长方形面积公式的推导

《长方形面积的计算公式》教学设计

教学目标：

1.引导学生自己通过操作和观察弄懂长方形面积计算的公式，使学生初步理解掌握长方形面积的计算方法，会运用公式正确地计算长方形的面积。

2 .培养学生观察、质疑、分析、解决问题和动手操作的能力。

教学重、难点∶

1 .引导学生通过实验，自主探究得出长方形面积的计算公式。

2. 理解掌握并能正确应用长方形面积的计算公式。

教学用具∶ 小黑板、直尺、卷直、计算器。

课前准备∶

1.学生准备 ∶ 每人自制20个1平方厘米的正方形、6个大小不相等、形状不相同的长方形、直尺、卷尺各一支，每组一部计算器。

2.老师准备∶长方形纸板 边长一厘米的正方形。

教学过程∶

一、创设情境、导入新课

1．考一考你

师：同学们，上节课我们学习了有关面积的知识，现在老师想考考大家。请看小黑版：

（1）常用的面积单位有哪些呢？

（2）边长是1厘米的正方形，它的面积是多少？边长是1分米的正方形，它的面积是多少？边长是1米的正方形，它的面积是多少？

（3）出示一个长方形纸板，要测量它的面积，你认为用哪一个面积单位比较合适？用1平方分米的正方形怎样去测量？（老师演示测量的过程）学生说出则量的过程。

2．激趣导入

师：同学们，用数面积单位的方法，可以得到一个长方形的面积．但是，在实际生活中，如果要测量学校的面积、高楼墙面的面积、广场的面积……也用面积单位一个个去量，那可太不现实了。同学们你们想知道怎样去计算吗？这就是我们这节课要学习的内容“长方形面积的计算”。（板书：长方形面积的计算）

二、提出问题、确定目标

1．师：看了课题，你们想知道哪些知识？

根据学生的回答老师归纳：

（1）计算长方形面积的方法是什么？

（2）学了长方形面积计算的方法有什么用？

三、实践探究、寻找方法

（一）猜面积游戏

师：我们来做个猜面积的游戏，看谁的眼力最好。要求；在猜面积时要想一想长方形的面积可能和什么有关系？

孙吉虎 填写时间 8月28日

学科 数学 年级/册 三年级下册 教材版本 人教版

课题名称 长方形面积公式的推导

难点名称 探究长方形面积的计算公式，能正确的计算长方形的面积

难点分析 从知识角度分析为什么难 长方形面积与它的长和宽有关，只有真正探索清楚为什么与长和宽有关系以及是什么样的关系，才能将面积算法运用到生活当中，表达数学与生活的紧密联系。

从学生角度分析为什么难 学生对数学平面图形面积有了初步的认识，但对三年级学生来说对生活问题接触较少，抽象思维能力较弱，从形象问题到抽象问题有着一定的困难，因此学生彻底领会面积公式的计算方法，才能真正与生活相结合。

难点教学方法 1. 通过拼一拼直观演示长方形面积的概念以及知道面积与长和宽有关

2. 举例探究面积与长和宽之间的具体关系得出结论

教学环节 教学过程

导入 同学们，今天我们一起来学习长方形面积公式的推导

我们以前学过的面积有哪些？

平方厘米、平方分米、平方米

那同学能用手比划一下1平方厘米、1平方分米、1平方米大概有多大吗？

我们用1平方厘米的小正方形拼图

由图可知长方形由8个小正方形组成，面积是8平方厘米

意图：感知长方形的面积与小正方形有关，进一步深化对面积含义的理解

知识讲解

〔难点突破〕

同学们如果将长方形的长增加，我们可以发现长方形的面积也增加了；

如果把长方形的宽增加，那么长方形的面积有什么变化呢？是的，长方形的面积也增加了

如果把长方形的长和宽都增加，那么这个长方形的面积又有什么样的变化呢？

通过动画发现长方形的长和宽都增加时，面积也增加了

综上所述:长方形的面积的大小与它的长、宽的大小有关。 下面我们对这三个长方形做一个具体的分析:

第一个长方形，它是有6个面积为1平方厘米的小正方形组成，因此它的长为3厘米，宽为2厘米，面积为6平方厘米;第二个长方形，它是有12个面积为1平方厘米的小正方形组成，因此它的长为4厘米，宽为3厘米，面积为12平方厘米;第三个长方形，它是有20个面积为1平方厘米的小正方形组成，因此它的长为5厘米，宽为4厘米，面积为20平方厘米。

湖南长沙市岳麓区博才洋湖小学 顾卿璇

面积公式的由来与推导

小学数学中求正方形、长方形、平行四边形、梯形和三角形的面

积时都有具体的公式可以运用。例如，三角形的面积公式是“长×高

÷2”，而梯形的面积公式则是“（上底＋下底）×高÷2”。那么，

为什么会有这些求面积的公式呢？换言之，这些面积公式是怎么来的

呢？

要弄清楚这些问题，就必须从根本上弄清楚“平方”概念的由来

以及不同几何图形之间的联系。

一、面积公式的由来

数学上，面积单位一般是以“平方米”“平方厘米”“平方千米”

（平方公里）来表述的。那么，什么是“平方”？或者，“平方”究

竟是什么意思？

“平方”这一概念的起源可以追溯到古希腊数学中的平方数概念。

古希腊数学家毕达哥拉斯和他的追随者首次研究了平方数的特性，即

“一个数与自身相乘的运算”。

汉语中的“平方”的译文则来自英文的square，即“平方”也就

是一个正方形面积的大小，因为square的本义就是“正方形”。正方

形的四条边的边长都一样长，假定某个正方形的边长为“x”，则这

个正方形的面积就是“x × x”，而“x × x = x2”。如果这个边长的单

位是“4米（metre）”，则这个正方形的面积为 “16平方米（square metres）”，于是写作“16 m2”。

至此，不难发现，所谓“面积”，也就是以某个长度单位（例如：

厘米）为基准，在一个平面上可以分割出多少个边长为1厘米的正方形。

如果能够分割出8个边长为1厘米的正方形，则这个平面的面积为8

57平方厘米；如果能够分割出10个边长为1

厘米的正方形，则这个平面

的面积为10平方厘米。

于是，求正方形面积的公式便产生了——“S = a × a = a2”。这里，“S”

在英文里代表“表面积”（Surface area），“a”代表正方形的边长。

二、面积公式的推导

正方形的面积公式是求其他几何图形面积公式的基础。有了这个

基础，人们就不难推导出求其他几何图形的面积公式。

圆、三角形、平行四边形、梯形、长方形、正方形面积公式推导过程

下面是圆、三角形、平行四边形、梯形、长方形和正方形的面积公式推导过程：

1. 圆的面积公式：

我们知道，圆的面积可以表示为 πr2，其中 r 表示圆的半径。这个公式可以通过数学推导得到。假设有一个半径为 r 的圆，将其切割成许多小的扇形。然后将这些扇形重新排列，形成一个近似于矩形的形状。这个近似的矩形的宽度等于圆的半径 r，而长度约等于圆的周长 2πr。因此，近似矩形的面积约等于 2πr * r = 2πr2。当我们令这个近似矩形接近一个真正的矩形时，我们可以认为这个近似的矩形面积就等于真正圆的面积。因此，圆的面积公式可以写为 A = πr2。

2. 三角形的面积公式：

三角形的面积可以通过底边和高的乘积除以2来计算，即 A = 1/2

* 底边 * 高。这个公式可以通过将三角形切割成一个长方形和两个直角三角形来得到。两个直角三角形的面积分别为 1/2 * 底边 * 高，而长方形的宽度为底边，长度为高。将两个直角三角形和长方形的面积相加即可得到三角形的面积公式。

3. 平行四边形的面积公式：

平行四边形的面积可以通过底边和高的乘积来计算，即 A = 底边

* 高。这个公式可以通过将平行四边形切割成两个直角三角形，然后将这两个直角三角形拼接成一个长方形得到。长方形的宽度为底边，长度为高，因此平行四边形的面积等于长方形的面积。

4. 梯形的面积公式：

梯形的面积可以通过将梯形划分成一个大三角形和一个小三角形，然后将两个三角形的面积相加得到。大三角形的面积可以通过底边和大三角形的高的乘积除以2来计算，小三角形的面积可以通过底边和小三角形的高的乘积除以2来计算。将两个三角形的面积相加即可得到梯形的面积公式。

5. 长方形的面积公式：

长方形的面积可以通过长和宽的乘积来计算，即 A = 长 * 宽。

6. 正方形的面积公式：