六年级数学工程问题(附例题答案)

六年级数学工程问题(附例题答案)

本文介绍了工程问题中的基本数量关系，即工作总量=工作效率×工作时间。举例说明了如何计算两人合作完成一件工作需要的时间。为了计算方便，可以把工作量设为整体1或整数化，也可以从比例角度出发或列方程等。接下来给出了一个例题：甲做9天可以完成一件工作，乙做6天可以完成，现在甲先做了3天，问乙需要做几天才能完成全部工作。根据基本数量关系，甲的工效为1/9，乙的工效为1/6，甲三天做了1/3的工作，余下的工作量为2/3，乙需要的时间为2/3÷1/6=4天。

第七讲 工程问题

例2.一个工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。这个工程由丙队单独做需几天完成？

解析：先计算甲、乙两队合作完成这个工程所需的时间：1-（1/24+1/30）×8=2/56÷2/5=15天。因此，丙队单独做这个工程需要15+6=21天完成。

例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成。现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？

解析：根据已知条件，可以得出甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112.因此，甲先单独做42天后，剩下的工程量为1-42*1/84=1/2，需要乙再完成1/2，所需时间为(1/2)÷(1/112)=56天。

另一种方法是设甲每天完成工程的百分比为x，乙每天完成工程的百分比为y，则63x+28y=148(x+y)=1，解得x=1/84，y=1/112.因此，甲先单独做42天后，剩下的工程量为1/2，需要乙再完成1/2，所需时间为(1-42*1/84)/(1/112)=56天。

例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的甲乙单独做这项工程各需要多少天？

解析：设甲单独做需要X天，乙单独做需要Y天，则有4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1，同时有1/X -1/Y=1/30.解得X=10，Y=15，因此甲单独做需10天，乙单独做需15天。

例5.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多少天？

解析：16天中，甲队实际工作了16-3=13天，完成了13/20的工程量。因此，乙队完成了1-13/20=7/20的工程量，所需时间为7/20÷1/30=10.5天。因此，乙队休息了16-10.5=5.5天。

例12.一件工作，甲独自完成需要12天，乙独自完成需要18天，丙独自完成需要24天。现在甲先做了一段时间，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，最终完成了这项工作。问总共用了多少天？

解析：设甲做了x天，则乙做了XXX，丙做了6x天。因此，有方程：x/12 + 3x/18 + 6x/24 = 1.解得x=2，所以总共用了2+3*2+6*2=20天。

例13.一份稿件，甲、乙、丙三个人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时。现在三人合作打字，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用了12小时完成，甲只打了多少小时？

解析：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的量分别为1/20、1/24、1/30.因此，他们合作打字每小时打出的量为1/20 + 1/24

+ 1/30 = 17/240.用12小时完成，乙和丙分别打了全部稿件的12/24和12/30，即打出了9/20和2/5.因此，甲打了稿件的十分之一，即1/10.而甲每小时打出的量为1/20，所以甲打了2小时。

例14.一项工程，甲单独完成需要30天，乙单独完成需要45天，丙单独完成需要90天。现在由甲、乙、丙合作完成此工程，在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最终完成了这项工程。问完成这项工程前后一共用了多少天？

解析：设完成工程所需的总天数为x。则有方程：(x-2)/30 + (x-3)/45 + x/90 = 1.解得x=17，因此完成这项工程前后一共用了17天。

例15.一项工程，甲、乙两人合作做了4天，然后由甲单独做了6天才完成全部任务。已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80，问甲、乙单独完成各需要多少天？

解析：设乙每天完成的工作量占整个工作的比例为x。则有方程：4(x+x+1/80) + 6(x+1/80) = 1.解得x=1/16，因此乙单独完成需要16天，甲单独完成需要40/3天。

1.甲单独完成工程需要10天，乙单独完成工程需要15天。他们合作多少天才能完成工程的一半？

解：甲的工作效率为1/10，乙的工作效率为1/15.设他们合作x天，则完成工程的效率为1/10+1/15=1/6.完成工程的一半需要的效率为1/2，因此有1/6x=1/2，解得x=3天。

2.甲队单独完成工程需要48天，乙队单独完成工程需要36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。

解：设乙队在中间单独工作了x天，则甲队在中间单独工作了(6+x)天。根据工作效率的公式，有甲队的工作效率为1/48，乙队的工作效率为1/36.因此，有(6+x)/48+x/36+10/48+10/36=1，解得x=12天。

3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天才挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？

解：XXX单独挖需要x天，则甲队和乙队合作12天完成了1/30的工程量，甲队单独挖了XXX完成了1/30的工程量，剩下的1/30的工程量由乙队单独挖了24天完成。因此，有12/30+x/30+24/30=1，解得x=18天。

4.甲队单独完成工程需要100天，乙队单独完成工程需要150天。甲、乙两队合作50天后，剩下的工程乙队单独完成还需多少天？ 解：甲、乙两队合作50天完成了50/100+50/150=5/6的工程量，剩下的工程量为1-5/6=1/6.因此，乙队单独完成剩下的工程量需要的时间为150/6=25天。

5.甲单独完成工程需要36天，乙单独完成工程需要45天。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？

解：设甲队干了x天，则甲、乙两队合作了XXX完成了x/36+x/45的工程量，剩下的工程量由乙队单独完成，需要45/18=5/2天的时间。因此，有x/36+x/45+5/2=1，解得x=12天。

6.制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成。乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成。现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个。问丙车间制作了多少个零件？

解：设甲车间的工作效率为x，乙车间的工作效率为y，则有x+y=1/6，y+z=1/8，x+z=1/10.又因为甲车间比乙车间多制作了2400个零件，因此有x- y=2400.解这个方程组，得到x=7/60，y=1/15，z=1/8.因此，丙车间制作的零件数目为z乘以总零件数，即(1/8)乘以(1/x+1/y+1/z)=4200个零件。

7.搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是8小时。甲需丙帮助搬运3小时，乙需丙帮助搬运5小时。

解本题的关键是先算出三人共同搬运两个仓库的时间。可以设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4.三人共同搬完需要的时间为60×2÷（6+5+4）=8小时。甲需丙帮助搬运（60-6×8）÷4=3小时，乙需丙帮助搬运（60-5×8）÷4=5小时。

8.一件工作，甲独做12天完成，乙独做18天完成，丙独做24天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，最终做完了这件工作。求这件工作做完共用了多少天？

解法一：列方程解答。设甲先做了X天，则乙接着做了3X天，丙做了（2×3）X天。由题意可得：X×1/12＋3X×1/18＋（2×3）X×1/24＝1.解得：X=2.所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20天。

解法二：把甲的工效（一天的工作量）、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份，总工作量里有这样的几份，甲就工作了几天，可以求出甲工作的天数为：1÷（1/12＋3×1/18＋2×3×1/24）＝2天。所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20天。