2014年考研数学一真题与解析

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。

x y 2-=时， 21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。

2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x x yln（12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】（16）【答案】x y )(y 20-==或舍。

x y 2-=时，所以21-=)(y 为极小值。

（17）【答案】令u y cos e x =，则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214-+=-由,)(f ,)(f 0000='=得（18）【答案】 补{}∑=11z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，（19）【答案】（1）证}a {n 单调 由20π<<n a ，根据单调有界必有极限定理，得n n a lim ∞→存在， 设a a lim n n =∞→，由∑∞=1n n b 收敛，得0=∞→n n b lim ， 故由n n n b cos a a cos =-，两边取极限（令∞→n ），得10==-cos a a cos 。

解得0=a ，故0=∞→n n a lim 。

（20）【答案】①()1,2,3,1T - ②123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫ ⎪--+ ⎪= ⎪--+ ⎪⎝⎭()123,,k k k R ∈ （21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。

2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

）1．下列曲线有渐近线的是（）。

A．y＝x＋sinxB．y＝x2＋sinxC．y＝x＋sin（1/x）D．y＝x2＋sin（1/x）【答案】C【考点】曲线的渐近线的定义和求解方法【解析】对于C项，y＝x＋sin（1/x），首先观察到不存在水平渐近线和垂直渐近线。

设曲线的斜渐近线为y＝kx＋b，故曲线y＝x＋sin（1/x）有斜渐近线y＝x。

因此，选择C项。

2．设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在[0，1]上（）。

A．当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）B．当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）C．当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）D．当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）【答案】D【考点】函数图形凹凸性的定义及应用【解析】令F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x，则F（0）＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x），故当f″（x）≥0时，F″（x）≥0，则函数F（x）是凹的。

故在区间[0，1]上，F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即F（x）＝f（x）－g（x）≤0，因此f（x）≤g（x）。

故选择D项。

3．设f（x，y）是连续函数，则（）。

A．B．C．D．【答案】D【考点】二重积分的积分顺序互换及二重积分在直角坐标和极坐标间的相互变换【解析】可画出积分区域如图1所示。

图1若交换积分顺序，则原式变为故A，B两项不正确；若进行极坐标变换，则原式变为则D项正确。

4．若函数则a1cosx＋b1sinx＝（）。

A．2sinxB．2cosxC．2πsinxD．2πcosx【答案】A【考点】观察积分和转化问题的能力【解析】由题得则所以原问题转化为求函数a2＋b2－4b的极小值点，显然可知当a＝0，b＝2时取得最小值，即a1＝0，b1＝2，所以a1cosx＋b1sinx＝2sinx，故应该选A。

1 sin ) ⎰ ⎰2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版)一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。

（1）下列曲线中有渐近线的是 （A ） y = x + sin y = x 2 + sin 1.xx .(B) y = x 2 + sin x .(C) y = x + sin .(D)xx + sin 1【解析】a = lim f (x ) = lim x = lim(1+ 1 1 = 1 x →∞ x x →∞ x x →∞ x xb = lim[ f (x ) - ax ] = lim[x + sin 1 - x ] = lim sin 1= 0x →∞ x →∞ x x →∞ x∴y=x 是 y=x + sin 1的斜渐近线x【答案】C(2)设函数 f ( x ) 具有 2 阶导数， g ( x ) = f (0)(1- x ) + f (1) x ,则在区间[0，1]上（）(A)当 f （' x ）≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) . (B)当 f （' x ）≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )(C)当 f （' x ）≥ 0 时， f (x ) ≥ g ( x ) . (D)当 f ' ≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )【解析】当 f "( x ) ≥ 0 时， f ( x ) 是凹函数而 g ( x ) 是连接(0, f (0))与（1, f (1)）的直线段，如右图故 f ( x ) ≤ g ( x )【答案】D (3)设 f ( x , y ) 是连续函数，则11- ydy f (x , y )⎰0⎰- 1- y 21x -1 01- x 2（A ） ⎰0 dx⎰111- x （B ） 0dxf (x , y )dy +⎰-1 dx ⎰0f (x , y )dy +⎰-1 dx ⎰- 1- x 2 f (x , y )dy .f (x , y )dy .=1- y 2 π1 1 {π∈ ⎰ 0⎰ 0ππ 1π 1（C ）⎰ 2 d θ ⎰cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )dr +⎰π d θ ⎰ f (r cos θ , r sin θ )dr .0 02π 1π 1（D ）⎰ 2 d θ ⎰cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )rdr +⎰π d θ ⎰ f (r cos θ , r sin θ )rdr .2【解析】积分区域如图 0≤y ≤1.- ≤ x ≤ 1- yπ用极坐标表示，即：D 1:≤ θ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 1 2π1【答案】DD 2: 0 ≤ θ ≤, 0 ≤ r ≤2cos θ + sin θ（ 4 ） 若⎰-π(x - a cos x - b sin x )2dx = min ⎰-π a ,b R(x - a cos x - b sin x )2 dx }， 则a 1 cos x +b 1 sin x =（A ） 2π sin x . (B) 2 cos x . (C) 2π sin x . (D) 2π cos x .⎰-π⎧Z ' = 2 π (x - a cos x - b sin x )(-cos x )dx = 0 (1) ⎪ a⎰ -π ⎨ Z ' = 2 π (x - a cos x - b sin x )(-sin x )dx = 0 (2)⎛⎪ b ⎰-π⎰1由（1）得2a π cos 2xdx = 0π x sin xdx故a = 0, a = 0由（2）得【答案】A(5)行列式b π sin 2 = = 2xdx b 1 = 2（A ）（ad-bc）2 （B ）-（ad-bc ）2。

2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B）（8）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。

x y 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。