六年级奥数_第一讲_工程问题

一、 基本概念（1） 工作总量完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.（2） 工作时间（3） 工作效率单位时间内所完成的工作量二、 基本关系工作量 = 工作效率×工作时间【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.三、 常用工具和方法（1） 基本关系（2） 整体化归思想（3） 对比分析的方法（1） 重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题（2） 难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用重难点知识框架工程问题一、 根据基本关系解题【例 1】 一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【巩固】 一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【例 2】 一项工程，甲队单独完成需40天。

若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.【巩固】 一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？二、 运用整体化归思想解题【例 3】 有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。

甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。

开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。

则丙帮甲 小时，帮乙 小时。

例题精讲【巩固】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？【例4】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？【巩固】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？【例5】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【巩固】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有16的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？三、运用对比分析方法解题【例6】一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？【例7】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【巩固】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【例8】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天. 问这项工程由甲独做需要多少天？【巩固】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的15．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【例9】放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【例10】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【例11】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【巩固】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【例12】一项工程，甲、乙合作3125小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多13小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？【巩固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用13天．已知甲单独完成这件工作需10.75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？四、综合运用多种思想解题【例13】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的23。

第一讲--工程问题（一）★★方法指南：工程问题是研究工作总量、工作时间和工作效率三者之间关系的一类应用题，在解此类应用题时，要清楚三者有如下的关系：工作总量 =工作时间×工作效率 工作效率 =工作总量÷工作时间 工作时间 =工作总量÷工作效率三个量只要知道了其中两个量，就可以求得第三个量。

解题时一般把工作总量看作单位“1” ，工作效率用单位时间内完成工作量（即单位“1” ）的几分之几来表示。

技巧：在工程问题中，如果已知完成一件工程的天数，那么工作效率即完成这件工作的天数的倒数。

★★知识讲解：题型一：一件工作单独完成，甲要10小时，乙要12小时。

（1）两人合作，多少小时完成这件工作？ （2）两人合作，多少小时完成这件工作的43？ 点拨方法：已知两人的工作效率，求两人合作完成指定任务的时间，可以根据： “需要完成的工作总量÷工作效率和=工作时间”来解答。

解：（1）()小时115511601211011==⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷ （2）()小时1114114512110143==⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷答：略 类型题：1.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。

甲、乙两队合做，多少天可以完成？2.有一项工程，若由甲工程队独立完成，需要8天；若由乙工程队独立完成，需要24天。

为了加快进度，决定由两队合力完成，需要几天？3.一件工程，甲用32小时完成，乙用54小时完成，如果由二人合作几小时可以完成？4.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。

甲乙两队合做，多少天可以完成这项工程的32？5.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成。

他们合干多少天可完成工程的一半？6.一批布，可以做上衣20件或裤子30条。

如果成套做，可以做这种服装多少套？变式题：1.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。

丙队单独做24天完成。

第一讲工程问题工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．这三个量之间有下述一些关系式：工作效率×工作时间＝工作总量，工作总量÷工作时间＝工作效率，工作总量÷工作效率＝工作时间．为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工效为112，乙、丙合作的工效为115，甲、丙合作的工效为120。

因此甲、乙、丙三队合作的工效的2倍为112＋115＋120，所以甲、乙、丙三队合作的工效为（112＋115＋120）÷2=110。

因此三队合作完成这项工程的时间为1÷110=10（天）解：1÷[（112＋115＋120）÷2]=10（天）答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位，这样，工效就用工时的倒数来表示。

如例1中甲、乙两队合作的工时为12天，那么工效就为112，它表示甲、乙两队一天完成全部工程的112。

例2师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的710批零件各需几天？分析设一批零件为单位“１”，其中６天完成任务，用16表示师徒的工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．解：师傅工效：（710－16×３）÷２＝110；徒弟工效：16－110＝115；师傅单独做需几天：１÷110＝10（天）徒弟单独做需几天：1÷115＝15（天）。

答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？分析解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。

四一、工程问题综合提高（六上）在日常生活中，做某件事，制造产品，完成某项任务或工程等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”．1、工程问题基本数量关系式：工作总量=工作效率×工作时间工作时间=工作总量÷工作效率工作效率=工作总量÷工作时间．2、工程问题中的比例问题通常可以分为：工作总量相同，工作效率与工作时间成反比；工作时间相同，工作效率与工作总量成正比；工作效率相同，工作时间与工作总量成正比．3、三者之间的换算，注意对应．4、单位“1”的转化．5、解题方法（1） 基本法或假设工作任务为“1”（和总工作量无关）；或假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）； 利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间．（2）分段考虑（3）分对象考虑6、问题转化：牛吃草问题、排队问题、泄洪问题、漏水问题等．第1讲 工程问题综合 六年级 秋季知识点备注一、 量率对应1、生产一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．现由甲先单独工作5天，再由乙单独工作3天后还剩这批帽子的34没完成．若甲每天比乙少加工4个帽子，则这批帽子共有多少个？2、（2014年金帆五春）制作一批零件，甲车间要20天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要12天就能完成．乙车间与丙车间一起做，需要16天才能完成．现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件400个．问丙车间制作了___________个零件．二、 来回帮忙3、有A 、B 两个仓库，A 仓库的货物是B 仓库的2倍．搬运完A 仓库的货物，甲需要32小时；搬运完B 仓库的货物，乙单干需要24小时，丙单干需要12小时．刚开始甲搬运A 仓库，乙搬运B 仓库，丙帮甲，后来丙又去帮乙，直到最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮了甲几个小时？课堂例题4、（龙校六年级秋季）有甲、乙两个大型挖土工程分别需要挖2万和1万方土．A公司派出60人去做甲工程、30人去做乙工程，同时动工．当甲工程刚好完成23时，B公司派出40人去支援甲工程，若干天之后，乙工程还剩14，B公司立即完全停止支援甲工程，并派20人立即支援乙工程直至完成．最后两项工程都在动工后的50天完成．若同一公司的每个人每天挖土量相等，则单独由A公司的60人做甲工程需要多少天才能完成？三、轮流工作5、小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务．若由这3人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时．（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成？6、（金帆六年级秋季）规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?四、劳逸结合7、甲工程队每工作6天必须休息1天，乙工程队每工作5天必须工作2天．一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息）．乙工程队单独做需82天（含休息）．如果两队合作，从2014年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？8、（人大附）一次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做15道题，但做3道错一道，而且他做2分钟要休息1分钟，那么小明这次竞赛做对了____________道题．五、比例解工程问题9、一批蜘蛛侠模型，做了1后，提速25%，提前3小时完成；如果做了400个模型后，提4速20%，可以提前2小时完成任务，那么这批模型有多少个？10、甲、乙两人合作一项工作，如果甲提速20%，则可比计划时间提前1完工；如果乙减10速25%，则会推迟10分钟，那么他们原计划多少分钟完成这项工作？六、水管问题11、一水池装有一个进水管和一个排水管，单开进水管5小时可以将空池灌满，单开排水管7小时可以将满池水排完．如果一开始是空池，打开进水管1小时后又打开排水管，那么再过多少小时池内将积有半池水？12、为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水．水池建成后，发现水池漏水．这时，若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满．则当水池注满，并且关闭进水管与出水管时，经过多少小时池水就会漏完？七、列方程（组）解工程问题13、甲、乙两项工程分别由一、二对来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要上升20%．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？14、若干名工人计划用x分钟完成一项工程，如果开始时离开1名工人则要延误4分钟完成任务，如果开始时离开2人则要延误10分钟，那么原来共有多少人完成此任务？x的值是多少？（每人工作效率相同）1、（金帆五升六）一项工程，甲、队独做10天可以完成，乙队独做30天可以完成．现在两队合作期间甲队休息了2天，乙队休息了8天（两队不在同一天休息）．从开始到完工共用了多少天？2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草．单独割完一个草地的草，阿呆需要9个小时，阿瓜需要12个小时，墨莫需要18个小时．现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同的草地．墨莫先帮助阿瓜，再去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任务，那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时？3、一个水池有两根进水管．单开甲管12小时注满，单开乙管15小时注满．现在甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时，乙管打开1小时……重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？4、姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒网”，姜太公打满一缸鱼要38天，周文王打满同样的一缸鱼要37天，两人从2014年9月2号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？随堂练习5、（金帆五年级春季）一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在他们两队一起做，期间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共有16天，乙队休息了多少天？6、（龙校六年级秋季）甲乙共同加工一批零件，开始时甲每天加工的零件个数比乙少14．共同加工7天后，甲每天加工的零件提高了一半，而乙不变．加工结束时，甲总共加工的零件比乙少80个．若乙单独加工这批零件需要25天，求这批零件一共有多少个？7、（金帆五升六）一项工程，甲15天做了14后，乙加入进来，甲、乙一起又做了14，这时，丙也加入进来，甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问做完整个工作需要多少天？1、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在由两队合作，其间乙队休息了若干天，从开始到完工共用时14天，那么乙队休息了______天．2、（金帆五升六）一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成?课后作业3、（2015年金帆五春）某工程可由若干台机器在规定时间内完成．如果增加2台机器，则只需用规定时间的78就可做完；如果减少2台机器，那么就要推迟23小时做完．则由一台机器去完成这工程需要________小时．4、草场上放有一堆草，并且还有一片草以均匀的速度生长着．如果放养8头牛，则10天可以吃完；如果放养10头牛，则6天可以吃完，那么如果放养15头牛，可以吃____天．5、有A、B两个同样的仓库，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时．若一开始甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运．中途丙又到B仓库帮助乙搬运，最后两个仓库同时搬完．丙帮助甲多少小时？6、有一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的．打开A管，8小时可将满池水排空；打开C管，12小时可将满池水排空；如果打开A、B两管，4小时可将水排空．那么打开B、C两管，______小时可将满池水排空．7、蓄水池有甲、丙两条进水管和出水管乙．要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，开乙管需4小时．现在池内有16池水，如果按照甲、乙、丙的顺序轮流各打开1小时，______小时后水开始溢出水池．8、某工人做一批零件，做完一半后，提速25%，提前2小时完成任务；如果做了200个零件后，提速20%，也可提前2小时完成任务．那么这批零件有________个．9、某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入，为了防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10个小时水位降至安全线．现在抗洪指挥部要求在3小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？10、一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔．现用一个进水管给空水槽灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用64分钟；若打开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可以打开__________个出水孔，经过__________分钟才能将水箱灌满．。

工程问题1、一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。

甲先做了一些天后，余下的由甲、乙合做了9天完成了任务。

问甲先做了多少天？2、一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需30天完成。

乙做了10天后，甲才开始与乙合作，问完成这项工程后，乙共做了多少天？3、一项工程，甲、乙两队合做需要12天完成，乙队独做需要30天完成，那么甲队独做需要多少天完成？4、一项工程，甲独做需要20天完成，乙独做比甲多用1/2的时间，丙独做比乙少用18天，如果3人合作，多少天可以完成这项工程？5、一项工程，甲独做5天后，余下的乙独做15天完成了任务。

如果全部工程由乙独做30天可以完成，那么，全部工程由甲独做需要多少天完成？6、一项工程，甲单独做需要20天完成，乙独做需要30天完成，丙独做需要12天完成，现在先由甲、乙两人合作6天后丙加入三人合作，还要多少天才能完成这项工程？7、加工一批零件，甲独做需要20天完成，乙独做需要30天完成。

如果甲比乙每天多做36个，那么这批零件共有多少个？8、加工一批零件，甲独做需要20天完成，乙独做需要30天完成。

甲、乙两人合作6天，加工了1500个零件，问这批零件共有多少个？9、加工一批零件，甲独做需要20天完成，乙独做需要30天完成。

甲、乙两人合作，完成任务时，甲比乙多生产了36个，问这批零件共有多少个？10、加工一批零件，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。

现在两人合做2天，还剩下2500个零件没加工，问在合做时间内乙加工了多少个零件？11、加工一批零件，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成，现由甲、乙两人合做，完成任务时，甲给乙300个零件，两人做的零件个数就相等。

问这批零件共有多少个？12、甲、乙两人加工一批零件，规定两人各完成这批零件的一半，已知乙的效率相等于甲的2/3，工作了10天，甲完成了自己的任务，这时乙还差500个零件没完成。

问这批零件共有多少个？13、一项工程，甲单独做需要20天完成，甲、乙合做6天后，甲外出，余下的乙又用了15天才完成任务。