四川省2018-2019年高二下学期期中联考数学试题
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第二学期期中联考
高二年级数学学科试题
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集,集合, ,则集合( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，选D.
2. 已知函数, ,则函数的最小正周期、最大值分别为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：利用辅助角公式进行化简，然后可求得最小正周期和最大值.
详解：,其中
所以的最小正周期为
最大值为
故选C.
点睛：本题主要考查应用辅助角公式化简三角函数、三角函数的最小正周期和最值，属于基础题。
3. 已知平面平面,且,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】分析：先证充分性，再证必要性。
详解：平面平面且
，故为充分条件
由可知
- 2 - ，故为必要条件
综上：“”是“”的充要条件
选C.
4. 椭圆与双曲线有相同的焦点坐标,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，，，（舍去），故选A.
5. 已知变量满足约束条件,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由约束条件作出可行域，由的几何意义求解即可。
详解：由约束条件作出可行域
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的几何意义是可行域的点与点（0，1）的距离，
结合图形可知的最小值为点（0，1）到A(2,2)的距离，
即
故选B.
点睛：本题主要考查线性规划的简单应用，属于基础题。
6. 已知函数和均为上的奇函数, 的最大值为,那么的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据条件构造新函数，判断函数的奇偶性,结合函数奇偶性和最值之间的关系建立方程进行求解即可
详解：由，得,
函数和均为奇函数,
是奇函数,
的最大值为5,
即,
- 4 - 是奇函数,
,
即
所以B选项是正确的
点睛：本题主要考查函数的奇偶性和最值，由条件构造新函数，判断函数为奇函数是本题的关键，属于较难题型。
7. 已知定义在上的函数与的图象如图所示,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：构造函数,利用函数单调性比较大小即可。
详解：令,则
由图可知，当时，；
当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增
所以可得,即，故A正确
即,B错
,即,C错
,即，D错
故正确选项为A.
点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较函数值的大小，构造函数，结合图形得到的单调区间很关键，难度较大。
8. 已知函数,则下列关于函数的结论中错误．．的是( )
- 5 - A. 最大值为 B. 图象关于直线对称
C. 既是奇函数又是周期函数 D. 图象关于点中心对称
【答案】B
【解析】分析：根据题意逐一判断各个选项是否正确，从而得到结果。
详解：A选项，
令，则
令，则
令，得，
所以在区间递减，在区间上递增，在上递减
所以时有极大值
又
所以最大值为，A选项正确。
B选项，因为
故，B选项错误。
C选项，，
故函数为奇函数
故为周期函数，即C正确。
D选项，
故图像关于点中心对称，D正确。
故选B.
点睛：本题主要考查函数的概念与性质、三角函数以及简单的三角恒等变换。
9. 如图,已知双曲线 的右顶点为为坐标原点,以点为圆心的圆与
- 6 - 双曲线的一条渐近线交于两点,若且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：确定设，则，利用勾股定理，点到直线距离公式，余弦定理和离心率公式求解即可。
详解：因为，
所以
设，则，
又因为，
所以
双曲线的渐近线方程为，
取PQ的中点M，则
由勾股定理可得
即 ①
在中，
所以②
②结合可得
所以B选项是正确的.
- 7 - 点睛：本题主要考查双曲线的性质，离心率，考查余弦定理，勾股定理，考查学生的计算能力，属于较难题型。
10. 已知共面向量满足,且,若对每一个确定的向量,记的最小值为,则当变化时, 的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：如图,令，利用数形结合进行求解。
详解：如图,令 ，
因为,所以四边形为平行四边形,
且A为对角线OD的中点，
而 ,即
即OB=BC，即
令OB=BC=2x，则AB=AC=x
所以
当向量确定时,确定,当时,取得最小值,
当且仅当时,取得最大值.
选D.
点睛：本题主要考查平面向量的应用，较好的考查了学生的转化与化归思想，数形结合的思想，难度较大。
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
- 8 - 11. 若,则__________，__________．
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】分析：由，计算出，将计算转化为计算
详解：因为，
所以
故答案为：2，
点睛：本题主要考查对数与指数的运算，考察学生的计算能力，属于基础题。
12. 已知函数则______；函数的零点有_______个；
【答案】 (1). 1 (2). 1
【解析】分析：根据x的值代入相应式子求解，当和时分别解方程即可得到零点个数。
详解：,
当时，
故无解
当时，，解得
故函数的零点有1个
故答案为：1，1
点睛：本题主要考查分段函数，求分段函数函数值和考查函数零点，属于中档题。
13. 如下图,正方体棱长为,分别为的中点,则在底面上投影的面积是__________；四棱锥的体积是__________．
【答案】 (1). 2 (2). 1
【解析】分析：根据题意选择三角形面积公式和棱锥的体积公式计算即可。
- 9 - 详解：点E在地面的投影为CD中点，
故在底面上投影的面积为：
易知平面，点F到平面的距离为
四棱锥的体积为：
故答案为：2，1
点睛：本题主要考查三角形、梯形的面积公式和棱锥的体积公式，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题。
14. 已知正实数满足,则的最小值为__________．
【答案】
【解析】分析：将转化为，然后利用基本不等式求解。
详解：
=5
即
因为正实数
所以
...........................
当且仅当，即时等号成立
故答案为：
点睛：本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题。
15. 已知等差数列的公差不为零,其前项和为,且满足，
则__________；记,若恒成立,则的取值范围为__________.
【答案】 (1). 0 (2).
【解析】分析：由反证法可得的值，分离参数k，转化为求函数的最值可得k的范围。
- 10 - 详解：由题可知，若，则，这与矛盾
故，
因为公差不为零
所以，则
若恒成立,
则
当n=1时，解得
当n=2时恒成立
当时，可化为恒成立
故
综上所诉：k的范围为
故答案为：0，
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查等差数列的性质，属于中档题。
16. 已知正四面体的棱长为,若分别是线段上的点,且正四面体外接球的球心在平面内,则平面与平面所成二面角的正弦值的最小值为__________.
【答案】
【解析】分析：确定P在底面的投影，平面平面，当DE//BC时，平面与平面所成二面角的正弦值最小，进而可得结果。
详解：正四面体中,点P在底面ABC的投影为三角形ABC外接圆的圆心（也是重心），
因为正四面体外接球的球心在平面内，
所以球心O在直线PF上，平面平面
易知当DE//BC时，平面与平面所成二面角的正弦值最小
由题可知正四面体每个等边三角形的高为，三角形ABC外接圆半径为
- 11 - 平面与平面所成二面角的正弦值的最小值为
故答案为.
点睛：本题主要考查正四面体的外接球及其性质，考查学生的空间想象能力，属于较难题型。
17. 已知,函数在上的最大值为,则__________.
【答案】或
【解析】分析：将题目转化为且使得等号成立，再等价于恒成立且等号至少取到1处，然后进行计算即可。
详解：由题可知且使得等号成立，
等价于恒成立且等号至少取到1处
所以
若
则,或
所以或
可得或
若
则
所以
则
综上所诉：由于
所以或
故答案为：或
