高中物理 第十一章 机械振动 第4课时 单摆学案 新人教版选修3-4

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第4课时 单摆

[研究选考·把握考情]

知识内容 单摆 考试要求

加试c

教学要求 1.知道单摆是一个理想化模型和做简谐运动的条件

2.知道单摆做简谐运动时回复力的特点和表达式

3.知道单摆的周期与振幅、摆球质量无关

4.掌握单摆的周期公式

5.知道测量单摆周期的方法，会用单摆测定重力加速度

6.经历单摆做简谐运动条件的分析过程，体会摆角θ很小时的近似方法

7.会用图象法处理用单摆测定重力加速度的实验数据，会求加速度

8.经历单摆周期的探究过程，体会探究过程中猜想与数据处理的作用

说明 1.不要求掌握证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动的方法

2.不要求解决钟表快慢的调整问题

知识点一 单摆的回复力

[基 础 梳 理]

1.单摆：用细线悬挂着小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 2.单摆的回复力：在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。

[要 点 精 讲]

1.单摆

(1)单摆是实际摆的理想化模型

(2)实际摆看作单摆的条件

①摆线的形变量与摆线长度相比小得多

②摆线的质量与摆球质量相比小得多

③摆球的直径与摆线长度相比小得多

2.单摆的回复力

(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力F＝mgsin θ提供的。

(2)在最大偏角很小的条件下，单摆的回复力F＝－mglx，其中x为摆球相对平衡位置O的位移。

由此可见：单摆的回复力与离开平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，因此单摆在偏角很小的条件下的振动为简谐运动。

注意：(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零。

(2)单摆的回复力为小球受到的沿切线方向的合力，而不是小球受到的合外力

【例1】 对于单摆，以下说法中正确的是( )

A.单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 解析 单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为mv2l，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零。故选项C正确。

答案 C

名师点睛 单摆的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力。摆球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力。因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)。

知识点二 实验：探究单摆周期与摆长的关系

[要 点 精 讲]

操作指要

1.要保证单摆在同一竖直平面内摆动。

2.摆动偏角尽量不要大于5°。

3.悬线上端不要随摆球摆动，一定要使之固定。

4.测量线长时要将其挂好后再测量。

5.开始计时的位置选在摆球经过平衡位置时。 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 6.测量周期时，一般测单摆振动30～50次全振动的时间，再求周期。

7.处据数理时，一般作出L－T2的关系图象，找出周期与摆长的关系。

【例2】 某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当(填“是”或“否”)。

①把单摆从平衡位置拉开约5°释放；________

②在摆球经过最低点时启动秒表计时；________

③用秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期。________

该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见下表。用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图1所示，该球的直径为______________ mm。根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大，与摆球的质量无关。

图1

数据组编号 摆长/mm 摆球质量/g 周期/s

1 999.3 32.2 2.0

2 999.3 16.5 2.0

3 799.2 32.2 1.8

4 799.2 16.5 1.8

5 501.1 32.2 1.4

6 501.1 16.5 1.4

答案 ①是 ②是 ③否 20.683(20.682～20.684) 摆长 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 知识点三 单摆的周期

[基 础 梳 理]

荷兰物理学家惠更斯确定了计算单摆周期的公式：T＝2πlg，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关(填“有关”或“无关”)。

[要 点 精 讲]

1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。

2.对单摆的周期公式T＝2πlg的理解。

(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。

(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。

(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。

(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。

【例3】 用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )

A.不变

B.变大

C.先变大后变小再回到原值

D.先变小后变大再回到原值

解析 单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短，因而周期先变大后变小再回到原值，故选项C正确。 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 答案 C ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 知识点四 实验：用单摆测定重力加速度

[要 点 精 讲]

操作指要

1.悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。

2.强调在同一平面内振动且摆角小于5°。

3.选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。

4.小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l线，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l线＋r。

5.选用一米左右的细线。

6.数据据理

(1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝4π2lT2中，求出g值，最后求出g的平均值。

(2)图象法：由T＝2πlg得T2＝4π2gl作出T2－l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴，如图2所示。其斜率k＝4π2g，由图象的斜率即可求出重力加速度g。 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

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图2 ********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 【例4】 下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：

摆长l/m

0.4 0.5 0.6 0.8 1.0

1.2

周期平方T2/s2 1.6 2.2 2.4 3.2 4.0 4.8

(1)利用上述数据，在图3中描出l－T2的图象。

图3

(2)利用图象，取T2＝5.2 s2时，l＝________ m，重力加速度g＝________ m/s2。

解析 (1)描点作图如图所示。

(2)由图可知当T2＝5.2 s2时，l＝1.3 m，

将它代入g＝4π2lT2得：

g＝4π2lT2＝4×3.142×1.35.2 m/s2≈9.86 m/s2

答案 (1)见解析图 (2)1.3 9.86

1.关于单摆，下列认识中正确的是( )

A.一根线系着一个球悬挂起来，这样的装置就是单摆

B.可以看成单摆的装置中，细线的伸缩和质量忽略不计，线长比小球直径大得多

C.单摆的振动总是简谐运动

D.两个单摆只要结构相同，它们的振动步调便相同

解析 单摆是实际摆的思想化模型，实际摆只有在不计绳的伸缩、质量和阻力以及小球可以********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********

灿若寒星 看做质点时才能看做单摆，选项A错误，B正确；单摆的运动只有在摆角很小时才能看做简谐运动，选项C错误；两单摆结构相同时，振动步调不一定相同，选项D错误。

答案 B

2.单摆原来的周期为T，下列哪种情况会使单摆的周期发生变化( )

A.摆长减为原来的四分之一

B.摆球的质量减为原来的四分之一

C.振幅减为原来的四分之一

D.重力加速度减为原来的四分之一

解析 由单摆周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度有关。

答案 AD

3.(2016·4月浙江选考)摆球质量相等的甲、乙两单摆悬挂点高度相同，其振动图象如图4所示。选悬挂点所在水平面为重力势能的参考面，由图可知(

)

图4

A.甲、乙两单摆的摆长之比是49

B.ta时刻甲、乙两单摆的摆角相等

C.tb时刻甲、乙两单摆的势能差最大

D.tc时刻甲、乙两单摆的速率相等

解析 由振动图象得甲、乙周期之比为2∶3，根据T＝2πlg，得摆长之比为4∶9，A正确；ta时刻位移相同，但二者摆长不同，所以摆角不同，B错误；tb时刻甲的摆球在最高