5 一元二次方程的根与系数的关系.pptx

例2 一元二次方程x2-3x+1=0的两实根分别为x1、x2，
求（x -2）（x ）的值 -2 2 解：设方程的另一个根是1x1，则2x1=- ，∴x1=- .
.
分析：先根据根与系数的关系得到x +x =3，x ·x =1， 注意点：由于方程（x-x1）（x-x2）=0可化为x2-（x1+x2）x+x1x2=0，如果已知两根之和与两根之积，可根据这一性质构造出一个符合要求
1 的 解一：元根二 据次 题方 意程 得.x1+x2=3，x1·x2=1，所以（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=1-2×3+4=-12.
12
再利用乘法公式把（x -2）（x -2）展开得到x ·x - 例1 已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2，求它的另
例3 已知两个数的和等于8，积等于7，求这两个数的值. 1
解又：∵设x方1+程2=的- 另k5，一∴个根- 是53+x21=，-则2，k5 x1∴=-k=-，7.∴56 x1=-
.
3 5
注意点：对于一元二次方程（ ≥0），当已知二次
项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知
二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和.
已知一元二次方程的实数根，求两根的 代数式的和
例2 一元二次方程x2-3x+1=0的两实根分别为x1、x2，求（x1-2）（x2-2）的值.
4 一元二次方程根与系数的关系（选学）
第4 2一章元二一次元解方二程次：根方与程根系数据的关系根（选与学）系数的关系可知，这两个数是方程x2-
分析：可将-8作为一次项系数，7作为常数项，

那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？
讲授新课
一 利用一元二次方程解决图形问题
如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截 去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有 盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.
x 60
x
80
60-2x 80-2x
解：设截去的小正方形的边长xcm，则长和宽分别为 （80-2x）cm、（60-2x）cm.
方法归纳
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程 解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特 别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一 般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要 求．
二 利用一元二次方程解决数字问题
问题引导 问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为___x_+_2_，__x_+_4___. 问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n， 其余的为___n_+_2_，__n_+_1_，__n_-_1_，__n_-_2___ 问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，
当堂练习
1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.
解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，
(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587 3x2-588=0 x1=14,x2=-14.
x-1 = 13 x+1= 15
x-1= -15 x+1= -13
答：这三个数为13,14,15或-13，-14，-15。
22.3 实践与题
学习目标
1．能列出关于图形、数字问题的一元二次方程；（重点） 2．体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点） 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意 识．

第二十一章 一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
知识回顾
1.写出一元二次方程的一般式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
x1,2 b
b2 4ac 2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
1. 1 1 x1 x2 ; x1 x2 x1x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2;
3. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ;
x2 x1
x1x2
x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1;
使用条件
1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0.
重要结论
1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q. 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
对接中考
新知探究
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
.
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积
等于常数项与二次项系数的比．

我幸，今生在最美的时光遇见了你。张 爱玲说 ，因为 爱了， 所以慈 悲。因 为懂得 ，所以 宽容。 总有那 么一个 人，即 便全世 界都不 爱你， 也会为 你低眉 ，为你 垂泪， 为你留 一盏温 暖的灯 ，默默 守护在 你身旁 ，在清 浅的时 光里， 陪你看 草长莺 飞，陪 你数散 落星辰 ！
因为有缘，你我同住同修，同见同知， 相互依 靠，相 互取暖 。生死 契阔， 与子成 说;执子 之手， 与子携 老。爱 ，最长 情的告 白，不 是千万 句“我 爱你” ，也不 是春花 秋月前 的山盟 海誓， 天长地 久。而 是愿意 用其一 生的光 阴来陪 伴你， 来包容 你！即 便在寡 味的日 子里， 也会用 爱去 浇灌， 用心去 呵护， 为你种 出一朵 妖艳之 花，㶷 烂至极 。
“十年生死两茫茫，不思量，自难忘。 千里孤 坟，无 处话凄 凉。纵 使相逢 应不识 ，尘满 面，鬓 如霜“ 。如若 今生， 你我遇 到一个 愿意为 自己陪 伴一生 的人， 那么， 请握紧 现在手 中的幸 福，珍 惜彼此 ，别等 失去， 再话凄 凉……
可惜，世间不是所有的缘份都来得刚刚 好，在 合适的 季节里 你我相 遇相逢 。就如 徐志摩 遇到林 徵因， 写下“ 轻轻的 我走了 ，正如 我轻轻 的来； 我轻轻 的招手 ，作别 西天的 云彩… …”一 首再别 康桥道 出无尽 的思念 ，却因 是一场 三角之 恋，不 得不放 手。还 有张爱 玲遇见 文人汉 奸胡兰 成，在 信里写 道：“ 在你面 前我变 得很低 很低， 低到尘 埃里。 但我的 心里是 喜欢的 ，从尘 埃里开 出花来 。”
4.6 一元二次方程根与 系数的关系
1. 填表
方程
x1, x2 x1+ x2 x1. x2
① x2-3x+2=0

x1+x2=-7， x1x2 = 6.
解：(2)这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2)
= 9+16 = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=
3 2
， x1x2 = -1.
随堂练习
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
2. 解下列方程： （1）12x2+7x+1=0；
（2）0.8x2+x=0.3；
解：（1）a=12，b=7，c=1.
∵b²-4ac=7²-4×12×1=1.
∴x=
7 1
.
24
∴x1=
1 4
，x2=

1 3
.
（2）原方程变形为8x²+10x-3=0.
这里a=8，b=10，c=-3.
∵b²-4ac=10²-4×8×(-3)=196，
(1) x2-3x-1=0；
(2) 3x2+2x-5=0.
解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1)
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
= 9+4 = 13＞0，
新课引入 新课讲授 随堂练习 课堂小结
学习目标
01 探索一元二次方程的根与系数的关系. 02 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的 03 过程，体会从特殊到一般的思想.

x1, x2
,则,
x1 x2
b a
,
x1x2
c a
13
当堂训练
1.（1）已知关于x的方程x2 - p x+q=0的两 个根是0和-3，求p和q的值。
2）已知关于x的方程x2-6x+p2-2p+5=0 的一个根是2，求方程的另一个根和p的值。 讨论上述两个问题有几种解法？
14
数学就是这样一种学问；她 要求我们扎扎实实地学习，勤勤 恳恳地探索。她提醒你有无形的 灵魂，她赋予她所发现的真理以 生命；她唤起心神，澄清智能； 她给我们的内心思想添辉，她涤 尽我们有生以来的蒙昧与无知。
第一课时
1
学
习 1 .经历和体验数学发现的过 程 ，
目
提高学生的思维品质和进行探究 学习的能力。
标 2.掌握一元二次方程的根与系数
的关系；
3.会用一元二次方程的根与系数 的关系解决简单的问题。
2
计算并填表
方程
x1 x2 x1+x x1x
2
2
1. x2-2x=0
0220
2. x2+3x-4=0
1 -4 -3 -4
(4) x2 x1 x1 x2
11 (2)
x1 x2
(3) 1 1 x12 x22
(5) x1 x2 2
(6) x1 x2
11
例1：已知方程：5x2 kx 6 0,的一个根是2， 求它的另一个根及k的值
解：设方程的另一个根为x1，那么
2 x1
6 5
x1
3 5
又
3 5
2
k 5
3. x2-5x+6=0
2356
4. x2+2x-48=0 -8 6 -2 -48

的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.


B.




a≠b，则 + 的值是( A )

−

C.


D.

−

解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，

∴



+ =


+


=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.

x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac x2
2a
b b2 4ac
X1+x2=
2a
2b
=
=
-b
2a
a
b b2 4ac
+
2a
X1x2= b
b2 4ac 2a
● b b2 4ac 2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4a 2
=
4ac 4a 2
=
c a
2
,
x1 ·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1 x2
+
(x1+x2)+1
=-2+(
3 2
)+1=
5 2
一元二次方程根与系数的关系： (1)当二次项系数为1的时候关于x的方程
x2 +px+q=0两根为x1,x2(p,q为常数). 则：x1+x2=-p, x1x2=q
(2)关于x的方程 ax2 bx c 0a 0
x2 2
4x1x2
4 9
12
12
Hale Waihona Puke 4 9例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法一：设方程的另一个根为x1. 由根与系数的关系，得 x1 ＋2= k+1 x1 ●2= 3k 解这方程组，得 x1 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
两根为
x1, x2
,则,
x1
x2
b a , x1x2
c a
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根

（1）已知关于 x 的一元二次方程 x 3x 1 0 的两个实数根为 x1 、
2
-1
x2 ,则 x1 1 x2 1 的值为_________.
1 1
（2）已知 x1 , x2 是方程 2 x 6 x 3 0 的两个实数根,则 的值
x1 x2
2
-2
为_____________.
A. x1 x2 2
B. x1 x2 2
C. x1 x2 3
2
D. x1 x2
3
解析：∵ x1 , x2 是方程 x 3x 2 0 的两个根,
2
∴ x1 x2 3 , x1 x2 2 ,观察四个选项,选项 A 符合题意,
故选：A.
练习 5 关于 x 的一元二次方程 x2 4 x m 0 的两实数根分别为 x1 、
7
－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3) 方程化为一般式 4x2－5x＋1＝0
5 5
1
x1＋x2＝－ = ，x1 x2＝ .
4 4
4
注意公式自身的符
号及系数的符号．
用根与系数的
关系前，一定
要化成一般式
练习 1.关于 x 的方程 2 x2 6 x 7 0 的两根分别为 x1 , x2 ,则 x1 x2
解析：
（1）根据韦达定理,得 x1 x2 3 , x1 x2 1
则 ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1=1 3 1 1
3
（2）根据题意得 x1 x2 3 , x1 x2 ,
2
x1 x2

一、知识要点：
1、一元二次方程的一般形
式
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
。
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、x2 c b 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ a 。 a
3、用根与系数关系解题的条件 是 （1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 x1,x2， （1）（x1－x2）2
（ 3）
1 2
x2＝2x＋1的两根为
不解方程，求下列各式的值。 （2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
提 高 练 习
3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD， AD⊥DC，AD=10cm， A B 以AD 为直径的⊙O切另 E 一腰于E，以AB、CD为 O 根的方程是X2-12X+m=0， 求m的值。
x,则
2
答：方程的另一个根是 k根的和与两根
的积各是多少?（不解方程）
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用
根与系数的关系，求下列各式的值。 x2 x1 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）— + — x1 x2
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
例题2：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。

第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数 的关系
情境引入
一元二次方程的的根与系数的关
系，常常也称作韦达定理，这是因为 这个定理是 16 世纪法国杰出的数学家 韦达发现的 .聪明的同学们，你能发现 这个定理吗？
自主探究
1.思考： 从因式分解法可知 ,方程 (x-x1)(x-x2)=0 的两 根为 x1 和 x2, 将方程化为 x2+px+q=0 的形式，你 能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？
(4)两根的平方和等于8； m=0 (5)两根的和的相反数等于两根之积．m=0
巩固练习
练 习 10
3)x－m2＝0.
已知关于x的一元二次方程x2-(m-
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2
，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
m 1, x1 1 2, x2 1 2 或m 5, x1 1 26, x2 1 26
元 二 次方程时，由于粗心 ， 在化简时小明写错了 常数项 ， 解得两根为8和2，小红写错了一次项系 数 ， 解 得 两根为-9和-1，若二次项系数是1，你知 道原来的方程是什么吗？
x 10 x 9 0
2
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分
-2 ． 别为x1和x2，则x1＋x2的值等于________
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 18、人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ 19、如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。 20、不忘初心，方得始终。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过 ...... 但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。

-5 2
(3) x1－x2. 41
2
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
巩固练习
练 习 8 关于x的一元二次方程x2+3x+m-
1=0的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
Δ≥0，即32－4(m－1)≥0，解得m≤
x1x2
c a
自主探究
3.典型例题
例4 根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1） x 2 - 6x - 15 = 0 x1 + x2 = 6
7 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 x1 + x2 = 3
（3）5x - 1 = 4x 2
5 x1 + x2 = 4
m=8
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
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师生小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？ (2)你还有什么疑惑？说给大家听听.
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
1 x1 x2 = 4
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巩固练习
4.巩固练习
练习1 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） x 2 - 3x = 15
x1 + x2 = 3
（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x

新方程的两根之和为 (x1) (x2 ) 3
新方程的两根之积为 (x1) (x2 ) 5
三 已知两个数的和与积，求两数
题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两
个数是 2和-1 。
解法(一):设两数分别为x,y则:
解得:{yx==－2 1 或 {ｘy=＝2 －1
{
x
x
y
y
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
求一元二次方程的待定系数要验证判别式
4.已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根
是 x1, x2
且 x12

x
2 2

4
， 求k的值.
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0
6.（2013•荆州）已知：关于x的方程
kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2,
且│x1－x2│=2,求k的值.
小结：
1.一元二次方程根与系数的关系？
如果ax2 bx C 0(a 0)的两根分别是
求一元二次方程的待定系数要验证判别式
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x2,
则x2+1=
19 3
,
∴
x2=
16 3
,
又x2●1=

2 1 2 1 2
12
• 尝试题2：利用根与系数的关系，求 一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的 • （1）平方和 （2）倒数和 • （3）差
• 尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一 个根为1，求它的另一个根及k的值。
13
小
结
1.根的判别式及根与系数关系 的应用 2.通过这节课你增长了….
例2
m取什么值时,关于x的方程
2x2-(m+2)+2m-2=0有两个相等的实数根? 求出这时方程的根.
5
小试牛刀
说明不论m取何值,关于x的方程
(x-1)(x+2)=m2总有两个不相等的实数根.
6
回顾与反思 一元二次方程根与系数的关系 设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
9
小试牛刀
已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-k=0的 两个根恰好等于斜边为5的直角三角形 的两条直角边的长,求实数k的值.
10
灵感
智慧
已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0
(k为整数) ①只有整数根,且关于y的一
元二次方程(k-1)y2-3y+m=0 ②有两个实
数根y1和y2,试确定k的值.
x1+x2=
b a
,
x1x2=
c a
.
7
知识源于悟
例3 设x1,x2是方程3x2-4x=-1的两根,不解方程 求下列各式的值
(1) ∣x1-x2∣
(2)9x13+13x2
8
知识源于悟
例4
已知方程( 5 1)x2+( 5 5)x-4=0的一个

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的值由 方程的系数a，b，c来决定。
x b b2 4ac 2a
除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
我们来做一个游戏，看谁能更快速地说出下列一
元二次方程的（两1根）和与两根积？ x2+5x+6=0
（2）x24x+3=0
（3）2x2-x-1=0
方程
若x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两
个根，那么x1
x2
c， a
x1
x2。
b a
作业
1.课后练习题。 2.已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的一个 根为2，求另一个根及k的值。
谢谢
的根。 小明：x1
x2
；
1 3
小华：x1 3 ，3 2 x2 ； 3 3 2
小亮：x1
1 ， 3
2
x2
1 3
2
谁的答案正确？说说你的判断方法。
3.已知方程 x2 2 x 的7一 0个根是3，求它的另一个
根。
3
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、 c有哪些作用？
一元二次方程的根与系数的关系：
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac .
2a
x1 x2
b 2a
+ b 2a
2b 2a
b; a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac b2 2a
b2 4ac 4a2
4ac 4a2
c a
.
还可以怎么证明这个结论呢？ 对于一元二次方程ax2 bx c 0(b2 4ac 0)两

夯实基础
＝(－1－x1)(－1＋x2＋2) ＝(－1－x1)(x2＋1) ＝－(x1x2＋x1＋x2＋1) ＝－(1－3＋1) ＝1.
夯实基础
16．(2019·孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2(a－1)x＋a2－a －2＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2.
(1)若 a 为正整数，求 a 的值； 解：∵关于 x 的一元二次方程 x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0 有两 个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)>0，解得 a<3. ∵a 为正整数，∴a＝1 或 2.
夯实基础
10．已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长度是关于 x 的方程 x2－13x＋36＝0 的两个实数根，则此菱形的面积是( A ) A．18 B．30 C．36 D．不确定
夯实基础
11．(2019·鄂州)关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋m＝0 的两实根 分别为 x1，x2，且 x1＋3x2＝5，则 m 的值为( A ) A．74 B．75 C．76 D．0
夯实基础
*7.(2018·咸宁)已知一元二次方程 2x2＋2x－1＝0 的两个根为 x1，
x2，且 x1＜x2，下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝1
B．x1·x2＝－1
C．|x1|＜|x2|
D．x21＋x1＝12
夯实基础
【点拨】x1＋x2＝－22＝－1，A 错误；x1·x2＝－12，B 错误； 由 x1＋x2＝－1<0，得 x1<－x2，又 x1·x2＝－12<0，x1<x2，所以 x1 ＜－x2<0，故|x1|>|x2|，C 错误； 由方程根的定义得 2x21＋2x1－1＝0，化简得 x21＋x1＝12，D 正确．