据要求求一个数的近似值呢？ 例题3 根据要求求出3565.37的近似数： （1）精确到十分位. （2）精确到个位. （3）精确到十位.问：近似数3570精确到哪一位？问：想想数还可以用什么方法表示？小结：对一个数取近似值，要求精确到十位或十位以上，可以用科学记数法表示. （4）保留五个有效数字 （5）保留四个有效数字. （6）保留三个有效数字.问：这样的表示有问题吗？问：这样的表示有问题吗？问：如何正确表示？补充：对3595.37保留三个有效数字：练习：月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球相距约为363300km ，在远地点时与（1）精确到万位；（2）保留三个有效数字.三、课堂练习；课本P27，课后练习1、2、3 A 组1.举例现实生活中用准确数和近似数表示量多少的两个实例2.填空：（课本P27/2）（1）近似数3.45有______个有效数字，它们是_________； （2）近似数3.450有______个有效数字，它们是_________； （3）近似数3.0450有______个有效数字，它们是_________； （4）近似数0.0450有______个有效数字，它们是_________； （5）近似数-0.4500有______个有效数字，它们是_________； B 组1.下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？（课本P27/3）（1）40040； （2）-0.250； （3）5.50万；（4）4105.5 2.“神州六号”飞船在太空中飞行的速度达到7.820185千米/秒，按下列要求分别取这个数的近似数：（课本P27/4）（1）精确到十分位； （2）保留四个有效数字.3.按照下列精确度求近似数： （1）3545000（精确到万位）（2）30545000（保留三个有效数字）☆问：用四舍五入法得到：小林身高约为1.6米与小林身高约为1.60米，两者有什么区别？ 四、课堂小结：今天主要学习了什么？五、布置作业：练习册，习题12.6（2）§12.6实数的运算（3）教学目标：1、 能按精确度要求使用计算器进行实数的运算，进一步熟悉实数混合运算的顺序. 数的表示准确数3、 通过解决实际应用问题.教学重点及难点：能按精确度要求使用计算器进行实数的运算，体会实际问题过程化，将简单问题数学化的过程. 教学过程： 一、 复习引入：用四舍五入法，按要求取近似值 （1）1.5952（精确到0.01 ） （2）0.05069 （保留2个有效数字） 问：什么是有效数字?（3）84960（保留3个有效数字）我们前面还学习了不用计算器进行实数的运算，知道了有理数的运算法则、运算性质及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用.开方和乘方是同级运算.若用计算器进行实数的运算你会吗？这就是我们今天要学习的第一个问题. 二、 学习新知：1、按精确度要求使用计算器进行实数的运算 例题6：按指定的精确度计算 ：（1）3526.037-+（精确到0.01）；问：这个算式含有哪几种运算？按怎样的运算顺序？问：题中的精确度是对哪一步的运算结果做要求？ 问：有不同意见吗？教师讲解:在进行近似计算时，中间过程中的近似数一般比指定的精确度要求多一位，对最后所得结果按指定精确度要求取近似值. 解：3526.037-+ ≈6.083+0.26-1.710 ≈4.63通过此题的计算总结用计算器进行实数的运算时需注意什么？也可向计算器直接输入算式进行计算，那么只要对最后显示的结果按指定精确度要求取近似值3526.037-+≈4.632786584 ≈4.63.比较那种输入方法较简单呢？所以第二小题也用直接输入的方法 （2）523)85(÷⨯-解：523)85(÷⨯-≈-0.242061459练习：P29页 第1大题、第2大题、 1、（2）10120-直接输入时注意先输入括号()120-2、（2）直接输入方法注意点也和上同，253-得输入方法也要先输入括号.我们实际生产生活中有很多需要运用实数运算的问题，这就是我们今天要学习的第二个问题.2、运用实数的运算的方法解决较简单的实际问题 例题7： 已知gR v =1 ，gR v 22=，当R ≈6.378×106，g ≈9.807时，求1v 和2v 的近似值（保留三个有效数字）. 问：如何求？问：怎么求出结果师生共同操作,注意输入根号后要先输入括号()610378.6807.9⨯⨯,得到输出结果是7908．795484，结果要保留三个有效数字，应取多少呢？问：还有什么方法可以简化计算呢？例题8：伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h (米)与下降的时间t (秒)的关系可以近似地表示为h=4.9t²(不计空气阻力).一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有多少秒？（精确到1秒） 问：此题已知什么？要求什么？怎样求？问：由t 9.49202=，怎样求得t 呢？问：有不同的意见吗？例9、在地面上围建一个花坛，底部形状设计如图所示，它的外周由圆弧ABC 与正方形ADEC 的三条边组成.已知圆弧的半径r=OA=AD ，∠AOC=60°，正方形ADEC 的面积为30m 2，求花坛底部的周长（保留三个有效数字）.问：1、此题要求的周长包括哪些部分 2、如何求正方形的边长呢？4、如何求圆弧ABC 的弧长呢？5、此题中π取多少呢？有不同意见吗？6、18030300⋅π的结果保留几个有效数字呢？课堂练习：课本P29 3 A 组1. 计算（精确到0.01） （1）36.23-； （2）10120-； （3）()2415+.2. 计算（1） )27(15.4+-（精确到百分位）；（2） 3425362--+（保留三个有效数字）. B 组1. ）（精确到计算：1.05332+ 236.25732.13≈≈，其中2、人站在距离地面h 千米的高处，能看到的最近距离h d 112≈（单位：米）。

实数的计算知识点总结一、实数的四则运算实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

在进行实数的四则运算时，需要遵循基本的运算法则，包括交换律、结合律、分配律等。

具体来说，假设a、b、c为实数，则有以下计算规则：1. 实数的加法：a + b = b + a2. 实数的减法：a - b ≠ b - a3. 实数的乘法：a × b = b × a4. 实数的除法：a ÷ b ≠ b ÷ a在进行实数的四则运算时，需要先将实数转换为相同的形式，然后再按照各种运算法则进行计算。

例如，计算(-3) + 5，需要将-3转换为5的形式，得到(-3) + 5 = 5 + (-3) = 2。

二、实数的比较在实数的比较中，需要了解实数大小的比较规则，包括大于、小于、大于等于、小于等于等。

具体而言，假设a、b为实数，则有以下比较规则：1. 实数的大小比较：若a > b，则a称为大于b；若a < b，则a称为小于b；若a = b，则a 称为等于b。

2. 实数的大小顺序：对于任意两个实数a和b，它们之间具有大小顺序，即a > b、a = b 或a < b中的一种关系必定成立。

在实数的比较中，需要注意实数的符号、绝对值、小数点位数等因素，通过这些因素进行实数的大小比较。

例如，比较-3和5的大小关系时，由于5大于0且-3小于0，因此有-3 < 5。

三、实数的绝对值实数的绝对值是一个非负的数值，表示实数到原点的距离。

对于任意实数a，其绝对值记作|a|，具体定义为：1. 若a ≥ 0，则|a| = a；2. 若a < 0，则|a| = -a。

实数的绝对值可以理解为实数在数轴上的坐标到原点的距离，因此它是非负的。

在实数的计算中，经常需要对实数取绝对值，例如，计算|(-3)|，需将-3转换为3的形式，得到|(-3)| = 3。

四、实数的幂运算实数的幂运算是指对实数进行整数次幂的运算。