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数学史上的著名猜想之（一）—―被否定的数学猜想过伯祥数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数学功底，即使想接近它也十分困难。
本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备.1．被否定的数学猜想（1）试证第五公设的漫长历程几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的.几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学近2000年的极其伟大的经典著作《几何原本》.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，是几何学史上的一个里程碑.其二，也正是由于《几何原本》的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题--欧几里得第五公设问题.在《几何原本》的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设：“若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在《几何原本》中引用得很少（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设.于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就这样，数学家们开始了试证第五公设的历程.这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件工作.然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决.第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）.直至19世纪，人们才逐渐意识到“欧氏第五公设可以证明”是一个错误的猜想,但它却引导数学家们得到了有意义的结果.所以说：错误的猜想有时也是极有意义的！“在我们试图证明某个猜想的时候，如果使尽各种招数仍无进展，就应去查一查这个猜想本身有没有毛病.”（2）引出一个大胆猜想第五公设的一个又一个试证，总是发生“偷用”某个与第五公设等价的“假设”去代替的毛病，这逐渐地使几位思想较开阔而又有远见的数学家高斯、亚诺什•鲍耶、罗巴契夫斯基意识到:“欧几里得第五公设是不能从《几何原本》的其余公设、公理中导出.”也即与其它公设公理不相依赖，并且提出了一个新的大胆猜想：“欧几里得几何不是惟一的几何;任何一组假设如果彼此之间不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何.”罗巴契夫斯基、鲍耶正是在此想法的基础上开展了一系列工作，才发现了非欧几何的.虽然，他们的工作约有30年之久被人们所忽视；非欧几何的相容性问题在其后的40年中仍然悬而未决，然而，从某数学家的头脑中首先形成这大胆的猜想——与第五公设相矛盾的公理，也许仍可建立逻辑上相容的新几何——的那一刻起，就注定了即将发生几何学发展的又一次历史性的大转折：将迎来的是，几何学思想的大解放，几何学大发展的新时代.可以说，在19世纪所有复杂的技术创造中间，最深刻的一个——非欧几何的创造，就是起源于两千年试证第五公设的失败而日渐形成的大胆的猜想，非欧几何是在欧几里得几何领域中，一系列的长期努力所达到的一个新顶点。
1、费马大定理受制于勾股弦定理而成立的三句话解读````由于底数写法相同，指数次数相异的齐次方程整数n≥2，Z^n－x^n－y^n=0，(1)其正实数底要求的充分条件，同一可表示为Z＞x、Z＞y、x＋y＞Z，使得正整数底的模，皆可同一揭晓于下述传导之末：Z＞x Z＞y x+y＞Z 其中，x≠y→(x+y)–Z =2a Z–y = b Z–x = c 其中，b≠c. →Z=2a+b+c x=2a+b y=2a+c。
(2)````n=2，(1)也就是勾股弦定理Z^2= x^2＋y^2 (3)的等价写法，故是真理；将(2)代入(1)＿也就是代入(3)的0解写法，就得等式成立为带参数w的三对应二元函数(2tw＋b＋2t^2*w^2/b )^2－(2tw＋b)^2－(2tw＋2t^2*w^2/b)^2=0 (4)其中，t∧b=1、2、…，当b是平方数参数w=↗b, 否则参数w=b。
以t作序数，b作谱号，其全部解组与平面坐标第1象限内整点－－映射，无遗漏、无重复；````n＞2，(1)受制于指数运算法则和勾股弦定理及模(2)，不能排除方程“含有”下述同一的等式内在意义：Z^n－x^n－y^n = Z^2*Z^`n-2`－x^2*x^`n-2`－y^2*y ^`n-2 `↔=(x^2＋y^2)Z^`n-2`－(x^2*x^`n-2`＋y^2*y ^`n-2`）=（x^2* Z^`n-2`＋y^2* Z^`n-2`）－(x^2*x^`n-2`＋y^2*y ^`n-2`）↔=[(2a+b)^2 (2a+b+c )^`n-2`＋(2a+c)^2 (2a+b+c )^`n-2`]－[(2a+b)^2 (2a+b)^`n-2`＋(2a+c)^2 (2a+c)^`n-2`]=0。
(5)但(5)表示二项正实数相减与二项正整数相减皆大于0，证明(5)是假等式。
费马猜想成立据此得证，是基础数学应用题解。
````````````````2、歌德巴赫偶数猜想受制于联分等式而成立的三句话解读````歌德巴赫偶数猜想的内容，21世纪可理解为：2N≥6，除手工验算外，数学人对2N≥2×3×5×7×11×13=30030后的每个大2N所含1＋1的列数，早已用电脑进行过力所能及准确而快速的收索，确认每一个2N皆能按一定比率写成二质数之和无反例；人们现在仍不好理解的是，相邻几个≯8的偶数之间，数值变化很是微不足道，但1＋1列数的含量呈现有2～3～4倍的差异，却时有发生，对这样复杂的不定变化现象，数学人能获得有内因根据的数学表达式，去进行表述么？````这个内因根据，处于21世纪前的数学家们是不可能找到的。
歌德巴赫猜想读后感歌德巴赫猜想是一个古老而又深奥的数学问题，它一直以来都是数学界的一个重要研究课题。
这个猜想最早由德国数学家克里斯蒂安·戈尔德巴赫于1742年提出，至今已有数百年的历史。
虽然这个猜想看似简单，但实际上却蕴含着深刻的数学内涵，引发了无数数学家的兴趣和探索。
在数学上，歌德巴赫猜想是指任何一个大于2的偶数都可以表示成两个素数之和。
具体来说，就是对于任何一个大于2的偶数n，都存在两个素数p和q，使得n=p+q。
素数是指只能被1和自身整除的自然数，例如2、3、5、7、11等都是素数。
歌德巴赫猜想的表述非常简洁，但其背后却蕴含着许多复杂的数学原理和规律。
读完歌德巴赫猜想的相关资料和研究成果，我深深地被数学的魅力所吸引。
首先，歌德巴赫猜想涉及到了素数的性质和分布规律，这是数论领域的一个重要研究方向。
素数在数学上有着特殊的地位，它们的分布规律一直是数学家们关注的焦点。
歌德巴赫猜想正是基于对素数分布规律的一种猜想，因此它的解决将对素数理论的发展产生深远的影响。
其次，歌德巴赫猜想还涉及到了数论中的一个重要问题——哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想是指任何一个大于2的奇数都可以表示成三个素数之和。
这个猜想与歌德巴赫猜想有着密切的联系，它们都是关于素数之和的问题。
而哥德巴赫猜想在2013年被证明，这也为歌德巴赫猜想的证明提供了一定的启示和线索。
在数学史上，歌德巴赫猜想的研究历程也是一段传奇。
无数数学家为了证明这个猜想而不懈努力，提出了各种各样的方法和思路。
然而，截至目前为止，歌德巴赫猜想仍然没有得到严格的证明。
这也使得歌德巴赫猜想成为了数学上的一个悬而未决的问题，激发了数学家们持续不断的探索和研究的热情。
在我看来，歌德巴赫猜想所蕴含的数学内涵和深刻意义是无法估量的。
它不仅仅是一个简单的数学问题，更是对数学理论和方法的一种挑战和检验。
解决歌德巴赫猜想将为数学领域的发展开辟新的道路，推动数学理论的深化和完善。
世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。
但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。
欧拉一直到死也没有对此作出证明。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200年过去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。
随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。
哥德巴赫猜想的具体内容哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）是一个尚未被证明或证伪的素数问题，它被认为是数学史上最有名的问题之一。
该猜想声称：任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
哥德巴赫猜想的命名来自于德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach），他在1742年6月7日写给欧拉（Euler）的信中首次提出了这个问题。
在信中，哥德巴赫写道：“我在思考2的幂次进制数字的问题时，成功地发现了一个数学规律。
即，任何一个大于2的偶数，都可以分为两个质数之和。
”哥德巴赫猜想在接下来的270多年里引起了数学家的广泛关注和探究。
直到现在仍未得到被证明或证伪的结论，成为了数学领域中备受瞩目的未解之谜之一。
虽然我们没有证明哥德巴赫猜想，但是数学家们已经在猜想的基础上展开了很多有趣的研究工作。
其中一项工作是“哥德巴赫猜想的统计意义”，这个方向的研究结果表明，当大于2的偶数n增加时，可以表示为质数之和的方案数也在增加。
另外一个有趣的方向是寻找新的证明方法。
从哥德巴赫提出这个猜想的那一天开始，数学家们就一直在寻找证明的方法。
其中有许多人使用了各种各样的技巧和方法进行探索。
然而，尽管有无数数学家致力于证明该猜想，仍然没有找到全面且确切的证明方法。
现在的情况是，对于所有小于4×10¹⁸的偶数，哥德巴赫猜想都已经被证实正确。
这的确是一个巨大的进步，但还远远不足以证明该猜想的正确性。
归根结底，哥德巴赫猜想仍然是数学领域中一个谜题，数学家们需要继续努力探索。
哥德巴赫猜想的重要性在于其广泛应用于密码学、计算机科学、科学和工程等领域。
例如，在加密程序和随机数生成器中，使用质数对加密或生成随机数的方法就是基于哥德巴赫猜想的，所以该猜想对我们的现代社会和技术进步产生了深远的影响。
总之，哥德巴赫猜想在数学领域中具有十分重要的地位，它不仅是一个有趣的谜题，还是一个有着广泛应用价值的问题。
世界十大数学猜想及其证明情况一、世界十大数学猜想(难题)世界十大数学猜想：NP 完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD 猜想，费尔马大定、四色问题、哥德巴赫猜想。
其中，世界近代三大数学难题：1、费尔马大定理，2、哥德巴赫猜想，3、四色问题。
世界七大数学难题：一、P(多项式时间)问题对NP(nondeterministicpolynomial time ，非确定多项式时间)问题，二、霍奇(Hodge)猜想，三、庞加莱(Poincare)猜想，四、黎曼(Riemann)假设，五、杨－米尔斯(Yang -Mills)存在性和质量缺口，六、纳维叶－斯托克斯(Navier -Stokes)方程的存在性与光滑性，七、贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton -Dyer)猜想。
这十大数学猜想只证明了两个，庞加莱猜想和四色问题已被解决。
（1）世界近代三大数学难题1、费尔马大定理2、哥德巴赫猜想3、四色问题（2）世界七大数学难题1、P 问题对NP 问题2、霍奇(Hodge)猜想3、庞加莱(Poincare)猜想4、黎曼(Riemann)假设5、杨－米尔斯(Yang -Mills)存在性和质量缺口6、纳维叶－斯托克斯(Navier -Stokes)方程的存在性与光滑性7、贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton -Dyer)猜想（3）有待破解的数学难题除了上述著名数学难题外，还有以下著名数学难题有待破解。
Abc 猜想考拉兹猜想周氏猜测(梅森素数分布猜测)阿廷猜想(新梅森猜想)哥德巴赫猜想孪素数猜想克拉梅尔猜想哈代－李特尔伍德第二猜想六空间理论先来看三大数学猜想(难题)。
（1）费马猜想又称“费马大定理”或“费马问题”，1637年由法国数学家费马提出：形如n n n z y x =+的方程，当n 大于2时没有正整数解。
剑桥大学怀尔斯在1995年彻底解决了这一大难题。
希尔伯特23个数学问题及其解决情况（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。
在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。
根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。
满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。
1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。
1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。
后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。
但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明。
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。
苏联的盖尔封特（Gelfond）1 929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。
比贝尔巴赫(Bieberbach)猜想具有中学数学知识的人都知道“函数”这一重要概念．一般地，可用符号y=f(x)表示函数，x与y表示变量，f表示x与y之间的变化的关系．当x取某一确定的值，就可以得到一个确定的y值．如果x只取实数值，得到的y值也是实数值，那么就称y=f(x)为一个实函数．如果x可取复数值，y得到的也可以是复数，那么这函数就称为复变函数或简称复函数．为了与实函数相区别，复函数通常记为z=f(z)．可求导数的复函数叫解析函数．假设R为复平面C中的一个区域，若对R中任意两个不同的点z1，z2有f(z1)≠f(z2)，则称f(z)在R上是单叶的．进一步，若在单位圆D={z∈C：|z|＜1}中有f＇(z)≠0，则称f(z)单叶正则．如果加上规范条件f(0)= 0及f＇(0)= 1，f(z)按Taylor级数展开得f(z)=z+a2z2＋…＋a n z n＋…，|z|＜1这种函数的全体称为正规族，记为S．在S中扮演重要角色的是Koebe函数若θ为任意实数，则e-iθK(e iθz)∈S，且将单位圆映到全平面除去由数的一个旋转．1916年，德国数学家比贝尔巴赫研究S中的函数f(z)，发现其系数具有一个共同的性质：|a1|≤1，|a2|≤2，……，由此他猜想：有|a n|≤n，且这个界限只能被Koebe函数的旋转所达到．这就是著名的比贝尔巴赫猜想．由于这一猜想对于了解解析函数的内在性质具有重要意义，因此这个关于系数估计的猜想吸引了许多数学家为之奋斗了68年．有不少人为此耗费了几乎大半生的精力，有的数学家几乎快要得到这个结果，但是却在这个结果身边走了过去，没有彻底解决．一直到1984年，由在美国普度(Purdue)大学工作的德·布朗格斯(De Brdnges)所解决，这不是件容易的事．研究进展从提出猜想时起，数学家们想从最简单的n=2入手，逐步推进，扩大成果．首先，比贝尔巴赫本人利用面积原理证明了|a2|≤2．数的参数表示法，用他建立的含单参数的偏微分方程证明了|a3|≤3．1955年，Garabedian—Schiffer用变分法证明了|a4|≤4．由于这个证明较难，1960年，卡尔兹斯基(Charzyski)和谢否(Schiffer)用葛隆斯基(Grunsky)不等式很简洁地证明了|a4|≤4．这样，葛隆斯基不等式就受到了重视，是研究单叶函数系数的重要工具．1968年，美国数学家排台尔松(Pederson)和日本数学家屋查瓦(Qzawa)用不同方法证明|a6|≤6．1972年，排台尔松和谢否用Garabedian—Schiffer不等式证明|a5|≤5．以后的十年，对比贝尔巴赫猜想中后面几个系数就没有进一步的结果了．数学研究往往采用多种途径，数学家利用函数模平均然后再对M1(r，f)进行估计，用逐步逼近法获得好的上界．1925年，英国数学家李特伍德证明了|a n|＜en≈2.7183n1933年，我国数学家陈建功证得1951年苏联数学家列别捷夫(Lebedev)和米林(Milin)证得|a n|＜1.243n(n=2，3，…)1972年，费茨杰拉特(Fitzgerald)将葛隆斯基不等式指数化获得一个重要不等式——费茨杰拉特不等式上面的不等式很重要，他与米林的想法有类似之处，后来德·布朗格斯正是证明了米林猜想的不等式才证明比贝尔巴赫猜想．后来很多学者都着手改进这个不等式，力求得到好的结果．值得指出的，我国数学家胡克1958年就已得到费茨杰拉特不等式且还有些改进，可惜他的文章发表在1979年．1976年，霍尔维茨(Horowitz)将不等式改进为及1978年获得|an|＜1.0657n(n=2，3，…)1984年，我国数学家龚昇和任福尧又改进成|a n|＜10.0643n费茨杰拉特指出：“应用这种方法不能最终解决比贝尔巴赫猜想．”证明思路1984年，德·布朗格斯先证明了米林猜想，然后利用已知的、由米林猜想可以推出的Robertson在1936年提出的一个猜想，最后证明了比贝尔巴赫猜想．从这一思路可知，关键是证明米林猜想．(详细过程参看《比贝尔巴赫猜想》，龚昇著，科学出版社．)在德·布朗格斯证明米林猜想之前，七个猜想有如下关系：因此，德·布朗格斯证明了米林猜想，以上七个猜想都一举证明了，真是一箭双雕，这使数学家感到震惊．其次，更令人震惊的是：他的证明如此简明，根本不需要什么深奥的复分析知识，完全出乎人们的意料．这一猜想的证明被列为1984年世界十大科技成就之首，被誉为“20世纪数学史上重大事件”和“杰出成就”．由于研究这一猜想产生和发展起来的新方法、新技巧，对单叶函数论的理论研究产生深刻影响，同时它也是研究其他学科，例如流体力学、温度场、电磁场等的重要工具．值得一提的是，德·布朗格斯在1983年5月已经证明了这一猜想．据说他曾把自己的论文寄给美国12位数学家审阅，但绝大多数的人都不理睬他，不愿看他的论文．原因是德·布朗格斯在30年前曾发表过错误的证明．因此，他们都用老眼光看他今天，对他抱怀疑、不信任态度．在美国找不到知音，得不到支持，只得到前苏联去求援．此时，恰巧有个访问前苏联的机会，得到前苏联列宁格勒大学米林教授等著名数学家所主持的几何函数论讨论班的大力支持，一方面认真听他作的学术报告，一方面又认真严格地审查其证明过程，肯定他证明无误．这一消息传出，美国科学界才高度评价德·布朗格斯的成就，说他“创造了惊人的奇迹！”从这件事使我们体会到：要在数学方法上有所创新或在理论上有所突破，都不是一帆风顺的．看准了方向就要坚持且有一种百折不回的精神，事业才能取得成功．。
比贝尔巴赫(Bieberbach)猜想具有中学数学知识的人都知道“函数”这一重要概念．一般地，可用符号y=f(x)表示函数，x与y表示变量，f表示x与y之间的变化的关系．当x取某一确定的值，就可以得到一个确定的y值．如果x只取实数值，得到的y值也是实数值，那么就称y=f(x)为一个实函数．如果x可取复数值，y得到的也可以是复数，那么这函数就称为复变函数或简称复函数．为了与实函数相区别，复函数通常记为z=f(z)．可求导数的复函数叫解析函数．假设R为复平面C中的一个区域，若对R中任意两个不同的点z1，z2有f(z1)≠f(z2)，则称f(z)在R上是单叶的．进一步，若在单位圆D={z∈C：|z|＜1}中有f＇(z)≠0，则称f(z)单叶正则．如果加上规范条件f(0)= 0及f＇(0)= 1，f(z)按Taylor级数展开得f(z)=z+a2z2＋…＋a n z n＋…，|z|＜1这种函数的全体称为正规族，记为S．在S中扮演重要角色的是Koebe函数若θ为任意实数，则e-iθK(e iθz)∈S，且将单位圆映到全平面除去由数的一个旋转．1916年，德国数学家比贝尔巴赫研究S中的函数f(z)，发现其系数具有一个共同的性质：|a1|≤1，|a2|≤2，……，由此他猜想：有|a n|≤n，且这个界限只能被Koebe函数的旋转所达到．这就是著名的比贝尔巴赫猜想．由于这一猜想对于了解解析函数的内在性质具有重要意义，因此这个关于系数估计的猜想吸引了许多数学家为之奋斗了68年．有不少人为此耗费了几乎大半生的精力，有的数学家几乎快要得到这个结果，但是却在这个结果身边走了过去，没有彻底解决．一直到1984年，由在美国普度(Purdue)大学工作的德·布朗格斯(De Brdnges)所解决，这不是件容易的事．研究进展从提出猜想时起，数学家们想从最简单的n=2入手，逐步推进，扩大成果．首先，比贝尔巴赫本人利用面积原理证明了|a2|≤2．数的参数表示法，用他建立的含单参数的偏微分方程证明了|a3|≤3．1955年，Garabedian—Schiffer用变分法证明了|a4|≤4．由于这个证明较难，1960年，卡尔兹斯基(Charzyski)和谢否(Schiffer)用葛隆斯基(Grunsky)不等式很简洁地证明了|a4|≤4．这样，葛隆斯基不等式就受到了重视，是研究单叶函数系数的重要工具．1968年，美国数学家排台尔松(Pederson)和日本数学家屋查瓦(Qzawa)用不同方法证明|a6|≤6．1972年，排台尔松和谢否用Garabedian—Schiffer不等式证明|a5|≤5．以后的十年，对比贝尔巴赫猜想中后面几个系数就没有进一步的结果了．数学研究往往采用多种途径，数学家利用函数模平均然后再对M1(r，f)进行估计，用逐步逼近法获得好的上界．1925年，英国数学家李特伍德证明了|a n|＜en≈2.7183n1933年，我国数学家陈建功证得1951年苏联数学家列别捷夫(Lebedev)和米林(Milin)证得|a n|＜1.243n(n=2，3，…)1972年，费茨杰拉特(Fitzgerald)将葛隆斯基不等式指数化获得一个重要不等式——费茨杰拉特不等式上面的不等式很重要，他与米林的想法有类似之处，后来德·布朗格斯正是证明了米林猜想的不等式才证明比贝尔巴赫猜想．后来很多学者都着手改进这个不等式，力求得到好的结果．值得指出的，我国数学家胡克1958年就已得到费茨杰拉特不等式且还有些改进，可惜他的文章发表在1979年．1976年，霍尔维茨(Horowitz)将不等式改进为及1978年获得|an|＜1.0657n(n=2，3，…)1984年，我国数学家龚昇和任福尧又改进成|a n|＜10.0643n费茨杰拉特指出：“应用这种方法不能最终解决比贝尔巴赫猜想．”证明思路1984年，德·布朗格斯先证明了米林猜想，然后利用已知的、由米林猜想可以推出的Robertson在1936年提出的一个猜想，最后证明了比贝尔巴赫猜想．从这一思路可知，关键是证明米林猜想．(详细过程参看《比贝尔巴赫猜想》，龚昇著，科学出版社．)在德·布朗格斯证明米林猜想之前，七个猜想有如下关系：因此，德·布朗格斯证明了米林猜想，以上七个猜想都一举证明了，真是一箭双雕，这使数学家感到震惊．其次，更令人震惊的是：他的证明如此简明，根本不需要什么深奥的复分析知识，完全出乎人们的意料．这一猜想的证明被列为1984年世界十大科技成就之首，被誉为“20世纪数学史上重大事件”和“杰出成就”．由于研究这一猜想产生和发展起来的新方法、新技巧，对单叶函数论的理论研究产生深刻影响，同时它也是研究其他学科，例如流体力学、温度场、电磁场等的重要工具．值得一提的是，德·布朗格斯在1983年5月已经证明了这一猜想．据说他曾把自己的论文寄给美国12位数学家审阅，但绝大多数的人都不理睬他，不愿看他的论文．原因是德·布朗格斯在30年前曾发表过错误的证明．因此，他们都用老眼光看他今天，对他抱怀疑、不信任态度．在美国找不到知音，得不到支持，只得到前苏联去求援．此时，恰巧有个访问前苏联的机会，得到前苏联列宁格勒大学米林教授等著名数学家所主持的几何函数论讨论班的大力支持，一方面认真听他作的学术报告，一方面又认真严格地审查其证明过程，肯定他证明无误．这一消息传出，美国科学界才高度评价德·布朗格斯的成就，说他“创造了惊人的奇迹！”从这件事使我们体会到：要在数学方法上有所创新或在理论上有所突破，都不是一帆风顺的．看准了方向就要坚持且有一种百折不回的精神，事业才能取得成功．。
