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分式的化简与求值

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分式的化简与求值

一、分式的概念及性质

若用A、B表示两个整式，则BA就叫做分式，其中：B中含有字母且B≠0。

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。即：MBMABA，MBMABA（M是不为零的整式）。

（1） 分式中分子、分母与分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。即：BABA，BABABA。

（2） 在分式运算中，可以把一个分式的分子、分母的公因式约去，我们称这一过程叫分式的约分。

（3） 在分式运算中，可以把n个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式，我们称这一过程叫分式的通分。

二、例题与练习：

（一）巩固概念

例1 当x取何范围内取值时，下列分式有意义？（1）4422xxx，（2）1222xx

例2 当x取何值时，分式212xxx的值为零？

例3 将分式3243xxx分解成部分分式。

例4 当x取何整数时，下列各式中的y值也是整数？

（1）16xy； （2）31xxy； （3）131xxy；

（5）222xxxy （6）13122xxxy

（二）化简与求值

例5 化简下列分式：

（1）1132xxxx （2）babbabbabababa （3）222)(11)2(11)1(11nxxx

（4）168421161814121111aaaaaa

（5）1271651231222xxxxxx

（6）4192372252132xxxxxxxx

（7）abbcaccbacacbcabbacbbcacabacba222222 （a、b、c两两不相等）

（8）199919972532312xxxxxx

（9）dcbacbadcbabacbaab

（10）bacacbcbabacacbcba111111111111222

例6 若abc＝1，求111ccacbbcbaaba的值。

例7 设a、b、c、d为正数，且dcba，求证：dcdbcaba。

例8 若acbabcbaccba，求abccbcaba))()((的值。

例9 已知：0132xx，求441xx的值；

例10 已知1czbyax，0zcybxa，求222222czbyax的值；

例11 已知0zyx，0222bazacycbx，求abzcaybcxzcybxa222的值；

例12 证明：无论a为何整数，分数1173242aaa均不可约；

例13 已知zyx,,是实数，且0xyz，,414,414,414222222xzzzyyyxx 求zyx的值；

（三）分式恒等变形

例14 求证：abcddcbaabcdcbaabcbaabaa111111111111

例15 求证：yzxzzxyxyzyzxyzxyxyzx222

例16 已知：bayx，求证：bayxbayxbybyaxax222222

例17 求证：accbbabcacbaabcbaccabacb222

例18 已知：31111111zyxzyx，求证：xzzyyx,,中至少有一个的值为2，

三、课后练习

1．在分式222xxx中，当x等于什么数时，分式的值是0？当x等于什么数时，分式无意义？

2．化简1112111222222xyxyxyyyxyxyx

3．化分式12154xxx为部分分式；

4．若112xxx，求1242xxx的值。

5．已知21,012aaaxxx，求1242xxx的值；

6．已知0132aa，求1825222345aaaaa的值；

7．已知：x＋y＋z＝3a（a≠0，且x、y、z不全相等）

求222)()()())(())(())((azayaxaxazazayayax的值。

8．求方程6013324132nnn的正整数解。

9．已知：0cba，求证：0111222222222cbabacacb；

10．已知：0cba，且0abc，求证：1222222222abcccabbbcaa；

11．已知：0cba，0abc，且cba,,互不相等，求证：9bacacbcbacbabacacb；

12．已知：acaccbcbbaba32，求证：0598cba

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新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的化简求值(1).讲义教师版

新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的化简求值(1).讲义教师版

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内容 基本要求 略高要求 较高要求

分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式的值为零的条件

分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型 能用分式的性质进行通分和约分

分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题

一、比例的性质：

⑴ 比例的基本性质：acadbcbd，比例的两外项之积等于两内项之积.

⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )abcdacdcbdbadbca交换内项

交换外项

同时交换内外项

⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：acbdbdac

⑷ 合比性：acabcdbdbd，推广：acakbckdbdbd（k为任意实数）

⑸ 等比性：如果....acmbdn，那么......acmabdnb（...0bdn）

二、基本运算

分式的乘法：acacbdbd

分式的除法：acadadbdbcbc

乘方：()nnnnnaaaaaaaabbbbbbbb个个n个＝(n为正整数)

整数指数幂运算性质：

⑴mnmnaaa(m、n为整数)

⑵()mnmnaa(m、n为整数)

⑶()nnnabab(n为整数) 知识点睛 中考要求

分式的化简求值（1）

- 2 - ⑷mnmnaaa(0a，m、n为整数)

负整指数幂：一般地，当n是正整数时，1nnaa(0a)，即na(0a)是na的倒数

分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，ababccc

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，acadbcadbcbdbdbdbd

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

分式的化简与求值

分式的化简与求值

分式的化简与求值

一、分式的概念及性质

若用A、B表示两个整式，则BA就叫做分式，其中：B中含有字母且B≠0。

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。即：MBMABA，MBMABA（M是不为零的整式）。

（1） 分式中分子、分母与分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。即：BABA，BABABA。

（2） 在分式运算中，可以把一个分式的分子、分母的公因式约去，我们称这一过程叫分式的约分。

（3） 在分式运算中，可以把n个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式，我们称这一过程叫分式的通分。

二、例题与练习：

（一）巩固概念

例1 当x取何范围内取值时，下列分式有意义？（1）4422xxx，（2）1222xx

例2 当x取何值时，分式212xxx的值为零？

例3 将分式3243xxx分解成部分分式。

例4 当x取何整数时，下列各式中的y值也是整数？

（1）16xy； （2）31xxy； （3）131xxy；

（5）222xxxy （6）13122xxxy

（二）化简与求值

例5 化简下列分式：

（1）1132xxxx （2）babbabbabababa （3）222)(11)2(11)1(11nxxx

（4）168421161814121111aaaaaa

（5）1271651231222xxxxxx

（6）4192372252132xxxxxxxx

（7）abbcaccbacacbcabbacbbcacabacba222222 （a、b、c两两不相等）

5、有条件的分式的化简与求值-培优 数学张老师

5、有条件的分式的化简与求值-培优 数学张老师

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5、有条件的分式的化简与求值

给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．

解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件；既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：

1．恰当引入参数；

2．取倒数或利用倒数关系；

3．拆项变形或拆分变形；

4．整体代人；

5．利用比例性质等． 、

【例l】若,addccbba则dCbadcba的值是

(“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 引入参数，利用参数寻找a、b、c、d的关系．

【例2】如果a+b+C=0，,0312111Cba那么22)2()1(ba2)3(C的值为( )．

A．36 B．16 C．14 D．3

(2005年“CASl0杯”武汉市选拔赛试题)

思路点拨联想到(a+b+c)2的展开式，解题的关键是对条件a+b+c= 0的变形．

【例3】 已知xyz=1，x+y+z=2，,16222zyx求代数式zxy21yzxxyz2121的值．

(北京市竞赛题)

思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2一x一 Y，x=2- Yz，y=2一x—z，从变形分母人手．

【例4】 已知,1325))()(())()((accbbaaccbba求acccbbbaa的值．

(“北京数学科普日”攻擂赛试题)

中考复习专题：分式的化简求值(选择适合的数值代入求值)

中考复习专题：分式的化简求值(选择适合的数值代入求值)

第1页中考复习专题：分式的化简求值

一、直接代入求值

1．先化简，再求值：(2󰝔+2

󰝔2−1+1)÷󰝔+1

󰝔2−2󰝔+1，其中x＝4．

2．先化简，再求值󰜽−3󰜽−2÷(󰜽+2−5󰜽−2)，其中a＝﹣2．

3．先化简，再求值：(3󰝔+1−󰝔+1)÷󰝔2−4󰝔+4󰝔+1，其中x＝﹣6．

4．先化简，再求值：（󰝔+3

󰝔2−󰝔−󰝔

󰝔2−2󰝔+1）÷2󰝔−3󰝔，其中x满足x2﹣2x﹣1＝0．第2页二、选择适合的数值代入求值

1．先化简(1−1󰝔+2)÷󰝔2+2󰝔+1

󰝔2−4，然后在﹣1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．

2．先化简，再求值：(3󰜽+1−󰜽+1)÷󰜽2−4

󰜽2+2󰜽+1，其中a从﹣1、1、﹣2、2中取一个你认为合适的数代入求值．

3．先化简，再求值：(1+󰝔−1󰝔+1)÷󰝔2−2󰝔+1

󰝔2−1，然后从﹣2＜x＜2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．

4．先化简，再求值：(󰝔+1+1󰝔−1)÷󰝔3

󰝔2−2󰝔+1，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．第3页中考复习专题：分式的化简求值课后作业

1．先化简，再求代数式(1󰝔−1−󰝔−3

󰝔2−2󰝔+1)÷2󰝔−1的值，其中x＝2．

2．先化简，再求值：(1−2󰝔−1)÷󰝔2−6󰝔+9󰝔−1，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．

3．先化简：(󰝔+1󰝔−1+1)÷󰝔2+󰝔

󰝔2−2󰝔+1+2−2󰝔

󰝔2−1，然后从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的整数为x的值代入求值．

4．先化简，再求值：(3󰝔−1−󰝔−1)÷󰝔−2

󰝔2−2󰝔+1，其中x满足方程x2+x﹣5＝0．第4页5．化简求值：(󰝔−1+2−2󰝔󰝔+1)÷󰝔−󰝔21+󰝔，其中x2﹣2x﹣3＝0．

6．先化简󰝔2−2󰝔+1

󰝔2−1÷(󰝔−1󰝔+1−󰝔+1)然后从﹣3＜x≤1中选取一个合适的整数作为x的值代入求值．