六年级奥数第5、6次课：工程问题(教师版)

小学六年级奥数教师讲义版-工程问题顾名思义’工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

其实’这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题’也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时’一般常用的数量关系式是；工作量=工作效率×工作时间’工作时间=工作量÷工作效率’工作效率=工作量÷工作时间。

工作量指的是工作的多少’它可以是全部工作量’一般用数1表示’也可工作效率指的是干工作的快慢’其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取’根据题目需要’可以是天’也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位’表示成“工作量/天”’或“工作量/时”等。

但在不引起误会的情况下’一般不写工作效率的单位。

例1 单独干某项工程’甲队需100天完成’乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后’剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解；以全部工程量为单位1。

甲队单独干需100天’甲的工作效例2某项工程’甲单独做需36天完成’乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做’中途甲队退出转做新的工程’那么乙队又做了18天才完成任务。

问；甲队干了多少天？分析；将题目的条件倒过来想’变为“乙队先干18天’后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来’问题就简单多了。

例3 单独完成某工程’甲队需10天’乙队需15天’丙队需20天。

开始三个队一起干’因工作需要甲队中途撤走了’结果一共用了6天完成这一工程。

问；甲队实际工作了几天？分析与解；乙、丙两队自始至终工作了6天’去掉乙、丙两队6天的工作量’剩下的是甲队干的’所以甲队实际工作了例4 一批零件’张师傅独做20时完成’王师傅独做30时完成。

如果两人同时做’那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。

这批零件共有多少个？分析与解；这道题可以分三步。

首先求出两人合作完成需要的时间’例5 一水池装有一个放水管和一个排水管’单开放水管5时可将空池灌满’单开排水管7时可将满池水排完。

这篇关于⼩学六年级奥数题：⼯程问题及答案，是⽆忧考特地为⼤家整理的，希望对⼤家有所帮助！
1、⼀件⼯作。

甲队做2天，⼄队做5天，共完成；甲5天，⼄2天，共完成，问甲、⼄两队单独做各需要多少天？
解答：(19/60-4/15)÷3 = 1/60
(19/60+4/15)÷7=1/12
（1/12+1/60）÷2 = 1/20
（1/12-1/60）÷2 = 1/30
甲：1÷1/20 =20（天）⼄：1÷1/30=30（天）
2、A、B两地相距22.4千⽶。

有⼀⽀*队伍从A出发，向B匀速前进；当*队伍队尾离开A时，甲，⼄两⼈分别从A，B两地同时出发。

⼄向A步⾏；甲骑车先追向队头，追上队头后⼜⽴即骑向队尾，到达队尾后再⽴即追向队头，追上队头后⼜⽴即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与⼄相遇在距B地 5.6千⽶处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第⼀次到达B地，那么此时⼄距A地还有多少千⽶？
解答：设甲每次从队尾追到队头⾏x千⽶，从队头到队尾⾏y千⽶，
5x-4y=22.4-5.6 2x-2y=5.6 解得x= 5.6 y=2.8
相遇时，甲实际⾏5.6×5+2.8×4=39.2（千⽶），⼄⾏5.6千⽶，39.2÷5.6=7
甲到B，实际⾏5.6×7+2.8×6=56（千⽶），⼄⾏5.6÷7=8（千⽶）
⼄距A：22.4-8=14.4（千⽶）。

工程问题一、知识点概括工程问题属于分数应用题中的一种种类。

它是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题。

工程问题是分数应用题中较为特别的一种。

在解答工程问题的时候，当工作总量没有供给详细数目时，一般把它看作单位“ 1”。

二、要点知识概括及解说( 一 ) 工程问题的特色工程问题是一种特别的分数应用题，主要研究工作效率、工作时间和工作总量三者之间的关系。

工程问题中的工作总量一般都能够看作单位“ 1”。

( 二 ) 工程问题中基本的数目关系工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率( 三 ) 工程问题仍旧切合分数应用题中的基本数目关系比较量÷单位“ 1”的量＝分率（几分之几）单位“ 1”的量×分率（几分之几）＝比较量比较量÷分率（几分之几）＝单位“1”的量三、难点知识解析例1、星光小学进行校内植树活动，共植树300 棵。

假如全由六年级同学植树， 3 天能够达成；假如全由五年级同学植树，则 6 天能够达成。

假如先让六年级植树1 天，再由两个年级的同学合作，还需几日能够达成？解：答：两个年级合作还要天达成。

贯通融会：1、有一批部件，由师傅独做需 12 天达成，假如和徒弟合作 8 天能够达成，假如徒弟独做，需要多少天才能达成任务？例2、甲、乙两人装饰一间房屋。

假如甲独自工作要 8 天达成，假如乙独自工作要 12 天达成。

此刻两人同时工作了几日后，乙走了，余下的甲用了 3 时节间达成。

乙工作了多少天？解：＝3( 天)答：乙工作了 3 天。

贯通融会：2、一项工程，甲独做需15 天，乙独做需12 天，此刻由甲乙合作若干天后，乙再接着做了3 天，就达成了所有工程，问甲乙合作几日？3、修一条公路，甲队独修要 15 天竣工，乙队独修要 12 天竣工。

两队合修 5 天后，甲队调走，剩下的乙独自达成。

求乙一共工作了多少天？例3、调皮和笑笑合办一期校园宣传栏，要12 天可达成。

工程问题一、工程问题：1、由两个或两个以上单位（或人），共同去完成一件工作或一项工程，计算需要完成任务的时间，这一类应用题叫做“工程问题”。

2、题目中没有给出具体的总工程量，通常用单位“1”表示（即整体思想），并用“1÷工作时间”推算工作效率，用一个分数单位1n⎛⎫⎪⎝⎭表示。

3、基本数量关系与一般工作问题完全相同，即总工程量÷工作效率=工作时间；总工程量÷工作时间=工作效率【例 1】【基础】一项工作，甲队独做需要10天，乙队独修需要12天两队合作几天修完？【分析】1111601()110126011÷+=÷=（天）【提高、尖子】铺设一条公路，单独由甲队完成需要20天，由乙队单独完成需要30天，由丙队单独完成需要60天，现在希望能尽快修好这条路，让甲、乙、丙三队一起铺设，需要几天可以完成？甲队的工作效率为112020÷=；乙队的工作效率为113030÷=；丙队的工作效率为116060÷=现在由甲、乙、丙三队合作完成，每天的工作效率是他们三队的效率之和111120306010++=现在需要111010÷=天铺设成这条路。

第五讲工程问题与繁分数【例 2】【基础】有一项工程甲队单独做需要10天时间，甲、乙两队合做需要4天，问：1）乙队单独做，要到第几天才能完成？2）如果甲先做3天，然后两队合做，还需要几天能够完成？【分析】由题目可知，甲单独做的工作效率为111010÷=；甲、乙两队合做的工作效率为1144÷=1）可以求出乙队的工作效率为113 41020-=；所以乙队单独做需要3202 162033÷==2）如果甲先做了3天，已经完成了工程的133 1010⨯=剩下的3711010-=由甲、乙两人合做，需要712842104105÷==【尖子】有一项工程，甲队单独做63天，再由乙做28天可完成，如果甲、乙合做需48天完成，现在甲先做42天，然后由乙来完成，还需要几天？【分析】根据题意，甲、乙合做48天完成，第一次与之相比，甲多做了15天，而乙少做20天，都恰好完成了全部工作所以甲工程队做15天的量等于乙工程队做20天的量即所以甲工程队做3天的量等于乙工程队做4天的量现在甲先做了42天，比两人合做时少做了6天，应该由乙来补上这部分工作根据工作效率之比，乙需要6348÷⨯=天完成；那么乙还要工作48856+=天【例 3】【基础、提高】一项工程，甲、乙合作需要12天完成，乙、丙合作需要15天完成，甲、丙合作需要20天完成，如果由甲、乙、丙三队合作需要几天完成？【分析】由题目知，甲乙的工作效率之和为112；乙丙的工作效率之和为115；甲丙的工作效率之和为1 20将三者相加，恰好是甲乙丙三队的工作效率之和的两倍，1111 1215205 ++=所以三队合作需11(2)105÷÷=天【提高、尖子】有一条公路，甲队独修10天，乙队独修12天，丙队独修15天，现在让3个队合修，但中途甲队撤离出去到外地工作，结果用了6天才把这条公路修完。

第5讲 工程问题【学习目标】1、复习工程问题；2、熟悉小升初的常见题型。

【知识梳理】1、基础公式：（1）工作量=工作效率×工作时间；（2）工作时间=工作量÷工作效率；（3）工作效率=工作量÷工作时间。

2、常用方法：（1）分工法；（2）比例法。

【典例精析】1、修一条公路，计划每天修60米，实际每天多修15米，结果提前4天修完，一共修了多少米？60×4÷15=16(天）(60+15)×16=1200(米）2、有一批零件由甲、乙两人合作完成，原计划甲比乙多做50个，结果乙实际做的比计划少70个，比甲实际做的总数的53多10个，这批零件共有多少个？ 70×2+50=190(个）(190+10)÷(1-53)=500(个） 500-190+500=810(个）3、一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。

现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过27天才完成。

甲休息了多少天？27-22=5(天）4、单独完成某路段维修工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起开工，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问：甲队实际工作了几天？5、加工一批零件，甲、乙两人合作需要12天完成，现在由甲先做3天，然后由乙做2天，还6、加工一批服装，原计划甲、乙两车间在25天合作完成，甲、乙合作10天后，甲单独做8天，接着乙又单独做14天，这样共完成全部任务的81%,已知甲比乙每天多做10套，求计划加工多少套服装？7、甲、乙、丙合作一项工程，4天干了整个工程的31,这4天内，除丙外，甲休息了2天，乙休息了3天，之后三人合作完成，甲的效率是丙的3倍，乙的效率是丙的2倍，问工程前后一共用了多少天？解：设丙的工效是x ，4+4=8(天）8、甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植1棵树的时间，乙可以植2棵树，丙可以植3棵树，他们先一起工作了5天，完成全部任务的31,然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。

【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。

学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。

谢谢使用！！！】工程问题一、考点、热点回顾1、顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可2、工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

3、工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

二、典型例题例1、单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。

甲队单独干需100天，甲的工作效例2、某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。

问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

答：甲队干了12天。

例3、单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 、一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。

如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。

一、 基本概念（1） 工作总量完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.（2） 工作时间（3） 工作效率单位时间内所完成的工作量二、 基本关系工作量 = 工作效率×工作时间【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.三、 常用工具和方法（1） 基本关系（2） 整体化归思想（3） 对比分析的方法（1） 重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题（2） 难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用重难点知识框架工程问题一、 根据基本关系解题【例 1】 一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【巩固】 一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【例 2】 一项工程，甲队单独完成需40天。

若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.【巩固】 一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？二、 运用整体化归思想解题【例 3】 有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。

甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。

开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。

则丙帮甲 小时，帮乙 小时。

例题精讲【巩固】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？【例4】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？【巩固】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？【例5】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【巩固】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有16的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？三、运用对比分析方法解题【例6】一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？【例7】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【巩固】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【例8】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天. 问这项工程由甲独做需要多少天？【巩固】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的15．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【例9】放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【例10】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【例11】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【巩固】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【例12】一项工程，甲、乙合作3125小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多13小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？【巩固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用13天．已知甲单独完成这件工作需10.75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？四、综合运用多种思想解题【例13】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的23。

小学六年级奥数题工程问题1、甲打了多少天？甲、乙合打若干天后，甲停工休息，乙继续打了5天完成。

设甲合乙打了x天，则乙单独打了x+5天。

根据题意得到方程：1/30x+1/20(x+5)=1.解得x=12，所以甲打了12天。

2、乙队休息了几天？设乙队休息了___，则甲队实际工作了20-3=17天，乙队实际工作了25-y天。

根据题意得到方程：20/17+25/(25-y)=1.解得y=5，所以乙队休息了5天。

3、丙帮助甲搬运了几小时？设甲搬运M汽车的货物需要x小时，则乙搬运N汽车的货物需要x-5小时。

设丙帮助甲搬运了y小时，则丙帮助乙搬运了20/3-y小时。

根据题意得到方程：x/12+(x-5)/15+(20/3-y)/20=1.解得y=2，所以丙帮助甲搬运了2小时。

4、这样一共用了几天时间？设三人合作需要x天完成，则___实际工作了9天，___实际工作了8天，___实际工作了x-1天。

根据题意得到方程：1/10*9+1/12*(x-4)+1/15*(x-1)=1.解得x=6，所以三人合作用了6天时间。

5、甲队单独做需要21天，乙队单独做需要15天。

设甲队单独做需要x天，则乙队单独做需要20-x天。

根据题意得到方程：7/x+5/(20-x)=1/3.解得x=21，所以甲队单独做需要21天，乙队单独做需要15天。

6、乙单独做需要10天完成。

设全工程需要x天完成，则甲单独做需要3x/8天，乙单独做需要4x/8=1/2天。

根据题意得到方程：3x/8+5/8*(3x/8+4x/8)=1/2.解得x=40/3，所以乙单独做需要10天完成。

7、完成全部工程需要60小时。

设三人交替工作需要x小时完成，则甲工作x/2小时，乙工作(x-1)/2小时，丙工作(x-2)/2小时。

根据题意得到方程：x/15+(x-1)/18+(x-2)/20=1.解得x=60，所以完成全部工程需要60小时。

8、打开乙、丙两管，需要3小时可以将满池水排空。

第五讲——工程问题知识提要：工程问题,研究工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系。

在工程问题中，一般会出现三个：工作总量、工作时间、工作效率，其中工作时间是指完成工作总量所需的时间，工作效率是指单位时间内完成的工作量。

这三个量之间的基本关系如下：工作时间⨯工作效率=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间当工作总量没有具体给出或不需要给出时，一般把工作总量设为单位“1”，用完成工作所需时间的倒数表示工作效率，然后再利用三个量之间的关系解题。

例题精讲【例题1】一件工作，甲、乙合作5小时完成，乙、丙合作4小时完成。

现在由甲、丙合作2小时，余下的再由乙工作5小时可以完成。

乙独做这件工作需几小时才能完成？【拓展练习】修一条高速公路，若甲、乙、丙合作，90天可完工；若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天完工；若甲、乙合作36天后，剩下的工程由四人合作，还需要多少天完工？1【例题2】有160个机器零件,平均分派给甲、乙两车间加工.乙车间因另有紧急任务,所以,在甲车间已加工3小时后,才开始加工.因此,比甲车间迟20分钟完成任务,已知甲、乙两车间的劳动生产率的比是1:3.问甲、乙两车间每小时各能加工多少个零件?【拓展练习】一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？【例题3】一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他们要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？【拓展练习】一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？【例题4】一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。