界面元法及其应用

机械与汽车学院 曹国强

主要内容： 1、有限元法的基本思想。 2、结构力学模型的简化和结构离散化。

3、有限元法的实施过程。

一、有限元法的基本思想

有限元法是随着计算机的发展而发展起来的一种有效的数值方法。其基本思想是：将连续的结构分割成数目有限的小单元体（称为单元），这些小单元体彼此之间只在数目有限的指定点（称为节点）上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。再把每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上，构成等效节点力，并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化。其次，对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律，并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系（单元刚度方程），最后，把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来，就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组（总体刚度方程），同时考虑结构的约束情况，消去那些结构节点位移为零的方程，再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。求得了结构上各节点的位移分量之后，即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。

有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体，理想化为有限个自由度的单元的集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。

经典解法（解析法）与有限元法的区别

数目增加到∞

大小趋于0 微元 解析法

{

} 建立一个描述连续体性质的偏微分方程组

有限元解法

连续体

单元 代替原连续体

二、结构力学模型的简化和结构离散化

（一）结构力学模型的简化

用有限元法研究实际工程结构问题时，首先要从工程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能地反映实际情况，不至于使简化后的解答与实际差别过大，但也不要带来计算上的过分复杂，在力学模型的简化过程中，必须判断实际结构的问题类型，是二维问题还是三维问题。如果是平面问题，是平面应力问题，还是平面应变问题。同时还要搞清楚结构是否对称，外载荷大小和作用位置，结构的几何尺寸和力学参数（弹性模量E、波松比μ等）。

复合材料的应力分析与优化

在现代工程领域中，复合材料凭借其优异的性能，如高强度、高刚度、良好的耐腐蚀性等，得到了广泛的应用。然而，要充分发挥复合材料的优势，对其应力进行准确分析和优化是至关重要的。

复合材料是由两种或两种以上不同性质的材料通过物理或化学的方法组合而成的。由于其组成的复杂性，复合材料的应力分布和传递规律与传统的单一材料有很大的不同。因此，对复合材料应力的分析需要采用专门的方法和理论。

常见的复合材料应力分析方法包括有限元法、边界元法等数值方法，以及实验测试方法。有限元法是目前应用最为广泛的一种方法。它将复合材料的结构离散成有限个单元，通过求解每个单元的平衡方程，得到整个结构的应力分布。在使用有限元法进行分析时，需要准确地建立复合材料的几何模型和材料模型，合理地划分网格，并选择合适的边界条件和加载方式。

边界元法是另一种有效的应力分析方法。它只需要对结构的边界进行离散化，从而减少了计算量。但边界元法在处理复杂的几何形状和非线性问题时，可能会遇到一定的困难。

实验测试方法则是通过直接测量复合材料在实际加载条件下的应力应变响应，来获取应力分布信息。常见的实验测试方法有应变片测量法、光弹性法等。然而，实验测试方法往往受到测试条件、设备精度等因素的限制，而且只能获得有限点的应力数据。

在对复合材料进行应力分析时，还需要考虑其微观结构对宏观性能的影响。复合材料的微观结构包括纤维的排列方式、纤维与基体的界面结合情况等。这些微观因素会显著影响复合材料的应力传递和分布。例如，纤维的取向会导致复合材料在不同方向上的力学性能差异很大。如果纤维沿受力方向排列，复合材料的强度和刚度会显著提高；反之，如果纤维与受力方向垂直，复合材料的性能则会大打折扣。

此外，纤维与基体的界面结合强度也会影响复合材料的应力传递。如果界面结合强度不足，在受力时容易发生脱粘，从而导致复合材料的性能下降。

在了解了复合材料的应力分布特点后，就可以进行应力优化。应力优化的目的是通过合理的设计，使复合材料在满足使用要求的前提下，应力分布更加均匀，从而提高其使用寿命和可靠性。

第２８卷第７期　２００７年７月　哈尔滨工程大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｒｂｉｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．２８№．７　Ｊｕ１．２００７　

快速多极子声学边界元法及其研究应用　

王雪仁，季振林　（哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，黑龙江哈尔滨１５０００１）　

摘要：传统的边界元法在计算过程中形成满系数矩阵，使迭代法计算量和存储量与未知量数的平方成正比，从而　限制了其在大区域声场问题中的应用．为此，发展了一种快速多极子声学边界元法，阐述了其基本原理，给出了其数　值处理过程，并成功应用于消声器声学性能的预测．理论分析和算例结果表明：该方法能获得较高的求解精度，减少　存储量，并在一定的分析频率范围内有效节省计算时间．因此，快速多极子声学边界元法可以有效应用于处理大区　域声场问题．　关键词：快速多极子边界元法；声学；消声器　中图分类号：ＴＢ５３５文献标识码：Ａ文章编号：１００６—７０４３（２００７）０７－０７５２－０６　

Ｆａｓｔ　ｍｕｌｔｉｐｏｌｅ　ａｃｏｕｓｔｉｃ　ＢＥＭ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　

ｗＡＮＧ　Ｘｕｅ—ｒｅｎ，ＪＩ　Ｚｈｅｎ—ｌｉｎ　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｐｏｗｅｒ　ａｎｄ　Ｅｎｅｒ￣＇Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ　１５０００１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｆｕｌｌｙ　ｐｏｐｕｌａｔｅｄ　ｓｙｓｔｅｍ　ｍａｔｒｉｘ　ｆｏｒｍｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ（ＣＢＥＭ）ｉｍ—　ｐｌｉｅｓ　ｔｈａｔ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ　ａｎｄ　ｍｅｍｏｒｙ　ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ａｓ　ｔｈｅ　ｓｑｕａｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｎｏｄｅｓ，ｃｏｎｆｉ—　ｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ＣＢＥＭ　ｔｏ　ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ　ａｃｏｕｓｔｉｃ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａ　ｆａｓｔ　ｍｕｈｉｐｏｌｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ（ＦＭ—　

第２９卷第５期　２０１３年１Ｏ月　大　学　数　学　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２９，Ｎｏ．５　Ｏｃｔ．２０１３　

余元公式的另类证法及其应用　

胡绍宗　（阜阳师范学院数学系，安徽阜阳２３６０４１）　

［摘要］首先利用欧拉积分理论，证明余元公式的特殊情形．继而借助正弦函数的无穷乘积展开式及ｒ　函数定义，证明余元公式的一般情形．最后应用该公式，解决～些按通常方法不易计算的积分问题．　［￣ｉｉｉｌ－Ｉ欧拉积分；ｒ函数；无穷乘积　［中圈分类号］０１７２．２　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１３）０５—００８１　Ｏ６　‘　

余元公式（特殊情形）　设０＜日＜１，则ｒ（口）Ｉ１（１～ａ）一０．　ｓｌｎａａ　址　用欧皿　分理论．　１。在Ｂ（ａ，６）＝．Ｊ。　（１一ｚ）¨ｄｘ（　＞ｏ）中冷ｚ一　，则　Ｊ　ｏ　。　’‘。　１＋ｖ　

令ｂ＝１一口，并设０＜口＜１，则　Ｂ（ａ，ｌ－ａ　一　（或　帛ｄｚ）．　２。计算　一　¨　¨　（１）　

（２）　

一　＋　～ｚ口十。＋…＋（一１）　州＋…一雨Ｘａ－１　．　即雨Ｘａ－１一妻ｎ＝ｏ（一１）　一．这个幂级数在。＜￡≤　≤１～￡，＜１上一致收敛且可积，因而在　［ｅ，１一ｅ　］上可逐项积分，得　厂妻ｎ＝ｏ　ｃ　ｃ　（』＿，（　…ｄｚ），　‘：：　、Ｊ　Ｅ　，　（薹ｃ—ｌ　ｚ　）ｄ　薹（　’ｃ一　ｄｚ）＝薹（　ｃ一　ｚ井　ｄｚ），　

即　（薹ｃ～ｌ，　外　）如＝＝：妻ｎ＝ｏ（『＝ｃ一　，　井，ｒ　ｄｚ），于是　

＾　一　每　ｃ　…　＝乳ｃ　～）一　．　＝　如中，令　：：＝　１，得　

［收稿日期］２０１２—

０２．１０　８２　大　学　数　学　第２９卷　

』：　一ｊ’　

一　（二　！：一　（二　２：　口一（　４－１）　ｎ～　’　…一　ｎ＝ｏ　＋　一　＋　＋蓦　

一　＋　ｃ　”（　＋　）．　把（３）代入（２），得　』　篙妇一　＋　ｎ＝ｌ　ｃ一　（￣ｎ　ｉｆ＿ａ　１　）．　上式代入（１），得　卜　ａ＋　ｃ　（　ａ＋　ａ）．　＼十　一　，