常微分方程计算题及答案

《常微分方程》计算题及答案

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计 算 题（每题10分）

1、求解微分方程2'22xyxyxe。

2、试用逐次逼近法求方程2yxdxdy通过点(0,0)的第三次近似解.

3、求解方程'2xyyye的通解

4、求方程组dxdtydydtxy的通解

5、求解微分方程'24yxyx

6、试用逐次逼近法求方程2yxdxdy通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程yyyex'22的通解

8、求方程组dxdtxydydtxy的通解

9、求解微分方程xyyx'

10、试用逐次逼近法求方程2yxdxdy通过(0,0)的第三次近似解.

11、求解方程yyyex'24的通解

12、求方程组dxdtxydydtxy的通解

13、求解微分方程xyyex(')

14、试用逐次逼近法求方程22xydxdy通过点(0,0)的第三次逼近解.

15、求解方程yyyex'22的通解

16、求解方程xeyyy32 的通解 《常微分方程》计算题及答案

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17、求方程组yxdtdydtdxxydtdydtdx243452的通解

18、解微分方程22(1)(1)0xydxyxdy

19、试用逐次逼近法求方程2dyxydx满足初始条件(0)0y的近似解：0123(),(),(),()xxxx.

20、利用逐次逼近法，求方程22dyyxdx适合初值条件(0)1y的近似解：012(),(),()xxx。

21、证明解的存在唯一性定理中的第n次近似解()nx与精确解()x有如下误差估计式：

10|()()|(1)!nnnMLxxxxn。

22、求初值问题 22,(1)0dyxyydx 在区域 :|1|1,||1Rxy 的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。

23、coscos0yyxydxxdyxx

24、2221dyydxxy

25、21210dyxydxx

26、ln(ln)0yydxxydy

27、'2lnyyyyyx

28、22dyyxdxxy 《常微分方程》计算题及答案

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29、222()0xydxxydy

30、3(ln)0ydxyxdyx

31、222201xdxydyydxxdyxyxy

32、(1)10xxyyxedxedyy

33、213dyxydxxy

34、443()0xydxxydy

35、22(2)0xyydxyyxdy

36、3"10yy

37、"'"'0yyyy

38、"'2"3'100yyyy

39、(4)0yy

40、(6)(4)2"20yyyy

41、(4)"0yy

42、(4)4"'8"8'30yyyyy

43、(4)4"'6"4'0yyyyy

44、"xyyxe

45、2"3'4xyyye

解：对应齐次方程的特征方程为 22310，特征根为 1211,2，

齐次方程的通解为 1212xxyCeCe

由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如 1xyABe

的特解。将1xyABe代入已知方程，比较系数得 14,6AB

即 146xye，因而，所求通解为 《常微分方程》计算题及答案

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1212146xxxyCeCee。

46、3"2'4(2)xyyyxe

解：对应齐次方程的特征方程为 2240， 特征根为 1,213i，

齐次方程的通解为 12(cos3sin3)xyeCxCx

由于3不是特征根，故已知方程有形如 31()xyeAxB

的特解。将31()xyeAxB代入已知方程，比较系数得 110,749AB

即 31110749xyex，因此，已知方程的通解为

312110(cos3sin3)749xxyeCxCxex。

47、2613(52)txxxett

48、txxe

49、2"2'tsasase

50、2441ttxxxee

51、"4'10yy

52、"'3"3'(5)xyyyyex

53、"3'2sincosyyxx

54、22225sin(0)xkxkxkktk

55、"sincosyyxx

56、"2'2cosxyyyex

解：对应齐次方程的特征方程为 2220，特征根为 1,21i，

齐次方程的通解为 12cossinxyeCxCx

由于1i不是特征根，故已知方程有形如 1(cossin)xyeAxBx

的特解。将1(cossin)xyeAxBx代入已知方程，得 11,88AB

因此，所求通解为 《常微分方程》计算题及答案

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121cossin(cossin)8xxyeCxCxexx。

57、"2'10cos2xyyyex

58、sin,0xxata

59、22"5'cosyyx

60、"4sin2yyxx

61、"2'34sin2yyx

62、"2'24cosxyyyex

63、"918cos330sin3yyxx

64、sincos2xxtt

65、22costxxxtet

66、求微分方程22"'01yyy的通解。

67、求1"'cosxyyxexx的通解。

68、求微分方程2'""0yyyxx的通解。

69、求微分方程2"(')'0xyyxyyy的通解。

70、求微分方程"3'2sinxyyyex的通解。

71、求微分方程221"4'4xyyyex的通解。

72、求方程2"4'5cscxyyyex的通解。

73、求微分方程2"2'20xyxyy的通解。

74、求微分方程22"2'22xyxyyx的通解。

75、利用代换cosuyx将方程 "cos2'sin3cosxyxyxyxe 化简，并求出原方程的 《常微分方程》计算题及答案

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通解。

76、求下列线性微分方程组2244(1)22(2)tdxxyedtdyxydt

77、解下列微分方程组1122223322(1)(2)2(3)dyyydxdyyydxdyydx的通解。

78、5445dyyzdxdzyzdx

79、3452dxxydtdyxydt

80、254342xyyxxyxy

计 算 题 答 案

１、解：对应的齐次方程y+2xy=0的通解为y=ce-x2 (4¹)

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x2

代入方程y¹+2xy=2xe-x2得 《常微分方程》计算题及答案

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c¹(x)=2x因此有c(x)=x2+c (3¹）

所以原方程的通解为y=(x2+c)e-x2 (1¹)

２、解：按初始条件取 0()0yx

221000()[()]2wxyxyxyxdx

2522010()[()]220wxxyxyxyxdx

2581123020()[()]2201604400wxxxxyxyxyxdx

3、解：对应的齐次方程为"'-20yyy

特征方程为2 +20解得 1,-2

对应的齐次方程通解为

212xxYcexe （2¹）

设方程的一个特征解为y1=Ae-x

则y1¹=-Ae-x ,y2¹=Ae-x

代入解得A=-1/2

从而11y2xe （2¹）

故方程的通解为2

11212xxxyYycecee （2¹）

4、解：它的系数矩阵是A0121

特征方程||AE1210

或为2-10+9=0 （2¹）

特征根1=1,2=9

原方程对应于1 =1的一个特解为y1=et,x1=-et （2¹）

对应于2=9的一个特解为y1=e9t,x1=e9t （2¹）

原方程组的通解为xceceycecetttt1221222 （2¹）

5、解：对应的齐次方程 y¹+2xy=0的通解为y=ce-x2 (4¹)

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x2

代入方程y¹+2xy=4x得c¹(x)=4ex2x因此有c(x)=2ex2+c (3¹）

所以原方程的通解为y=(2ex2+c)e-x2 (1¹)