坐标系和点的表示

坐标系和点的表示

在数学和几何学中，坐标系和点的表示是进行几何计算和描述的基础。通过确定一个点在某个特定坐标系下的位置，我们可以准确地描述和比较不同点之间的距离、角度和方向。本文将介绍常见的坐标系以及点的表示方式。

I. 笛卡尔坐标系

笛卡尔坐标系是最常见、最基础的坐标系。它由两个垂直的轴组成，被称为x轴和y轴。这两个轴的交点被称为原点，坐标系的起始点。通过在这两个轴上的数值，我们可以表示不同点的位置。

在笛卡尔坐标系中，每个点都由一对有序数字(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。例如，点A(2,4)表示在x轴上的坐标为2，在y轴上的坐标为4。

II. 极坐标系

极坐标系是另一种常见的坐标系，它使用极径和极角来表示点的位置。极径表示原点到点之间的距离，极角表示点与极轴的夹角。

在极坐标系中，每个点都由一对有序数字(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与极轴的夹角。极角可以用弧度制或度数制来表示。

III. 三维坐标系 除了二维的笛卡尔坐标系和极坐标系，我们还有一种三维坐标系用于描述三维空间中点的位置。它由三个相互垂直的轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。同样，通过在这三个轴上的数值，我们可以表示不同点的位置。

在三维坐标系中，每个点由一组有序数字(x, y, z)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。例如，点B(1, 2, 3)表示在x轴上的坐标为1，在y轴上的坐标为2，在z轴上的坐标为3。

IV. 点的表示

除了通过坐标系来表示点的位置，我们还可以用其他方式描述点。其中一种方式是使用向量。

向量表示通常用于描述点的位移和方向。它由一个起点和一个终点组成，起点表示点的原始位置，终点表示点的目标位置。通过定义两个不同的点，我们可以计算出向量的大小和方向，并用向量符号来表示。

另一种方式是使用参数方程来表示点。参数方程是一组关于参数的方程，通过给定参数的不同值，我们可以得到点在不同位置上的坐标。例如，在二维平面上，点的参数方程可以表示为x = f(t)，y = g(t)，其中t是参数。 在有些情况下，我们还可以使用特殊的记法来表示点。例如，在几何学中，点通常用大写字母表示，如点C、点D等。这种表示方法简洁明了，便于阅读和描述。

坐标系中点的坐标的特征

1、各象限内点的坐标的特征

例1、在平面直角坐标系中，若点(,)Pab在第二象限，则点(,)Qab在（ ）

A 第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限

２、坐标轴上的点的坐标的特征

(,)Pxy在x轴上

(,)Pxy在y轴上

(,)Pxy在原点

例2、若点(,)Qxy的坐标满足0xy，点Q在（ ）

A x轴上 B y轴上 C 原点 D 坐标轴上

3、象限角平分线上的点的特征

第一、三象限角平分线上的点 相等，可记作(,)aa，第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作(,)aa.

例3、点2(5,23)Amm在第三象限角平分线上，则m（ ）

A．４ B．－２ C．4或－２ Ｄ. –１

4、平行于x轴的直线上的所有点 相同，

平行于y轴的直线上的所有点 相等. 第一象限

（＋，＋） 第二象限

（－，＋）

第三象限

（－，－） 第四象限

（＋，－） 例4．已知A、B两点的坐标分别是(,2)x，(3,)y，若AB∥y轴，则____,_____xy

5、关于x轴、y轴对称点的坐标特点：

关于哪个轴对称，同名的坐标不变，另一个坐标互为相反数.

关于x轴对称，

关于y轴对称，

关于原点轴对称，

例5、小红将某点关于x轴的对称点误以为是关于y轴的对称点，得到点(3,2)，求该点坐标及关于x轴的对称点的坐标.

6、点(,)Pxy到x轴的距离是y，到y轴的距离为x,到原点的距离为22xy.

例6、已知点(2,36)Paa，且点p到两坐标轴的距离相等，则点p的坐标为（ ）

在正交曲线坐标系（321,,uuu），中，梯度、散度、和旋度的表达式分别为

1231122332313121231231232233112123111222333332212323111ˆˆˆ1()()()1()()()1ˆ[()()]eeehuhuhuAhhAhhAhhAhhhuuuhhhhhhhhhuhuuhuuhuAhAhAehhuu1133231312211312121ˆ[()()]1ˆ[()()]hAhAehhuuhAhAehhuu

式中321ˆ,ˆ,ˆeee为正交曲线坐标系的三个基矢；123,,hhh为标度因子（scale factor）,或拉梅（lame’）系数；为空间的标量函数，A为空间的矢量函数。

试根据上面的公式，分别写出AA、和在柱坐标系中的表达式。

（1）柱坐标系

123121123,,1,,1ˆˆˆˆˆˆ,,zdVdddzuuuzhhheeeeee体积微元

1ˆˆˆ1()()()11 ()1ˆˆ[()()][()()]1ˆ[()()]1ˆ[][zzzzzzzzeeezAAAAzAAAzAAAeAAezzAAeAAAAezzˆ]1ˆ[()]zeAAe

地理坐标系VS大地坐标系

winner 发表于2008年12月22日 10:32 阅读(10) 评论(0) 分类：

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地理坐标转换到大地坐标的过程可理解为投影。（投影：将不规则的地球曲面转换为平面） 在ArcGIS中预定义了两套坐标系：

地理坐标系（Geographic coordinate system）

投影坐标系（Projected coordinate system）

1、首先理解地理坐标系（Geographic coordinate system），Geographic

coordinate system直译为地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。很明显，Geographic coordinate system是球面坐标系统。我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上，如何进行操作呢？地球是一个不规则的椭球，如何将数据信息以科学的方法存放到椭球上？这必然要求我们找到这样的一个椭球体。这样的椭球体具有特点：可以量化计算的。具有长半轴，短半轴，偏心率。以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。

Spheroid: Krasovsky_1940

Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000

Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000

Inverse Flattening（扁率）: 298.300000000000010000

然而有了这个椭球体以后还不够，还需要一个大地基准面将这个椭球定位。在坐标系统描述中，可以看到有这么一行：

Datum: D_Beijing_1954

表示，大地基准面是D_Beijing_1954。

有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用。

完整参数：

Alias:

Abbreviation: