尺规作图的知识归纳

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精彩文档 考点名称：尺规作图

尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。

运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

尺规作图的中基本作图：

作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；

作线段的垂直平分线；

作已知角的角平分线；

过一点作已知直线的垂线。

还有：

已知一角、一边做等腰三角形

已知两角、一边做三角形

已知一角、两边做三角形

依据公理：

还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。

注意：

保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

尺规作图方法：

任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：

·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

·若两已知直线相交，可求其交点。

·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

·若两已知圆相交，可求其交点。

【学习目标】

1．了解什么是尺规作图．

2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．

3．了解五种基本作图的理由．

4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．

5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．

6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．

【基础知识精讲】 实用标准文案

精彩文档 1．尺规作图：

限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．

注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．

2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．

3．基本作图共有五种：

(1)画一条线段等于已知线段．

如图24-4-1，已知线段DE．

求作：一条线段等于已知线段．

作法：①先画射线AB．

②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．

线段AC就是所要作的线段．

(2)作一个角等于已知角．

如图24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．

作法：①作射线O′A′；

②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．

③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．

④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．

⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．

(3)作线段的垂直平分线．

如图24-4-3，已知线段AB． 实用标准文案

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求作：线段AB的垂直平分线．

作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

②作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．

(4)经过一点作已知直线的垂线．

a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．

已知：直线AB和AB上一点C，

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：作平角ACB的平分线CF．

直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．

b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．

②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． 实用标准文案

精彩文档 ③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．

④作直线CF．

直线CF就是所求的垂线．

注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．

(5)平分已知角．

如图24-4-6，已知∠AOB．

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．

②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．

③作射线OC．

OC就是所求的射线．

注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．

通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：

(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．

(2)在射线××上截取××＝××．

(3)以点×为圆心，××为半径画弧．

(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．

(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．

(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．

注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．

如：(1)画线段××＝××．

(2)画∠×××＝∠×××．

(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．

(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．

(5)作线段××的垂直平分线××，等等．

但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．

【经典例题精讲】 实用标准文案

精彩文档 例1 已知两边及其夹角，求作三角形．

如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，

求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．

③连结BC．

如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．

注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．

例2 如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．

已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．

作法：(1)作线段BC＝a．

(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．

(3)在MN上截取DA，使DA＝h．

(4)连结AB、AC．

如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．

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例3 已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．

如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．

分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由的关系可作出点B和点C，于是△ABC即可得到．

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．

(2)延长ED到B，使．

(3)在DE或BE的延长线上取．

(4)连结AB、AC．

则△ABC即为所求作的三角形．

注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．

例4 如图24-4-13，已知线段a．

求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．

分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．

作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a． 实用标准文案

精彩文档 (2)作线段AC，使．

(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．

(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．

注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．

例5 如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．

求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．

分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．

作法：

(1)连结CD．

(2)作线段CD的中垂线l．

(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．

注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．

【中考考点】

例6 (2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )