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2014届高三数学总复习 3.3三角函数的图象和性质教案 新人教A 版1. (必修4P 16例1改编)α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________．答案：817解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝817.2. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________． 答案：－12解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12.3. sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．答案：2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 4. (必修4P 21例题4改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos[π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜－π12.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.5. (必修4P 22习题9(1)改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos ()π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝__________．答案：－2解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝cos θ－（－cos θ）cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2) 商数关系：tan α＝sin αcos α.2. 诱导公式记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． [备课札记]题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4P 23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1) 求tan α的值； (2) 将1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解：(1) (解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①，sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理，得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵ α是三角形内角，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(解法2)∵ sin α＋cos α＝15，∴ (sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴ 2sin αcos α＝－2425，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵ sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴ sin α>0，cos α<0.∵ sin α－cos α>0，∴ sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(2) 1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵ tan α＝－43，∴ 1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.变式训练已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0，2π)．(1) 求sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及此时θ的值． 解：(1) 由韦达定理可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①，sin θ·cos θ＝m2②，而sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝ sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2) 由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32. (3) 当m ＝32时，原方程变为2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.∵ θ∈(0，2π)，∴ θ＝π6或π3. 例2 (必修4P 23第10(2)题改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝(（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α)(（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α)＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋sin α2·1＋cosα21－cosα2＝________． 答案：±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 解析：∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角． 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角． ∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角，∴原式＝±2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin （－α）的值．解：∵ sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴ －sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴ sin α＝－2cos α，且cos α≠0. ∴ 原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.备选变式（教师专享）已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1) sin(2π－α)；(2) sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z )．解：∵ cos(π＋α)＝－12，∴ －cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，∴ sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32.(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.1. (2013·广东文)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________． 答案：15解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2. 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)＝________． 答案：－12解析：由条件，知π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴ a 5＝π3，∴ cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－12. 3. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________．答案：－24解析：因为sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－19＝－223，从而tan α＝－24. 4. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos(α－π6)＝____________．答案：0解析：依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝cos π2＝0.1. 已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15.(1) 求sinx －cosx 的值； (2) 求tanx 的值．解：(1) ∵ sinx ＋cosx ＝15，∴ 1＋2sinxcosx ＝125，∴ 2sinxcosx ＝－2425，又∵ 0<x<π，∴ sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴ cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴ sinx －cosx ＝1－2sinxcosx ＝75.(2) sinx ＋cosx sinx －cosx ＝17，tanx ＋1tanx －1＝17，tanx ＝－43.2. 已知3cos 2(π＋x)＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，求6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)的值．解：由已知得3cos 2x ＋5sinx ＝1，即3sin 2x －5sinx －2＝0，解得sinx ＝－13或sinx ＝2(舍去)．这时cos 2x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝89，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝18，故6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4×18－3×89＝－256.3. 已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15.(1) 求sinA·cosA；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求tanA 的值．解：(1) 因为 sinA ＋cosA ＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA ＝125，所以sinA·cosA＝－1225. (2) 由(1) sinAcosA ＝－1225<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A 为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3) (sinA －cosA)2＝1－2sinAcosA ＝1＋2425＝4925.又sinA>0，cosA<0，sinA －cosA>0， 所以sinA －cosA ＝75②，所以由①，②可得sinA ＝45，cosA ＝－35，则tanA ＝sinA cosA ＝45－35＝－43.4. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．3. 在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【教材导读】1．同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在tan α＝sin αcos α的关系中，须保证tan α有意义，所以须使α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2 α＋cos 2 α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切tan αtan α－tan α－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) (A)－32 (B)32 (C)－12(D)12D 解析：因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.故选D.2．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )(A)12 (B)－12 (C)32(D)－32A 解析：∵f (α)＝sin αcos α(－cos α)·(－tan α)＝sin αtan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.故选A.3．若α＝11π3，则tan α·cos α等于( ) (A)12 (B)－12 (C)－32(D)32C 解析：若α＝113π，tan α·cos α＝sin αcos α·cos α＝sin α＝sin 113π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝－sin π3＝－32.故选C.4．已知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435．已知sin x cos x ＝38，且x ∈π4，π2，则cos x －sin x ＝________. 解析：因为x ∈π4，π2， 所以sin x >cos x ， 即cos x －sin x <0，所以(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，所以cos x －sin x ＝－12. 答案：－12考点一 同角三角函数的基本关系(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )(A)25 (B)－25 (C)－2(D)2解析：(1)依题意得⎩⎨⎧tan α＝sin αcosα＝2，sin 2 α＋cos 2 α＝1，由此解得cos 2 α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan α＋1＝25.答案：(1)－55(2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．【即时训练】已知角α的始终与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.答案：10考点二三角函数的诱导公式(1)化简sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)，k∈Z；(2)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α；(3)化简tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 cos(－α－π)sin(－π－α).解：(1)当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ＋π－α)·cos(2nπ－α)sin(2nπ＋2π＋α)·cos(2nπ＋π＋α)＝sin(π－α)·cos αsin α·cos(π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1；当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以原式＝sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.(2)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2 α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.(3)方法一：原式＝(－tan α)·cos[π＋(π－α)]·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αcos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝(－tan α)·[－cos (π－α)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)·sin α＝－tan α·cos α·(－cos α)－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.方法二：原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.【反思归纳】 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【即时训练】 已知sin(3π＋θ)＝13， 求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．答案：18考点三 诱导公式与同角关系的综合应用 (高频考点)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．求： (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)tan(π－θ)－1tan θ的值． 解：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0， ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin 3 θ＋cos 3 θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2 θ－sin θcos θ＋cos 2 θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.答案：(1)2－2 (2)2＋1【反思归纳】 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．【即时训练】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若sin α＋π6＝－513，且α∈π2，π，则sin α＋2π3＝________. 解析：(1)因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49， 所以sin αcos α＝－518<0，所以α为钝角．故选D. (2)因为π2<α<π，所以2π3<α＋π6<7π6， cos α＋π6＝－1－－5132＝－1213，而sin α＋2π3＝sin π2＋α＋π6＝cos α＋π6＝－1213. 答案：(1)D (2)－1213同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简： (1)cos α－π2sin 52π＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)；(2)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α).解：(1)原式＝cos π2－αsin π2＋α·sin α·cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α.(2)原式＝cos 2α－tan α－sin α＝cos 3α＋1cos α.【规律总结】 三角函数式化简目标方向 (1)用同角关系中切弦互化，统一函数名． (2)用诱导公式统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．【源题变式】已知f (x )＝sin (2π－x )·cos 32π＋xcos (3π－x )·sin 112π－x ，则f －21π4＝________.解析：因为f (x )＝sin (－x )·sin xcos (π－x )·sin6π－π2＋x＝sin 2xcos x －sin π2＋x ＝sin 2x －cos 2x ＝－tan 2x . 所以f －214π＝－tan 2－214π＝－tan 2－5π－π4＝－tan 2－π4＝－1.答案：－1课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )(A)210 (B)－210 (C)7210(D)－7210A 解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，即tan α＝43，得sin α＝－45，cos α＝－35∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210.故选A.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) (A)－25(B)－15(C)15 (D)25答案：C3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝( )(A)45 (B)35 (C)－45(D)－35 D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－35，故选D.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )(A)916 (B)－916 (C)－34 (D)34答案：B5．已知α是第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α的值为( ) (A)－2 (B)2 (C)0(D)3C 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α|cos α|＋sin α|sin α|，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴cos α|cos α|＋sin α|sin α|＝－1＋1＝0.故选C.6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) (A)π3 (B)π4 (C)π2(D)2π3C 解析：因为3sin π2－A ＝3sin(π－A )， 所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33， 又0<A <π，所以A ＝π6.又因为cos A ＝－3cos(π－B )， 即cos A ＝3cos B ， 所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π， 所以B ＝π3.所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 7．设f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝________. 解析：方法一：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .方法二：f (sin x )＝3－(1－2sin 2 x )＝2＋2sin 2 x ， ∴f (x )＝2＋2x 2，∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋2cos 2x －1＝3＋cos 2x . 答案：3＋cos 2x8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α(n ∈Z )的结果为________． 解析：n 为偶数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. n 为奇数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. 答案：09．已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________.解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23.答案：－2310．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan (α＋5π)tan (－α－π)·sin (α－3π)(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·(－sin α)＝－cos α；(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－25 6.∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．已知2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α＝75，求tan α的值．解：由题意得2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝75， 所以2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝75， 所以10tan 2α＋5tan α－15＝7tan 2α＋7，所以3tan 2α＋5tan α－22＝0，所以(3tan α＋11)(tan α－2)＝0，所以tan α＝－113或tan α＝2.能力提升练(时间：15分钟)12．设f (x )＝⎩⎨⎧ s in πx ， (x ＜0)，f (x －1)＋1， (x ≥0)和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cosπx ，(x ＜12)，g (x －1)＋1，(x ≥12)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的值为( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)5 B 解析：∵g (14)＝22，g (56)＝cos(－16π)＋1＝32＋1，f (13)＝sin(－23π)＋1＝－32＋1，f (34)＝sin(－π4)＋1＝－22＋1，∴原式＝3.故选B.13．已知sin θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则sin(π－θ)·sin(32π－θ)的值为( )(A)229(B)－229 (C)19(D)－19B 解析：∵θ∈(－π2，π2)，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223， ∴sin(π－θ)sin(3π2－θ)＝－sin θcos θ＝－13×223 ＝－229.故选B.14．在△ABC 中，已知2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，则A ＝________. 解析：由2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，得2cos 2A －3cos(π－A )＝2，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，则在△ABC 中，A ＝π3.答案：π315．在三角形ABC 中，求cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2的值． 解：在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2， 所以cos A ＋B 2＝cos π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. 16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12 ①sin θcos θ＝m 2 ②而sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.∴sin θcos θ＝34.由②得m 2＝34，∴m ＝32. (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝32sin θ＝12. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.。
§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2． 下列各角的终边与角α的终边的关系3.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( × )(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π2，π]，则m <－5或m ≥3.( × )(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－33.( × )(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是－13.( √ )2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.3． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.4． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －15，x >2 000，则f [f (2 015)]＝________.答案 －1解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54C ．－34D.45思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ，可得tan x ； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求． 答案 (1)43(2)D解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35.又x ∈(π，2π)， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan x ＝sin x cos x ＝43. (2)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案 (1)A (2)25解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos xsin x －1＝12.(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.题型二 诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.思维升华 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.答案 (1)－13 (2)－916解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.题型三 三角函数式的求值与化简例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪 三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式． 解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23.(2)原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·(－sin (π＋α)) ＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.思维升华 在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．(1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0， 则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)sin (3π－α)·cos (π－α)＝________.答案 (1)D (2)－255解析 (1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角．故选D.(2)原式＝－sin α·(－sin α)·(－cos α)sin α·(－cos α)＝sin α，∵tan α＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角． 又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角， 由tan α＝sin αcos α＝2， 得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝－255.方程思想在三角函数求值中的应用典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.思维启迪 利用同角三角函数基本关系，寻求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的关系． 规范解答解析 方法一 因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.方法二 同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169.弦化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0. 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.方法三 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713sin 2θ＋cos 2θ＝1得，⎩⎨⎧sin θ＝1213cos θ＝－513或⎩⎨⎧sin θ＝－513cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.答案 －125温馨提醒 三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用．利用已知条件sin θ＋cos θ＝713和公式sin 2θ＋cos 2θ＝1可列方程组解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件θ∈(0，π)的运用，谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sinθcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1． 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2． 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3． 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15C.513D ．－513答案 D解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1.又sin α<0，∴sin α＝－513.2． 已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.3． 已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25B ．－25C.25或－25D ．－15答案 B解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 4． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.5． 已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 ( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝2； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋π＋α)sin α＋cos (2n π＋π＋α)cos α＝－2. 故A 的值构成的集合为{－2,2}．二、填空题6． 化简：sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________. 答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1. 7． 如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π2)＝________. 答案 265 解析 ∵cos α＝15，α为第一象限角， ∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－(15)2＝265， ∴cos(α＋3π2)＝sin α＝265. 8． 化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝________.答案 1解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 三、解答题9． 已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． 解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．解 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝asin θcos θ＝a，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1． 已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是 ( ) A.229B ．－229C ．－19 D.19 答案 B解析 ∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 2． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是 ( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x， 设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥1[t ＋(1－t )2]2＝4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 3． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 4． 已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值． 解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007) ＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014 ＝sin 2π2 014＋sin 2(π2－π2 014) ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 5． 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.② ∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。
城东蜊市阳光实验学校一．课题：同角三角函数的根本关系与诱导公式二．教学目的：1．掌握同角三角函数的根本关系式及诱导公式；并能运用这些公式进展求值、化简与证明．三．教学重点：公式的恰中选用及利用公式时符号的正确选取．四．教学过程：〔一〕主要知识：1．同角三角函数的根本关系式：〔1〕倒数关系：tan cot 1αα⋅=； 〔2〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； 〔3〕平方关系：22sin cos 1αα+=．2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．〔二〕主要方法：1．利用同角三角函数的根本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；2．学会利用方程的思想解三角题，对于sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+⋅-三个式子中，其中一个式子的值，可求其余两个式子的值．〔三〕例题分析：例1．化简sin tan tan (cos sin )cot s c c ααααααα+-++ 分析：切割化弦是解此题的出发点．解：原式sin sin sin (cos sin )cos sin cos 1cos sin sin ααααααααααα+-=+=+． 例2．化简〔1〕sin()cos()44ππαα-++； 〔2〕32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． 解：〔1〕原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=． 〔2〕3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=， ∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==， ∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=． 例3．〔1〕假设tan α=，求值①cos sin cos sin αααα+-；②222sin sin cos cos αααα-+．〔2〕求值66441sin cos 1sin cos x x x x----． 解：〔1〕①原式sin 1cos 3sin 1cos αααα+===---． ②∵2211cos 1tan 3αα==+，∴原式22cos (2tan tan 1)ααα=-+=． 〔2〕∵66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )x x x x x x x x +=+-⋅+2222222(sin cos )3sin cos 13sin cos x x x x x x =+-⋅=-⋅．又∵442222222sin cos (sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x x x +=+-⋅=-⋅． ∴原式66441sin cos 31sin cos 2x x x x --==--． 例4．sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两个根，322πθπ<<，求角θ． 解：∵2sin cos 21sin cos 416(21)0m m m m θθθθ+=⎧⎪-⎪⋅=⎨⎪⎪∆=-+≥⎩，代入2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+⋅，得m =，又322πθπ<<，∴21sin cos 04m θθ-⋅=<，sin cos m θθ+==1sin 2θθ==，又∵322πθπ<<， ∴56πθ=．〔四〕稳固练习：1．假设(cos )cos 2f x x =，(sin15)f = 〔D 〕2．1sin cos (0)5αααπ+=-≤≤，那么tan α=34-． 五．课后作业：高考A 方案考点25，智能训练4，6，7，9，10，12，15，16．。
