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奥鹏福建师范大学21年8月《近世代数》网考复习题答案.doc

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单选题

1.设，则 ( ) A. B. C. D.

答案: D 2.的全体元素用循环置换的方法写出来就是（ ）

A.(12),(23),(123),(132)

B.(1),(23),(123),(132)

C.(1),(12),(13),(23),(123),(132)

D.(1),(12),(23),(123),(132)

答案: C

3.设，则（ ） A. B. C. D.

答案: C 4.对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射则=（ ） A. B. C. D.

答案: D 5.（ ）

A.(12)(34)

B.(1234)

C.(123)(4)

D.(3)(124)

答案: A

6.设(Z,+)是整数加群，，求[Z:H]=( )

A.2

B.3

C.4

D.5

答案: D

7.设，则 ( ) A. B. C. D.

答案: C 8.设，则（）

A.> B.

C.

D.

E.

答案: C

9.对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射则=（） A. B. C. D.

答案: C 10. ( )

A.（12）（34）

B.（1234）

C.（123）（4）

D.（3）（124）

答案: A 11.的全体元素用循环置换的方法写出来就是（）

A.(12),(23),(123),(132)

B.(1),(23),(123),(132)

C.(1),(12),(23),(123),(132)

D.(1),(12),（13），(23),(123),(132)

答案: D

12.在整环Z中，6的真因子是（） A. B. C. D.

答案: B

判断题

1.对称群一定不是交换群

T.对

F.错

答案: F

2.子群关于同一元素的左陪集与右陪集可能相等。

T.对

F.错

答案: T

3.已知是6阶群，则可能存在4阶子群。

T.对

F.错

答案: F 4.设是有单位元的交换环，是的理想，则是域。

T.对

F.错

答案: F

5.环中理想的和还是理想。

T.对

F.错

答案: T

6.4元置换（1243）是偶置换

T.对

F.错

答案: F

7.有单位元的环中所有非零元全体可构成一个群。

T.对

F.错

答案: F

8.每一个n元置换表示成对换乘积的对换个数奇偶性不变

T.对

F.错

答案: T

9.设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么元的象不唯一。

T.对

F.错

答案: F 10.设是的子群，若对于，，有，则是的正规子群。

T.对

F.错

答案: T

11.整环中，既约元一定是素元

T.对

F.错

答案: F

12.设是整数集，规定，证明：关于所定义的运算构成交换群

T.对

F.错

答案: T

13.每一个n元置换都能写成若干个对换的乘积

T.对

F.错

答案: T

14.主理想环一定是欧氏环

T.对

F.错

答案: F

15.已知是8阶群，则可能存在5阶子群

T.对

F.错

答案: T 16.对称群中置换（1345）是偶置换。

T.对

F.错

答案: F

17.群中指数为2的子群一定是正规子群。

T.对

F.错

答案: T

18.已知是有限群的子群，和分别表示和的元素个数，则定能整除。

T.对

F.错

答案: T

19.设是有单位元的交换环，是的极大理想，则是域。

T.对

F.错

答案: T

20.环中极大理想的和还是极大理想。

T.对

F.错

答案: F

21.群关于子群的左陪集和右陪集个数不一定相等。

T.对

F.错

答案: F

22.剩余类加群Z12有6个生成元。 T.对

F.错

答案: F

23.设是整数集，规定，则关于所定义的运算构成交换群。

T.对

F.错

答案: T

24.整数集 QUOTE ，按通常数的减法“-”运算，构成半群。

T.对

F.错

答案: F

25.两个左陪集的乘积是左陪集。

T.对

F.错

答案: F

填空题

1.每一个n元置换都能写成##对换的乘积。

答案: 若干个

2.4元置换（1243）是##。

答案: 奇置换

3.设，则 ## 。

答案: 4.的全体元素用循环置换的方法写出来就是##。

答案: (1),(12),(13),(23),(123),(132)

问答题

1.设为素数，证明：

（1）对 QUOTE ，总有；

（2）域 QUOTE 中全部元是方程的全部根。

答案: （1） 对任意的整除，因此若为奇数，结论显然成立；若为2，则，结论也成立。

（2）域 QUOTE 中非零元全体构成乘法群 QUOTE ，其阶为 故对任意的从而即是方程的全部根。而也是方程的全部根。因此域 QUOTE 中全部元是方程的全部根。

2.设是交换群.证明: 中所有阶数有限的元素的集合按的运算构成的正规子群

答案: 先证是G中有限阶元素.这就证明了集合按的运算构成的子群.

再证.这就证明了是的正规子群.

3.求出模剩余类环 QUOTE 的所有理想和所有极大理想。 答案: 经检验，上述都为理想。因此 QUOTE 的所有理想为 QUOTE 。

其中最大理想为 QUOTE

4.若的所有理想都由一个元生成，称为主理想整环。设是主理想整环，都是的理想，如果对任意两个都有或, 证明：是的理想.

答案: 证明：因为对任意的，存在，使。不妨设，则，。因此关于减法和乘法封闭，从而成为的一个子环。 又对任意的，不妨设对任意的， 因此是的理想.

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2010级《高等代数》(下)期末试卷(A)

2010级《高等代数》(下)期末试卷(A)

第 1 页 共 2 页 南京信息工程大学试卷

2010 －2011学年 第 2 学期 高等代数（下） 课程试卷( A 卷)

本试卷共 2 页；考试时间 120分钟；任课教师 杨兴东 昝立博；出卷时间2011年 6月

学院 专业 班

学号 姓名 得分

一、填空题（本题满分为20分）

1） 设A是实正交矩阵，则A= ；1A= ；A的实特征值为 .

2) 设矩阵A=11111与B=200010000相似，则= ，= .

3）设222333111A，则A的不变因子为 ，初等因子为 .

4) 二次型222123122331(,,)fxxxxxxxxx的秩为 .

5) 设矩阵aA01020101有一个特征值0，则a ;A的另一个特征值为 .

二、选择题（本题满分为20分）

1）下列矩阵中不可以对角化的是 （ ）

A)

021210101； B）000100002； C）000000012； D）300220111.

2) n阶实对称矩阵A正定的充要条件是 （ ）

18春福师《高等代数选讲》在线作业一

18春福师《高等代数选讲》在线作业一

󰀀------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(判断题) 1: 若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 2: 若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中的多项式, 且 u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则 (f(x),

g(x)) = 1.

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 3:

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 4: 交换行列式的两列，行列式的值不变

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 5:

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 6: 对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 7: 正交矩阵的行列式等于1或-1

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 8:

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 9:

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 10: 若f(x)|g(x)h(x)，则有f(x)|g(x)或f(x)|h(x)

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 11:

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 12:

A: 错误

B: 正确

正确答案:

(判断题) 13: 若矩阵A的秩是r，则A的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零．

A: 错误

B: 正确

正确答案:

󰀀------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

福师《高等代数选讲》在线作业一15秋 100分答案

福师《高等代数选讲》在线作业一15秋 100分答案

福师《高等代数选讲》在线作业一

一、判断题（共 50 道试题，共 100 分。）

1. 对于任意矩阵，它的行空间的维数等于列空间的维数

A. 错误

B. 正确

正确答案：B

2. n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数

A. 错误

B. 正确

正确答案：A

3. n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积

A. 错误

B. 正确

正确答案：B

4. 两个等价的向量组，一定包含相同个数的向量。

A. 错误

B. 正确

正确答案：A

5. 初等变换不改变矩阵的秩。

A. 错误

B. 正确

正确答案：B

6. 双射既是单射也是满射

A. 错误

B. 正确

正确答案：B

7. 如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于1或-1

A. 错误

B. 正确

正确答案：B

8. 若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．

A. 错误

B. 正确

正确答案：A

9. 若方阵A、B满足AB=BA，则有A^2-B^2=(A+B)(A-B)

A. 错误

B. 正确

正确答案：B

福建师范大学15春《高等代数选讲》在线作业二满分答案

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高等代数选讲 福师《高等代数选讲》在线作业二

一,判断题

1. 矩阵A的行列式不等于零，那么A的行向量组线性相关。

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：A

2. 实对称矩阵的特征根一定是实数。

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

3. 欧氏空间中的正交向量组一定线性无关

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

4. 在矩阵的初等变换下行列式的值不变

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：A

5. 矩阵的乘法不满足交换律，也不满足消去律。

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

6. 两个矩阵A与B，若A*B=0则一定有A=0或者B=0

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：A

7. 零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)

A. 错误

B. 正确

? 正确答案：B

8. 初等变换不改变矩阵的秩。

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

9. 若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零则A的秩必然大于等于r

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

10. 对于同阶矩阵A、B，秩（A+B)≤秩（A)+秩（B）

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

11. 排列 （1，2，3，4，...,2006)是一个偶排列

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

12. 若n阶方阵A的行列式等于0，则A的行向量是线性相关的

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

13. 相似矩阵有相同的特征多项式。

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

14. 若方阵A、B满足AB=BA，则有A^2-B^2=(A+B)(A-B)

A. 错误

B. 正确

?

正确答案：B

15. 若x∈A∪B,则x∈A且x∈B

A. 错误

B. 正确

?

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