2014湖北省数据结构与算法一点通科目一

6.一棵二叉树的第7层上最多含有的结点数为A.14B.64C.127D.128正确答案：B（2分）7.下列选项为完全二叉树的是正确答案：A（2分）8.用邻接表表示n个顶点e条边的无向图，其边表结点的总数是A. n×eB. eC. 2eD. n+e正确答案：C（2分）9.无向图中所有顶点的度数之和与所有边数之比是A.1/2B.1C.2D.4正确答案：C（2分）10.采用邻接矩阵存储图时，广度优先搜索遍历算法的时间复杂度为A. O（n）B. O（n+e）C. O（n2）D. O（n3）正确答案：C（2分）11.对序列（15，9，7，8，20，-1，4）进行排序，若一趟排序后的结果为（-1，15，9，7，8，20，4），则采用的排序方法是A.归并排序B.快速排序C.直接选择排序D.冒泡排序正确答案：D（2分）12.比较次数与待排序列初始状态无关的排序方法是A.快速排序B.冒泡排序C.直接插入排序D.直接选择排序正确答案：D（2分）13.查找较快，且插入和删除操作也比较方便的查找方法是A.分块查找B.二分查找C.顺序查找D.折半查找正确答案：A（2分）14.下列关于m阶B树的叙述中，错误．．的是A.根结点至多有m棵子树B.所有叶子都在同一层次上C.每个非根内部结点至少有棵子树D.结点内部的关键字可以是无序的正确答案：D（2分）15.在散列查找中处理冲突时，可以采用开放定址法。

下列不是开放定址法的是A.线性探查法B.二次探查法C.双重散列法D.拉链法正确答案：D（2分）非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16.数据结构研究的内容包括数据的逻辑结构、________和数据的运算。

正确答案：存储结构（2分）17.头指针为L的带头结点的双循环链表，结点的前趋指针域为prior，后继指针域为next，判断该链表为空的条件是________。

1、以下主要用于制作网页的软件是____A、QQ2007B、FrontPageC、录音机程序D、磁盘碎片整理程序2、因特网中某主机的二级域名为gov，表示该主机属于____A、赢利性的商业机构B、军事机构C、网络机构D、非军事性政府组织机构3、计算机的通用性使其可以求解不同的算术和逻辑运算，这主要取决于计算机的______。

A、高速运算B、指令系统C、可编程序D、存储功能4、网址中的cn表示____。

A、英国B、美国C、日本D、中国5、在Word中要对某一单元格进行拆分，应执行____操作。

A、选择“插入”菜单中的“拆分单元格”命令B、选择“格式”菜单中的“拆分单元格”命令C、选择“工具”菜单中的“拆分单元格”命令D、选择“表格”菜单中的“拆分单元格”命令6、计算机网络的资源共享功能包括____。

A、硬件资源和软件资源共享B、软件资源和数据资源共享C、设备资源和非设备资源共享D、硬件资源、软件资源和数据资源共享7、要用IE浏览器浏览WWW信息____A、必须输入某站点的域名B、必须输入某站点的IP地址C、输入某站点的域名或IP地址均可D、什么都不要输入8、____是指专门为某一应用目的而编制的软件。

A、系统软件B、数据库管理系统C、操作系统D、应用软件9、____是可执行文件的扩展名。

A、BakB、ExeC、BmpD、Txt10、提供不可靠传输的传输层协议是______。

A、 TCPB、 IPC、 UDPD、 PPP11、上网的网址应在游览器的什么栏输入____。

A、标题栏B、地址栏C、链接栏 D频道栏12、在Word 的编辑状态，设置了标尺，可以同时显示水平标尺和垂直标尺的视图方式是____。

A、普通方式B、页面方式C、大纲方式D、全屏显示方式13、DNS是一个域名服务的协议，提供____服务。

A、域名到IP地址的转换B、IP地址到域名的转换C、域名到物理地址的转换D、物理地址到域名的转换14、在计算机网络中，表征数据传输可靠性的指标是____。

大题共4小题，每小题5分。

共20分)
请在答题卡上作答。

26．设Q是有N个存储空间的循环队列，初始状态front=rear=0，约定指针rear指向的单元始终为空，回答下列问题。

请根据最优二叉树的基本原理，采用类C语言，描述你所设计的成绩判定过程。

29．给定有向无环图G如题29图所示，写出G的5种不同的拓扑排序序列。

的单链表定义如下，其中freq域记录本结点被访问的次数，初值为0，单链表始终以freq 序。

函数f3l完成的功能是：查找给定关键字所在结点，若查找成功，则该结点的freq域加值调整结r旨位置。

请将空白处(1)～(3)补充完整。

在答题卡上作答。

回答下列问题。

五、算法设计题(本大题共l小题，共“l0分) 请在答题卡上作答。

34．已知带头结点的单链表类型定义如下：
- 10 -。

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做__________，判断为假的语句叫做__________．2．四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系．(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)．②互逆或互否的两个命题__________．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么p是q的__________，q是p的__________．(2)如果p⇒q，q⇒p，那么p是q的__________，记作__________．1．若命题p的逆命题是q，否命题是r，则命题q是命题r的( )．A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．不等价命题2．(2012湖北襄阳五中第一次适应性考试)已知命题p：“若a＝b，则|a|＝|b|”，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．43．(2012天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题“如果x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆否命题为__________．一、四种命题及其关系【例1－1】 (2012重庆高考)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )． A ．若q ，则pB ．若⌝p ，则⌝qC ．若⌝q ，则⌝pD ．若p ，则⌝q【例1－2】 (2012湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p ，则q ”，那么这个原命题的否定是“若p ，则⌝q ”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若⌝p ，则⌝q ”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．请做演练巩固提升1二、充分条件与必要条件的判定【例2－1】(2012湖北高考)设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c”的( )．A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件【例2－2】是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？方法提炼判断充分条件、必要条件的方法1．命题判断法设“若p，则q”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；(3)原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．2．集合判断法从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B时，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A时，则p是q的必要不充分条件；(3)若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．请做演练巩固提升2,3三、充分条件与必要条件的证明【例3】求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜1.3方法提炼1．证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”；前者p是条件，后者q是条件．2．证明分为两个环节，一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．请做演练巩固提升4等价思想在充要条件中的应用【典例】 (12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)先求出p ，q 的解集；(2)再利用p ，q 间的关系列出关于m 的不等式或不等式组得出结论． 规范解答：(方法一)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，(3分)∴⌝q ：A ＝{x |x ＞1＋m ，或x ＜1－m ，m ＞0}．(4分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴⌝p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．(7分) ∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)(方法二)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件．(3分) 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．(6分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．(8分) ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)答题指导：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠ ”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是( )．A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真2．(2012浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )． A ．l 1∥平面α，l 2∥平面α B ．直线l 1⊥直线l 3，直线l 2⊥直线l 3 C ．l 1平行于l 2所在的平面 D ．l 1⊥平面α，l 2⊥平面α4．(2012湖北武汉华师一附中五月适应性考试)已知f (x )＝3x ＋1(x ∈R )，若|f (x )－4|＜a 的充分条件是|x －1|＜b (a ，b ＞0)，则a ，b 之间的关系是( )．A ．a ≤b 3B ．b ≤a 3C ．b ＞a3D ．a ＞b35．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．判断真假的陈述句 真命题 假命题 2．(2)①等价 同真 同假 ②不等价 3．(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件p ⇔q基础自测1．C 解析：因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又命题p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.2．B 解析：由题意得，原命题是真命题，所以原命题的逆否命题也是真命题．而原命题的逆命题：“若|a |＝|b |，则a ＝b ”则为假命题，所以原命题的否命题也为假命题，所以真命题的个数为2，故选B.3．A 解析：由2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或x ＞12，∴“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件．4．B 解析：由mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，可知m ＞0，n ＞0，m ≠n ， 所以m ＞0，n ＞0且m ≠n ⇒mn ＞0. 而显然mn ＞0m ＞0，n ＞0且m ≠n .5．如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0 解析：“x ＝2且y ＝－1”的否定为“x ≠2或y ≠－1”，x －2＋(y ＋1)2＝0的否定为x －2＋(y ＋1)2≠0.故逆否命题为：“如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0”． 考点探究突破【例1－1】 A 解析：根据逆命题的定义，命题“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，故选A.【例1－2】 C 解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．【例2－1】 A 解析：1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ac ＋ab abc＝bc ＋ac ＋ab ≤b ＋c2＋a ＋c 2＋a ＋b2＝a ＋b ＋c (当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，但反之，则不成立(譬如a＝1，b ＝2，c ＝3时，满足1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1)．【例2－2】 解：欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 2⊆{x |x＜－1，或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件． 【例3】 证明：(1)充分性：∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，且3m ＞0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，3m>0，∴0＜m ＜13.综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 演练巩固提升1．D 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.2．C 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a ×2＝2×1且a ×4≠－1×1，得a ＝1，故选C.3．D 解析：平行于同一平面的两直线有三种位置关系，故A 错误；同理判断B ，C 错误，故D 正确．4．B 解析：由题意知：|f (x )－4|＝|3x －3|＜a ⇒－a 3＋1＜x ＜a3＋1.又|x －1|＜b ⇒－b ＋1＜x ＜b ＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧－a3＋1≤－b ＋1，a3＋1≥b ＋1，解得b ≤a3，故选B.5．3或4 解析：∵方程有实数根， ∴Δ＝16－4n ≥0. ∴n ≤4.原方程的根x ＝4±16－4n2＝2±4－n 为整数，则4－n 为整数． 又∵n ∈N *，∴n ＝3或4.反过来，当n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；当n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0的两根相等且为2，是整数．。

2014年华中科技大学软件学院数据结构与算法分析考研真题（回忆版）及部分参考答案一、填空题：1．写出数据结构的四种基本逻辑结构。

2．写出算法的四种特性。

3．一个栈中有六个数字，要求对其进行重新排序，求堆栈的最小容量。

4．求出一串数字的非平凡子串个数。

5．求一平衡二叉树的成功查找长度和不成功查找长度。

…二、选择题：（略）三、分析题：1．给出一个算法过程，要求列出它的开销公式并解出开销函数。

2．根据题意画出Huffman前缀码树并求出编码长度。

3．该题关于KRUSKAL（V，E，w）的最小生成树算法，由给出的具体算法写出其中元素A的变化过程，并求出最小生成树的权。

4．由题中给出的网络流图求剩余流图，在图中标出最小切割，解出S→t的最大网络流。

5．给出一个图，从a开始深度优先搜索，算出每个节点发现和结束的时刻d/f，根据搜索结果标出图上边的类型。

四、算法题：1．根据最短路径延伸算法给出递归表达式，将全成对最短路径填写到题目中的4×4表格中，并写出表格中某一阴影指定位置的路径。

2．证明：A∪（u，v）是图G最小生成树的子集。

3．权重函数f，动态划归，写递推式，用伪码描述算法。

2014年数据结构与算法分析试题部分参考答案一、填空题：1．【解析】集合，线性结构，树形结构，图状结构或网状结构（教材p5）。

2．【解析】有穷性，确定性，可行性，输入，输出。

任选4个。

3．【解析】题目应该是有问题，只有一个栈的话，没法排序啊，弹出来的元素没地方保存。

4．【解析】题目想说的可能是，给出一个字符串S，求出其互异非平凡子串（非空且不同于S）的个数那么如果S中的字符各不相同，且长度为n的话，那么答案是n*n/2+n/2-1。

5．【解析】大概跟有序数组的二分查找时的成功长度/不成功长度的算法差不多吧。

三、分析题1．【解析】略，估计会用到主定理。

2．【解析】霍夫曼树的构建是基础了，11年的试卷就有一题。

3．【解析】课本p175。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.(2014湖北,文1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁U A=( ). A .{1,3,5,6} B .{2,3,7} C .{2,4,7} D .{2,5,7}答案:C解析:由补集的定义,集合A 在U 中的补集指U 中除A 外其他元素构成的集合.故选C . 2.(2014湖北,文2)i 为虚数单位, 1-i2=( ).A .1B .-1C .iD .-i答案:B解析:因为1-i=(1-i )(1-i )(1+i )(1-i )=-2i =-i,所以 1-i 2=(-i)2=-1,故选B .3.(2014湖北,文3)命题“∀x ∈R ,x 2≠x”的否定是( ). A .∀x ∉R ,x 2≠xB .∀x ∈R ,x 2=xC .∃x ∉R ,x 2≠xD .∃x ∈R ,x 2=x答案:D解析:全称命题“∀x ∈M ,p (x )”的否定为特称命题“∃x ∈M ,p (x )”,故选D .4.(2014湖北,文4)若变量x ,y 满足约束条件 x +y ≤4,x -y ≤2,x ≥0,y ≥0,则2x+y 的最大值是( ). A .2 B .4 C .7 D .8答案:C解析:画出x ,y 的约束条件限定的可行域为如图阴影区域,令u=2x+y ,则y=-2x+u ,先画出直线y=-2x ,再平移直线y=-2x ,当经过点A (3,1)时,代入u ,可得最大值为7,故选C .5.(2014湖北,文5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1,点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则( ). A .p 1<p 2<p 3 B .p 2<p 1<p 3 C .p 1<p 3<p 2 D .p 3<p 1<p 2 答案:C解析:由题意可知,p 1=10=5,p 2=1-p 1=13,p 3=18=1.故选C .6.(2014湖北,文6)得到的回归方程为y ^=bx+a ,则( ). A .a>0,b<0 B .a>0,b>0C .a<0,b<0D .a<0,b>0答案:A解析:可大致画出散点图如图所示,可判断a>0,b<0,故选A .7.(2014湖北,文7)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②答案:D解析:正视图将四个点全影射到yOz 面上,分别为(0,0,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),再根据看不见的线画虚线可得图④,俯视图全影射到xOy 面上,分别为(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),(2,2,0)可画得图②,故选D .8.(2014湖北,文8)设a ,b 是关于t 的方程t 2cos θ+t sin θ=0的两个不等实根,则过A (a ,a 2),B (b ,b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ−y 2sin 2θ=1的公共点的个数为( ). A .0 B .1C .2D .3答案:A解析:可解方程t 2cos θ+t sin θ=0,得两根0,-sin θ.由题意可知不管a=0还是b=0,所得两个点的坐标是一样的.不妨设a=0,b=-sin θ,则A (0,0),B -sin θ,sin 2θ2 ,可求得直线方程y=-sin θx ,因为双曲线渐近线方程为y=±sin θx ,故过A ,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A .9.(2014湖北,文9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-3x.则函数g (x )=f (x )-x+3的零点的集合为( ). A .{1,3} B .{-3,-1,1,3} C .{2- 7,1,3} D .{-2- 7,1,3}答案:D解析:当x<0时,f (x )=-f (-x )=-[(-x )2+3x ]=-x 2-3x ,易求得g (x )解析式g (x )= x 2-4x +3,x ≥0,-x 2-4x +3,x <0,当x 2-4x+3=0时,可求得x 1=1,x 2=3,当-x 2-4x+3=0时可求得x 3=-2- x 4=-2+ (舍去),故g (x )的零点为1,3,-2- 故选D .10.(2014湖北,文10)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈1L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ). A .22 B .25C .157D .355答案:B解析:由题意可知:L=2πr ,即r=L2π,圆锥体积V=13Sh=13πr 2h=13π· L 2π 2h=112πL 2h ≈275L 2h ,故112π≈275,π≈258,故选B .二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(2014湖北,文11)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 件. 答案:1 800解析:分层抽样的关键是确定样本容量与总体容量的比,比值为804 800=160,设甲设备生产的产品数为x ,则x×160=50,x=3 000,乙设备生产的产品总数为4 800-3 000=1 800.故答案为1 800. 12.(2014湖北,文12)若向量OA =(1,-3),|OA |=|OB |,OA ·OB =0,则|AB |= . 答案:2 5解析:设B (x ,y ),由|OA |=|OB |,可得 10= x 2+y 2①OA·OB =x-3y=0,② 由①②得x=3,y=1或x=-3,y=-1,所以B (3,1)或B (-3,-1), 故AB =(2,4)或AB =(-4,2),|AB |=2 ,故答案为213.(2014湖北,文13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知A=π,a=1,b= 则B= . 答案:π3或2π3解析:由正弦定理a sin A=bsin B,代入可求得sin B= 32,故B=π3或B=2π3.故答案为π3或2π3. 14.(2014湖北,文14)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n 的值为9,则输出S 的值为 .答案:1 067解析:该程序框图为循环结构.第一步,经判断1≤9,执行“是”,计算S=0+21+1=3,k=2,执行第二步,2≤9,计算S=0+21+1+22+2=9,k=3,依次执行,至第九步,9≤9,执行“是”,计算S=0+21+1+22+2+…+29+9=1 067,k=10,下一步10≤9,执行“否”,输出S.故答案为1 067.15.(2014湖北,文15)如图所示,函数y=f (x )的图象由两条射线和三条线段组成.若∀x ∈R ,f (x )>f (x-1),则正实数a 的取值范围为 . 答案: 0,16解析:由题意可知,f (x-1)是由f (x )向右平移1个单位得到的,要保证∀x ∈R ,f (x )>f (x-1),f (x-1)的图象则应由原图象至少向右平移6a 个单位,需满足6a<1,即a<16,又因为a 为正实数,故答案为 0,16.16.(2014湖北,文16)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F=76 000vv 2+18v+20l.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时. 答案:(1)1 900 (2)100 解析:(1)l=6.05,则F=76 000v 2=76 000v +18+121v,由基本不等式v+121≥2 121=22,得F ≤76 000=1 900(辆/小时),故答案为1 900.(2)l=5,F=76 000v v 2+18v+100=76 000v +18+100v,由基本不等式v+100v≥2 100=20,得F ≤76 00020+18=2 000(辆/小时),增加2 000-1900=100(辆/小时),故答案为100.17.(2014湖北,文17)已知圆O :x 2+y 2=1和点A (-2,0),若定点B (b ,0)(b ≠-2)和常数λ满足:对圆O 上任意一点M ,都有|MB|=λ|MA|,则 (1)b= ; (2)λ= . 答案:(1)-2(2)12解析:因为对圆O 上任意一点M ,都有|MB|=λ|MA|,所以可取圆上点(-1,0),(1,0),满足 |b +1|=λ,|b -1|=3λ,解得b=-1或b=-2(舍去),b=-1,λ=1,故答案为(1)-1,(2)1.三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)(2014湖北,文18)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10- 3cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24). (1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.分析:在第(1)问中,可将t=8直接代入函数解析式求出结果.在第(2)问中,可转化为求函数的最大值最小值问题,先根据辅助角公式将函数转化为f (t )=10-2sin πt +π,再根据t 的范围可求出πt+π的范围,依次又可求出sinπt +π的范围,最终可求出f (t )的范围,从而可求出最大温差. 解:(1)f (8)=10- 3cos π×8 -sin π×8 =10- 3cos 2π-sin 2π=10- 3×-1 −3=10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )=10-2 3cosπt +1sin πt =10-2sin πt +π ,又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,-1≤sin π12t +π3 ≤1.当t=2时,sin π12t +π3 =1;当t=14时,sin π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.19.(本小题满分12分)(2014湖北,文19)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由. 分析:在第(1)问中,可先将a 2,a 5转化成a 1+d ,a 1+4d ,再依据成等比数列列出相应关系式求出d ,从而可求得数列{a n }的通项公式.在第(2)问中,由数列{a n }的通项公式,可先求得S n ,由于第(1)问求得数列{a n }有两种情况,故S n 也有两种情况,需分类讨论,利用题中已知的不等式解出n 的范围,依据n 的范围可求得正整数n 的最小值. 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ),化简得d 2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,a n =2;当d=4时,a n=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n}的通项公式为a n=2或a n=4n-2.(2)当a n=2时,S n=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S n>60n+800成立.当a n=4n-2时,S n=n[2+(4n-2)]=2n2,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当a n=2时,不存在满足题意的n;当a n=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.20.(本小题满分13分)(2014湖北,文20)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点,求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.分析:在第(1)问中,可考虑利用线线平行去证明线面平行,连接AD1,可先证明AD1和FP平行,从而可证AD1和平面EFPQ平行,又易证明BC1平行于AD1,从而可证BC1平行于平面EFPQ.在第(2)问中,可考虑利用线线垂直去证线面垂直,需证AC1与平面MNPQ内两条相交直线垂直.证明:(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.21.(本小题满分14分)(2014湖北,文21)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=ln x的单调区间;(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.分析:在第(1)问中,考查利用导数求函数单调区间,需注意函数的定义域.在第(2)问中,由y=ln x ,y=e x ,y=πx 在定义域上的单调性可先比较出3e ,πe ,π3及e 3,e π,3π的大小,从而可确定最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中.再由e <3<π,由第(1)问f (x )的单调性,从而可确定最大值、最小值. 解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).因为f (x )=ln x,所以f'(x )=1-ln x2. 当f'(x )>0,即0<x<e 时,函数f (x )单调递增; 当f'(x )<0,即x>e 时,函数f (x )单调递减.故函数f (x )的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (2)因为e <3<π,所以eln 3<eln π,πln e <πln 3, 即ln 3e <ln πe ,ln e π<ln 3π.于是根据函数y=ln x ,y=e x ,y=πx 在定义域上单调递增, 可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中. 由e <3<π及(1)的结论,得f (π)<f (3)<f (e),即ln ππ<ln33<ln ee. 由ln π<ln3,得ln π3<ln 3π,所以3π>π3; 由ln33<ln e e,得ln 3e <ln e 3,所以3e <e 3. 综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e .22.(本小题满分14分)(2014湖北,文22)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程;(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.分析:在第(1)问中,可先设点M (x ,y ),由题意可求得点M 的轨迹方程.在第(2)问中,可先由点斜式把直线方程写出来,将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立,需注意考虑k=0及k ≠0的情况,当k ≠0时,联立后得到的关系式,还需讨论方程的判别式Δ及直线与x 轴交点的横坐标的正负. 解:(1)设点M (x ,y ),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x -1)2+y 2=|x|+1,化简整理得y 2=2(|x|+x ).故点M 的轨迹C 的方程为y 2=4x ,x ≥0,0,x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x ,C 2:y=0(x<0). 依题意,可设直线l 的方程为y-1=k (x+2).由方程组 y -1=k (x +2),y 2=4x ,可得ky 2-4y+4(2k+1)=0.① (a)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=14.故此时直线l :y=1与轨迹C 恰好有一个公共点 1,1 . (b)当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k-1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则由y-1=k (x+2),令y=0,得x 0=-2k +1k.③ (ⅰ)若 Δ<0,x 0<0,由②③解得k<-1,或k>1.即当k ∈(-∞,-1)∪ 12,+∞ 时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若 Δ=0,x 0<0,或 Δ>0,x 0≥0,由②③解得k ∈ -1,12 ,或-12≤k<0.即当k ∈ -1,1时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点. 当k ∈ -1,0 时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点.故当k∈-1,0∪-1,1时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(ⅲ)若Δ>0,x0<0,由②③解得-1<k<-1,或0<k<1.即当k∈-1,-1∪0,1时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(a)(b)可知,当k∈(-∞,-1)∪1,+∞∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈-1,0∪-1,1时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈-1,-1∪0,1时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.。