上海高一复合函数题型整理

高一函数必备的三十个题型(一)高一函数学习中常见的三十个题型如下：1. 定义域和值域的求解，给定一个函数，求其定义域和值域。

2. 函数的奇偶性判断，根据函数表达式或图像，判断函数的奇偶性。

3. 函数的单调性分析，根据函数表达式或导函数，分析函数的单调递增或递减区间。

4. 零点问题，求函数方程 f(x) = 0 的解。

5. 函数的图像与性质，根据函数表达式，绘制函数的图像，并分析其性质。

6. 函数的复合与反函数，给定两个函数，求它们的复合函数和反函数。

7. 函数的平移与伸缩，根据函数的平移和伸缩规律，确定函数的变化情况。

8. 函数的最值问题，求函数在给定区间上的最大值或最小值。

9. 函数的极值与拐点，求函数的极值点和拐点，并分析其性质。

10. 函数的渐近线，求函数的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。

11. 函数的对称性，根据函数表达式或图像，判断函数的对称性。

12. 函数的周期性，根据函数表达式或图像，判断函数的周期性。

13. 函数的零点个数，根据函数的图像，判断函数的零点个数。

14. 函数的导数与导函数，求函数的导数和导函数，并分析其性质。

15. 函数的高阶导数，求函数的二阶、三阶或更高阶导数。

16. 函数的导数与函数图像，根据函数的导数，分析函数图像的变化情况。

17. 函数的微分与变化率，求函数在某点的微分和变化率。

18. 函数的积分与定积分，求函数的不定积分和定积分。

19. 函数的面积与曲线长度，根据函数的图像，求其所围成的面积和曲线的长度。

20. 函数的平均值与中值定理，应用平均值定理和中值定理解决函数相关问题。

21. 函数的参数方程与极坐标方程，给定函数的参数方程或极坐标方程，分析函数的性质。

22. 函数的逆函数与反函数，给定函数的逆函数或反函数，求其性质和图像。

23. 函数的连续性与间断点，根据函数的定义域和图像，判断函数的连续性和间断点。

24. 函数的零点与方程的根，将函数的零点与方程的根联系起来，解决相关问题。

复合函数常考题型复合函数常考的题型有： （1）求解定义域问题 （已知的定义域，求的定义域；已知的定义域，求的定义域；已知的定义域，求的定义域）遵循等位等效性原则。

（2）判定函数单调性问题：已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数 )(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增 函数.遵循同增异减原则。

一、复合函数定义域问题： (1)、已知的定义域，求的定义域例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。

解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e ）例2. 若函数，则函数的定义域为______________。

答案：（2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以为的定义域。

例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。

解析：的定义域为，即，由此得所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为______________。

答案：（3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D ，即，由此得，的作用范围为E ，又f 对作用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。

例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f 对作用，所以，解得即的定义域为。

二、复合函数单调性问题已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.例、证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.复合函数的单调性是由两个函数共同决定 “同向得增，异向得减”或“同增异减”. 复合函数))((x g f y =的单调性判断例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(l o g 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<<∴012<-y y 即 12y y <∴y 在),3(+∞上是减函数 同理可证：y 在)1,(--∞例2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或 则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

复合函数问题一、知识储备这类题的一般是载体：分段函数要点1：分段函数画图注意事项：①分界点的坐标，以及分界处的实、虚点；②渐近线：常见的渐近线：log a y x =的渐近线为0x =，y =xa 的渐进线为0y =；axb y cx d+=+反比例型函数的渐近线要点2：①常见函数图像的画法：通常是在log ,xa y x y a ==的基础上左右平移，上下平移，整体加绝对值左右平移：在x 的基础上加减，平移法则左加右减上下平移：在整体的基础上加减整体加绝对值：把x 轴正下方的图像翻折到x 轴正上方②()()(),,g x x A f x f x a x B∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩图像的画法二、题型分类题型1：()f x m =型求参数的范围要点突破：直接作出()y f x =的图像，观察y m =与()y f x =的图像交点的个数例1、已知函数()()232,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有三个不同的实根，则实数m 的取值范围是变式：已知函数()21,2=3,21x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪-⎩，若关于x 的方程()f x a =有3个不同的实根，则实数a 的取值范围是变式、已知函数()2,03,01x x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，若()y f x m =-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）.A ()1,3-.B (]1,3-.C ()1,-+∞.D [)1,-+∞题型2：已知()f x 图像，,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，求值（求范围）要点突破①：()ln f x x =，若()f x m =有两个零点12,x x ，有121x x =要点突破②：()2f x ax bx c =++，若()f x m =有两个零点12,x x ，122x x +=对称轴例1、已知函数()()2log 1f x x =+。

复合函数常考题型复合函数常考的题型有： （1）求解定义域问题 （已知的定义域，求的定义域；已知的定义域，求的定义域；已知的定义域，求的定义域）遵循等位等效性原则。

（2）判定函数单调性问题：已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数 )(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增 函数.遵循同增异减原则。

一、复合函数定义域问题： (1)、已知的定义域，求的定义域例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。

解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e ）例2. 若函数，则函数的定义域为______________。

答案：（2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以为的定义域。

例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。

解析：的定义域为，即，由此得所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为______________。

答案：（3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D ，即，由此得，的作用范围为E ，又f 对作用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。

例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f 对作用，所以，解得即的定义域为。

二、复合函数单调性问题已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.例、证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.复合函数的单调性是由两个函数共同决定 “同向得增，异向得减”或“同增异减”. 复合函数))((x g f y =的单调性判断例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(l o g 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<<∴012<-y y 即 12y y <∴y 在),3(+∞上是减函数 同理可证：y 在)1,(--∞例2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或 则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

复合函数问题一、复合函数定义：　设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的⊇y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知的定义域，求的定义域f x ()[]fg x ()思路：设函数的定义域为D ，即，所以的作用范围为D ，又f 对作用，作用范f x ()x D ∈f g x ()围不变，所以，解得，E 为的定义域。

D x g ∈)(xE ∈[]f g x ()例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。

f u ()f x (ln )解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）f u ()u ∈()01，f 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得，故函数的定义域为（1，e ）x e ∈()1，f x (ln )例2. 若函数，则函数的定义域为______________。

f x x ()=+11[]f f x ()解析：先求f 的作用范围，由，知f x x ()=+11x ≠-1即f 的作用范围为，又f 对f(x)作用所以，即中x{}x R x ∈≠-|1f x R f x ()()∈≠-且1[]f f x ()应满足即，解得x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111x x ≠-≠-12且故函数的定义域为[]f f x (){}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知的定义域，求的定义域[]f g x ()f x ()思路：设的定义域为D ，即，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作[]f g x ()x D ∈g x E ()∈用，作用范围不变，所以为的定义域。

x E E ∈，f x ()例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。

f x ()32-[]x ∈-12，f x ()解析：的定义域为，即，由此得f x ()32-[]-12，[]x ∈-12，[]3215-∈-x ，所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]-15，[]x ∈-15，即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为-------f x ()[]-15，f x x x ()lg 22248-=-f x ()解析：先求f 的作用范围，由，知f x x x ()lg 22248-=-x x 2280->解得，f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以，x 244->()4，+∞x ∈+∞()4，即的定义域为f x ()()4，+∞（3）、已知的定义域，求的定义域[]f g x ()[]f h x ()思路：设的定义域为D ，即，由此得，的作用范围为E ，又f 对[]f g x ()x D ∈g x E ()∈f 作用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。

高一函数重难点突破一、 求复合函数的定义域的四种题型 1.已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2.已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x ∈[-1,2], 求函数f(x)的定义域3.已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2x)的定义域4.已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a 求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解 ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<， 此时函数()x h 的定义域为{x|a+m }*注* 定义域指的是自变量x 的取值范围；同一个对应关系f 作用下（）的范围一样；定义域写成集合的形式，区间也是集合的一种表示方法二、 求函数解析式的六种题型1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f2.配凑法或换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。

[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 （1） 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式（2） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f3.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

复合函数问题题型一：复合函数求定义域1、已知函数 y=f(2x-1) 的定义域为 [-1 ，2]，则 f(x) 的定义域为2、根据题意，求下列函数的定义域：（1）已知f ( x)的定义域为 (1,2)求 f (2x1) 的定义域。

（2）若函数 f ( x1) 的定义域为 [ 3,3] ，求函数 f ( 2 x) 的定义域。

（3）若函数y f (x) 的定义域为[1，1] ，求函数y f ( x 1) f (x 1)的定义域。

44（4）已知函数 f (x)的定义域是[0, 4]，求函数 f ( x2)的定义域。

（5）若函数 f ( x)的定义域是[ 2,4]，求函数F (x) f ( x) f (x) 的定义域。

3.函数 f（ x）的定义域为［ 0， 2］，则函数 f （x+1）的定义域是 ()A. ［ -2，2］B.［-1，1］C.［ 0， 2］D.［ 1， 3］4、已知函数f ( x)的定义域为（ 1， 3），则函数F (x) f ( x 1)f (2x)的定义域。

5、若函数y＝ f (x)的定义域是[－2, 4],求函数g(x)＝f (x)＋f (1－x)的定义域f (2 x)6、若函数y f ( x)的定义域是[0,2] ，求函数g(x)x 1 的定义域7、函数 y＝ f (2x＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y＝ f (x)的定义域8、函数 f (2x－1)的定义域是[0, 1)，求函数 f (1－3x)的定义域题型二：复合函数求值域方法一：直接法（针对一次函数、反比例函数、二次函数）、函数 f ( x)x2 2 x在区间 [-3 ， 4] 上的最小值为12、若函数y1x2x3, x[1,b] 的值域也为 [1,b] ,则 b 的值为.223、求下列函数的值域：（1）246,1,5（）2 y x x x 2 y 2x 4x（3）y 3x2x 2（） y x22x 5, x [ 1,2]（5)y x 24x 5x (1, 444．设函数 f ( x) x2x1 ，4（ 1）若定义域为 [0 ，3] ，求 f ( x) 的值域；（2）若定义域为 [ a,a1] 时， f ( x) 的值域为 [ 1 , 1] ，求 a 的值 .2 165、已知函数yx22x3在区间 [0 ，m]上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 ( ) A 、 [ 1 ，+∞） B 、[0 ，2]C 、（- ∞， 2]D 、[1 ， 2]方法二 : 换元法1、求函数值域。

复合函数题型及解法一、引言复合函数是高中数学中的重要知识点，也是考试中经常出现的题型。

本文将详细介绍复合函数的概念、性质、求导法则以及解题方法，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。

二、概念1. 复合函数的定义设有两个函数f(x)和g(x)，则当g(x)的值域恰为f(x)的定义域时，可以构成一个新的函数h(x)，称为f(x)与g(x)的复合函数，记作h(x)=f(g(x))。

2. 复合函数的图像复合函数h(x)=f(g(x))在平面直角坐标系上的图像可以通过以下步骤确定：（1）先画出g(x)在x轴上对应的图像；（2）将g(x)在x轴上对应的点代入f(x)中求出相应y值；（3）将得到的所有点连成一条曲线即为h(x)在平面直角坐标系上对应的图像。

三、性质1. 复合函数具有结合律，即(h◦g)◦f=h◦(g◦f)2. 若f(x)和g(x)都可导，则(f◦g)(x)'=f'(g(x))·g'(x)四、求导法则1. 链式法则设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，有：dy/dx=dy/du·du/dx=f'(u)·g'(x)2. 反函数求导法则设y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有：dy/dx=1/(dx/dy)3. 对数函数求导法则设y=loga(u)，u=g(x)，则y=loga(f(x))，有：dy/dx=[loga(e)/loga(u)]·du/dx五、解题方法1. 确定复合函数的形式根据题目所给条件，确定复合函数的形式，即确定f(x)和g(x)。

2. 求出复合函数的导数根据链式法则或其他求导法则，求出复合函数的导数。

3. 利用已知条件解方程将所求未知量代入已知条件中，解出方程。

4. 检验答案是否符合实际意义将所得答案代入原方程中检验是否符合实际意义。

六、例题分析1. 已知f(x)=2x+3,g(x)=x^2-1，求f(g(2))解：将g(2)=2^2-1=3代入f(x)中得到f(g(2))=2×3+3=9。

复合函数的单调性例题和知识点总结在数学的学习中，函数是一个非常重要的概念，而复合函数的单调性更是函数知识中的重点和难点。

理解并掌握复合函数的单调性，对于解决函数相关的问题有着至关重要的作用。

下面，我们将通过一些例题来深入探讨复合函数的单调性，并对相关知识点进行总结。

首先，我们来明确一下复合函数的概念。

如果函数$y=f(u)＄的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)＄的值域为$D_2$，且$D_2\subseteq D_1$，那么对于定义域内的某个区间上的任意一个$x$，经过中间变量$u$，有唯一确定的$y$值与之对应，则变量$y$是变量$x$的复合函数，记为$y=fg(x)＄。

接下来，我们探讨复合函数单调性的判断方法——同增异减。

也就是说，当内层函数与外层函数的单调性相同时，复合函数为增函数；当内层函数与外层函数的单调性不同时，复合函数为减函数。

下面通过几个例题来加深对复合函数单调性的理解。

例题 1：求函数$f(x)＝＼log_2(x^2 2x ＋ 3)＄的单调性。

首先，令$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，则$f(u) ＝＼log_2 u$。

对于$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，其图象开口向上，对称轴为$x ＝ 1$。

所以$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。

而$f(u) ＝＼log_2 u$在定义域$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。

因为内层函数$u$在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增，外层函数$f(u)＄也单调递增，根据同增异减，所以复合函数$f(x)＄在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。

又因为内层函数$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，外层函数$f(u)＄单调递增，所以复合函数$f(x)＄在$（＼infty, 1)＄上单调递减。

例题 2：求函数$f(x) ＝ 2^｛x^2 ＋ 2x 3}＄的单调性。

令$u ＝ x^2 ＋ 2x 3$，则$f(u) ＝ 2^u$。