2019届高考数学(文科)江苏版：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2 第2讲 分层演练直击高考含解析

1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是________． [解析] y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4， 由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z2．(2018·苏州联考)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为________，f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．[解析] T ＝2π2＝π，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin 2π3＝ 3. [答案] π33．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． [解析] 由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0<ω≤2，故12≤ω≤54. [答案] ⎣⎡⎦⎤12，544．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．[解析] 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知：T 2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3， 则T ＝23π.因为T ＝2πω＝23π，所以ω＝3.[答案] 35．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．解析：φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒/ φ＝π2.所以“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．答案：必要不充分6．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.答案：(3，2)7．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：因为对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立， 所以f (x 1)，f (x 2)分别为函数f (x )的最小值和最大值， 所以|x 1－x 2|的最小值为12T ＝12×2ππ2＝2.答案：28．(2018·江苏省高考名校联考(八))已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫－5π12的值为________．解析：由函数f (x )的部分图象可知，A ＝2，12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2.当x＝π6时，f (x )＝2，即sin(2×π6＋φ)＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin(2x ＋π6)，所以f (－5π12)＝2sin(－5π6＋π6)＝2sin(－2π3)＝－ 3. 答案：－ 39．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的最大值与最小值之和为________． 解析：令t ＝sin x －cos x ，又x ∈[0，π]，所以t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，t ∈[－1，2]．由t ＝sin x －cos x ，得t 2＝1－2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22.所以原函数变为y ＝t ＋1－t 22，t ∈[－1，2]．即y ＝－12t 2＋t ＋12.所以当t ＝1时，y max ＝－12＋1＋12＝1；当t ＝－1时，y min ＝－12－1＋12＝－1.故函数的最大值与最小值之和为0. 答案：010．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(六))已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中M ，N 是图象与x 轴的交点，K 是图象的最高点，若点M 的坐标为(3，0)且△KMN 是面积为3的正三角形，则f ⎝⎛⎭⎫－13＝________. 解析：由正三角形KMN 的面积为3知，△KMN 的边长为2，高为3，即A ＝3，最小正周期T ＝2×2＝4，ω＝2πT ＝2π4＝π2，又M (3，0)，MN ＝2，所以π2×4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π－3π2，k ∈Z ，又0<φ<π，所以φ＝π2，即f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＝3cos π2x ，f ⎝⎛⎭⎫－13＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32.答案：3211．(2018·南通模拟)设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)若f (x )＞22，求x 的取值范围． 解：(1)因为函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，且－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)因为f (x )＞22，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＞22， 所以2k π－π4＜2x －π3＜2k π＋π4，k ∈Z ，则2k π＋π12＜2x ＜2k π＋7π12，k ∈Z ，即k π＋π24＜x ＜k π＋7π24，k ∈Z .所以x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |k π＋π24＜x ＜k π＋7π24，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，所以3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.1．函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是________． 解析：由|sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1⇒sin 2x ≥0，所以2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )2．(2018·江苏省名校高三入学摸底卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫φω＝________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，则34T ＝3－1＝2，所以T ＝83＝2πω，得ω＝3π4.因为f (1)＝1，所以ω×1＋φ＝3π4×1＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又－π＜φ＜0，所以φ＝－π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4x －π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫φω＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4×⎝⎛⎭⎫－13－π4＝－sin π2＝－1.答案：－13．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，34．(2018·瑞安四校联考改编)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示， 如果x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析：由题图可知A ＝1，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，所以T ＝π，因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin ()2x ＋φ.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0为五点作图的第一个点，所以2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由正弦函数的对称性可知x 1＋x 22＝－π6＋π32，所以x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.答案：325．(2018·南通市高三调研)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝⎛⎭⎫π3，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝⎛⎭⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值．解：(1)由条件得，最小正周期T ＝2π， 即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.⎝⎭α－2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1，即sin α＝12.因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.6．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．解：(1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.⎝⎭3－6由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]．。

第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] (教师用书独具)1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．(对应学生用书第77页)[基础知识填充]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ←————→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) ←————→一一对应平面向量OZ →＝(a ，b )． 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)在复平面内，原点是实轴与虚轴的交点．( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2. (教材改编)如图4­4­1，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图4­4­1A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，∴复数z ＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z (－1，－2)，位于第三象限． 故选C ．]4．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－iD [3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.故选D ．]5．设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________．2 [因为(2＋a i)i ＝－a ＋2i ，又其实部与虚部互为相反数，所以－a ＋2＝0，即a ＝2.](对应学生用书第77页)(1)(2018·合肥一检)设i 为虚数单位，复数z ＝1－i3－i的虚部是( )A ．15 B ．－15C ．1D ．－1(2)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(1)B (2)B [(1)复数z ＝(1－i)(3＋i)(3－i)(3＋i)＝4－2i 10＝25－15i ，则z 的虚部为－15，故选B ．(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B ．]复数的概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程不等式组即可解决复数模的问题可以根据模的性质把积、商的模转化为模的积、商易错警示：解题时一定要先看复数是否为a ＋ba ，b ∈的形式，以确定实部和虚部[跟踪训练] (1)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2018·长沙模拟(二))已知a 是实数，a －i2＋i是纯虚数，则a ＝( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1(1)C (2)A [(1)因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.故选C ．(2)复数a －i 2＋i ＝(a －i)(2－i)5＝2a －15－a ＋25i 是纯虚数，则2a －15＝0且－a ＋25≠0，解得a ＝12，故选A ．](1)(2018·石家庄质检(二))在复平面中，复数1(1＋i)2＋1对应的点在( ) 【导学号：79140161】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(1)D (2)A [(1)复数1(1＋i)2＋1＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i)(1－2i)＝15－25i ，其在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，位于第四象限，故选D ．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．]复数a ，⇔a ，b ⇔OZ→由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观的值等于( )A ．1B ．2C ．5D ．6(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(1)B (2)A [(1)复数z ＝(a －1)＋3i 在复平面内对应的点(a －1,3)在直线y ＝x ＋2上，3＝a －1＋2，a ＝2，故选B ．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.](1)(2018·广州综合测试(二))若复数z 满足(3＋4i －z )i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．4＋6i B ．4＋2i C ．－4－2iD ．2＋6i(2)(2018·石家庄一模)若z 是复数，z ＝1－2i1＋i ，则z ·z ＝( )A ．102B ．52C ．1D ．52(1)D (2)D [(1)由题意得3＋4i －z ＝2＋i i ＝i(2＋i)i2＝1－2i ，所以z ＝2＋6i ，故选D ． (2)因为z ＝1－2i 1＋i ＝(1－2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－12－32i ，所以z ＝－12＋32i ，所以z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝52，故选D ．]复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把记住以下结论，可提高运算速度2＝±2i；②a ＋；⑤i ＝i ；i4n ＋2＝－n ∈[跟踪训练] (1)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. 【导学号：79140162】(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________． (1)1＋i (2)2 [(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009 ＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i1 009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.(2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ， ∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴a b＝2.]。

1．(2018·广州七校联考)抛物线14x 2＝y 的焦点坐标是________．[解析] 由14x 2＝y ⇒x 2＝4y ，于是焦点坐标为(0，1)．[答案] (0，1)2．(2018·连云港模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________．[解析] 设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . [答案] x 2＝－8y3．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．[解析] 由c 2＝9－4＝5得F (－5，0)， 则抛物线方程为y 2＝－45x . [答案] y 2＝－45x4．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________．[解析] 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为AF ＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝AF ＝54x 0，解得x 0＝1.[答案] 15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．[答案] 2 66．(2018·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为________．[解析] 将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4. [答案] 12或47．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则QF ＝________．[解析] 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以QF ＝QQ ′＝3. [答案] 38．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB →＝OA →＋OF →(O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．[解析] 由题可知F (1，0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，所以B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·OF ·|y B |＝12×1×2＝1.[答案] 19．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．[解析] 由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝⎛⎭⎫－p 2，52p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又因为p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .[答案] y 2＝8x10．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1，2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为________．[解析] 因为点A 在抛物线上，所以4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1，0)，设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又因为y 1＋y 2＋23＝0，所以y 1＋y 2＝－2，所以k BC ＝－2.又因为x 1＋x 2＋13＝1，所以x 1＋x 2＝2，所以BC 的中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －1＝0. [答案] 2x ＋y －1＝011．(2018·江苏省四校联考)已知抛物线y 2＝2x 上有四点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)、D (x 4，y 4)，点M (3，0)，直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线PQ 过点M 且垂直于x 轴，交AC 于点P ，交BD 于点Q .(1)求y 1y 2的值； (2)求证：MP ＝MQ .[解] (1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋3，与抛物线方程联立得：y 2－2my －6＝0， 所以y 1y 2＝－6.(2)证明：直线AC 的斜率为y 1－y 3x 1－x 3＝2y 1＋y 3，所以直线AC 的方程为y ＝2y 1＋y 3(x －x 1)＋y 1.所以点P 的纵坐标为y P ＝6＋y 1y 3y 1＋y 3＝6＋⎝⎛⎭⎫－6y 2y 3－6y 2＋y 3＝6（y 2－y 3）y 2y 3－6，同理点Q 的纵坐标为y Q ＝6（y 3－y 2）y 2y 3－6，所以y P ＋y Q ＝0，又PQ ⊥x 轴，所以MP ＝MQ .12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2，2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F 且与直线OA 垂直的直线方程；(3)设过点M (m ，0)(m >0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．[解] (1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.将x ＝yk ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2＝4m.因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24（1＋2mk 2）k 2＝94(m 2＋4m )，所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0).1．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．[解析] 由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线方程为y 2＝±8x .[答案] y 2＝±8x2．(2018·南通质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则MQ －QF 的最小值是________．[解析] 抛物线的准线方程为x ＝－12，当MQ ∥x 轴时，MQ －QF 取得最小值，此时点Q 的纵坐标y ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x 得Q 的横坐标x ＝2，则(QM －QF )min＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪2＋12＝52. [答案] 523．(2018·无锡模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AFBF的值等于________．[解析] 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝BC AB ＝BB 1－AA 1AF ＋BF ＝BF －AFAF ＋BF，即cos 60°＝BF －AF AF ＋BF ＝12，由此得AF BF ＝13.[答案] 134．(2018·鹰潭模拟改编)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记向量OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形； ②∃a <0且b <0，使得向量OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1总成立． 其中，所有正确命题的序号是________．[解析] 根据题意可知，当点P 落在准线与x 轴的交点时，PM ＝PN ＝22≠MN ＝4，所以△PMN 不是等边三角形，所以无论P 在何处即∀a ，b ∈R ，△PMN 都不是等边三角形．故①正确，根据题意不妨令M (1，2)，N (1，－2)，令OP →·ON →＝0，即(a ＋b )·1－2(2a －2b )＝0，整理得3a ＝5b ，所以∃a <0且b <0，使得向量OP →与ON →垂直，故②正确，OP →＝(a ＋b ，2a －2b )，因为点P 在抛物线的准线上，所以a ＋b ＝－1总成立，故③正确．[答案] ①②③5．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段AB ＝20，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. AB ＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4）＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.6．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[解] (1) 依题意，OB ＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝OB sin 30°＝43，y ＝OB cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设定点为M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0，1)．。

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第4讲数系的扩充与复数的引入1．(2018·连云港模拟))复数(1＋i）2的虚部是________．［解析] （1＋i）2＝2i,所以该复数的虚部为2。

［答案］ 22．复数z满足（z－3）（2－i）＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数错误!为________．［解析] 由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋错误!＝3＋错误!＝3＋2＋i＝5＋i,所以错误!＝5－i。

［答案］ 5－i3．设复数z的共轭复数为错误!,若z＝1－i（i为虚数单位),则错误!＋z2的值为________．[解析］依题意得错误!＋z2＝错误!＋(1－i)2＝错误!－2i＝i－2i＝－i。

［答案］－i4．在复平面内O为坐标原点，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA→和错误!，则|错误!｜＝________.［解析] 由复数的几何意义知，错误!＝（1，1），错误!＝(1，3)，则错误!＝错误!－错误!＝（1，3）－（1,1)＝(0，2），所以|错误!|＝2。

［答案］ 25．(2018·云南省师大附中月考改编)若复数z＝错误!的共轭复数是错误!＝a＋b i(a,b∈R）,其中i为虚数单位，则点(a，b)为________．[解析］因为z＝错误!＝－2－i，所以错误!＝－2＋i.［答案］ (－2，1）6．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R,i是虚数单位,则点P(a，b)到原点的距离等于________．[解析] 由已知a i＋2＝b－i，所以错误!所以点P（－1，2）到原点距离|OP｜＝错误!。

．(·连云港模拟))复数(＋)的虚部是．[解析] (＋)＝，所以该复数的虚部为.[答案]．复数满足(－)(－)＝(为虚数单位)，则的共轭复数为．[解析] 由(－)(－)＝，得＝＋＝＋＝＋＋＝＋，所以＝－.[答案] －．设复数的共轭复数为，若＝－(为虚数单位)，则)＋的值为． [解析] 依题意得)＋＝＋(－)＝－＝－＝－.[答案] －[解析] 依题意得)＋＝＋(－)＝－＝－＝－.[答案] －[答案] －．在复平面内为坐标原点，复数＋与＋分别对应向量和，则＝.[解析] 由复数的几何意义知，＝(，)，＝(，)，则＝－＝(，)－(，)＝(，)，所以＝.[答案] ．(·云南省师大附中月考改编)若复数＝的共轭复数是＝＋(，∈)，其中为虚数单位，则点(，)为．[解析] 因为＝＝－－，所以＝－＋.[答案] (－，)．若(－)＝－，其中，∈，是虚数单位，则点(，)到原点的距离等于．[解析] 由已知＋＝－，所以所以点(－，)到原点距离＝.[答案]．若(＋)＝＋，，∈，则复数＋＝．[解析] 依题意得－＋＝＋，所以即所以＋＝－＝＝.[答案]．设复数满足＋＝＋，ω＝θ－θ(θ∈)，则－ω的取值范围为．[解析] 设＝＋(，∈)，则＝－，代入＋＝＋，得(＋)＋(－)＝＋，所以解得所以＝＋.－ω＝θ－θ）))＝θ))\()＋\(\)(\\(()＋θ))\())＝θ＋θ)＝.因为－≤≤，所以≤－≤.所以≤－ω≤.[答案] [，]．已知集合＝，是虚数单位，为整数集，则集合∩中的元素个数是．[解析] 由已知得＝{，－，－，}，为整数集，所以∩＝{－，}，即集合∩中有个元素．[答案]．给出下列四个命题：①若∈，＝，则∈；②若∈，＝－，则是纯虚数；③∈，＝，则＝或＝；④若，∈，＋＝－，则＝.其中真命题的个数为．[解析]①是真命题，＝·，所以·＝，所以＝或＝，故∈；②是假命题，＝时不成立；③是假命题，因为＝·＝，所以(－)＝，故＝或＝－；④是假命题，假如＝，＝时，≠，但＋＝－.[答案]．计算：()；()；()＋；().[解] ()＝＝－－.()＝＝＝＝＋.()＋＝＋＝＋＝－.()＝＝＝＝－－.．已知是复数，＋，均为实数(为虚数单位)，且复数(＋)在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．[解] 设＝＋(，∈)．因为＋＝＋(＋)，由题意得＝－.因为＝＝(－)(＋)＝(＋)＋(－)，由题意得＝.所以＝－.因为(＋)＝(＋－)＋(－)，根据条件，可知解得＜＜，。