(完整word版)高数公式大全
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平方关系：
sinA2( a )+cosA2( a )=1
tanA2( a )+仁secA2( a )
C0tA2( a )+ 仁CSCA2( a )
•积的关系：
sin a=tan a*cos a
cos a =cot a*sin a
tan a=sin a*sec a
cot a=cosa*csc a
seca=tan a*csc a
csc a =sec a *cot a
•倒数关系：
tan a，cot a =1
sin a，CSC a =1
cos a，sec a =1
直角三角形 ABC 中,
角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边
余弦等于角 A 的邻边比斜边
正切等于对边比邻边 ,
三角函数恒等变形公式
两角和与差的三角函数：
cos( a + B )=cos a，-sOs (&• sin B
cos( a B )=cos a，cos B +sin a* sin B
sin( a±B )=sin a，cos B± cos a，sin B
tan( a + B )=(tan a +tan-tanf(a • tan B )
tan( -B )=(tan -tan B )/(1+tan a，tan B )
三角和的三角函数：
sin( a + B + Y )=sin a* cos B，cos Y +cos a，sin B‘ cos ys+cos • sircos B sirsirv Y
cos( a + B + Y )=cos a，cos Bcoscos ysin B -ssinacos B -sisinar sin B‘ cos Y 第 2 页共 20 页
tan( a + B + Y )=(tan a +tan Bt+taa 丫 tan B，tartan )/(• tanaB B‘ tanay 丫^ tan a ) 第 3 页共 20 页
辅助角公式：
Asin a +Bcos a =(AA2+BA2)A(1/2)sin( ，其中
sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)
cost=A/(AA2+BA2)A(1/2) tant=B/A
Asin a +Bcos a =(AA2+BA2)A(1/2)cos( -t) ,tant=A/B
倍角公式：
sin(2 a )=2sin a，cos a =2/(tan a +cot a )
cos(2 a )=cosA2( -s)八2( a )=2cos^2( -0=1- 2sinA2( a )
tan(2 a )=2tan a-tOnA2( a)]
•半角公式：
sin( a /2)= ±/o(1a )/2)
cos( a /2)= 土" ((1+cos a )/2)
tan( a /2)= 土必o(1a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos-c©9=(1/sin a
•降幕公式
sinA2( a )=-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2
cosA2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2
tanA2( a )=(tos(2 a ))/(1+cos(2 a ))
•万能公式：
sin a =2tan( a /2)/[1+tanT( a /2)]
cos a =[ttan9( a /2)]/[1+tan9( a /2)]
tan a =2tan( a /2)-(an9( a /2)]
•积化和差公式：
sin a • cosB=(1/2)[sin( +B-B)+)s]
in( cos a • sin B=(1/2)[sin( -sin( + -B))]
cos a • cosB=(1/2)[cos( + B )-+Bco)]s(
sin a • sin-(B1/2=)[cos( -+cBos)( -B)]
•和差化积公式：
sin a +sin B =2sin[( a + p )/2]cos[/2] a
sin (-sin B =2cos[( a + B )/2]sin[0 )/2] a
cos a +cos B =2cos[( a + B )/2]cosR )/2] a•三倍角公式：
sin(3 a )=3sin-4ainA3( a )
cos(3 a )=4cosA3( -3)s a 第 4 页共 20 页
cos a-cos B=2sin[( a + B )/2]sin[© )/2]a
•推导公式
tan a+cot a=2/sin2 a
tan a-cot a=-2cot2 a
1+cos2 a =2cosA2 a
1-cos2 a =2sinA2 a
1+sin a =(sin a /2+cos a /2)八2
•其他：
sin a +sin( a +2n /n)+sin( a +2n *2/n)+sin( a +2 n *3/n)+ ........ +sit)/n]==0+2 n *(n
cos a +cos( a +2 n /n)+cos( a +2n *2/n)+cos( a +2 n *3/n)+ ........ +cos-1”r+=n *1以及
sinA2( a )+sinA2(-2 n/3)+sinA2( a +2n /3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
三角函数的角度换算
[编辑本段]
公式一：
设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin ( 2k n+ a) = sin a
cos (2k n+ a) = cos a
tan (2k n+a) = tan a
cot (2k n+ a) = cot a
公式二：
设a为任意角，n+a的三角函数值与 a的三角函数值之间的关系:
sin ( n+ a) = — sin a cos ( n+ a)= — cos a tan ( n+ a) = tan a cot ( n+ a) = cot a
公式三：
任意角a与- a的三角函数值之间的关系:
sin(－a)=－ sin a
cos(－a)= cosa tan(－a)=－tan a
cot(－a)=－cot a
公式四：
利用公式二和公式三可以得到 n a与a的三角函数值之间的关系:
sin ( n— a) = sin a
COS ( n— a)= — COS a tan ( n— a) =— tan a cot ( n— a) =— cot a
公式五：
利用公式一和公式三可以得到 2n-a与a的三角函数值之间的关系: 第 5 页共 20 页
sin( 2 n— a) =— sin a
COS (2 n— a) = COS a
tan (2 n—a) =— tan a
COt (2 n—a ) = — COt a
公式六:
n /2 ±a 3 n /2 土与a的三角函数值之间的关系
Sin( (n /2+ a)= COS a
COS (n /2+ a)二 二一sin a
tan (n /2+ a)= — COt a
COt (n /2+ a)= — tan a
Sin( (n /2— a)= COSa
COS (n /2— a)二 Sin a
tan (n /2— a)= COt a
COt (n /2— a)= tan a
Sin( (3 n /2+ a)= — COSa
COS (3 n /2+ a) =Sin a
tan (3 n /2+ a) =—COt a
COt (3 n /2+ a) =— tan a
Sin( (3 n /2— a)= — COSa
COS (3n /2- a) =—Sin a
tan (3n /2- a) =COt a
COt (3n /2- a) =tan a
(以上k€ Z)
部分高等内容
[编辑本段 ]
•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sin x=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i) COSx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2 ta nx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]
泰勒展开有无穷级数， eAz=exp (z) = 1 + z/1 ! + zA2/2 ! + zA3/3 ! + zA4/4 !+•••+ zAn/n !+•••
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y";y=y""，有通解Q,可证明
Q=ASinx+BCOSx ，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数 ——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值
a O' 30' 45' 60' 90' sina 0 1/2 V2/2 V3/2 1第6页共20页
cosa 1 V 3/2 V2/2 1/2 0 tana
0 V 3/3 1 V 3 None cota
None V 3 1 V 3/3 0 导数公式：
(tgx) = sec x
(ctgx) = -csc2 x
(secx)' =secx tgx
(cscx) - -cscx ctgx
(ax)'： =ax lna
1 (logaX) - xl na (arcsin x)" = 1
71 一 x2
(arccos x)'=——:1 2
勺1 - x2
(arctgx) 1 1 +x
1
1 x2 (arcctgx)二
基本积分表:
tgxdx = -In cosx C
Jctgxdx = ln sin x +
C Jsecxdx =ln secx +tgx +C dx J 2~ cos x
dx J ~~ sin x 2 sec xdx = tgx C
2 = csc xdx = -ctgx C
Jcscxdx = In cscx - ctgx +C
2 2
a x dx
.~~2 2 x 「a
dx .~~2 2 a 「x
,dx secx tgxdx = secx C
1 x c arctg C a
」ln 2a
」ln 2a
a2「X2 a
x -a
x a
a x 一 C a「x
.x = arcs in C a cscx ctgxdx 二-cscx C
x
axdx — C ln a
shxdx 二 chx C
chxdx = shx C
dx
—x2Ia2 =In(x.x2 a2) C
In 7T
2
二 sinn xdx 二 cos
0 0 7T
2
,2 -a2
2 2
x -a(
dx
、a2 - x2dx n —1 xdx 二 --- I n Q n
____ 2
dx= — ^x2+a2+ — ln( x + P x2 + a2) + C 2 2
： ________ 2 =xlx2 _a2 _埜In x + 2 2
_____ 2
2 a . x -x arcs in C 2 a (x2 _a2 +C
