2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数 习题课 复数学案 新人教B版选修2-2

第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课题型一 分类讨论思想的应用例1 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)满足下列条件？ (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.解 (1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，该复数为实数. (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，该复数为虚数.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－5k －6≠0，k 2－3k －4＝0，即k ＝4时，该复数为纯虚数.反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当x ＋y i 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论. 跟踪训练1 (1)若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A.a ＝－1 B.a ≠－1且a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠2答案 C解析 若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a ≠－1且a ≠2；当a 2－a －2＝0且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a ＝2.综上所述，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数. (2)实数x 取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零.解 ①当x 2－2x －15＝0，即x ＝－3或x ＝5时，复数z 为实数； ②当x 2－2x －15≠0，即x ≠－3且x ≠5时，复数z 为虚数； ③当x 2＋x －6＝0且x 2－2x －15≠0，即x ＝2时，复数z 是纯虚数； ④当x 2＋x －6＝0且x 2－2x －15＝0，即x ＝－3时，复数z 为零. 题型二 数形结合思想的应用例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z . 解 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图.∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝－2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝4.∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等. 跟踪训练2 已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值.解 (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2).所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1.题型三 转化与化归思想的应用例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围.解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. 又z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数， ∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限.∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0a －，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6).反思与感悟 在求复数时，常设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，把复数z 满足的条件转化为实数x ，y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要.跟踪训练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i4k ＋2＝－1，i4k ＋3＝－i(k ∈Z )；(2)(1±i)2＝±2i；(3)设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N＋)等；(4)(12±32i)3＝－1；(5)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝a ＋bb －a＝a ＋ba ＋b i＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化.例4 计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 006.解 (1)方法一 (1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i ＋12i －32i 2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.方法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i 2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 006＝－23＋＋23＋21 003－1 003＝－23＋i －23－1i 1 003＝i －1－i＝i －i ＝0. 反思与感悟 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法. 跟踪训练4 计算：＋－21－2i＋－－＋2i5－1－i 2 0111－i.解＋－21－2i＋－－＋2i5－1－i2 0111－i＝＋－1－2i＋－－2ii－1＋i1－i＝2－4i1－2i＋1－3ii－＋22＝2－(i＋3)－i＝－1－2i.[呈重点、现规律]高考对本章考查的重点1.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a＋b i(a，b∈R)的结构形式.3.对复数几何意义的考查.在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.。

第三课 数系的扩充与复数的引入[核心速填]1．复数的有关概念及分类(1)代数形式为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中实部为a ，虚部为b ； (2)共轭复数为z ＝a －b i(a ，b ∈R )． (3)复数的分类 复数a ＋b ia ，b ∈R⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0⎩⎨⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数分数无理数无限不循环小数虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0①若 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是实数，则z 与z 的关系为z ＝z .②若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则z 与z 的关系为z ＋z ＝0(z ≠0)． 2．与复数运算有关的问题 (1)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(2)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.(3)复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) ①加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； ②减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； ④除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2＋a 2b 1－a 1b 2i a 22＋b 22＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； 3．复数的几何意义(1)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z (a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ →.(2)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ →1、OZ →2不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ →1、OZ →2为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(3)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ →1、OZ →2的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．[题型探究]复数的概念当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i. (1)为实数；(2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0.【导学号：48662162】[解] (1)z ∈R ⇔a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.故a ＝0.(3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a >0，a 2－3a ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，或a >2，a <1，或a >2，∴a ＜0，或a ＞2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a ＝2. [规律方法] 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a ＋b i a ，b ∈R 的形式时，要通过变形化为a ＋b i 的形式，以便确定其实部和虚部.(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 1．(1)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2(2)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(1)A (2)D [(1)因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i ＋(－2i)＝0.故选A.(2)因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.]复数的几何意义(1)在复平面内，复数－2＋3i3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.[解析] (1)－2＋3i3－4i＝－2＋3i3＋4i25＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∴复数－2＋3i 3－4i 对应的点位于第二象限．(2)∵OC →＝2OA →＋OB →∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.][答案] (1)B (2)－3 －10 [跟踪训练]2．若i 为虚数单位，如3­1图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图3­1A ．EB ．FC ．GD ．HD [∵点Z (3,1)对应的复数为z ，∴z ＝3＋i ，z 1＋i ＝3＋i1＋i＝3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即H 点．]复数的四则运算(1) 已知z 是z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i(2)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i 2＋i 2，则z 1z 2＝( ) A ．－4＋3i B ．3＋4i C ．3－4iD ．4－3i(1)[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入z ·z i ＋2＝2z 中得，(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，∴2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴z ＝1＋i ，故选A.(2)z 1z 2＝2－3i 2＋i23＋2i＝2－3i 3－2i 2＋i23＋2i 3－2i＝－13i 3＋4i13＝4－3i.[答案] (1)A (2)D母题探究：1.本例题(1)中已知条件不变，则z z＝________.i [由解析知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i.z z＝1＋i1－i＝i.] 2．本例题(2)中已知条件不变，则z 1z 2＝__________. 1625－6325i [z 1z 2＝2－3i 3＋2i 2＋i 2 ＝12－5i 3＋4i ＝12－5i3－4i3＋4i 3－4i＝16－63i 32＋42＝1625－6325i.][规律方法] (1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；(2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a ＋b i a ，b ∈R 的结构形式.(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化.转化与化归思想已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围.【导学号：48662164】[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. 又z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数， ∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限．∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08a －2>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．[规律方法] 一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i x ，y ∈R ，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.[跟踪训练]3．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . [解] 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.。

课时作业（二十）数系的扩充和复数的概念 A 组基础巩固 1•以3i —，” 2的虚部为实部，以 3i 2+ 2i 的实部为虚部的复数是（ ） A. 3 — 3i “ " C.— 2+ .. 2i D. 解析：3i — 答案：A 2 •若复数， B . 3 + i 羽+W ,2的虚部为3,3i 2+ . 2i =— 3+ ；2i 的实部为一3,故选A. cos 0 + isin B. 0和sin 0 + icos 0相等，则 0值为（ ） n . 5 或：n 4 4 n C. 2k n +f k € Z) D . nk n + 才(k € Z) 解析：由复数相等定义得 cos 0 =sin 0 , sin 0 =cos 0 , n tan 0 = 1 ,二 0 = k n +— ( k € Z)，故 4 选D. 答案：D 3. 下列命题中：①若 x , ② 纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集； 2 2 y € C , 则x + y i = 1 + i 的充要条件是x = y = 1； ③ 若（Z 1 — Z 2） + （ Z 2— Z 3） = 0,贝U Z 1= Z 2= Z 3； ④ 若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应. 正确的命题的个数是（ A. 0 B . 1C. 2 D . 3 解析：①取x = i , y =— i 于④，a = 0时，a i = 0,④错， 答案：A2 2 4. 4 — 3a — a i = a + 4a i , A. 1 B . 1 或一4 C.— 4 D . 0 或—4 4 — 3a = a ,2 解得a = — 4. —a = 4a , 解析：由题意知 答案：C5.已知集合 的值为（ ） A. 4 B ，则x + y i = 1 + i ，但不满足x = y = 1,故①错；②③错；对 故选A. 则实数a 的值为（ ） 悴{1 ,(吊一3叶 1) + (用一5m r 6)i} , N = {1,3} , MA N= {1,3}，则实数 m C. 4 或—1 D . 1 或 6解析: 由题意知 厂2m — 3 m-1 = 3, 2 ••• rm=— 1. m — 5 m- 6= 0, 答案: 6.若 解析: B log 2( x 2— 3x — 2) + ilog 2( x 2+ 2x + 1) > 1,则实数 x 的取值范围是 2 2 • log 2( x — 3x — 2) + ilog 2( x + 2x + 1) > 1, x 2— 3x — 2 > 1, 2 二 x =— 2. x + 2x + = 0, log 2 答案：{ — 2} 2 27.乙=—3 — 4i , Z 2= (n — 3m-1) + (n — m — 6)i ，且乙=Z 2,则实数 m = n =271 cos 2 + 0 =— Sin 0 = 0,若z 为纯虚数，则有 sinx= 1 -花,y =— 1 — 2.10. 若 x 、y € R ,且(x — 1) + y i > 2x ,求 x , y 的取值范围. 解析：■/ (x — 1) + y i >2x ,「. y = 0且 x — 1 >2x ,••• xv— 1,x , y 的取值范围分别为 x v — 1, y = 0.B 组能力提升2 a 2 11. 关于x 的方程3x — — 1 = (10 — x — 2x )i 有实根，求实数解析：设方程的实数根为 x = m ,2 a 2则原方程可化为 3m — 1= (10 — m- 2m )i ,3n i — am- 1 = 0, • / 2 2[10 — m- 2m = 0,71故实数a 的值为11或—"7. 512. 求满足条件2W|z | v 3的复数z 在复平面上表示的图形.解析：如图，图形是以原点 O 为圆心，半径分别为2个单位长和 夹的圆环，但不包括大圆圆周.值为 解析：由复数相等的充要条件有n 2 - 3 m — 1 = - 3,n 2— m- 6=— 4, 答案：2 ±2&复数 z = cos -2+ n =± 2.isin j-2 + 0 0 J;若z 为纯虚数，则0的值为，且& € — j ,卡，若z 是实数，则0的 解析：若z 为实数，则sin =cos 0 = 0, ? 0 = 0.答案: 9.已知 ± 2 0x 2 + y 2— 6 + (x — y — 2)i = 0,求实数 x , y 的值.x 2 + y 2— 6 = 0,x — y — 2 = 0,由复数相等的概念，得 a 的值.71解得a =11或a =-713个单位长的两个圆所3。

3.2.2 复数的乘法和除法明目标、知重点 1.把握复数代数形式的乘法和除法运算.2.明白得复数乘法的互换律、结合律和乘法对加法的分派律.3.进一步明白得共轭复数的概念及性质.1.复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3.复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.[情境导学]咱们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法知足运算律吗？探讨点一复数乘除法的运算试探1 如何进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，而且把实部与虚部别离归并即可. 试探2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必需在所得结果中把i2换成－1.例1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.反思与感悟 复数的乘法能够按多项式的乘法法则进行，注意选用适当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.试探3 如何明白得复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成份式的形式，再把分母实数化(方式是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).例2 计算：(1)4－3i 4＋3i ＋4＋3i 4－3i ； (2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i. 解 (1)原式＝4－3i 24＋3i 4－3i＋4＋3i 24－3i 4＋3i ＝16－9－24i 42＋32＋16－9＋24i 42＋32＝7－24i 25＋7＋24i 25＝1425； (2)方式一 原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i 3＋2i 32＋22 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 方式二 (技术解法)原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i i 3－2i i ＝i 6＋2＋3ii 2＋3i ＝－1＋i.反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)－1＋i 2＋i －i. 解 (1)7＋i 3＋4i＝7＋i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝25－25i 25＝1－i. (2)－1＋i 2＋i －i ＝－3＋i －i ＝－3＋i ·i －i·i＝－1－3i. 探讨点二 共轭复数及其应用试探1 复数a ＋b i 及其共轭复数之积是实数仍是虚数？答 复数a ＋b i 的共轭复数表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，因此两个共轭复数之积为实数. 试探2 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用那个性质可证明一个复数为实数.(3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用那个性质，可证明一个复数为纯虚数.试探3 z ·z 与|z |2和|z |2有什么关系？ 答 z ·z ＝|z |2＝|z |2.例3 已知复数z 知足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，因此3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－45，b ＝－35.因此z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i. 反思与感悟 本题利用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点.跟踪训练3 已知复数z 知足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1.设复数z 知足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.－iC.－1答案 A解析 z ＝1i＝－i. 2.已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( )A.－2iC.－4i答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i ＝－4i.3.复数i －21＋2i等于( )B.－iC.－45－35i D.－45＋35i 答案 A4.复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D解析 因为z ＝2－i 2＋i ＝2－i 25＝3－4i 5，故复数z 对应的点在第四象限，选D. [呈重点、现规律]1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法知足互换律、结合律和乘法对加法的分派律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成份式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数的性质能够用来解决一些复数问题.3.复数问题实数化思想.复数问题实数化是解决复数问题的大体思想方式，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.。

3.1数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。

教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.自主学习合作探究成果展示精讲点拨巩固提高小结与作业1、【自主学习】(课前完成)阅读教材《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考：(1) 你对数的发展的了解(2) 由得你有，何困惑？(3)方根2-=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？(5)复数的有关概念？(6)实数集R与复数C的关系？2、【合作探究】探究任务一：数系的扩充过程。

问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。

3．1.1 实数系3．1.2 复数的概念明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念(1)复数①定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．(2)复数集①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .[情境导学]为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一 复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2 如何理解虚数单位i?答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立．(4)若i 2＝－1，那么i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(3)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3.∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究点二 两个复数相等思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( )A.2，1B.2，5 C ．±2，5D ．±2，1 答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( )A ．±1B ．±iC ．±2iD ．±2i答案 C3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－1或1 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m m ＋1＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a ∈R )是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．[呈重点、现规律]1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．。

2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充教学案苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充教学案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

1 数系的扩充[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理．从推理形式上看,归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系,相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：（1）综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发,顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B（A为已经证明过的命题，B为要证的命题）．它的常见书面表达是“∵,∴”或“⇒”．(2）分析法是“执果索因",一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析,由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法:一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：（1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推,是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可,第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”,否则就是错误的．错误!一、填空题（本大题共14个小题,每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．（新课标全国卷Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析:由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是:表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案:表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．（写出全部正确命题的序号）①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确,则结论一定正确．大前提和小前提中,只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．"以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为________．解析：错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!.答案：1∶86．（陕西高考）观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2;五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2,由此归纳可得F＋V－E＝2。

第三章 复数二．课标要求：复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。

复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

第一节 数系的扩充和复数的概念学习目标：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。

第一课时 复数的概念 一．归纳重点1．复数的代数形式：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位。

复数的实部为 ，虚部为 。

2．虚数和纯虚数：对于),(R b a bi a z ∈+=，当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数。

3．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系如右图所示：4．复数的相等：di c bi a +=+的充要条件为 。

二．典型例题例1．实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2．如果i y y x i y y x )12()32()1()(+++=-++，求实数y x ,的值。

三．延伸训练1．下列四个命题中，真命题是（ ）①1-的平方根只有一个i ；②i 是方程012=+x 的一个根；③i 2是一个无理数；④)(1R a ai ∈-是一个复数。

.A ①② .B ②③ .C ①④ .D ②④ 2．对于复数bi a +，下列结论正确的是（ ）.A bi a a +⇔=0为纯虚数 .B bi a b +⇔=0为实数 .C 3,323)1(-==⇔+=-+b a i i b a .D 1-的平方等于i 3．复数i a a 234--与复数ai a 42+相等，则实数a 的值为（ ）.A 1 .B 1或4- .C 4- .D 0或4-4．复数i 312+-的实部为 ，虚部为 。

5．下列数中，其中实数为 ，虚数为 ，纯虚数为 。

①72+；②e ；③i 72；④0；⑤i ；⑥2i ；⑦3i ；⑧85+i ；⑨)31(-i ；⑩i -2。