ARCH学习总结

ARCH学习

1. ARCH模型

定义：

均值方程 ttth ~..tiid 2()0()1ttEE 01atjtjjh

特性：A.无条件均值 B.条件均值 C.无条件方差 Ｄ．条件方差

高铁梅版本总结

自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是

特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。

自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点，但时间序列同

样也存在异方差特征，在金融数据上这一特征很明显。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想

是时刻 t 的ut 的方差(= 2 t)依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于 û2t- 1 。

ARCH模型

如果 ut 的均值为零，对 yt 取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：

即第一个方程式为均值方程。

假设在时刻 ( t 1 ) 所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的条件分布是：

~ 也就是，ut 遵循以0为均值，(0+1u2t-1 )为方差的正态分布。

由于(6.1.7)中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：

通常用极大似然估计得到参数0, 1, 2, , k, 0, 1的有效估计。

容易加以推广，ARCH (p)过程可以写为： （6.1.8）

这时方差方程中的(p+1)个参数0, 1, 2, , p也要和回归模型中的参数0, 1, 2,

, k一样，利用极大似然估计法进行估计。

如果（6.1.8）中方差不存在异方差，则02)var(ttu

即：

相应的检验，对（6.1.8）建立方程，如果显著为0，即不存在异方差，否则存在异方差，

等价于存在ARCH效应。

为使 ut2 协方差平稳，所以进一步要求相应的特征方程： （6.1.9）的根全部位于单位圆外。

上式等价于

ttkkttuxxy110

ktkttttxxxy221101)(E

tu)(,02110tuN

21102)var(tttuu

222221102)var(ptpttttuuuu

021p

01221ppzzz1...21naaaARCH的检验 检验残差是否存在ARCH效应的方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。

1. ARCH LM检验 ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有

ARCH，运行如下回归：

式中 ût 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归

有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验；

（2）TR2 统计量是Engle’s LM检验统计量，它是观测值个数 T 乘以回归检验的R2 ；

注：原假设：

对应的Eviews操作 1.首先建立变量R的均值方程； 2.选择View/Residual Test / Heteroskedasticity Test /ARCH 注：这里需要设置滞后阶数，设定了阶数后结合阶数的显著性检验和LM统计量选择出最优的阶数。

Eviews6和5有所区别。

2. 残差平方相关图检验 原理：显示直到所定义的滞后阶数的残差平方ût2的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的

Ljung-Box统计量。

方法：如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关应为0，且Q统计量应不显著。

操作：Residuals Tests/ Correlogram Squared Residuals

说明：这里没有懂，怎么才算为0，Q统计量也忘记了。

对示例6.1的总结

1. 对原始序列R建立均值方程，观察拟合情况； 2. 检验残差是否存在ARCH效应

A. 观察残差的散点图，如果存在ARCH效应，则存在聚集效应，如果没有则，较为平稳；

B. 进行残差检验，方法有以上两个。

对结果进行分析（注：两个检验的原假设都是同方差，而PAC为0和Q统计量不显著（同方差））

对示例6.2的总结 先观察残差图，如果PAC越过2倍标准差，则说明存在ARCH效应，第一次出现，则为1阶；

进而进行LM检验时可以有针对性；

注意：

1.发现Eviews一个缺陷，如果存在ARCH效应，则在定义阶数时，无法定义单个阶数，必须是连续的效应，但这常会造成一部分系数并不显著，因此造成错误的估计。只能通过代码实现，收集这方面的内容。

2.在进行完ARCH模型的估计以后，需要再对新方程估计是否仍然存在ARCH效应。

理想状况：LM统计量伴随概率大于0.1，PAC显著为0，如果不理想作何处理？

GARCH模型

定义：用一个或两个 t2 的滞后值代替许多 ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型

(generalized autoregressive conditional heterosce- dasticity model，简记为GARCH模型)。在GARCH

模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。 tqtqttuuu221102ˆˆˆ标准化的GARCH(1,1)模型中：

均值方程：

方差方程： 由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所以它被称作条件方差，式（6.1.18）也被称作条件

方差方程 。

(6.1.18)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：

1．常数项（均值）：

2．用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息： u2t-1（ARCH项）。 3．上一期的预测方差： 2t-1 （GARCH项）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括

号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中

不存在滞后预测方差2t-1的说明。 GARCH(1,1)

GARCH（2t-1） ARCH（u2t-1）

高阶GARCH(p, q)模型

只要(L)和(L)没有相同的根并且(L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当0=0/(1-(L))，(L)=(L)/(1-(L))的所有系数都非负时，这个正数限定条件才会满足。 注意：需要观察的变量为所有系数为非负，且系数之和小于1。

IGARCH模型

如果限定GARCH模型的方差方程中的参数和等于1，并且去掉常数项： （6.1.27）

其中

（6.1.28）

这就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的单整GARCH模型（Intergrated GARCH Model，

IGARCH）

约束及回推

1．约束

在估计一个GARCH模型时，有两种方式对GARCH模型的参数进行约束（restrictions）。一个选择是

IGARCH方法，它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为1。另一个就是方差目标（variance target）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常数项设定为GARCH模型的参数和无条件方差的方程：

（6.1.29）

这里的是残差的无条件方差。

问题：设定约束的目的是什么？在Eviews中怎么实现W的计算。

tttuyγx

21212tttu

22012

122

)()(ttp

iitiq

jjtjt

LuLu









p

iitiq

jjtjtu

12

1221

11

p

iiq

jj

1

11

p

iiq

jj



qp

iij1j121ˆ2．回推

在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的

指数平滑算子

其中：是来自均值方程的残差，是无条件方差的估计：

平滑参数λ为0.1至1之间的数值。也可以使用无条件方差来初始化GARCH过程：

问题：回推的目的是什么？

GARCH模型的残差分布假设-P36

ARCH-M模型（引入风险）

金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融

资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型

被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均

值方程中: （6.1.38）

ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：

（6.1.41）

或取对数

（6.1.42） 扩展：如果方程中再引入条件方差的滞后项，则为GARCH-M模型

在EViews中估计ARCH模型

一、均值方程(Mean equation)

ARCH-M 二、方差设定和分布设定 (Variance and distribution specification)

如果估计一个非对称的模型，就应该在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估

计非对称的模型，即该选项的个数为0。可以估计含有多个非对称项的非对称模型。

这里需要注意，EViews只能估计Component ARCH (1,1)模型，也就是说如果选择该项，则不能再选

择ARCH项和GARCH项的阶数，但可以通过选择包含非对称项来估计非对称Component ARCH模型，但该模型也只能包含一个非对称项。

问题：Threshold 什么含义？

（2）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于EViews在进行方差

回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。

（3）约束（Restriction）下拉列表则允许我们进行IGARCH约束或者方差约束，当然也可以不进行任何约束（None）。

(4) Error组合框可以设定误差的分布形式：

缺省的形式：Normal（Gaussian），

备选的选项有：

Student’s-t； Generalized Error（GED）； )ˆ()1(ˆ

02122020

T

jjTjTTuu



T

ttuT122ˆ1ˆ

22020ˆu

ttttuy2γx

ttttuyγx

ttttuy)ln(2γx