辽宁省大连市六校(二十四中)2014-2015学年高二上学期联考数学(理)试卷

2014-2015学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.“x＞1”是“x2＞x”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不必要也不充分条件【答案】C【解析】解：由x2＞x得x＞1或x＜0，则“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件，故选：C根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．2.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a9=10，则S9的值为（）A.30B.45C.90D.180【答案】B【解析】解：在等差数列{a n}中，由a1+a9=10，得．故选：B．直接利用等差数列的前n项和得答案．本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是检查的计算题．3.已知椭圆+=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于（）A.1B.3C.6D.10【答案】C【解析】解：由椭圆的方程知a=5，由椭圆的第一定义知椭圆上任一点到两焦点的距离之和为2a，又∵该椭圆上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，∴点M到另一个焦点的距离为2×5-4=6，故选：C．由椭圆的第一定义即得答案．本题考查椭圆的第一定义，即平面内到两定点的距离之和为常数的动点的轨迹，属于基础题．4.下列命题错误的是（ ）A.命题“若p 则q ”与命题“若￢q ，则￢p ”互为逆否命题B.命题“∃x ∈R ，x 2-x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ≤0”C.∀x ＞0且x ≠1，都有x +＞2D.“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真 【答案】 D【解析】解：对于A ．“若p 则q ”与命题“若￢q ，则￢p ”互为逆否命题，正确； 对于B ．“∃x ∈R ，x 2-x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ≤0”，正确；对于C ．∀x ＞0且x ≠1，都有x +＞2=2，正确；对于D ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”为假命题，m =0时不成立． 故选：D ．A ．利用逆否命题的对于即可判断出；B ．利用命题的否定即可判断出；C ．利用基本不等式的性质即可判断出；D ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，m =0时不成立． 本题考查了简易逻辑的判定、基本不等式的性质、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．5.如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若 =， = ， = ，则下列向量中与 相等的向量是（ ） A.- + + B. - + C. + + D. + - 【答案】 D【解析】解： = + + = ． 故选：D ．利用空间向量的平行四面体法则即可得出．本题考查了空间向量的平行四面体法则，属于基础题．6.已知变量x ，y 满足约束条件，则z =3x +y 的最大值为（ ）A.12B.11C.3D.-1 【答案】 B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），此时z max=3×3+2=11，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7.设抛物线y2=8x上一点P到y轴距离是6，则点p到该抛物线焦点的距离是（）A.12B.8C.6D.4【答案】B【解析】解：∵抛物线的方程为y2=8x，设其焦点为F，∴其准线l的方程为：x=-2，设点P（x0，y0）到其准线的距离为d，则d=|PF|，即|PF|=d=x0-（-2）=x0+2∵点P到y轴的距离是6，∴x0=6∴|PF|=6+2=8．故选：B．利用抛物线的定义将P到该抛物线焦点转化为它到准线的距离即可求得答案．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，属于中档题．8.双曲线x2-y2=3的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±3xC.y=±xD.y=±x【答案】A【解析】解：双曲线x2-y2=3即为=1，由双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，则双曲线x2-y2=3的渐近线方程为y=±x．故选A．由双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，即可得到所求方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题．9.在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则点F的坐标为（）A.（2，，0）B.（2，，0）C.（2，，0）D.（2，，0）【答案】【解析】解：由题意得E（2，0，1），C1（0，2，2），设F（2，y，0），则=（-2，2，1），=（0，y，-1），∵∠C1EF=90°，∴•=2y-1=0，解得y=，则点F的坐标为（2，，0），故选：A求出对应点的坐标，利用∠C1EF=90°转化为向量垂直关系即可．本题主要考查空间向量的应用，根据直线垂直转化为•=0是解决本题的关键．10.设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．11.若函数f（x）=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，则m的取值范围是（）A.m≤B.m＜C.m≥D.m＞【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，∴f′（x）=3x2+4x+m≥0恒成立，即△=16-4×3m≤0，解得m≥；∴m的取值范围是m≥．故选：C．根据题意得出f′（x）≥0恒成立，即△≤0，求出m的取值范围．本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了不等式恒成立的问题，是基础题目．12.已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A.-1B.2-C.D.【答案】A【解析】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，∴△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，∴PF1=c，PF2=c，由椭圆的定义知，PF1+PF2=c+c=2a，即==-1∴离心率为-1．故选：A先根据题意和圆的性质可判断出△F1PF2为直角三角形，根据∠PF1F2=2∠PF2F1，推断出∠PF1F2=60°，进而可求得PF1和PF2，进而利用椭圆的定义求得a和c的关系，即可求椭圆的离心率．本题主要考查椭圆的简单性质．椭圆的离心率是椭圆基本知识中重要的内容，求离心率的关键是通过挖掘题设信息求得a和c的关系，结合椭圆的定义是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.2cosxdx=．【答案】解：2cosxdx=2sinx|=2sin．【解析】找出被积函数的原函数，然后代入上、下限计算．本题考查了定积分的计算；只要求出被积函数的原函数，代入上、下限计算即可，属于基础题．14.曲线y=x2-2x在点（1，-）处的切线方程为______ ．【答案】2x+2y+1=0【解析】解：由y=x2-2x，得y′=x-2，∴y′|x=1=1-2=-1，即曲线y=x2-2x在点（1，-）处的切线的斜率为-1，化为一般式得：2x+2y+1=0．故答案为：2x+2y+1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．15.等差数列{a n}、{b n}满足=（n∈N*），且前n项和分别为A n、B n，则的值为______ ．【答案】【解析】解：∵{a n}、{b n}为等差数列，且前n项和分别为A n、B n，∴=，又=，则．即=．故答案为：．在等差数列中，由=结合已知求得答案．本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．16.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=CC1，M是A1B1的中点，则AC1与BM所成角的余弦值为______ ．【答案】【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=AC=CC1=2，则A（0，0，0），C1（0，2，2），B（2，0，0），M（1，0，2）=（0，2，2），=（-1，0，2），设AC1与BM所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===．∴AC1与BM所成角的余弦值为．故答案为：．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与BM所成角的余弦值．关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2）．（Ⅰ）若向量k+与向量2-互相平行，求实数k的值；（Ⅱ）求由向量和向量所确定的平面的单位法向量．【答案】解：（1）向量k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2）．向量2-=2（1，1，0）-（-1，0，2）=（3，2，-2）．∵（k+）∥（2-），∴，解得k=-2．（2）设平面的法向量=（x，y，z），则==0，∴，令z=1，解得x=2，y=-2，即所求平面的一个法向量为（2，-2，1），故单位法向量为，，或，，．【解析】（1）利用向量的线性运算、向量共线定理即可得出；（2）利用相互垂直与向量的数量积之间的关系即可得出．本题考查了向量的线性运算、向量共线定理、相互垂直与向量的数量积之间的关系、线面垂直的性质，属于基础题．18.已知函数f（x）=x3+2x2-4x+5．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x3+2x2-4x+5，∴f′（x）=3x2+4x-4（2分）令f′（x）＞0，则x＜-2或＞，令f′（x）＜0，则-2＜＜，（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2或x=，∵f（-3）=（-3）32f（-2）=13，f（）=，f（1）=13+2×12-4×1+5=4．∴函数的最大值为：13，最小值为：．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，即可求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求出函数的极值点，列出f（x）在[-3，1]上的导函数符号，求出函数的极值与端点值，即可求解函数的最大值和最小值．本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力．19.已知动点M到点（4，0）的距离比它到直线l：x=-3的距离多1．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）求过点（4，0）且倾斜角为30°的直线被曲线C所截得线段的长度．【答案】解：（1）由题意易知，动点M到点（4，0）的距离与到直线x=-4的距离相等，故M点的轨迹为以（4，0）为焦点，x=-4为准线的抛物线，此抛物线方程为y2=16x．（2）设直线与抛物线交点为A，B，直线AB方程为y-0=（x-4），即y=，将直线方程与抛物线方程联立，得x2-56x+16=0，故x A+x B=56，x A x B=16，|AB|=x A+x B+p=56+8=64．（1）根据抛物线的定义即可求动点M的轨迹C的方程；（2）求出直线方程，联立直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，利用弦长公式进行求解即可．本题主要考查抛物线的定义的应用，利用联立方程组，结合一元二次方程根与系数之间的关系是解决本题的关键．20.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E-AC-B的大小．【答案】解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB∴PB∥平面AEC（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．又FO=AB=PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补，故所求二面角E-AC-B的大小为135°．【解析】（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC 内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补．本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．21.已知函数f（x）=（x+a）e x，其中A为常数．（Ⅰ）若函数f（x）是区间[-3，+∞）上的增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥e2在x∈[0，2]时恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=（x+a）e x，所以f′（x）=（x+a+1）e x，-------------------------------（2分）因为函数f（x）是区间[-3，+∞）上的增函数，所以f′（x）≥0，即x+a+1≥0在[-3，+∞）上恒成立．------------------------------（3分）因为y=x+a+1是增函数，所以满足题意只需-3+a+1≥0，即a≥2．-------------------------------（5分）（Ⅱ）令f′（x）=0，解得x=-a-1-------------------------------（6分）f（x），f′（x）的情况如下：①当-a-1≤0，即a≥-1时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（0），若满足题意只需f（0）≥e2，解得a≥e2；--------------------------------------（11分）②当0＜-a-1＜2，即-3＜a＜-1时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（-a-1），若满足题意只需f（-a-1））≥e2，求解可得此不等式无解，所以a不存在；------------------------（12分）③当-a-1≥2，即a≤-3时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（2），若满足题意只需需f（2）≥e2，解得a≥-1，所以此时，a不存在．------------------------------（13分）综上讨论，所求实数a的取值范围为[e2，+∞）．【解析】（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）是区间[-3，-∞）上的增函数，可得f′（x）≥0，即x+a+1≥0在[-3，+∞）上恒成立，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）f（x）≥e2在x∈[0，2]时恒成立，等价于f（x）min≥e2在x∈[0，2]时恒成立，分类讨论，求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围．本题考查导数知识的综合运用，考查恒成立问题，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确转化是关键．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），椭圆上两点A，B坐标分别为A（a，0），B（0，b），若△ABF2的面积为，∠BF2A=120°．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．【答案】解：（1）在RT△BOF2中，∠BF2O=60°，计算得：b=c，a=2c由S△ABF2=（a-c）b=，计算得a=2，b=，c=1，所以椭圆标准方程为，证明：（2）由题意，当直线MN的斜率不存在，此时可设M（x0，x0），N（x0，-x0）．又MN两点在椭圆C上，所以，x02=．所以点O到直线MN的距离d==．当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m．由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．由已知△＞0，设M（x1，y1），M（x2，y2）．所以x1+x2=-，x1x2=．因为OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0．所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．所以（k2+1）-km×+m2=0．整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0．所以点O到直线MN的距离d===为定值．【解析】（1）在RT△BOF2中，∠BF2O=60°，计算得：b=c，a=2c，由S△ABF2=（a-c）b=，可计算得a=2，b=，c=1，从而可求椭圆标准方程．（2）分情况进行讨论：由题意，当直线MN的斜率不存在，此时可设M（x0，x0），N （x0，-x0），再由A、B在椭圆上可求x0，此时易求点O到直线MN的距离；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OM⊥ON，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，整理后代入韦达定理即可得m，k关系式，由点到直线的距离公式可求得点O到直线MN的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△＞0．本题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力．高中数学试卷第11页，共11页。

2014年大连市高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1.C2.C3.B4.D5.A6.C7.A8.B9.D 10.B 11.A 12.D 二、填空题： 13.225-14.3816π+ 15.3 16.2121+-n 三、解答题： 17、解：（I ）x x x x f 2cos 12sin 2322cos 1)(+++-==23)62sin(++πx-----------2分 由226222πππππ+≤+≤-k x k ，解得函数的单调增区间为)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ -----------4分由ππk x =+62，解得函数的对称中心为：))(23,122(Z k k ∈-ππ -----------6分 (II)由21)62sin(,223)62sin(,2)(=+∴=++∴=ππA A A f ，3,6562πππ=∴=+∴A A ------------------8分 又3=a ，由余弦定理：3,cos 222222=-+∴⋅-+=bc c b A bc c b a ，3≤∴bc ---------10分43343sin 21≤=⋅=bc A bc S ，当且仅当c b =时取等.-------12分18.（I ）证明：取BD 中点O ，连PO 、AO.由PB=PD=2,BD=2可知DPB ∆为等腰直角三角形， 则,1==AO PO 而PA=2，故AO PO ⊥， -------3分又BD PO ⊥，则ABCD PO 面⊥，故面;ABCD PBD 面⊥ ------------6分（II ）如图，按],,;[P B A O 建立坐标系，则)0,1,0(),0,0,1(B A ，)1,0,0(P ，),1,0,1(-=PA )1,1,0(-=PB ，设面PAB 的法向量为),,(z y x m =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PB m m ，得： ⎩⎨⎧=-=-0z y z x ， 令1=z ，则)1,1,1(=m-------7分又)0,21,23(-C ， 则)1,21,23(--=设平面PBC 的法向量为),,(c b a n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n n，⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-⇒021230c b a c b ， 令,1=c 则)1,1,33(-=n. --------9分则332-=⋅n m ，321||,3||==n m. -----------10分则212176|||||||,cos |-=⋅⋅=><n m n m n m. 故平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为212176------12分注：利用几何法证明相应给分。

辽宁省大连市第二十高级中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（理）试题卷Ⅰ一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．命题“∃x ∈R ，x2－2x ＋1＜0”的否定是(A ．∃x ∈R ，x2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x2－2x ＋1＞0C ．∀x ∈R ，x2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x2－2x ＋1＜02. 已知数列是等比数列，且，则的公比为（ ） A. B. C. D.3. 已知实数m 和2n 的等差中项是4,实数2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（ ）A ．2B ．3C ．6D ．94. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( ) A.x 24＋y 26＝1 B.x 26＋y 24＝1 C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 （ ）A. B. C. D.6．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172 7.设集合P ＝{m |－1＜m ＜0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅8.已知等差数列的前n 项和=18，若=1，，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．369.已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，，则数列{a n }的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．51010. 若实数、满足，且的最小值为，则常数的值为（ ）A ．2B ．C ．D ．11. 若a ＞0，b ＞0且a 2＋14b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值是( )A.32B.62C.54D.25812. 已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax 2+bx-c=0的两个根分别为x 1,x 2,则点P(x 1,x 2)在( )A.圆x 2+y 2=2上B.圆x 2+y 2=2内C.圆x 2+y 2=2外D.以上三种情况都有可能 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．．13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是__________．14．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若是的充分条件，则实数a 的取值范围是________．15. 已知函数的值域为，若关于x 的不等式的解集为，则实数c 的值为 ．16. 若点O 和点F 分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则·的最大值为 .三、解答题（17题10,其余每题12分）17、已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z 取最大值时，最优解有无数多个，求a 的值．18、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 面积为4.求椭圆的方程．19. p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2≤9，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝{|，∈R }，求实数m 的值． (2)若p 是的充分条件，求实数m 的取值范围．20. 在数列{}中，其前n 项和为S n ， S n ＋1＝4＋2，＝1．(1)设，求证数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝，求证数列{c n }是等差数列；(3)求数列{}的通项公式及前n 项和的公式.21. 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为 (1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．22.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是边长为2一个内角为60°的菱形的 四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，且在直线 l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．答案：一、CBBCA,CACDD,CB二、填空题：13、3 14、 15、9 16、617、【解】 作出可行域如图所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．---------6分当直线z ＝ax ＋y (a >0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，-----------8分 ∴－a ＝－35，即a ＝35.-------10分 18. 【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .---------6分(2)法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．----------12分法二 由(1)知a 1＝9， d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．19．【解】 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[2,3]，∴m ＝5.-------6分(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －3＞3或m ＋3＜－1，∴m ＞6或m ＜－4.即实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(6，＋∞)．-----------12分20. 解析：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3．由S n ＋1＝4a n ＋2 ①，则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2． ②②－①得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1．∴ {b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． ∴ b n ＝3×2 n －1．--------4分(2)∵ c n ＝，∴ c n ＋1－c n ＝－＝＝＝＝，c 1＝＝，∴ {c n }是以为首项，为公差的等差数列．----------8分＝－1－3×＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1 ＝2＋(3n －4)·2n －1．∴ 数列{a n }前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1．-----12分 21． (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则不等式f (x )＞－2x 化为ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a ＜0，＝3，即a ＜0，b ＝－4a －2，c ＝3a .因为方程ax 2＋bx ＋6a ＋c ＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b 2－4a (6a ＋c )＝0.把b ，c 分别代入Δ中，化简得5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15， a ＝1(舍去)．所以b ＝－65，c ＝－35.所以f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.------6分 (2)由(1)知a ＜0，所以当x ＝时，函数f (x )取得最大值，由题设，得a (－b 2a )2＋b ·(－b 2a)＋c ＞0.代入b ，c 并整理得a 2＋4a ＋1＞0.解得a ＜－2－3或a ＞－2＋ 3.又因为a ＜0，所以a 的取值范围为(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．--12分22.【解】 解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2 ，一内角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.—4分(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴， y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3， 所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0， 当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 23＋y 2＝1，y ＝kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1， 则|AO |＝1＋k 233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1k x ， 它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，y ＝－1k x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3k k －1，y 0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －2，。

一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集R =U ，集合}3|{<=x x A ，}2|{>=x x B ，则右图中阴影部分表示的集合为 （ ）A.)4(∞+，B.)3(，-∞C.)2(，-∞D.)32(， 2．函数)1lg()(-=x x f 的定义域是（ ）A.),2(+∞B. ),1(+∞C. ),1[+∞D. ),2[+∞ 3．设向量)0,1(=a ,)21,21(=b ,则下列结论中正确的是（ ）A. b a =B. 22=⋅b a C. b a // D. b a -与b 垂直4．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A.92 , 2 B.92 , 2.8 C. 93 , 2 D. 93 , 2.8 5．函数x x x f cos sin 2)(=是 （ ）A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π2的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数6．已知a =2lg ，则=5lg （ ） A. a -1B.25a C.a +1 D.a 37．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( ) A ．3 B ．11 C ．38 D ．123第1题图8．满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是 （ ）A.1B.32C.2D.39．下表是某厂1—4y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.2510．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO → 11．从{1,2,3,4}中随机选取一个数为a ，从{1,2}中随机选取一个 数为b ，则a b >的概率是（ ） A.81 B. 41 C.83 D. 21 12．函数x x x f sin )(-=的零点个数为（ ）A.0B.1C.2D.3二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程） 13．=32cosπ． 14．直线12-=x y 与直线1+=kx y 垂直，则k =． 15.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

2014-2015学年度上学期期中Ⅰ考试高三年级数学科试卷命题学校：大连二十四中学 命题人：庄杰 校对人：庄杰第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}22,,2,P y y x x R Q y y x x R ==-+∈==-+∈，那么PQ =（ ）（A ）(0,2),(1,1) （B ）{(0,2),(1,1)} （C ）{1,2} （D ）{2}y y ≤2．设全集1,{0}2x U R M xx +==≥-，则U M =ð（ ） （A ）{}|12x x -<< （B ）{}|12x x -<≤（C ）{}|12x x -≤< （D ）{}|12x x -≤≤3．已知,a b R Î，那么“221a b +<”是“1ab a b +>+”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件4．已知432()41027f x x x x =-+-，则方程()0f x =在[2,10]上解的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）35．若[,]63x ∈ππ,则2()2cos sin 1f x x x =+-的值域是( )（A ）[2,0]- （B ）[1,2]- （C ）9]8（D ）1,1]26．函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）102a << （B ）11a a <->或 （C ）12a > （D ）2a >-7．如果函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，则a 值为（ ）（A ）（B ）1- （C ）1（D ）28．已知函数()21x f x =-，对于满足120x x <<的任意12,x x ，给出下列结论： （1）2121()[()()]0x x f x f x --< （2）2112()()x f x x f x < （3）2121()()f x f x x x ->- （4）1212()()()22f x f x x xf ++>其中正确的结论的序号是（ ）（A ）（1）（2） （B ）（1）（3） （C ）（2）（4） （D ）（3）（4）9．已知θ为第二象限角，且sincos22θθ<，那么sincos2θθ+的取值范围是（ ）（A ）(1,0)- （B ） （C ）(1,1)- （D ）(1)-10．下列结论：①函数y =2y =是同一个函数；②函数(1)f x -的定义域为[1,2]，则函数2(3)f x 的定义域为[0,]3；③函数22log (23)y x x =+-的递增区间为(1,)-+∞；④若函数(21)f x -的最大值是3，那么(12)f x -的最小值就是3-．其中正确．．的个数为（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个11．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(3)cos cosb c A a C -=，ABC S ∆=BA AC ⋅=（ ）（A （B ）2 （C ）1 （D ）1-12．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当0x >，()()0f x xf x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），设1122(log 4)(log 4)a f =，b ，11(lg )(lg )55c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）（A ）c a b >> （B ）c b a >> （C ）a b c >>（D ）a c b >>第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为_______________．14．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--=是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是______________．15．23sin 702cos 10-︒=-︒________________．16．已知函数213,1()log ,1x x x f x x x ìï-+ ïïí>ïïïî，()1g x x k x =-+-，若对任意的12,x x R Î都有12()()f x g x £成立，则实数k 的取值范围为___________.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（2）若06()5f x =，0[,]42x ππ∈，求0cos 2x 的值．18．(本小题满分12分)设函数22()ln ,()f x x m x h x x x a =-=-+．（1）当0a =时，()()f x h x ≥在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）当2m =时，若函数()()()k x f x h x =-在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围；19．(本小题满分12分)如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，3=AB ， 1=BC ，P 为ABC △内一点，90BPC ∠=．（1）若21=PB ，求PA ； （2）若APB ∠＝150°，求PBA ∠tan ．20．(本小题满分12分)已知在锐角△ABC 中，222sin (sin sin sin )sin cos C A B C A B C +-． （1）求角C 的大小；（2）当1c =时，求a b +的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈． （1）设0a ≥，求)(x f 的单调区间；（2）设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥．试比较ln a 与2b -的大小．22．(本小题满分12分)已知函数21()ln (,)2f x x ax bx a R b R =--∈∈. （1）当1b =时,若()y f x =存在单调递减区间，求a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个不同的零点12,x x ，求证:0)2(21<+'x x f .2014-2015学年度上学期期中Ⅰ考试高三年级数学科答案一． DBABD CBCDA DC 二．13. 1e 14.(1,2) 15.2 16.35(,][,)44-∞+∞ 三．17.（1）解由已知()2sin(2)6f x x π=+所以函数()f x 的最小正周期为π. ……………2分 当[0,]2x π∈时，72[,]666x πππ+∈，所以函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值为2， 最小值为1- ……………6分 （2）由（1）可知00()2sin(2)6f x x π=+，又因为06()5f x =，所以03sin(2)65x π+= ，由0[,]42x ππ∈，得0272[,]636x πππ+∈，从而04cos(2)65x π+=-，所以00cos 2cos[(2)]66x x ππ=+-=10分18．（1）由题意ln x m x ≤，设()ln x x x ϕ=，则2ln 1()ln x x xϕ-'=， ()x ϕ在(1,)e 上递减，在(,)e +∞上递增，min ()()x e e ϕϕ==，所以m e ≤． ……………6分（2）由()2ln 0k x x x a =-+-=，得2ln a x x =-+，19．（1）由已知得,60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒，在△PBA 中,由余弦定理得2PA =． ……………6分 （2）设PBA α∠=,由已知得sin PB α=,在△PBA 中,osin sin(30)αα=-,4sin αα=,∴tan αtan PBA ∠. ……………12分20.（1）由已知得sin C =，△ABC 为锐角三角形，得3C π=． ……………4分（2）由正弦定理得2R =则sin )sin())3a b A B A A +=+=++π3(sin )2sin()226A A A π=+=+由(,)A ππ∈，得2(,)A πππ+∈，则a b +∈． ……………12分当0=a 时，()f x x'=①若0≤b ，函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞②若0>b ，函数()f x 的单调递减区间是1(0,)b ，单调递增区间是1(,)b+∞.当0>a 时，()0f x '=，得0122=-+bx ax ，由082>+=∆a b ，得aab b x a a b b x 48,482221++-=+--=，显然，0,021><x x 所以函数()f x的递减区间是(0,4b a -，递增区间是()4b a-+∞．……………6分 （2）由0a >，且对于任意0x >， ()(1)f x f ≥，则函数()f x 在1=x 处取得最小值，由（1）知，a ab b 482++-是()f x 的唯一的极小值点，故1482=++-aa b b ，整理得12=+b a 即a b 21-=．令()24ln g x x x =-+， 则14()x g x x-'=，令()0,g x '=得41=x ，()g x 在1(0,)4单调递增，在1(,)4+∞单调递减，max 11()()1ln 1ln 4044g x g ==+=-<，故()0g a <，即0ln 2ln 42<+=+-a b a a ，即b a 2ln -<． ……………12分 22．（1）当1b =时，21()ln (0)2f x x ax x x =-->． 1()1f x ax x'∴=--，由于()y f x =存在单调减区间，因此()0f x '<在(0,)+∞上有解， 即2211111110()24ax a x x x x --<⇒>-=-- min 2111()4x x -=-，故14a >-． ……………6分 （2）211122221ln 21ln 2x ax bx x ax bx ⎫=+⎪⎪⎬⎪=+⎪⎭22112121212211ln()()()[()]22x a x x b x x x x a x x b x ⇒=-++=-++ 121212ln1()2x x a x x b x x ⇒++=- 则1211212121222121()()ln 22x x x f a x x b x x x x x x x +'=-+-=-++- 11212111212212222(1)2()11(ln )(ln )1x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+不妨设12x x <，则120x x -<，令22()ln (0,1)1t g t t t t -=-∈+，则2(1)()0(1)t g t t t -'=-<+ ()g t 在(0,1)t ∈递减，()(1)0g t g >=，即1211222(1)ln 01x x xx x x -->+ 故0)2(21<+'x x f ． ……………12分。

2015年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(理科)试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ） A.{}0,3 B.{}2,0,3 C.{}1,0,3 D.{}2,1,0,3 2．若复数(21a -)＋(1a -)i (i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ ( ) A ．±1 B ．－1 C ．0 D ．1 3．有下列关于三角函数的命题：1:,()2P x x k k ∀∈≠+∈R Z ππ，若tan 0x >，则sin 20x >；23:sin()2P y x π=-函数与函数cos y x =的图象相同；300:,2cos 3P x x ∃∈=R ；4:|cos |P y x =函数()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（ ）A ．1P ，4PB ．2P ，4PC ．2P ，3PD ．1P ，2P4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 65．已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C. 76π D. 2π(第4题图)6．某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：附：22112212211212()n n n n n K n n n n ++++-=，则下列结论正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”B ．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”7.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k 的值为（ ） A. 1 B.－1 C. 2 D. --2 8. 已知菱形ABCD 的边长为3，060B?，沿对角线AD 折成一个四面体，使得平面ACD ^平面ABD ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）A. 15pB. 154pC. D. 6p9．定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ）A ．3(2)2(3)f f <B ．3(4)4(3)f f <C ．2(3)3(4)f f <D ．(2)2(1)f f <10. 已知12F F 、分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A.B.)+∞C. D. (2,)+∞11. 如图，长方形ABCD 的长2AD x =，宽(1)AB x x =≥，线段MN 的长度为1，端点N M ,在长方形ABCD 的四边上滑动，当N M ,沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值的差为y ，则函数()y f x =的图象大致为（ ）12.已知函数1ln 1)(-+=x xx f ,*)()(N k x k x g ∈=，若对任意的1c >,存在实数b a ,满足0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|U R A x x ==≤0},{|B x x =≥1}，则集合()U A B =U ð（ ） A ．{|x x ≥0} B ．{|x x ≤1} C ．{|0x ≤x ≤1} D ．{|01}x x <<【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】集合的并集、补集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】由题意可知，A B U ＝{|01}x x x ≤或≥，所以()U A B =U ð{|01}x x <<．故选D. 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【测量目标】复数的基本性质和运算.【考查方式】复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由(2i)(2i)5z --=，得52i 2iz -=-，故z ＝23i +.故选A. 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【测量目标】对数的基本运算.【考查方式】对数的大小比较. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】因为13021a -<=<，21log 03b =<，121log 3c =>121log 2c =＝1，所以c a b >>.故选C.4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【测量目标】空间直线与直线，直线与平面的位置关系. 【考查方式】线线平行、垂直，线面平行、垂直的判定. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知，若//,//,m n αα则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错误．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊥或n 与α相交，故D 错误．故选B.5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0⋅=a b ，0⋅=b c ，则0⋅=a c ；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝⌝∧D ．()p q ⌝∨【测量目标】向量的平行与垂直，真假命题的判定. 【考查方式】利用向量之间的位置关系对命题的真假进行判定. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当0≠b 时，,a c 一定共线，故命题q 是真命题．故p q ∨为真命题．故选A.6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 【测量目标】排列组合.【考查方式】利用插空法进行排列组合. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，3334A C 24=.故选D.7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．π82-D ．π84-第7题图 【测量目标】几何体的体积、三视图.【考查方式】利用三视图对体积的考查. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分（占柱的14）后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.故选B.8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d > 【测量目标】等差数列的基本性质.【考查方式】利用等差数列的性质对首项和公差的正负进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题分析】令12n n b a a =，因为数列{}12n a a 为递减数列，所以111111122()212n n n n n nb a a a a a a d b a a +++==-=<，所得10a d <.故选C.9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π7π[,]1212上单调递减 B ．在区间π7π[,]1212上单调递增 C ．在区间ππ[,]63-上单调递减 D ．在区间ππ[,]63-上单调递增 【测量目标】三角函数的平移及性质.【考查方式】求正弦型三角函数平移后的单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知，将函数π3sin(2)3y x =+的图像向右平移π2个单位长度得到函数2π3sin(2)3y x =-的图像，令π2π2k -+≤2π23x -≤π2π2k +，k ∈Z ，即ππ12k +≤x ≤7ππ12k +，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数2π3sin(2)3y x =-的单调递增区间为π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，可知当0k =时，函数在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．故选B.10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【测量目标】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】求过抛物线准线并与抛物线相切的直线的斜率. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】因为抛物线C ：22y px =的准线为2px =-，且点(2,3)A -在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为2(3)x m y +=-，与抛物线方程28y x =联立得到2824160y my m -++=，由题易知V ＝0，解得m ＝12- (舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率804823BF k -==-.故选D.11.当[2,1]x ∈-时，不等式3243ax x x -++≥0恒成立，则实数a 的取值围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--【测量目标】函数的导函数、单调区间、最值.【考查方式】通过给定函数值的围，利用导函数求函数的单调区间并找出未知量的围. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题分析】当2-≤0x <时，不等式转化为a ≤2343x x x --，令2343()(2x x f x x--=-≤0)x <， 则24489(9)(1)'()x x x x f x x x -++--+==，故()f x 在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤14321+-=--.当0x =时，()g x 恒成立．当0x <≤1时，a ≥2343x x x --，令2343()(0x x g x x x --=<≤1)，则24489(9)(1)'()x x x x g x x x-++--+==， 故()g x 在(0，1]上单调递增，此时有a ≥14361--=-.综上，6-≤a ≤2-.故选C.12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12πD ．18【测量目标】函数概念的新定义，不等式的性质.【考查方式】给出新定义的函数，利用给定条件求解未知量的围. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题分析】不妨设0≤y ≤x ≤1.当x y -≤12时，11|()()|||()22f x f y x y x y -<-=-≤14. 12x y ->时，|()()|()(1)(()(0))f x f y f x f f y f -=---≤1()(1)()(0)2f x f f y f -+-< 111110()2224x y x y -+-=--+<.故min 14k =.故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .第13题图 【测量目标】程序框图的运算.【考查方式】利用程序框图进行基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】299【试题分析】当9x =时，5y =，则4y x -=；当5x =时，113y =，则43y x -=；当113x =时，299y =，则419y x -=<.故输出299y =.14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .第14题图 【测量目标】定积分的求解，随机事件的概率.【考查方式】利用定积分求出面积比，进而求出随机事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题分析】正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积1231111182(1)d 2()33S x x x x --=-=-=⎰，故质点落在阴影区域的概率82343P ==.15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .【测量目标】椭圆的定义及几何性质.【考查方式】椭圆的焦点以及椭圆的几何性质求解相关弧长. 【难易程度】中等 【参考答案】12 【试题分析】取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点1F 的对称点为A ，点M 关于C 的焦点2F 的对称点为B ，则有112GF AN =，212GF BN =，所以122()412AN BN GF GF a +=+==.16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .【测量目标】基本不等式的基本应用.【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】－2【试题分析】由题知2222(2)3(43)c a b a b =-+++．221(43)(1)3a b ++≥222(2)43a b a b +⇔+≥23(2)4a b +，即2c ≥25(2)4a b +，当且仅当2243113a b =，即236a b λ==(同号)时， 2a b +240c λ=.223451111(4)288a b c λλλ-+=-=--≥2-， 当且仅当315,,422a b c ===时，345a b c-+取最小值2-.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边,,a b c 且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【测量目标】两角差的余弦公式、向量的数量积.【考查方式】利用正弦定理和余弦定理解三角形中的边和角. 【难易程度】中等【试题分析】（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又3b =，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2,33,2a c a c ====或. 因为a c >,3,2a c ∴==. （2）在△ABC中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos 9C ===. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723393927⋅+⋅=. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：第18题图将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .【测量目标】频率分布直方图，随机事件的概率随机变量的期望和方差. 【考查方式】以频率分布直方图为载体计算事件的概率、分布列、期望、方差. 【难易程度】中等 【试题分析】（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= ， 2()0.003500.15P A =⨯=，()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.21619. （本小题满分12分）如图，△ABC 和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E F 、分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.第19题图1【测量目标】线线垂直的判定，二面角的正弦值.【考查方式】通过找线、面之间的位置关系，证明线线垂直，求二面角的三角函数值. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）证明： （方法一）过E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连OF ，第19题图2由△ABC ≌△DBC 可证出△FOC ≌△EOC ，所以π2EOC FOC ∠=∠=，即FO BC ⊥， 又EO BC ⊥，因此BC ⊥平面EFO ， 又EF ⊂平面EFO ，所以EF BC ⊥.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.第19题图3易得(0,0,0),(0,3)B A -,3,1,0)D -，(0,2,0)C ,因而1331(0,,0)22E F ,所以33((0,2,0)EF BC ==u u u r u u ur ，因此0EF BC ⋅=u u u r u u u r ,从而EF BC ⊥u u u r u u u r ，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图2中，过O 作OG BF ⊥，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG BF ⊥，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此EGO ∠为二面角E BF C --的平面角； 在△EOC 中，113cos30222EO EC BC ==⋅=o ，由△BGO ∽△BFC知，34BO OG FC BC =⋅=,因此tan 2EOEGO OG∠==,从而sin EGO ∠=255，即二面角E BF C --的正弦值为255. （方法二）在图3中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)=n ，设平面BEF 的法向量2(,,)x y z =n ，又3113(,,0),(0,,)22BF BE ==u u u r u u u r ,由220BF BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 得其中一个2(1,3,1)=-n ，设二面角E BF C --的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212,cos |cos ,|||||||5θ=<>==⋅n n n n n n ，因sin θ=5=255，即二面角E BF C --的正弦值为255.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.第20题图1【测量目标】直线与圆的位置关系，双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用圆的切线的关系，双曲线的离心率求双曲线方程，通过椭圆与双曲线的的几何性质求解椭圆方程求出直线方程. 【难易程度】较难【试题分析】（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y =时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P得坐标为 ，由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （2）由（1）知2C的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 方程为22163x y +=. 显然，l 不是直线0y =.设l的方程为x my =+1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=，又12,y y 是方程的根，因此122122232y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，由1122x my x my ==1212221212122()66()32x x m y y m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122),)AP x y BP x y ==u u u r u u u r由题意知0AP BP ⋅=u u u r u u u r ，所以12121212))40x x x x y y y y ++++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+=，解得12m =-或12m =-+，因此直线l 的方程为1)0x y --=，或1)0x y +=.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+，2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πx g x x x x =--+-. 证明：（1）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0g x =，且对（1）中的0x 有01πx x +<. 【测量目标】函数的零点.【考查方式】利用函数导函数的性质求解三角函数中的零点问题. 【难易程度】较难【试题分析】（1）当π(0,)2x ∈时，2'()(1sin )(π2)2cos 03f x x x x x =-++--<，函数()f x 在π(0,)2上为减函数，又28π16(0)π0,()π0323f f =->=--<，所以存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =. （2）考虑函数3(π)cos 2π()4ln(3),[,π]1sin π2x x h x x x x -=--∈+，令πt x =-，则π[,π]2x ∈时，π[0,]2t ∈，记3cos 2()(π)4ln(1)1sin πt t u t h t t t =-=-++，则3()'()(π2)(1sin )f t u t t t =++ ， 由（1）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0π(,)2t x ∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0π(,)2x 上()u t 是减函数，由0π()0,()4ln 202u x u >=-<，存在唯一的10π(,)2t x ∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10π(,)2t x ∈使1()0u t =.因此存在唯一的11ππ(,π)2x t =-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当π(,π)2x ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1π(,π)2x ∈，使1()0g x =.因1110π,x t t x =->，所以01πx x +<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于,D G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =，求证:AB ED =.第22题图1【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】利用圆的性质证明相关结论. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）因为PD PG =,所以PDG PGD ∠=∠.由于PD 为切线，故PDA DBA ∠=∠,又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠,所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠,从而BDA PFA ∠=∠.由于AF 垂直EP ，所以90PFA ∠=o，于是90BDA ∠=o，故AB 是直径. (2)连接BC ，DC .第22题图2由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB .由于,AB EP ⊥所以,DC EP DCE ⊥∠为直角，于是ED 是直径，由（1）得ED =AB .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】参数方程与极坐标方程转化为普通方程进行求解. 【难易程度】中等【试题分析】（1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t为参数）.(2)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()f x ≤1的解集为M ，()g x ≤4的解集为N .（1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：22()[()]x f x x f x +≤14. 【测量目标】不等式选讲，集合的简单运算.【考查方式】函数与集合结合证明不等式. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当x ≥1时，由()33f x x =-≤1得x ≤43，故1≤x ≤43； 当1x <时，由()1f x x =-≤1得x ≥0，故0≤1x <； 所以()f x ≤1的解集为{|0M x =≤x ≤4}3.(2)由2()1681g x x x =-+≤4得2116()4x -≤4,解得14-≤x ≤34，因此1{|4N x =-≤x ≤3}4，故{|0M N x =I ≤x ≤3}4.当x M N ∈I 时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+211()(1)()42x f x x x x =⋅=-=--≤14.。

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知f（x）=lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．2．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10=（）A．55B．81C．90D．1003．（5分）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（）A．B．C．D．4．（5分）设a，b，c都是实数．已知命题p：若a＞b，则a+c＞b+c；命题q：若a＞b＞0，则ac＞bc．则下列命题中为真命题的是（）A．（¬p）∨q B．p∧q C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨（¬q）5．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等于（）A．130B．120C．55D．506．（5分）已知变量，满足，目标函数是z=2x+y，则有（）A．z max=5，z min=3B．z max=5，z无最小值C．z min=3，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值7．（5分）已知（x2+mx）dx=0，则实数m的值为（）A．B．C．﹣1D．﹣28．（5分）过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，则AB 的中点到y轴的距离等于（）A．1B．2C．3D．49．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10B．﹣14C．10D．1410．（5分）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件11．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6C．D．1212．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是．14．（5分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．15．（5分）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，则a1+q的值为．16．（5分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为．18．（12分）已知数列{a n}为等差数列，且a1=1．{b n}为等比数列，数列{a n+b n}的前三项依次为3，7，13．求（1）数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{a n+b n}的前n项和S n．19．（12分）如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线l：y=m（m＜0）上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A．（I）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求证：点S，T在以FM为直径的圆上；（Ⅲ）当点M在直线l上移动时，直线AB恒过焦点F，求m的值．20．（12分）已知函数，a∈R，且a≥0．（Ⅰ）若f'（2）=1，求a的值；（Ⅱ）当a=0时，求函数f（x）的最大值；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．21．（12分）椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．（I）求椭圆方程；（II）求m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t ）e x，（t∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数y=f（x）有三个极值点，求t的取值范围；（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知f（x）=lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．【解答】解：∵，∴．故选：D．2．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10=（）A．55B．81C．90D．100【解答】解：设等差数列知{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得．∴S10==10×1+45×2=100．故选：D．3．（5分）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由于椭圆的标准方程为：则c2=132﹣122=25则c=5又∵双曲线的离心率∴a=4，b=3又因为且椭圆的焦点在x轴上，∴双曲线的方程为：故选：A．4．（5分）设a，b，c都是实数．已知命题p：若a＞b，则a+c＞b+c；命题q：若a＞b＞0，则ac＞bc．则下列命题中为真命题的是（）A．（¬p）∨q B．p∧q C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨（¬q）【解答】解：∵命题p：若a＞b，则a+c＞b+c是真命题，则￢p为假命题，命题q：若a＞b＞0，则ac＞bc是假命题，￢q是真命题，∴（¬p）∨q为假命题，p∧q为假命题，（¬p）∧（¬q）为假命题，（¬p）∨（¬q）为真命题故选：D．5．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等于（）A．130B．120C．55D．50【解答】解：在数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，即，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴=2n．∴=n．∴数列{b n}的前10项和=1+2+…+10==55．故选：C．6．（5分）已知变量，满足，目标函数是z=2x+y，则有（）A．z max=5，z min=3B．z max=5，z无最小值C．z min=3，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值【解答】解：先根据约束条件画出可行域当直线z=2x+y过点B（2，1）时，z最大是5，当直线z=2x+y过点C（1，1）时，z最小是3，故选：A．7．（5分）已知（x2+mx）dx=0，则实数m的值为（）A．B．C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵==，令，解得m=．故选：B．8．（5分）过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，则AB 的中点到y轴的距离等于（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为l：x=﹣1，设AB的中点为E，过A、E、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示：则由EG为直角梯形的中位线知，EG====5，∴EH=EG﹣1=4，则AB的中点到y轴的距离等于4．故选：D．9．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10B．﹣14C．10D．14【解答】解：由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集，所以方程ax2+bx+2=0的解为，所以a﹣2b+8=0且a+3b+18=0，所以a=﹣12，b=﹣2，所以a﹣b值是﹣10．故选：A．10．（5分）“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件【解答】解：由a＞b＞0能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是a，b∈R且a≠b．故选：A．11．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6C．D．12【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选：C．12．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【解答】解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是2．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）令f′（x）=0得x=0或x=2（舍）当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f（x）的最大值为2故答案为214．（5分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=∴mn=故答案为：．15．（5分）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，则a1+q的值为3或﹣3．【解答】解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，∴，解得或；当a1=1，q=2时，a1+q=3，当a1=﹣1，q=﹣2时，a1+q=﹣3；∴a1+q的值为3或﹣3．故答案为：3或﹣3．16．（5分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为②③．【解答】解：根据椭圆的定义，只有当P到两定点A、B距离之和大于|AB|即k ＞时，动点P的轨迹为椭圆．①假命题双曲线的焦点是（，0），椭圆的焦点是（，0），焦点相同．②真命题方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则x=1时，2﹣5+a＜0，且＞0，即0＜a＜3故③真命题依照双曲线的第二定义，和定点A（5，0）及定直线：x=的距离之比为的点的轨迹方程为．直线l不应是．④假命题故答案为：②③．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为16．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．故答案为：16．18．（12分）已知数列{a n}为等差数列，且a1=1．{b n}为等比数列，数列{a n+b n}的前三项依次为3，7，13．求（1）数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：①设公差为d，公比为q∵数列{a n+b n}的前三项依次为3，7，13∴又a1=1∴∴a n=2n﹣1，b n=2n②∵a n=2n﹣1，b n=2n∴a n+b n=（2n﹣1）+2n∴S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）==n2+2n+1﹣219．（12分）如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线l：y=m（m＜0）上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A．（I）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求证：点S，T在以FM为直径的圆上；（Ⅲ）当点M在直线l上移动时，直线AB恒过焦点F，求m的值．【解答】解：（I）设抛物线E的方程为x2=2py（p＞0），依题意，所以抛物线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．x1x2≠0，否则切线不过点M ∵，∴切线AM的斜率，方程为，其中令y=0，得，点T的坐标为，∴直线FT的斜率，∵，∴AM⊥FT，即点T在以FM为直径的圆上；同理可证点S在以FM为直径的圆上，所以S，T在以FM为直径的圆上．（Ⅲ）抛物线x2=4y焦点F（0，1），可设直线AB：y=kx+1．由，则x1x2=﹣4．由（Ⅱ）切线AM的方程为过点M（x0，m），得，同理消去x0，得∵x1≠x2，由上x1x2=﹣4∴，即m的值为﹣1．20．（12分）已知函数，a∈R，且a≥0．（Ⅰ）若f'（2）=1，求a的值；（Ⅱ）当a=0时，求函数f（x）的最大值；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），．由f'（2）=1，解得．（Ⅱ）由f（x）=lnx﹣x，得．由，解得0＜x＜1；由，解得x＞1．所以函数f（x）在区间（0，1）递增，（1，+∞）递减．因为x=1是f（x）在（0，+∞）上唯一一个极值点，故当x=1时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（1）=﹣1．（Ⅲ）因为（1）当a=0时，．令解得0＜x＜1（2）a＞0时，令，解得或x=1．（ⅰ）当即0＜a＜1时，由，及x＞0得ax2﹣（a+1）x+1＞0，解得0＜x＜1，或；（ⅱ）当即a=1时，因为x＞0，恒成立．（ⅲ）当即a＞1时，由，及x＞0得ax2﹣（a+1）x+1＞0，解得，或x＞1；综上所述，当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，1）；当0＜a＜1时，函数f（x）的递增区间是（0，1），；当a=1时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；当a＞1时，函数f（x）的递增区间是，（1，+∞）．21．（12分）椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．（I）求椭圆方程；（II）求m的取值范围．【解答】解：（I）设C：=1（a＞b＞0），设c＞0，c2=a2﹣b2，由条件知2b=，，∴a=1，b=c=故C的方程为：（II）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）由得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0△=（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）=4（k2﹣2m2+2）＞0（*），∵∴﹣x1=3x2∴得3（x1+x2）2+4x1x2=0，∴3整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2=0m2=时，上式不成立；m2时，，由（*）式得k2＞2m2﹣2因k≠0∴＞0，∴﹣1＜m＜﹣或＜m＜1即所求m的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．22．（12分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t ）e x，（t∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数y=f（x）有三个极值点，求t的取值范围；（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．【解答】解：（I）f′（x）=（3x2﹣12x+3）e x+（x3﹣6x2+3x+t）e x=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）e x，∵f（x）有三个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有三个根，令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，g′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）∴g（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上递增，（﹣1，3）上递减，∵g（x）有三个零点，∴∴﹣8＜t＜24…（4分）（II）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）e x≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．…（6分）设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ′（x）=﹣e﹣x﹣2x+6．设r（x）=φ′（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r′（x）=e﹣x﹣2，因为1≤x≤m，有r′（x）＜0．故r（x）在区间[1，m]上是减函数…（8分）又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0，故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ′（x）＞0，当x＞x0时，有φ′（x）＜0．从而y=φ（x）在区间[1，x0）上递增，在区间（x0，+∞）上递减…（10分）又φ（1）=e﹣1+2＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0，所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；故使命题成立的正整数m的最大值为5．…（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

辽宁省大连市六校2014-2015学年高二数学上学期期末联考试题文（扫描版）2014-2015学年度上学期期末考试高二年级文科数学答案一、选择题1-5 A C D A A 6-10 C B C A C 11-12 B A二、填空题13. 2 14. 49 15. 01a <≤或43a ≥ 16. (4,2)-- 三、解答题17.解：a x a p 3:<< 则a x p ≤⌝:或a x 3≥ …………………………3分32:≤<x q 则2:≤⌝x q 或3>x …………………………6分p ⌝Q 是q ⌝的充分不必要条件q p ⌝⇒⌝∴，且q ⌝ 推不出 p ⌝ ………………………………8分⎩⎨⎧>≤<∴3320a a 解得：21≤<a ，故实数a 的取值范围是]2,1(.…………………10分 18.解：（I ）当0=x 时，C=8，所以k =40，故C ()5340+=x x ……………3分 ()().1005380065340206≤≤++=+⨯+=x x x x x x f …………………6分 (Ⅱ) ()(),7010160021053800532538006=-≥-+++=++=x x x x x f ……9分 当且仅当5,53800106=+=+x x x 即时取得最小值. ……………………11分 即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元. ………12分19. 解：（1）2221211()02x f x x x x x-'=-==⇒=………………………………..2分 列表如下： x1(0,)2 12 1(,)2+∞ ()f x '- 0 + ()f x ↘ 极小值2ln2- ↗……………………………………………………………………………………4分.所以，()f x 单调递减区间为1(0,)2，单调递增区间为1(,)2+∞，极小值是2ln2-， 无极大值 (6)（2）由（1）可知()f x 在(1,)+∞上单调递增所以2min 22()(1)1t mt f x f -+≤==即2210t mt -+≤对[1,2]t ∀∈恒成立………….8分所以12104410m m -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得54m ≥ ……………………………………………….12分 20.解：解：（Ⅰ）证明：11222121n n n n b b a a -+-=---*42222()12121212(1)14n n n n na n N a a a a =-=-=∈----- ∴数列{}nb 是等差数列………………………………………..4分 11121,221a b a =∴==- 2(1)22n b n n ∴=+-⨯= 由*221,21()21n n n n b a n N a b n=-==∈-得 12n n a n +∴=……….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论得11,2(1)22n n n n n n a c n a n n ++=∴=⋅⋅=+⋅……8分123223242(1)2n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅①234122232422(1)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅，②①-②，得123122222(1)2n n n S n +-=⋅++++-+⋅111222(1)22,n n n n n +++=+--+⋅=-⋅12n n S n +∴=⋅ …………………………………………………..12分21解： （I ）由题意得22242223ab ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩，． 又0a b >>，解得28a =，21b =． 因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． …………………………4分 (Ⅱ)假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)． 解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，， 得22818A x k =+，222818A k y k =+，所以 22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+………6分 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=． 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ …… 9分 ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． ………………………………11分当k ＝0，S △AMB 1164212229=⨯⨯=>； 当k 不存在时，S △AMB 1162222229=⨯⨯=>． 综上所述，△AMB 面积的最小值为169． ………………………………12分 22、（1）因为1)1()(-++='n n bnx x n a x f ， 所以a a n b a f =++=')()1(又因为切线x y 1+=的斜率为1-，所以1a =-()1f a b c c =++=，由点（1,c ）在直线x y 1+=上，可得1c 1+=，即c 0= 1,1,0a b c ∴=-== ……………….. 3分（2）由（1）知，1()n n f x x x +=-+，所以)1()1()(1x n n x n x f n -++='- 令0)(='x f ，解得=x 1+n n ，即)(x f '在（0，+)∞上有唯一零点=0x 1+n n 当0<x <1+n n 时，0)(>'x f ，故)(x f 在（0，1+n n ）上单调递增； 当x >1+n n 时，0)(<'x f ，故)(x f 在（1+n n ，+)∞上单调递减；………….. 6分 )(x f 在（0，+)∞上的最大值max )(x f =)1(+n n f =n n n )1(+)11(+-n n =1)1(++n nn n …………………………………………………………………..…7分 （3）证法1：要证对任意的),0(+∞∈x 都有,1)(ex nf <只需证max ()nf x 1e < 由（2）知在),0(+∞上)(x f 有最大值，max )(x f =1(1)n n n n ++ ，故只需证11(1)n n n n +++1e < 1)1(++n n n e 1<，即0111ln <+++n n n ① ……………. 10分 令1n t n =+)121(<≤t ，则t n -=+111，①即ln -10t t +< ② 令)121(1ln )(<≤+-=t t t t g ，则,111)(tt t t g -=-=' 显然当21≤t<1时，0)(>'t g ，所以)(t g 在[21，1）上单调递增， 所以0)1()(=<g t g ，即对任意的121<≤t ②恒成立， 所以对任意的),0(+∞∈x 都有ex nf 1)(< …………………………. 12分 证法2：令()()1ln 10t t t t ϕ=-+>，则()()221110t t t t t t ϕ-'=-=>． 当01t <<时，()0t ϕ'<，故()t ϕ在()0,1上单调递减；而当1t >时，()0t ϕ'>，故()t ϕ在()1,+∞上单调递增．()t ϕ∴在()0,+∞上有最小值，()()min 10t ϕϕ==． ()()01t t ϕ∴>>，即()1ln 11t t t>->. 令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，即11ln ln n n e n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11n n e n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 即()111nn n nen +<+. 由（2）知，()()111nn n f x nen +≤<+，故所证不等式成立． (评分标准仿证法1)。