高中数学必修一：1.3.1.2函数的最大值、最小值

1.3 函数的基本性质

[教学目标]

1．理解函数的单调性，初步掌握函数单调性的判别方法．

2．理解函数的最大值、最小值及其几何意义．

3．结合具体函数了解奇偶性的含义．

4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．

[教学要求]

讨论函数的基本性质，就是要研究函数的重要特征：函数的增与减，最大值与最小值，增长率与衰减率，增长（减少）的快与慢，对称性（奇偶性），函数的零点，函数值的循环往复（周期性）等．

引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．

[教学重点]

函数的单调性的概念；判断、证明函数的单调性；形成奇偶性的定义．

[教学难点]

1．函数的单调性和奇偶性定义的形式化表达．

2．利用增（减）函数的定义判断函数的单调性．

[教学时数]

3课时

[教学过程]

第一课时 1.3.1单调性与最大（小）值——函数的单调性

新课导入

一、情景问题

如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32C），观察这张气温变化图：

问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？

问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？

由“函数在某个区间内随着自变量的增加函数值增大或减小”引入课题——函数的单调性．

二、观察函数图象，认识“上升”与 “下降”

请同学们画出函数xxf)(和2)(xxf的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法．

（呈现这两个函数的图象，课本第27页图）

可观察到的图象特征：

（1）函数xxf)(的图象由左至右是上升的；

（2）函数2)(xxf的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(上，随着x的增大，相应的)(xf随着减小，在区间),0(上，随着x的增大，相应的)(xf也随着增大．

3.1.1 函数的概念

函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.

课程目标

1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养

1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；

2.逻辑推理：相等函数的判断；

3.数学运算：求函数定义域和求函数值；

4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；

5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本60-65页，思考并完成以下问题

1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？

2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．函数的概念

(1)函数的定义：

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.

(2)函数的定义域与值域：

函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{𝑓(𝑥)|𝑥∈𝐴}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

第5页 共5页 年江西省高中青年教师优质课比赛参赛教案

§3.8 函数的最大值和最小值(第1课时)

江西省临川第一中学 游建龙（344100）

二ＯＯ六年九月十三日

E-mail:lcyz_yjl@

第5页 共5页 §3.8 函数的最大值和最小值

【教材分析】

1．本节教材的地位与作用

本节是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间

[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值” ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使用料最省、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，对于完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．

2．教学重点

会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值．

3．教学难点

确定函数最值的方法，并会求函数的最值．

【教学目标】

根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标：

1．知识和技能目标

（1）理解函数的最值与极值的区别和联系．

（2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．

（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．

2．过程和方法目标

（1）了解开区间内的连续函数不一定有最大、最小值．

（2）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值．

3．情感和价值目标

（1）认识事物之间的的区别和联系．

（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．

【教法选择】

根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用．

本节课引导学生自己通过观察函数的图象，归纳、总结出最大值、最小值求解的方法与步骤，让学生自己主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不是进行全部的灌输．

第二课时 函数的最大(小)值

课标要求 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.

素养要求 通过学习求函数最大(小)值的方法，提升学生的数学抽象素养.

1.思考 函数f(x)＝x2＋1≥1，则f(x)的最小值为1吗？

提示 当x＝0时，f(x)的最小值为1.

2.填空 函数的最大(小)值：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D.

(1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；

(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点；

(3)最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.

温馨提醒 求函数最值的常用方法

(1)图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.

(2)运用已学函数的值域.

(3)运用函数的单调性.

(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.

3.做一做 函数y＝f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )

A.－1，0 B.0，2

C.－1，2 D.12，2

答案 C

题型一 图像法求函数的最值

例1 已知函数f(x)＝x2，－1≤x≤1，1x，x>1.求f(x)的最大值、最小值.

解 作出函数f(x)的图像(如图).

由图像可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.

当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，

故f(x)的最大值为1，最小值为0.

思维升华 图像法求函数最值的一般步骤

训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图像，确定函数的最值情况，并写出值域.

解 y＝－|x－1|＋2＝3－x，x≥1，x＋1，x<1， 图像如图所示，