九年级 数学 1 相似三角形

1 相似三角形

【知识点整理】

相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.

1、相似三角形的性质：

相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周

长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.

2、相似三角形的判定方法

（1）三边对应成比例的两个三角形相似

（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似

（3）两组角对应相等的两个三角形相似.

3、相似三角形中几个的基本图形

EABCD EABCD BCADE DCBA

4、由相似三角形得到的几个常用定理

定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.

如图1，若DE∥BC,则BCDEACAEABAD,或CEBDAEAD.

（图1） NMEDCBA（图2）

定理2 平行切割定理

如图2，D,E分别是ABC的边AB,AC上的点，过点A的直线交DE,BC于M,N,若DE∥MN,则NCBNMEDM

2 定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.

如图3-1、3-2，若1l∥2l∥3l，则''''''CAACCBBCBAAB,

l3l2l1C/B/A/CBA （图3-1） l3l2l1C/B/A/CBA（图3-2）

定理4 （角平分线性质定理） 如图，AD,AE分别是ABC的内角平分线与外角平分线，则ACABECEBDCDB.

EDCBA

定理5 射影定理

直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.

DCBA

定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，则PA·PB=PC·PD

PODCBA

定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即在⊙O中，直径ABCD，则CE2=AE·BE

OEDCBA

3 定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O中，PA是切线，PB是割线，则PA2=PC·PB

DECBPAO

定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中，PB、PE是割线，则PC·PB=PD·PE

经典例题

一、利用相似证明角相等

例1 如图，ABC中，BAC=90°,AB=AC,D是边AC的中点，AHBD，垂足为H,交BC于点E.

(1) 求证：ADB=CDE; (2) 若AB=2,求CDE的面积.

HEDCBA

练习 在ABC中，ADBC于点D，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：AFE∽ABC.

FEDCBA

4 二、利用相似证明线段相等

例2 已知点E,F分别在矩形ABCD的边AB,AD上，EF∥BD，EC,FC分别交BD于点G,H，求证：BG=DH.

FEGHDCBA

练习 1、如图，梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC,BD交于点P，过点P作BC的平行线分别交AB,DC于点E,F，求证PE=PF.

PFEDCBA

2、如图，ABC中，AB=AC,ADBC于D，E,G分别是AD,AC的中点，DFBE于F，求证:FG=DG.

GFEDCBA

三、证明比例（等积）线段

例3 如图，BD,CD为的两条角平分线，过点D作直线分别交AB,AC于点E,F，若AE=AF，求证：EF2=4BE·CF

FEDCBA

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例4 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别交于点M,N,R,S,和P，

求证：PM·PN=PR·PS

练习

1、如图，在ABC中，AD是A的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证:FD2=FB·FC

FEDCBA

2、AD,BE是ABC的高线，过D作AB的垂线，垂足F，与BE及AC的延长线分别相交于M,N，求证：DF2=FM·FN

DCBANMFE

3、AD是RtABC的角平分线，C=90°，求证：BDBCADAC222

6 DCBA

四、求线段比

例5 ABCD是正方形，E,F是AB,BC的中点，联接EC交DB.DF于G,H，求EG:GH:HC.

HGFEDCBA

练习 1、梯形ABCD中，AD∥BC,ABC=90°,对角线ACBD于点P，若43BCAD，求ACBD的值.

PDCBA

2、如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC,AD及CD的延长线相交于E,F,G,若BE=5，EF=2求FG的长.

GEDFCBA

五、证明线段（线段比）和差

例6 如图，已知AB∥CD，AD∥CE,F,G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB,AD,CD,CE于点M,N,P,Q.求证:.MN+PQ=2PN

7 DQEFGNPCBA

练习 如图，P是ABC内一点，AP,BP,CP分别与对边交于点D,E,F，求证：PDAPFBAFECAE.

EDPFCBA

六、证明垂直

例7 如图，H,Q分别是正方形ABCD的边AB,AC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足分别为P，求证：DPPQ.

HQPDCBA

练习题

1、如图，ABC中，BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上一点，过点E作AB,AC的垂线，垂足分别为F,G，求证：FDG=90°

GFEDCBA

8 2、ABC与A1B1C1均为等边三角形，BC和B1C1的中点均为D，求证：AA1CC1

C1B1A1DCBA

七、证明平行

例8 如图，在矩形ABCD中，E,F是DC边上的点，满足DE=EF=FC，又G,H是BC上的点，满足BG=GH=HC．AE与DG相交于点K，AF与DH相交于N．求证：KN∥CD．

NKHGFEDCBA

练习题 如图，两个等边ABC,ADE顶点A重合，过点E作BC的平行线，分别交AB,CD于F,G.

（1）求证：DF平分AFE.

(2) 求证：AG∥BD.

GFEDCBA

八、利用相似三角形的面积比

例9 在ABC的内部取点P，过P点作3条分别与ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形1t，2t，3t的面积分别为4,9,49，求ABC的面积.

9 t3t2t1IHGEDPFCBA

练习 1、AD是RtABC斜边上的高，求证：DCBDACAB22

DCBA

2、梯形ABCD中AD∥BC,AD=4，BC=8,点E,F在AB,DC上，且EF∥BC,若直线EF平分梯形ABCD的面积，（1）求EF的长，（2）求EBAE的值.

FEDCBA

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练习题

1、已知平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，AM,AN分别交BD于P,Q两点，求BP:PQ:QD的值.

NMQDCBAP

2、如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=21FD，FE交AC于点G，求证：AG=51AC

GFEDCBA

3、 如图，AM是的中线，P是AM上一点，BP,CP分别交AC,AB于点D,E，求证:DE∥BC

EDPMCBA

11 4、ABC中，AB=AC,BAC=90°，D是BC边的中点，AHBD交BD于点H，交BC于点E，求证：BE=2EC

HEDCBA

5、在四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，P为对角AC延长线上任意一点，PF交AD于点M，PE交BC于点N，EF交MN于点K.求证：K是线段MN的中点.

NMKEDPFCBA

6、锐角三角形ABC中，ABAC,CD,BE分别是AB,AC上的高，DE与BC的延长线交于点T，过D作的BC垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F,G,T三点共线.

NMGFTEDCBA

7、如图，在等边ABC中，BC边上取点D，使BD:CD=1：2，作CHAD，垂足为H，联接BH，求证：BAD∽HBC

HDCBA