初中数学二次根式知识点-+典型题含答案
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初中数学二次根式知识点-+典型题含答案
一、选择题
1．已知21025xx＝5﹣x，则x的取值范围是（
）
A．为任意实数
B．0≤x≤5
C．x≥5
D．x≤5
2．下列计算正确的是（ ）
A．916916 B．2222 C．2236 D．1515533
3．计算32782的结果是（ ）
A．3 B．3 C．23 D．53
4．下列计算正确的是（ ）
A．42 B．233 C．255 D．233
5．下列计算结果正确的是（ ）
A．2+5=7 B．3223
C．2510 D．25105
6．下列各式中，无意义的是（ ）
A．23 B．333 C．23 D．310
7．二次根式23的值是（ ）
A．－3 B．3或－3 C．9 D．3
8．下列式子一定是二次根式的是 ( )
A．2a B．－a C．3a D．a
9．若ab＜0，则代数式可化简为（ ）
A．a B．a C．﹣a D．﹣a
10．下列说法中正确的是（ ）
A．25的值是±5 B．两个无理数的和仍是无理数
C．-3没有立方根. D．22-ab是最简二次根式.
11．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．6 B．18 C．27 D．12
12．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A．1a和1a B．3和13 C．2ab和2ab D．3和18 二、填空题
13．若0a，把4ab化成最简二次根式为________．
14．化简322___________．
15．已知x=3+1，y=3-1，则x2+xy+y2=_____．
16．如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+2()ab的结果是_____．
17．观察下列等式：
第1个等式：a1=12112，
第2个等式：a2=13223，
第3个等式：a3=132=2-3，
第4个等式：a4=15225，
…
按上述规律,回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an=__________.
(2)a1+a2+a3+…+an=_________
18．已知230mm，若整数a满足52ma，则a__________．
19．使式子32xx有意义的x的取值范围是______．
20．函数y＝42xx中，自变量x的取值范围是____________．
三、解答题
21．先化简，再求值：24211326xxxx，其中21x.
【答案】2.
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.
【详解】
原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1xxxxxxxxx. 将21x代入原式得222
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
22．求3535的值．
解：设x=3535，两边平方得：222(35)(35)2(35)(35)x，即235354x，x2=10
∴x=10．
∵3535＞0，∴3535=10．
请利用上述方法，求4747的值．
【答案】14
【分析】
根据题意给出的解法即可求出答案即可．
【详解】
设x=47+47，
两边平方得：x2=（47）2+（47）2+247?47，
即x2=4+7+4﹣7+6，
x2=14
∴x=±14．
∵47+47＞0，∴x=14．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
23．像(5+2)(5﹣2)＝1、a•a＝a(a≥0)、(b+1)(b﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，5与5，2 +1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：233； (2)计算：112332；
(3)比较20182017与20172016的大小，并说明理由．
【答案】（1）239 （2）2+23+2（3）＜
【解析】
分析：（1）由3×3=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为23与23，32与32，然后分母有理化后计算即可；
（3）确定20182017与20172016的有理化因式为20182017与20172016，得到120182017与120172016，然后比较即可.
详解：(1) 原式=23333=239；
（2）原式=2332=2223；
（3）根据题意，12018201720182017，12017201620172016，
∵2018201720172016，
∴112018201720172016，
即2018201720172016.
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.
24．先将32222xxxxx化简，然后选一个你喜欢的x的值，代入后，求式子的值.
【答案】答案见解析.
【解析】
试题分析：
先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x的值需要使原式有意义.
试题解析：
原式222122222xxxxxxxx 222xxxxx
要使原式有意义,则x＞2.
所以本题答案不唯一,如取x＝4.则原式＝2
25．先观察下列等式，再回答下列问题：
①2211111111121112；
②2211111111232216
③22111111113433112
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想2211145的结果，并验证；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
【答案】(1)1120 (2)111nn（n为正整数）
【解析】
试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
试题解析：(1)2211 145=1+14−141=1120，
验证：2211145=1111625=25161400400=441400=1120
(2)2211 1nn1=1+1 n−1 n1=1+1nn1 (n为正整数).
点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，即2aa，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.
26．计算
①1323482
②2525221 【答案】①1122；②22
【分析】
①根据二次根式的加减法则计算；
②利用平方差、完全平方公式进行计算．
【详解】
解：①原式＝3422822＝1122；
②原式＝5-23-22＝22．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．
27．（1）计算：12423|542|42；
（2）已知实数a、b、c满足|3|255acbb，求2(2)bac的值．
【答案】（1）52；（2）4
【分析】
（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定b的值，再根据非负数的和的意义确定a，c的值，然后再计算代数式的值即可．
【详解】
解：（1）1242354242
2(425)22
242522
52
（2）由题意可知：5050bb,
解得5b
由此可化简原式得，320ac
30a，20c
3a，2c
22(2)(532)42bac
【点睛】
可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．
28．计算（1）148312242
（2）23(236)(26)(21)
【答案】（1）46；（2）322
【分析】
（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】
解：（1）解：原式148312262
4626
46
（2）解：原式2221621
2632
322．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．
29．已知 x=2-3,y=2+3，求代数式x²+2xy+y²的值.
【答案】16
【解析】
分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y）²，然后利用整体代入的方法计算．
本题解析：
∵x² +2xy+y² =(x+y)²，
∴当x=2−3，y=2+3时，
∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−3+2+3)²=16.
30．计算：020203(2)12(1)．
【答案】3
【分析】
本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可．
【详解】
